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 #1 - 03-12-2007 20:54:56

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1656

deux nombres zntre 2 et 100

Petite énigme mathématique, donc, que j'affectionne particulièrement.
Un prof de math un peu tordu tire au hasard deux nombres A et B compris entre 2 et 100, puis il fait venir au tableau Stephane et Patrick.
A Stephane, il communique la somme S de ces deux nombres.
A Patrick, il donne le produit P de ces deux nombres.

Stephane: "Patrick, je sais que tu ne peux pas trouver quels étaient A et B"
Patrick: "Si c'est comme ça, alors j'ai trouvé"
Stephane: "Ah bon? Alors moi aussi".

Voilà, à vous de chercher, quels étaient A et B?



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 #2 - 04-12-2007 02:42:15

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Deux nombrse entre 2 et 100

J'ai commencé par ecrire un programme, et je trouvais 2 solutions:
Spoiler : [Afficher le message]
A=6 et B=17 pour une somme de 23 et un produit de 102.
ou
A=13 et B=22 pour une somme de 35 et un produit de 286.
qui sont bien des mauvaises solutions.. ou sont peut-etre des solutions d'un aute probleme (dont l'enoncé serait legerement different)

Puis je l'ai refait avec Excel et je trouve la solution unique:
Spoiler : [Afficher le message]
A=4 et B=13 pour une somme de 17 et un produit de 52.
Ceci est confirmé par plein de pages concernant ce probleme sur internet.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #3 - 04-12-2007 08:52:48

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1656

Dexu nombres entre 2 et 100

Tout à fait exact, mais à l'instar du problème des 4 couleurs, une démo "informatique" est très controversée. La réponse est donc exacte mais j'aimerai une démo mathématique :p

 #4 - 04-12-2007 17:28:08

FSRom1
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 74

Deux onmbres entre 2 et 100

Spoiler : Réponse
A et B valent 4 et 13.
En ce qui concerne le raisonnement menant à la bonne réponse, j'y étais parvenu il y a quelque temps, mais je n'ai plus tout en tête (ni le temps de m'étaler dans des raisonnements sans fin).
Je me souviens qu'il y a une bonne exploitation des nombres premiers, notamment au niveau du produit et du fait que la plupart des entiers de 4 à 400 peuvent se décomposer comme la somme d'un nombre premier et d'une puissance de 2.

 #5 - 04-12-2007 22:28:22

Bonswouar
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 9

Deux nombres entre 2 et 10

Serait-il possible d'avoir une explication sur la démarche à suivre pour trouver la solution?

Car malgrès le fait que j'ai lu vos spoiler, je ne comprends pas comment vous avez trouvé ça et pourquoi c'est juste...

 #6 - 05-12-2007 08:36:19

FSRom1
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 74

deux nombres ebtre 2 et 100

Spoiler : Raisonnement - Épisode 1 "La menace polynôme"
Patrick dans le dialogue dit: "Si c'est comme ça, alors j'ai trouvé". Cela implique qu'il ne peut trouver A et B seulement à partir de P.

Cela permet d'éliminer plusieurs possibilités.
1) Supposons que A et B sont des nombres premiers p1 et p2. P admet donc 4 diviseurs (1, p1, p2 et p1p2). A et B étant 2 diviseurs de P qui, multipliés entre eux, donnent P, alors Patrick peut en conclure que:
- soit A et B valent 1 et p1p2, ce qui est à rejeter car A>1 et B>1 par hypothèses.
- soit A et B valent p1 et p2.
Dans ce cas de figure, Patrick trouverait alors directement A et B, ce qui est faux. Donc A et B sont sont pas 2 nombres premiers (compris entre 2 et 200)

2) Considérons la décomposition de P en nombre premiers (P = p1*p2*...*pn avec n>2 et le même nombre pouvant se répéter plusieurs fois). Supposons que l'un de ces facteurs premiers (p1 par exemple) est strictement supérieur à 100.
- Soit A et B valent p1*(un ou plusieurs autres facteurs premiers) et (le produit des facteurs premiers restant). Comme tout nombre premier est supérieur ou égal à 2, le facteur "p1*(un ou plusieurs autres facteurs premiers)" est strictement supérieur à 200. Tous ces cas sont donc à rejeter compte tenu des hypothèses.
- soit A et B valent p1 et p2*p3*...*pn.
Dans ce cas de figure, Patrick trouverait aussi directement A et B. Donc A et B sont des multiples de nombres premiers inférieurs à 100.

 #7 - 05-12-2007 09:05:55

FSRom1
Passionné de Prise2Tete
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Deux nombres entre 2 et 010

Spoiler : Raisonnement - Épisode 2 "L'attaque des binômes"
Stéphane dans le dialogue dit: "Patrick, je sais que tu ne peux pas trouver quels étaient A et B".
Grâce aux déductions de l'épisode 1, cela implique que la somme S ne peut en aucun cas être obtenue:
- en additionnant 2 nombres premiers (entre 2 et 200).
- en additionnant 1 nombre supérieur ou égal à 2 avec le multiple d'un nombre premier supérieur à 100.


4 ≤ S ≤ 400 par hypothèses (397 sommes possibles). Mais bon nombre de possibilités pour S sont à exclure:
1) 400 est à exclure, car cela conduirait à la conclusion immédiate que A = B = 200.

2) Toutes les sommes de 103 à 399 sont à exclure. On peut les obtenir en additionnant un nombre compris entre 2 et 200 avec un nombre premier compris entre 100 et 200 (à savoir 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 et 199).

