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 #1 - 04-01-2009 05:30:16

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Rencontre de marcheurs su la route

Petit exercice mathematique qui nous vient d'un magazine publié en 1967.

Alain part a pied de Brinon at Midi pour Aubigny, Bertrand part a pied d'Aubigny pour Brinon at 14 heures, le meme jour. Ils se croisent sur la route a 16 heures 5. Et ils arrivent a leur destination exactement en meme temps.
En supposant qu'ils marchaient tous deux a vitesse constante, a quelle heure arrivent-ils?



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 #2 - 04-01-2009 11:05:49

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 792

Rencontre d marcheurs sur la route

Soit L la distance entre Aubigny et Brinon. Alain marche à une vitesse V1 et Bertrand marche à une vitesse V2.

A 16h05, Alain a parcouru V1*245 et Bertrand a parcouru V2*125.

Il reste V2*125 a parcourir à Alain à une vitesse V1, distance qu'il parcourra en V2*125/V1 minutes.
Il reste V1*245 a parcourir à Alain à une vitesse V2, distance qu'il parcourra en V1*245/V2 minutes.

Donc V2*125/V1 = V1*245/V2.

De plus on sait que L/V1 = L/V2+120 car Alain met 2h de moins à parcourir la même distance.

En replaçant dans les équations, on trouve V1 = L/420 et V2 = L/300.

Donc la distance V2*125/V1 = V1*245/V2 = 175.

Ils arriveront à 19h00

 #3 - 04-01-2009 16:11:44

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

rencontre de marcgeurs sur la route

Au vu du petit énoncé cela semble simple, et pourtant...


Utilisons la fameuse formule V = d/t  (Vitesse  =  distance / temps)

Soient :
- VA la vitesse constante d'Alain
- VB la vitesse constante de Bertrand
- t le temps mis par Bertrand pour aller d'Aubigny à Brinon (en minutes)
- d la distance entre Aubigny et Brinon

On a alors :
VA  =  d / (t+120)    (Alain étant parti 2 heures plus tôt que Bertrand)
VB  =  d / t


Lorsqu'ils se rencontrent, Alain à parcouru la distance dA et Bertrand la distance dB :
VA  =  dA / 245
VB = dB / 125

or : d  =  dA + dB
donc : d  =  VA.245 + VB.125

On remplace cette valeur de d dans nos deux premières équations :
VA  =  (VA.245 + VB.125) / (t+120)
VB  =  (VA.245 + VB.125) / t

Je vous passe la résolution de ce système, on arrive à :
t²/125 - 2.t - 120  =  0

Cette équation du second degré admet deux solutions :
t1  =  300
t2  =  -50

Ainsi, Bertrand aura mis 300 minutes, soit 5 heures, pour rallier Aubigny à Brinon.
Etant parti à 14 heures, il arrivera à Brinon à 19 heures, en même temps qu'Alain à Aubigny.


Excellent ce petit problème ! smile


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #4 - 04-01-2009 17:17:17

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Rencontre de marcheurs ssur la route

Bertrand va à une vitesse Vx et parcourt la distance AB en un temps Tx (en minutes).
Idem pour Alain avec Vy et Ty.

Soit P le point de rencontre :
[TeX]AP = 125 V_x[/latex] et [latex]BP = 245 V_y[/latex] d'où

[latex]AB = 125 V_x + 245 V_y[/latex] (1)

En outre, [latex]AB = V_x T_x = V_y T_y = V_y \times (T_x + 120)[/latex] car ils arrivent en même temps.

Donc [latex]Vy = \frac {V_x T_x} {T_x + 120}[/TeX]
On remplace dans (1) :
[TeX]AB = V_x T_x = 125 V_x + 245 \times \frac {Vx Tx} {Tx + 120}[/TeX]
En simplifiant par Vx, puis en réduisant :
[TeX](T_x)^2 - 250 T_x - 15000 = 0[/TeX]
On trouve par la méthode du discriminant une seule racine positive : [latex]T_x = 300[/latex]

Soit un temps de trajet de 5 heures pour Bertrand qui est parti à 14h.

Les deux hommes arrivent donc à leurs destinations à 19 heures.


(Résolution de mon ami Baptiste. Bravo à lui.)


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #5 - 04-01-2009 17:49:41

moaflorent
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 29

rencontre fe marcheurs sur la route

2h55

Donc arrivée à 19 h oui


http://brainsmoker.free.fr

 #6 - 04-01-2009 23:07:07

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

rencontre de larcheurs sur la route

Et bien, en ce début d'année, si mes neurones ne sont pas trop engourdis par le froid, je dirais : 19 heures (tout pile).

a: distance parcourue par Alain jusqu'à la rencontre
b: distance parcourue par Bertrand jusqu'à la rencontre

a=245*v1
b=125*v2

t: le temps restant à parcourir par chacun pour toucher au but:

t*v2=245*v1
t*v1=125*v2

t=245*(v1/v2)
t=125*(v2/v1)

t = (125*245)^0,5= 175.

16h5+ 175 = 19h.

