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 #1 - 30-11-2009 15:48:29

solo0608
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 1

problème de baseq : n-1 chiffres en base n

Existe-t'il des nombres entiers qui s'écrivent avec 5 chiffres dans le système de base 6 et 4 chiffres dans le système de base 5 ? Si oui Combien ?



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 #2 - 30-11-2009 16:02:31

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 950

PProblème de bases : n-1 chiffres en base n

Sous la forme proposée, c'est impossible mais on peut échanger les données.
De N=625 à N=1295 inclus, l'entier N s"écrit avec 5 chiffres en base cinq et 4 en base six.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #3 - 30-11-2009 16:04:32

VanSS
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 31

Probblème de bases : n-1 chiffres en base n

Non, pour s'en convaincre on peut regarder

-le nombre maximum avec 4 chiffres en base 5
4444(base 5)=4+5*4+5^2*4+5^3*4=624(décimal)

-le nombre minimum avec 5 chiffres en base 6
10000(base 6)=6^4*1=1296(décimal)

J'ai considérée que le premier chiffre (ou chiffre de poids fort) ne pouvait être zéro sinon cela change tout et dans ce cas tout les nombres que l'ont peut écrire en base 5 pourrait aussi être écrit en base 6, cela en ferait donc 624

 #4 - 30-11-2009 16:05:07

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 438

Problème de bases : n-1 chiffres en basee n

Bonjour et sois le bienvenue,


Le plus petit entier à 5 chiffres en base 6 est 10000 et :
[TeX]1.6^{4}+0.6^{3}+0.6^{2}+0.6^{1}+0.6^{0}[/TeX]
vaut 1296 base 10.

Ce qui vaut également :
[TeX]1296= 2.5^{4}+0.5^{3}+1.5^{2}+4.5^{1}+1.5^{0}[/TeX]
et donc 20141 en base 5.

20140 en base 5 s'écrira en seulement 4 chiffres (9999) en base 6.

Il n'y a donc aucun entier qui s'écrivent avec 5 chiffres en base 6 et en 4 chiffres en base 5.

 #5 - 30-11-2009 16:35:45

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Problème de bases : n-1 chiffrs en base n

Ebauche d'une réponse générale : un entier s'écrit avec k chiffres en base N si et seulement si il est compris entre [latex]N^{k-1}[/latex] et [latex]N^k -1[/latex] (inclus tous les deux).

Le premier de ces deux chiffres s'écrira avec un 1 suivi de k-1 zéros, le second s'écrira avec k fois le chiffre représentant la valeur N-1.

En utilisant cette propriété, on peut facilement trouver une réponse en changeant les bases et les nombres de chiffres considérés.

Ceci étant dit, si on passe un nombre de k chiffres (lorsqu'on l'écrit dans une base N) à une base plus petite, il s'écrira avec au moins autant de chiffres. Donc un nombre à 5 chiffres en base 6 s'écrira avec au moins 5 chiffres en base 5. Tu as dû inverser deux chiffres de ton problème wink


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #6 - 30-11-2009 23:47:03

akira112
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 1

Probllème de bases : n-1 chiffres en base n

solo0608 a écrit:

Existe-t'il des nombres entiers qui s'écrivent avec 5 chiffres dans le système de base 6 et 4 chiffres dans le système de base 5 ? Si oui Combien ?

impossible dans ce sens mais dans l'autre oui.

 #7 - 01-12-2009 17:42:34

zikmu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 277

Problème de bases : n-1 chiiffres en base n

Moi je dirais :

Bonne réponse de MthS-MlndN

J'aurais même pu ajouter que si le premier chiffre est au minimum 1,

pour un nombre supérieur de chiffres, ( ici 5 au lieu de 4 )

le nombre est forcément plus grand ( par définition même de la base ),

si celle-ci est supérieure...wink { ex : 1*6^n > 1*5^n > 4*5^(n-1)...etc  }

conclusion : il y a inversion dans le problème et par conséquent...

4 chiffres en base 6 et 5 en base 5 paraît plus adapté...

donc...671 nombres ( en base 10 )  conviennent...big_smile

mais ce ne sont là que de furtives conclusions...je l'avoue...sad

PS : Bonne réponse de Kosmo également qui m'a rappelé qu'on apprenait les bases de manière moins virtuelle avec des bûchettes, il me semble...lol

rapport à : http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopi … 291#p51524

 

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