3) Toutes les sommes paires jusque 102 sont à exclure. Conformément à une conjecture vérifiée pour de très grands nombres, tout nombre pair peut se décomposer comme la somme de 2 nombres premiers. Pour les sommes paires jusque 102, ces nombres premiers sont bien compris entre 2 et 200.

4) En outre, 5, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 25, 31, 33, 39, 43, 45, 49, 55, 61, 63, 69, 73, 75, 81, 85, 91 et 99 sont à exclure, car on peut les obtenir en additionnant 2 (seul nombre premier pair) et un autre nombre premier.

Restent donc comme sommes possibles: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53, 57, 59, 65, 67, 71, 77, 79, 83, 87, 89, 93, 95, 97, 101 (25 possibilités)
De plus, toutes les sommes possibles étant impaires, l'on sait que si A est pair alors B est impair (et vice versa)

 #8 - 05-12-2007 09:53:28

FSRom1
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Dex nombres entre 2 et 100

Spoiler : Raisonnement - Épisode 3 "La revanche des Chiffres"
Patrick enchaîne en disant: "Si c'est comme ça, alors j'ai trouvé".
Cela implique que parmi les différents couples de diviseurs de P, il n'y en a qu'un où la somme des diviseurs donne une des sommes "autorisées".


Par exemple, P peut être de la forme P = 2^i * p, où p est un nombre premier et i>1. Dans ce cas, P admet 2*(i+1) diviseurs et alors:
- soit A et B valent 1 et (2^i*p).
- soit A et B valent 2^(i-j) et (2^j*p) avec 0<j<i.
- soit A et B valent 2^i et p.
La première proposition est rejetée par hypothèses, tandis que la deuxième est fausse car dans ce cas S = A+B est pair (somme interdite). Il ne reste donc que la 3e possibilité qui permet une conclusion sans équivoque.

 #9 - 05-12-2007 11:21:22

FSRom1
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Deux nombres entre 2 et 10

Spoiler : Raisonnement - Épisode 4 "Un Premier espoir"
Stéphane conclut par: "Ah bon? Alors moi aussi".
Cela implique que si la somme S peut s'écrire sous la forme S=a1+b1=a2+b2=..., alors il n'existe qu'un seul couple (ai,bi) dont le produit satisfait les mêmes propriétés que P.


On a:
11 = 2^2 + 7 = 2^3 + 3
23 = 2^2 + 19 = 2^4 + 7
27 = 2^2 + 23 = 2^3 + 19
35 = 2^2 + 31 = 2^4 + 19
37 = 2^3 + 29 = 2^5 + 5
47 = 2^2 + 43 = 2^4 + 31
51 = 2^2 + 47 = 2^3 + 43
57 = 2^2 + 53 = 2^4 + 41
67 = 2^3 + 59 = 2^6 + 3
71 = 2^2 + 67 = 2^6 + 7
77 = 2^2 + 73 = 2^3 + 61
79 = 2^3 + 71 = 2^5 + 47
83 = 2^2 + 79 = 2^4 + 67
93 = 2^2 + 89 = 2^5 + 61
95 = 2^4 + 79 = 2^6 + 31
101 = 2^2 + 97 = 2^6 + 37

On a donc pour ces sommes 2 décompositions du type S=2^i+p avec i>1 et p nombre premier. À chacune de ces décompositions correspond un produit P'= 2^i * p, qui satisfait les conditions portant sur P (cf. épisode 3). On peut donc éliminer ces sommes qui ne respectent pas la condition énoncée en tête de paragraphe.

 #10 - 05-12-2007 14:35:26

FSRom1
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Deux nombbres entre 2 et 100

Spoiler : Raisonnement - Épisode 5 "Les Produits contre-attaquent"
Pour les 8 sommes restantes, il faut pousser les recherches un peu plus loin.
Cependant, pour éliminer des sommes on recherche préférentiellement les décompositions faisant apparaitre des puissances de 2 et des multiples de grands nombres premiers. Ainsi on a plus de chances d'éliminer des couples de diviseurs pour motif de somme paire ou de somme supérieure à 103 et donc de trouver 2 décompositions satisfaisant les conditions sur P, condition suffisante pour exclure la somme considérée.

- 97 = 93 + 2^2 = 89 + 2^3
La première décomposition livre un produit de 372. Parmi les couples de diviseurs, on a : 1 et 372 (hors hypothèses), 2 et 186 (somme paire), 3 et 124 (somme > 101), 4 et 93 (somme admise), 6 et 62 (somme paire), 12 et 31 (s=43 somme interdite). 372 se conforme aux conditions sur P.
Le produit issu de la deuxième décomposition est de la forme 2^i*p et est donc lui aussi conforme aux conditions sur P.
97 est à exclure

- 89 = 73 + 2^4 = 25 + 2^6
La première décomposition livre un produit de la forme 2^i*p et la seconde un produit de 1600. Ce produit admet 11 couples de diviseurs dont seul le couple (25,64) donne une somme conforme.
89 est à exclure pour la même raison que précédemment.

- 65 = 61 + 2^2 = 49 + 2^4
La première décomposition livre un produit de la forme 2^i*p et la seconde un produit de 784 qui admet 8 couples de diviseurs dont seul le couple (16,49) donne une somme conforme.
65 est à exclure pour la même raison que précédemment.