Pas trop méchant pour redémarrer. wink


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #7 - 05-01-2009 13:23:03

Papy04
Ricocheur en Chef
Enigmes résolues : 47
Messages : 1256

rencontre de marcheurs sue la route

Après leur rencontre, les 2 marcheurs vont mettre le même temps à parcourir le trajet parcouru par l'autre avant celle-ci, ce qu'on peut écrire:
distance-Alain/vitesse-Bertrand = distanceBertrand/vitesse-Alain, soit:
dA/vB=dB/va.
Or, dA=vA*245'
et   dB=vB*125';

on a donc :    vA*245/vB=vB*125/vA
ce qui donne: vAau carré/vB au carré=125/245
ou encore      vA/vB= racine carrée(125/245)
soit                vA/vB=5/7

On en déduit que la distance parcourue par Alain en 4h05 sera parcourue par Bertrand en 245'*5/7= 175' soit 2h55
On peut vérifier que la distance parcourue par Bertrand en 2"05 sera parcourue par Alain en 125*7/5=175', c'est-à-dire le même temps.
Ils arriveront à destination à 16h05+2h55= 19h

Celà dit, j'aimerais bien savoir de quel Aubigny et de quel Brinon il s'agit. D'après Via Michelin il y a 2 couples Aubigny/Brinon possibles (sans changer de département), l'un dans la Nièvre (11km) et l'autre dans le Cher (18km). Même si on prend le plus long, on obtient des vitesses approximatives de 2,5 et 3,6 km/heure, ce qui est peu dans une région aussi plate wink


Nous les souiris nous avons un défaut, nous sommes prétentieux. Mais nous nous sommes corrigés. Maintenant nous sommes parfaits

 #8 - 06-01-2009 02:22:48

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Rencontre de macrheurs sur la route

Bonne reponse de presque tout le monde. C'etait bien 19h qu'il fallait trouver.
Pour ce qui est de quel Aubigny et quel Brinon... J'ai pris ces noms au hasard dans le fin fond de ma memoire, puisque a une époque je travaillais a Brinon sur Sauldre  et je vivais a Aubigny sur Nere. Il s'agit bien du Cher.
Pour les vitesses, on dira que Alain et Bernard sont des personnes agées qui ne marchent pas tres vite.
L'enigme originale peut etre trouvée ici


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 #9 - 07-01-2009 19:32:47

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Rncontre de marcheurs sur la route

dhrm77 a écrit:

Bonne reponse de presque tout le monde.

Pourquoi "presque" ? hmm

Sinon, je salue ceux qui ont résolu cette petite énigme bien sympa avec des démonstrations bien moins Prise2Tête que la mienne wink


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #10 - 07-01-2009 19:50:59

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

rencontre de marcheurs sur la eoute

LeSingeMalicieux a écrit:

Pourquoi "presque" ? hmm

C'est pour moi, j'ai eu peur d'un problème type croisement d'échelle avec équation du 4e degré.


http://enigmusique.blogspot.com/

 #11 - 07-01-2009 19:56:03

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Reencontre de marcheurs sur la route

Ah ok ! smile
Donc tu t'es encore plus pris la tête que moi en somme lol


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #12 - 08-01-2009 04:20:12

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Rencontre de marceurs sur la route

kosmogol a écrit:

LeSingeMalicieux a écrit:

Pourquoi "presque" ? hmm

C'est pour moi, j'ai eu peur d'un problème type croisement d'échelle avec équation du 4e degré.

Non, en fait c'etait pour moaflorent qui n'avait que mis 2h55 comme reponse. et qui a complété ensuite.


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 #13 - 14-02-2010 20:16:36

Francispaul
Visiteur

rencontre de marvheurs sur la route

dhrm77 a écrit:

Petit exercice mathematique qui nous vient d'un magazine publié en 1967.

Alain part a pied de Brinon at Midi pour Aubigny, Bertrand part a pied d'Aubigny pour Brinon at 14 heures, le meme jour. Ils se croisent sur la route a 16 heures 5. Et ils arrivent a leur destination exactement en meme temps.
En supposant qu'ils marchaient tous deux a vitesse constante, a quelle heure arrivent-ils?

Ils arrivent à 18h10.

 #14 - 14-02-2010 21:34:29

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

rencontre de marchrurs sur la route

C'est ballot d'écrire une mauvaise réponse alors que la bonne est inscrite une dizaine de fois au dessus, ce n'est pas grave. L'essentiel c'est de chercher.
Et si tu aimes chercher, inscris toi sur le site, tu ne seras pas déçu ;-)


http://enigmusique.blogspot.com/

 #15 - 14-02-2010 21:58:14

MMORgan
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 172

rencontre de marcheyrs sur la route

Au moins il ne regarde pas les réponses des autres

 #16 - 23-02-2015 11:20:10

Thire
Visiteur

Rencontre de marcheur sur la route

Je suis tombé sur cette énigme par hasard, et j'ai du mal à comprendre ce passage de la solution;

papiauche a écrit:

t=245*(v1/v2)
t=125*(v2/v1)

t = (125*245)^0,5= 175.

Comment passe-t-on des 2 équations à la seconde ?
Désolé si la question vous semble basique...  ;-)

 #17 - 23-02-2015 15:43:59

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 566

rencontre de mzrcheurs sur la route

Tu multiplies la première par la deuxième, ce qui te donnes t² et tu prends la racine carrée pour revenir à "t".

 

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