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 #1 - 31-12-2010 16:34:03

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

Une petite route (probabliités)

Bonjour,

C'est ma première énigme, alors soyez indulgents si elle est trop facile ou a déjà été posée (pas volontaire de ma part), où si certaines hypothèses sont assez floues (volontaire tongue).

Si on observe une petite route le soir pendant 7 minutes, on a 86% de chances de réussir à y voir passer une voiture.
Si on observe cette même route le soir pendant 5 minutes, quel est alors le pourcentage de chances d'y voir une voiture ?

J'attends la valeur exacte, mais la case réponse (pour vérifier) contient le pourcentage arrondi au centième.



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 #2 - 31-12-2010 17:35:21

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 163
Lieu: devant mon écran

une petite route (pribabilités)

La réponse exacte est 75,44774115 %.

Chouette petite énigme. Merci.

J'allais oublier...

P(aucune voiture en 7 min) = 0.14
P(aucune voiture en 5 min) = 0.14^(5/7) = 0.2455225885

Donc P(au moins une voiture en 5 min) = 0.7544774115


On n’est jamais très fort pour ce calcul...

 #3 - 31-12-2010 23:56:40

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3316

unr petite route (probabilités)

J'ai vu poisson sad donc ce n'est pas pour moi.
Instinctivement je dirai que c'est presque proportionnel mais pas vraiment sans pouvoir si quel pourcentage.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #4 - 01-01-2011 10:02:16

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 116

ine petite route (probabilités)

cela dépend des conditions

si on suppose que les voitures circulent de façon régulière avec la même fréquence,
soit :
t le temps pendant qu'elles sont visibles sur la portion de route observée ,et T la période entre deux véhicules (vitesse constante) et O le temps d'observation de cette route on trouve que la probabilité Po de voir un véhicule est (pendant l"observation O)

Po = (t+O)/T pour O+t<T

remarque : des que O+t=T  la probabilité est 1 (logique)

donc si on prend P7=(7+t)/T=0.86
P5=(5+t)/T=(5+t)*0.86/(7+t)

 #5 - 01-01-2011 10:16:45

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,471E+3

Une petite route (probabiltés)

prenons :

P1 la probabilité de voir une voiture en 7 mn : P1 = 0,86

Et

P2 celle de voir une voiture en 5mn 


Je me dis que si on observe cette route pendant 35 mn,
la probabilité de NE PAS voir passer de voiture est

(1-P1)^5 = (1-P2)^7

Donc P2 = 1 - Racine7ème [(1-0,86)^5]
La probabilité de voir passer une voiture en 5 mn est donc de 75,4477...%

 #6 - 01-01-2011 11:28:01

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

Une petite rouute (probabilités)

Pour l'instant deux bonnes réponses, Fred et Gwen.
Débutant1, je pense que tes hypothèses ne sont pas les plus réalistes, car les voitures ne passent en général pas de manière régulière. Ceci dit, avec ton raisonnnement, tu pourrais tout de même trouver une valeur numérique, en supposant que le temps pendant lequel on observe une voiture passer est approximativement 0.

 #7 - 01-01-2011 12:12:51

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Lieu: UK

une perite route (probabilités)

La durée de l’évènement congrue à 5 et 7 minutes est de 1 minute.

Soit [latex]P[/latex], la probabilité qu'une voiture se manifeste sur la route le soir et [latex]\bar{P}[/latex] la probabilité qu'il n'y ai pas de voiture pendant une minute.

il a été observé que [latex] P_{1 \to 7} = 86 %[/latex] ce qui signifie que [latex] \bar P_{1 \to 7} = 14 %[/latex]

Or  [latex] \bar P_{1 \to 7} = {\bar P_{1}}^7[/latex]
i.e. pas de voiture la première minute ET la seconde ET ...

donc [latex] \bar P_{1}= [14%]^{1/7}\approx 75%[/latex] soit une chance sur quatre qu'une voiture se montre pendant la première minute.

Donc
[TeX] P_{1 \to 5}=1- \bar P_{1 \to 5} = 1 - (\frac{3}{4})^5 = 76 %[/TeX]
plus précisément  [latex] P_{1 \to 5}=1- \bar P_{1 \to 5} = 1 - (\frac{100-86}{100})^{\frac{5}{7}} = 75.45 %[/latex]


The proof of the pudding is in the eating.