- 59 = 43 + 2^4 = 55 + 2^2
La première décomposition livre un produit de la forme 2^i*p et la seconde un produit de 220 qui admet 6 couples de diviseurs dont seul le couple (4,55) donne une somme conforme.
59 est à exclure pour la même raison que précédemment.

- 53 = 37 + 2^4 = 21 + 2^5
La première décomposition livre un produit de la forme 2^i*p et la seconde un produit de 673 qui admet 12 couples de diviseurs dont seul le couple (21,32) donne une somme conforme.
53 est à exclure pour la même raison que précédemment.

- 41 = 37 + 2^2 = 25 + 2^4
La première décomposition livre un produit de la forme 2^i*p et la seconde un produit de 400 qui admet 8 couples de diviseurs dont seul le couple (16,25) donne une somme conforme.
41 est à exclure pour la même raison que précédemment.

- 29 = 13 + 2^4 = 27 + 2
La première décomposition livre un produit de la forme 2^i*p et la seconde un produit de 54 qui admet 4 couples de diviseurs dont seul le couple (2,2) donne une somme conforme.
29 est à exclure pour la même raison que précédemment.

La seule somme S qui nous reste est S=17

 #11 - 05-12-2007 14:42:46

FSRom1
Passionné de Prise2Tete
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Deux nombres entre 2 et 10

Spoiler : Raisonnement - Épisode 6 "Le retour du cqfdi"
Par élimination, il ne nous reste que S=17. Il convient cependant de vérifier que ce résultat est vrai.
Stéphane ne peut décomposer S que de 7 manières:
17 = 2+15 = 3+14 = 4+13 = 5+12 = 6+11 = 7+10 = 8+9

- Si 17=2+15 le produit est 30. Parmi les 4 couples de diviseurs de 30, (2,15) et (5,6) ont une somme non interdite par les conditions de l'épisode 2.   
- Si 17=3+14, le produit est 42. Parmi les 4 couples de diviseurs de 42, (2,21) et (3,14) ont une somme "non interdite".
- Si 17=4+13, le produit est 52. Parmi les 6 couples de diviseurs de 52, seul (4,13) a une somme "non interdite". 
- Si 17=5+12, le produit est 60. Parmi les 6 couples de diviseurs de 60, (3,20) et (5,12) ont une somme "non interdite".- Si 17=6+11, le produit est 66. Parmi les 4 couples de diviseurs de 66, (2,33) et (6,11) ont une somme "non interdite".
- Si 17=7+10, le produit est 70. Parmi les 4 couples de diviseurs de 70, (2,35) et (7,10) ont une somme "non interdite".
- Si 17=8+9, le produit est 72. Parmi les 6 couples de diviseurs de 72, (3,24) et (8,9) ont une somme "non interdite".

S=17 est bien la seule somme qui admet UN SEUL couple (a,b) où a+b=S et tel que le produit ab vérifie les conditions portant sur P.

Ce couple unique étant (4,13), par identification: A=4 et B=13. CQFD.

 #12 - 05-12-2007 14:57:03

dhrm77
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Deux nombres entre 2 te 100

Un peu tard, apres FSROM1, mais comme ma technique est legeremewnt differente, voici mon éxplication de la solution de l'énigme Produit & Somme:
Spoiler : [Afficher le message]
J'ai d'abord écrit un programme qui calcule tous les produits et toutes les sommes pour 2 nombres de 2 à 100, en prenant soin de ne pas dupliquer une operation. Ensuite je compte le nombre de fois que j'obtient chaque produit. Puisque Stephane dit a Patrick qu'il sait que Patrick ne peut pas determiner les 2 nombres, donc on apprend que le produit ne peut pas être fait de facon unique.
Par exemple 21 ne peut etre fait que par 3*7 (produits de 2 nombres premiers) mais egalement 2328 ne peut etre que le produit de 24*97 puisque 97 est premier, 2328 ne peut pas etre le produit de 12 *194 parce que 194 est superieur a 100. Donc en fait on elimine tous les produits de nombre premiers superieurs a 50. Donc on elimine toutes les sommes qui peuvent etre faite avec un couple A & B quelconque dont le produit peut etre fait de facon unique. Par exemple 10 peut etre fait par 7+3 et 7*3 est la seule facon de faire 21. Donc on elimine 10 comme somme potentielle.

Ce qui reste est cette liste:
a=2 b=9 p=18 s=11
a=2 b=15 p=30 s=17
a=2 b=21 p=42 s=23
a=2 b=25 p=50 s=27
a=2 b=27 p=54 s=29
a=2 b=33 p=66 s=35
a=2 b=35 p=70 s=37
a=2 b=39 p=78 s=41
a=2 b=45 p=90 s=47
a=2 b=51 p=102 s=53
a=3 b=8 p=24 s=11
a=3 b=14 p=42 s=17
a=3 b=20 p=60 s=23
a=3 b=24 p=72 s=27
a=3 b=26 p=78 s=29
a=3 b=32 p=96 s=35
a=3 b=34 p=102 s=37
a=3 b=38 p=114 s=41
a=3 b=44 p=132 s=47
a=3 b=50 p=150 s=53
a=4 b=7 p=28 s=11
a=4 b=13 p=52 s=17
a=4 b=19 p=76 s=23
a=4 b=23 p=92 s=27
a=4 b=25 p=100 s=29
a=4 b=31 p=124 s=35
a=4 b=33 p=132 s=37
a=4 b=37 p=148 s=41
a=4 b=43 p=172 s=47
a=4 b=49 p=196 s=53
a=5 b=6 p=30 s=11
a=5 b=12 p=60 s=17
a=5 b=18 p=90 s=23
a=5 b=22 p=110 s=27
a=5 b=24 p=120 s=29
a=5 b=30 p=150 s=35
a=5 b=32 p=160 s=37
a=5 b=36 p=180 s=41
a=5 b=42 p=210 s=47
a=5 b=48 p=240 s=53
a=6 b=11 p=66 s=17
a=6 b=17 p=102 s=23
a=6 b=21 p=126 s=27
a=6 b=23 p=138 s=29
a=6 b=29 p=174 s=35
a=6 b=31 p=186 s=37
a=6 b=35 p=210 s=41
a=6 b=41 p=246 s=47
a=6 b=47 p=282 s=53
a=7 b=10 p=70 s=17
a=7 b=16 p=112 s=23
a=7 b=20 p=140 s=27
a=7 b=22 p=154 s=29
a=7 b=28 p=196 s=35
a=7 b=30 p=210 s=37
a=7 b=34 p=238 s=41
a=7 b=40 p=280 s=47
a=7 b=46 p=322 s=53
a=8 b=9 p=72 s=17
a=8 b=15 p=120 s=23
a=8 b=19 p=152 s=27
a=8 b=21 p=168 s=29
a=8 b=27 p=216 s=35
a=8 b=29 p=232 s=37
a=8 b=33 p=264 s=41
a=8 b=39 p=312 s=47
a=8 b=45 p=360 s=53
a=9 b=14 p=126 s=23
a=9 b=18 p=162 s=27
a=9 b=20 p=180 s=29
a=9 b=26 p=234 s=35
a=9 b=28 p=252 s=37
a=9 b=32 p=288 s=41
a=9 b=38 p=342 s=47
a=9 b=44 p=396 s=53
a=10 b=13 p=130 s=23
a=10 b=17 p=170 s=27
a=10 b=19 p=190 s=29
a=10 b=25 p=250 s=35
a=10 b=27 p=270 s=37
a=10 b=31 p=310 s=41
a=10 b=37 p=370 s=47
a=10 b=43 p=430 s=53
a=11 b=12 p=132 s=23
a=11 b=16 p=176 s=27
a=11 b=18 p=198 s=29
a=11 b=24 p=264 s=35
a=11 b=26 p=286 s=37
a=11 b=30 p=330 s=41
a=11 b=36 p=396 s=47
a=11 b=42 p=462 s=53
a=12 b=15 p=180 s=27
a=12 b=17 p=204 s=29
a=12 b=23 p=276 s=35
a=12 b=25 p=300 s=37
a=12 b=29 p=348 s=41
a=12 b=35 p=420 s=47
a=12 b=41 p=492 s=53
a=13 b=14 p=182 s=27
a=13 b=16 p=208 s=29
a=13 b=22 p=286 s=35
a=13 b=24 p=312 s=37
a=13 b=28 p=364 s=41
a=13 b=34 p=442 s=47
a=13 b=40 p=520 s=53
a=14 b=15 p=210 s=29
a=14 b=21 p=294 s=35
a=14 b=23 p=322 s=37
a=14 b=27 p=378 s=41
a=14 b=33 p=462 s=47
a=14 b=39 p=546 s=53
a=15 b=20 p=300 s=35
a=15 b=22 p=330 s=37
a=15 b=26 p=390 s=41
a=15 b=32 p=480 s=47
a=15 b=38 p=570 s=53
a=16 b=19 p=304 s=35
a=16 b=21 p=336 s=37
a=16 b=25 p=400 s=41
a=16 b=31 p=496 s=47
a=16 b=37 p=592 s=53
a=17 b=18 p=306 s=35
a=17 b=20 p=340 s=37
a=17 b=24 p=408 s=41
a=17 b=30 p=510 s=47
a=17 b=36 p=612 s=53
a=18 b=19 p=342 s=37
a=18 b=23 p=414 s=41
a=18 b=29 p=522 s=47
a=18 b=35 p=630 s=53
a=19 b=22 p=418 s=41
a=19 b=28 p=532 s=47
a=19 b=34 p=646 s=53
a=20 b=21 p=420 s=41
a=20 b=27 p=540 s=47
a=20 b=33 p=660 s=53
a=21 b=26 p=546 s=47
a=21 b=32 p=672 s=53
a=22 b=25 p=550 s=47
a=22 b=31 p=682 s=53
a=23 b=24 p=552 s=47
a=23 b=30 p=690 s=53
a=24 b=29 p=696 s=53
a=25 b=28 p=700 s=53
a=26 b=27 p=702 s=53

On voit que les seules sommes potentielles sont: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47 et 53.