 #8 - 01-01-2011 14:50:14

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Une petite route (pprobabilités)

Mes souvenirs en proba sont assez lointains (plus de 20 ans) ... voyons voire ce qu'il en reste :-)

Précisons quelques hypothèses :
- les 86% font référence à la probabilité d'observer AU MOINS une voiture
(donc 0.14 est la proba de n'en observer aucune)

- on suppose que les voiture arrivent de manière complètement aléatoire (pas de biais suivant l'heure de la journée, pas d'arrivées par paquet à cause des feux, ...), le nombre moyen de voiture par intervalle ne dépend que de la taille de celui-ci.

Je note [latex]P_k(t)[/latex] la probabilité d'observer exactement k voitures durant un intervalle (0..t)

Si je me souviens bien, ce genre de phénomène relève d'une loi de Poisson dont la loi est :
[TeX]P_k(t) = e^{-\lambda}. \lambda^k/k![/TeX]
où [latex]\lambda[/latex] peut être assimilé au nombre moyen d'événements par intervalle (0..t).

On connaît [latex]P_0(7mn) = 0.14[/latex] d'où on tire [latex]\lambda = -\ln 0.14[/latex].

On extrapole à un intervalle (0..5) en multipliant [latex]\lambda[/latex] par 5/7 ce qui donne le nombre moyen de  voitures par intervalle de 5mn (environ 1.4043).
En réappliquant la loi de Poisson dans l'autre sens on en tire :
[TeX]P_0(5mn) = 0.2455[/latex], d'où [latex]P_{>0}(5mn) = 0.7544[/latex] et des poussières.

Valeur littérale : [latex]P_{>0}(5mn) = 1-e^{5/7.\ln 0.14}[/latex] ou [latex]1-0.14^{5/7}[/TeX]

 #9 - 02-01-2011 21:20:48

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

Uen petite route (probabilités)

Je ne pensais pas du tout au processus de Poisson en posant cette enigme. Merci Gasole wink
Ceci dit, même s'il est utilisé pour cette modélisation, il ne me semble pas qu'il soit utile d'en parler ici. Seule la définition de l'indépendance (en faisant cette hypothèse) d'évènements suffit.

 #10 - 02-01-2011 21:33:43

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Une petite route (probabilitsé)

Merci, mais je suis un vrai matheux j'avoue, et à ce titre partisan du moindre effort, et en plus, merci de m'avoir fait me rafraîchir la mémoire... :-)

Tu as une explication sans redécouvrir la loi de Poisson pour un cas particulier ?

 #11 - 03-01-2011 14:32:52

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Une petite route ((probabilités)

Si on suppose que sur une longue période de temps LP il y a X=LP * v véhicules qui passent sur la route (v étant la densité horaire de véhicules).
On suppose que la durée de passage est instantanée (si ce n’est pas le cas, cela revient à adapter la durée d’observation).

Pendant une durée d’observation d, la probabilité de voir le véhicule n°1 est p1(d)=d/LP, la probabilité de ne pas voir le véhicule 1 est 1-p1(d) = 1-d/LP.

Si l’on suppose que l’heure de passage de chaque véhicule est indépendante des autres, la probabilité de ne voir aucun véhicule est pendant le temps d est  (1-d/LP)^X et la probabilité de voir au moins un véhicule est donc P(d) = 1 – (1-d/LP)^X=1- (1-d/LP)^(LP * v)

On va confondre P(d) avec son développement limité à l’ordre 1 (lorsque LP est très grand) : P(d)= 1 – exp(-dv)

On a P(7) = 86%, donc v=ln(1/14%)/7 A.N. v=0,28087 véhicules / mn)

P(5) = 1 – exp(-5 * v) = 75,45%

Rem : en France, on met la virgule, non pas le point, comme séparateur décimal… j’ai refait mes calculs un bon paquet de fois avant d’essayer avec le point… petit coquin va !

 #12 - 04-01-2011 02:29:59

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Une petite route ((probabilités)

Chances de voir une voiture en 7 minutes = 86% = 0.86
Chances de ne voir aucune voiture en 7 minutes = 0.14
Chances de ne voir aucune voiture en 5 minutes = 10^ (log (.14)×5÷7) = 0.245522588
Soit:
Chances de voir une voiture en 5 minutes = 75.4477%


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #13 - 05-01-2011 18:18:04

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

une petite route (probabilirés)

Merci à tous pour vos réponses (bonnes!).