Ensuite J'ai transporté cette liste sous excel. Et puisque Patrick dit a stephane "Si c'est comme ça, alors j'ai trouvé", alors ca signifie Patrick sait qu'une seule somme peut correspondre a son produit. donc j'ai eliminé toutes les lignes dont le produit n'est pas fait de facon unique. et il reste:
a=2    b=9    p=18    s=11
a=3    b=8    p=24    s=11
a=4    b=7    p=28    s=11
a=4    b=13    p=52    s=17
a=7    b=16    p=112    s=23
a=10    b=13    p=130    s=23
a=4    b=19    p=76    s=23
a=5    b=22    p=110    s=27
a=7    b=20    p=140    s=27
a=8    b=19    p=152    s=27
a=9    b=18    p=162    s=27
a=10    b=17    p=170    s=27
a=11    b=16    p=176    s=27
a=13    b=14    p=182    s=27
a=2    b=25    p=50    s=27
a=4    b=23    p=92    s=27
a=4    b=25    p=100    s=29
a=6    b=23    p=138    s=29
a=7    b=22    p=154    s=29
a=8    b=21    p=168    s=29
a=10    b=19    p=190    s=29
a=11    b=18    p=198    s=29
a=12    b=17    p=204    s=29
a=13    b=16    p=208    s=29
a=2    b=27    p=54    s=29
a=4    b=31    p=124    s=35
a=6    b=29    p=174    s=35
a=8    b=27    p=216    s=35
a=9    b=26    p=234    s=35
a=10    b=25    p=250    s=35
a=12    b=23    p=276    s=35
a=14    b=21    p=294    s=35
a=16    b=19    p=304    s=35
a=17    b=18    p=306    s=35
a=3    b=32    p=96    s=35
a=5    b=32    p=160    s=37
a=6    b=31    p=186    s=37
a=8    b=29    p=232    s=37
a=9    b=28    p=252    s=37
a=10    b=27    p=270    s=37
a=16    b=21    p=336    s=37
a=17    b=20    p=340    s=37
a=3    b=38    p=114    s=41
a=4    b=37    p=148    s=41
a=7    b=34    p=238    s=41
a=9    b=32    p=288    s=41
a=10    b=31    p=310    s=41
a=12    b=29    p=348    s=41
a=13    b=28    p=364    s=41
a=14    b=27    p=378    s=41
a=15    b=26    p=390    s=41
a=16    b=25    p=400    s=41
a=17    b=24    p=408    s=41
a=18    b=23    p=414    s=41
a=19    b=22    p=418    s=41
a=4    b=43    p=172    s=47
a=6    b=41    p=246    s=47
a=7    b=40    p=280    s=47
a=10    b=37    p=370    s=47
a=13    b=34    p=442    s=47
a=15    b=32    p=480    s=47
a=16    b=31    p=496    s=47
a=17    b=30    p=510    s=47
a=18    b=29    p=522    s=47
a=19    b=28    p=532    s=47
a=20    b=27    p=540    s=47
a=22    b=25    p=550    s=47
a=23    b=24    p=552    s=47
a=5    b=48    p=240    s=53
a=6    b=47    p=282    s=53
a=8    b=45    p=360    s=53
a=10    b=43    p=430    s=53
a=12    b=41    p=492    s=53
a=13    b=40    p=520    s=53
a=15    b=38    p=570    s=53
a=16    b=37    p=592    s=53
a=17    b=36    p=612    s=53
a=18    b=35    p=630    s=53
a=19    b=34    p=646    s=53
a=20    b=33    p=660    s=53
a=21    b=32    p=672    s=53
a=22    b=31    p=682    s=53
a=23    b=30    p=690    s=53
a=24    b=29    p=696    s=53
a=25    b=28    p=700    s=53
a=26    b=27    p=702    s=53
Maintenant, à cause de la derniere déclaration de Stephane "Ah bon? Alors moi aussi". On peut en deduire qu'il sait qu'un seul produit peut faire la somme qu'il a. Et dans cette derniere liste, seulle la somme de 17 peut etre faite de facon unique.
Donc a=4, b=13, p=52, s=17


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #13 - 05-12-2007 16:33:22

Bonswouar
Amateur de Prise2Tete
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Messages : 9

Deux nombres entre 2 et 10

Merci beaucoup pour vos explication, je crois avoir compris! big_smile

J'essaierais de poser cette énigme à mon prof de spécialité mathématiques pour voir s'il trouve..! (la décomposition en produit de facteurs premiers étant très étudiée en Spé Math en S)

 #14 - 05-12-2007 17:04:11

quaramba
Sage de Prise2Tête
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Messages : 1538
Lieu: Entre une chaise et un bureau

Dex nombres entre 2 et 100

C'est aussi étudié en spé maths en L big_smile


脱了裤子放屁

 #15 - 05-12-2007 23:14:08

Bonswouar
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 9

Deux nombres entrre 2 et 100

[Hors sujet] De toute façon, j'ai plutot l'impression que les programmes de spé math sont à peu près similaires pour toutes les sections générales, non? [/Hors sujet]

 #16 - 06-12-2007 01:19:23

scarta
Elite de Prise2Tete
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Deux nombre entre 2 et 100

Chapeau pour la demo en étape, chapeau aussi pour la recherche exhaustive (ça doit pas être facile facile ...)

 #17 - 06-12-2007 03:31:29

dhrm77
L'exilé
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Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Deux nobmres entre 2 et 100

On viens de me poser une question en privé:

Pourquoi la personne qui multiplie A=4 et B=13 AB=52 ne choisit pas A=2 et B=26?

Je reponds ici pour en faire profiter tout le monde:

Voici donc le point de vue des 2 joueurs:

Patrick recoit 52
Stephane recoit 17

Stephane sait que 17 peut etre fait par l'addition des couples de nombres suivants, et que leurs produits peuvent etre aussi fait d'une autre maniere:
2+15:  2*15 =30 = 6*5
3+14:  3*14=42 = 6*7
4+13:  4*13=52 = 2*26
5+12:  5*12=60 = 6 *10
6+11: 6*11=66 = 3 * 22
7+10: 7*10=70 = 5 * 14
8+9:  8*9 = 72 =   6 * 12
Donc il peut dire que Patrick ne peut pas savoir quels sont ces nombres.

Patrick qui a le 52 sait que les nombres sont soit 4*13 soit, 2*26.
Mais il sait aussi que si c'etait 2*26, la somme serait 28, et Stephane  n'aurait pas pu dire qu'il etait sur que Patrick ne puisse pas connaitre les nombre A & B juste en regardant le produit, puisque 28 peut par exemple etre la somme le 5 & 23 qui sont tous les deux premiers, donc qui font un produit unique. Donc il en deduit que ca ne peut pas etre 2 * 26.
Il est donc certain ques les nombres sont 4 et 13.

Quand Stephane apprend ca, il doit faire le raisonement que patrick vient de faire pour toutes les autres produits possibles ( 30, 42, 52, 60, 66, 70 et 72) et cherche celui pour lequel ce qu'il vient de dire, ne marche pas sauf une seul produit. Par exemple, comme il a la somme de 17.
il examine la possibilité 17=11+6
3 produits sont possibles pour 66: 2*33, 3*22 et 6*11
2+33=35, 35 est aussi 3+32, 4+31, 5+30.... la plupart des ces sommes ne peuvent pas etre eliminées parce que leur produits peuvent etre faits de plusieurs manieres. Donc Patrick n'aurait pas pu dire qu'il savait quels sont A&B si le produit etait 66. Meme raisonement pour les autres nombres sauf pour 42. (je simplifie un peu...)


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 #18 - 06-12-2007 08:04:53

FSRom1
Passionné de Prise2Tete
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Messages : 74

DDeux nombres entre 2 et 100

À la vue les echos qui ont suivi les démonstrations, je suis content de voir que malgré la lourdeur du raisonnement, ça n'a pas causé une épidémie de migraines wink En effet, j'ai beaucoup détaillé par moments, mais je voulais, contrairement à la simulation informatique, livrer quelque chose d'extrêmement rigoureux.
Maintenant il ne me reste plus qu'à souhaiter "Longue vie à Prise2tete.fr", comme cela je saurais où je pourrais retrouver ce raisonnement fort fastudieux sans devoir le retaper big_smile

PS : Je viens de remarquer que j'avais un peu allourdi le problème en admettant que A et B pouvaient être compris entre 2 et 200 (données du problème que j'avais rencontré ailleurs sur la toile), alors que l'énigme ici présente se limitait à A et B compris entre 2 et 100.

 #19 - 28-06-2013 21:41:59

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1234

Deux nombres entre 2 et 10

Ben moi j'ai cru que deux n'était pas compris entre deux et 100.
j'ai trouvé 4 et 9 c'est pas bon?

 #20 - 28-06-2013 22:37:30

vladimir37
Expert de Prise2Tete
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Deux nombres entre 2 e t100

scarta a écrit:

Petite énigme mathématique, donc, que j'affectionne particulièrement.
Un prof de math un peu tordu tire au hasard deux nombres A et B compris entre 2 et 100, puis il fait venir au tableau Stephane et Patrick.
A Stephane, il communique la somme S de ces deux nombres.
A Patrick, il donne le produit P de ces deux nombres.

Stephane: "Patrick, je sais que tu ne peux pas trouver quels étaient A et B"
Patrick: "Si c'est comme ça, alors j'ai trouvé"
Stephane: "Ah bon? Alors moi aussi".

Voilà, à vous de chercher, quels étaient A et B?

Une autre manière de voir les choses, plus synthétique et plus claire
Considérons que:
[TeX]A+B=S[/TeX]
et
[TeX]A*B=P[/TeX]
Donc, on a:
[TeX]A=(S-\sqrt{S*S-4*P})/2[/TeX]
et
[TeX]B=(S+\sqrt{S*S-4*P})/2[/TeX]
Faites l'essai avec P=52 et S =17.
Vous retrouvez A=4 et B=13.

 #21 - 28-06-2013 23:06:07

SabanSuresh
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Lieu: Paris

deux nombrrs entre 2 et 100

En fait c'est A=4 et B=13 mais c'est beaucoup plus clair.

 #22 - 28-06-2013 23:09:58

vladimir37
Expert de Prise2Tete
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Deux nombres entre 2 et 010

C'est rectifié mais les formules sont correctes. Un autre essai avec P=74 et S=39 pourrait vous convaincre.

 