Pour les justifications, il y en a certaines que je n'ai pas très bien compris (peut-être un peu plus compliquées que nécessaires...), mais peut-être sont-elles correctes également (j'avoue ne pas avoir pris le temps de réfléchir à tout).

Je vous propose mon raisonnement.
Il faut évidemment faire l'hypothèse que les comportements de tous les automobilistes sont indépendants, ainsi donc que tout ce qui se passe sur la route.

Partageons notre intervalle de temps de 7 minutes (et aussi celui de 5 minutes) en plusieurs intervalles de une minute.

Notons :
[TeX]A_k=[/latex]"il ne passe pas de voiture pendant la k^e minute"

On a alors, d'après l'indépendance :
[latex]P(A_1\cap A_2\cap ...\cap A_7)=P(A_1)\times ...\times P(A_7)=P(A_1)^7=1-0.86=0.14[/TeX]
Donc [latex]P(A_1)=0.14^{\frac{1}{7}}[/latex]

Et
P(il ne passe pas de voiture pendant 5 minutes)=P(A_1)^5 (toujours l'indépendance)

P(il passe au moins une voiture en 5 minutes)=[latex]1-0.14^{\frac{5}{7}}\simeq 0.7545[/latex]

 #14 - 05-01-2011 18:19:30

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

une petite route (probabilirés)

Soit 75.45 %
Et pour Dylasse, le point était là pour rajouter de la difficulté aux amateurs de virgule tongue

 #15 - 06-01-2011 09:04:35

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

une petite route (probavilités)

Ben oui, mais bon!
Il ne s'agit pas d'être amateur de virgule ou non. Il s'agit d'écrire en correctement en français ou en anglais et ici l'énigme est en français donc la virgule est de mise.
J'ai pas posté ma réponse parce que 75,45 ne marchait pas et comme je ne trouvais pas d'autre raisonnement, j'ai laissé tombé.
Et moi aussi j'ai passer pas mal de temps à faire des calculs inutiles, des plus simples au plus compliqués avec démonstration à l'appui pour toujours le même résultat.

 #16 - 06-01-2011 09:08:10

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Lieu: UK

Une petite rouet (probabilités)

PROPOSITION POUR LA CASE REPONSE

Serait-il possible que la case réponse accepte aussi bien le point que la virgule??


The proof of the pudding is in the eating.

 #17 - 06-01-2011 09:32:32

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

une petote route (probabilités)

Non, Mathias a très bien expliqué que l'un ne remplace pas l'autre.


http://enigmusique.blogspot.com/

 #18 - 06-01-2011 10:29:10

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Une petite route (probabilitsé)

Quand ça ? Je ne m'en souviens plus lol

Ceci dit, c'est vrai que l'inversion des symboles . et , entre les conventions française et américaine n'arrange rien.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #19 - 06-01-2011 10:46:23

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Une petite route (probaabilités)

Je propose qu'on supprime tout ça, ça ne sert à rien.

75,45 = 75.45 = 7545

et pareil pour

7,545 = 7.544 = 7545

Plus de point, plus de virgule, le rêve.

 #20 - 06-01-2011 11:12:35

franck9525
Elite de Prise2Tete
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une petite route (probabikités)

Je pensais à une solution de programmation telle que majuscule = minuscule.


The proof of the pudding is in the eating.

 #21 - 06-01-2011 15:12:01

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

une petite royte (probabilités)

Il faut faire ça à la main, je pense : préciser que si un caractère a une valeur "." (je ne me souviens pas du code ASCII, désolé de ne pas connaître mes tables lol), on remplace par la valeur ",".

Apparemment, Ef' fait déjà quelque chose de similaire pour la reconnaissance des caractères accentués.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #22 - 09-01-2011 14:47:44

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

Une petite route (probabilité)

Hé bien je ne pensais pas à tant de réactions!
Je mets tout le temps le point, car, j'ai pris l'habitude de mettre le point sur les calculatrices, et il est aussi associé aux chiffres sur le clavier d'ordi.
Après je ne dis pas qu'il faut absolument faire ca.
Désolé pour ceux qui ont perdu du temps dans leur recherche à cause de ça...

 #23 - 10-01-2011 09:35:32

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Une petiite route (probabilités)

Pas grave! J'avais qu'à y penser...

 

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