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(4) — Trouver deux nombres entiers dont la somme est 52 (4) — Les nombres premiers entre 50 et 100 (4) — 130 et 232 sont ils premier entre eux (4) — Nombre premier enigme (4) — Multiple de 2 compris entre 23 et 37 (4) — Multiple de 12 compris entre 60 et 132 (4) — Multiple comprise entre 20 et 50 (4) — Determiner tous les multiples de 12 compris entre 60 et 132 (4) — Enigme + somme de deux nombres + produit de deux nombres (4) — Entre 2 et 200 (4) — Nous sommes deux nombres entiers.notre somme est 25 et notre produit est 154 (4) — Multiples de 20 compris entre 140 et 300 (4) — Probleme des deux entiers entre 2 et 100 (4) — Deux paires de nombres dont le produit est 72 (4) — Deux nombre entier dont la somme est 52 et la difference est 12 (3) — Deux nombres compris entre 2 et 99. (3) — Dans chaque ca trouve deux paires de nombres dont le produit est 72? (3) — Enigme nombre somme produit (3) — Trouver deux nombres compris entre 2 et 100 (3) — Trouve deux nombres entiers dont la somme est 52 et la difference12 (3) — Enigme nombre produit somme (3) — Nous sommes deux nombres entier notre somme est 27 est notre produit 176 qui somme nous ? (3) — Nombre entier de 1 a 150 (3) — Multiple de 15 inferieur a 100 (3) — 2 nombre entier dont la somme est 52 (3) — Explication nombre entier dont la somme est 52et la difference est 12 (3) — Decomposer 294 en un produit de puissances 6 et de 7 (3) — Enigme produit somme 2 200 (3) — 2 nombre entiers dont la somme est 52 la diffrence est 12 (3) — Multiple de 51 (3) — Nombre ou chiffre entre 100 et 150 (3) — Devinette choisis un nombre (3) — Trouver deux nombres entiers dont la somme est 52 est la difference est 12 (3) — Decomposer 294 en produit de (3) — Enigme s et p nombre entre 2 et 200 (3) — Quels sont les multiples de 8 entre 110 et 140 (3) — Enigme somme produit deux nombres (3) — Deux nombres compris entre 2 et 99 (3) — Nombres premiers entre 2 et 100 (3) — Multiple de 6 et de 8 compris entre 100 et 130 (3) — 51 47 50 45 46 48 (3) — Nombre premiers superieur a 100 (3) — Trouver tout les calculs de 1 a 100 apratir de 4 nonbre au choit (3) — Retrouver le multiple de 30 superieur (3) — Trouver 2 nombres dont la somme est egal a 57 et le produit egal a 540 (3) — Calcule la somme de 97 et du produit de 16 et 23? (3) — Je ne vois pas comment tu pourrais trouver les deux chiffres (3) — Nous sommes deux nombres notre somme est egale a 11 notre difference est egale a 3 (3) — Nombre premier compris entre 100 et 200 (3) — Multiple de 9 et je suis un nombre compris entre 100et200 (3) — Quelq sont les nombres entiers entre 2 et 99 (3) — Le multiple de 2 comprise entre 77 et 93 (3) — Citer deux nombres entiers compris entre 20 et 50 premiers entre eux (3) — Enigme nombres somme produit (3) — Decomposer les nombres selon 3 facon (3) — Deux nombres entiers dont la somme est 52 et la difference est 12 (3) — Un nombre entier compris entre 100 et 150 (3) — Soient a et b deux nombre entiers compris entre 2 et 100. (3) — Les multiples de 2 entre 20 et 50 (3) — La somme de deux nombre est egale a 100 et sa difference 74 (3) — Nombre de facteur possible dans le produit ou la somme est 42 (3) — Nombres premiers entre 0 et 100 (3) — Somme produit enigme math (3) — Eliminer deux nombre de somme 12 et de produit 32 (3) — Soient deux nombres entre 2 et 99 (3) — Un nombre entier: est compris entre 100 et 150 (3) — Nombre premier entre 140 et 160 (3) — Je suis un nombre entier compris entre 1523 et 612 (3) — La somme des deux nombres est 25 et le produit154 (3) — Probleme+somme+produit (3) — Trouver le nombre choisi (3) — Ecrire les multiples de 20 compris entre 140 et 300 (3) — Quelles sont les multiples de 50 (3) — Les nombres premiers superieurs a 100 (3) — Nombre inferieur a 100 (3) — Quel sont les multiples de 4 comprise entre 150 et 162 (3) — Nombres premiers de 100 a 200 (3) — Les multiples de 2 entre 100 et 200 (3) — Nombre entier entre 100 et 150 (3) — Choisi un nombre entre 1 et 10 (3) — Nous sommes deux nombres entiers notre somme est 25 notre produit est 154 (3) — 2 99 somme produit (3) — Multiple de 25 compris entre 100 et 300 (3) — Multiples de 2 entre 23 et 37 (3) — Nous sommes 2 nombres entiers notre somme est 27 notre produit est 176 (3) — Soit deux nombres entre 2 et 99 (3) — Excel le nombre doit etre compris entre 10 et 400 (3) — Nombre multiplie par la somme des chiffres egale 336 (3) — Nombres premiers compris entre 15 et 30 (3) — Un prof de math un peu tordu tire au hasard deux nombres a et b compris entre 2 et 100 puis il fait venir au tableau stephane et patrick. (3) — 2 100 produit somme (3) — Ecrit les multiples de 20 compris entre 140 et 300 (3) — Enigme nombre 100 (3) — 2 produit 100 somme (3) — Decompose les nombres de deux manieres (3) — Trouver 2 nombre entier dont la somme est 52 et la difference est 12 (3) — Age doit etre compris entre 13 et 99 (3) — Nombre de deux chiffre multiplier par le produit on optient 336 (3) — Nombre premier entre 100 et 200 (3) — Somme et produit de deux nombres premiers entre eux (3) — Chercher tous les produits de facteurs des nombres de 61 a 70 (3) — Trouver un nombre entier compris entre 100 et 150 (3) — Enigme la somme et le produit (3) — Choisis 3 nombre paires entre 40 et 50 (3) — Enigme 2 nombres produit somme (3) — La somme du produit d un certain nombre par 4 et du produit de ce meme nombre par 6 est 310 (3) — Un prof de math tire au hasard deux nombres a et b compris entre 2 et 100 puis il fait venir au tableau stephane et patrick. a stephane il communique la somme s de ces deux nombres. a patrick il donne le produit p de ces deux nombres. stephane: patrick je sais que tu ne peux pas trouver quels etaient a et b patrick: si c est comme ca alors j ai trouve stephane: ah bon? alors moi aussi. trouver a et b (3) — Enigme mathematique deux nombres entre 1 et 100 (3) — Un prof de math tire au hasard deux nombres a et b compris entre 2 et 100 puis il fait venir au tableau stephane et patrick. a stephane il communique la somme s de ces deux nombres. a patrick il donne le produit p de ces deux nombres. stephane: patrick je sais que tu ne peux pas trouver quels etaient a et b patrick: si c est comme ca alors j ai trouve stephane: ah bon? alors moi aussi. (3) — +2 - 9 - 20 - 51 - 107 (3) — #4 re: accueil du cercle prive ? 26-08-2010 14:05 (3) — Enigme nombre premier (3) — Enigme 2 nombres somme produit (3) — Je suis a la fois un multiple de 6 et de 8 et je suis compris en tre 100 et 130 (3) — Choisi un chiffre entre 1 et 10 (3) — Trouver deux nombres entiers dont somme est 52 difference 12 (3) — Quel sont les deux nombres qui on comme somme 15 et en produit 36 (3) — Multiple de 37 compris entre 240 et 280 (3) — Enigmes & le nombre 50 (3) — Enigme choisi un nombre entre 11 et (3) — Comment rouver 532 avec les chiffres 47322550 (3) — Entre 2 nombres (3) — Cite les multiples de 12 compris entre 100 et 150 (3) — Cherche 2 nombres dont la somme est 150 et la difference est 78 (3) — Si les sommes obtenues sont 78 59 et 43 retrouver les trois nombres choisis. (3) — Deux nombres ont pour produit 36 et pour somme 15 quels sont ces nombres? (3) — Deux nombre entre 2 et 100 la sonne le produit (3) — La liste de nombres premier et impairs entre 100 et 150 (3) — 2 nombres ont pour somme 52 et pour difference 12. quels sont ces deux nombres ? (3) — Enigme mathematique pour trouver le chiffre 150 (3) — Nous sommes deux nombres entiers notre somme est 27 notre produit est 176 (3) — La somme de 60 et du produit de 29 par 19 (3) — Choisi un nombre etre 1 et 100 (3) — Enigme deux nombres produit somme (3) — Nombres somme egale 52 difference egale 12 (3) — Entre deux nombre (3) — Stephane: patrick je sais que tu ne peux pas trouver quels etaient a et b patrick: si c est comme ca alors j ai trouve stephane: ah bon? alors moi aussi. (3) — Enigme on choisi deux nombres (2) — A est le produit de 17 par la somme de 3 et de 25 (2) — Multiples de 25 compris entre 0 et 400 (2) — Les nombre premier de 100 a 200 (2) — Chercher les multiple de 2 compris entre 65 et 83 (2) — Multiple de 2 3 4 5 compris entre 50 et 100 (2) — Quels sont les nombres dont la somme est 26 et le produit 96 (2) — Notre somme est 20 et notre produit est 96 qui somme nous (2) — +mathematiques +deux nombres ont pour somme (2) — Soient deux nombres entiers a et b (entre 2 et 200 inclus) (2) — Quelles sont les nombres premier inferieure a100 (2) — Le produit des trois nombres de la ligne a soit egal a 286 (2) — Decomposer 204 en produits de nombres premiers (2) — Egnime des deux nombres (2) — Nombre premier superieur a 200 (2) — Devinette sur les nombres entiers (2) — Determiner le nombre de couple dans excel (2) — Deux nombres entiers m et n entre 2 et 100 somme produit (2) — Nombres premiers de 2 a 200 (2) — Quels nombre entiers sont compris entre 69 et 101 (2) — Enigme je ne peux pas determiner les deux nombres. (2) — Nous sommes 2 nombres superieurs a 10 et inferieur a 50 notre somme est 57 notre difference 19 nous sommes? (2) — La somme le produit 2 99 (2) — Nombres compris (2) — Les nombres premiers de 2 a200 (2) — Nombre entier compris entre 1523 et 612 (2) — Je suis compris entre 200 et 300; je suis multiple de 5 et 7 mais pas de 2 (2) — Somme et produit entiers compris entre 2 et 200 (2) — 25 et 30 sont-ils des nombres premiers entre eux ? (2) — Resultat de math:nous sommes deux nombres entiers.notre somme est 25 notre produit est 154 qui sommes nous? (2) — La somme de deux nombres est egale a 36 et le produit est egal a 348 (2) — Les multiple de 2entre 77 et93 (2) — Les multiples de 9 comprise entre 100 et 200 (2) — Le produit de 378 la somme de 41 qui sui je ? (2) — Somme de 25 et notre produit de 154 (2) — Comment calculer un multiple de 2 3 et 5 dont les chiffres sont comprit ent (2) — Enigme mathematique 2 8 9 23 59 102 (2) — Les multiple de 30 a 200 (2) — Mathematicien somme produit (2) — Le produit de deux nombres est toujours superieur a la somme de ces deux nombres (2) — Somme de deux nombres multiple de leur produit (2) — Trouver trois nombre entier dont le produit est 336 (2) — Les nombres pair entre 25 et 30 (2) — Somme entre deux chiffres (2) — Tous les nombres pairs de 180 a 238. (2) — Decompose le nombre 150 (2) — Ecris la liste des nombres a deux chiffres des chiffres etant choi sis parmi 5 3 7 utilise chaque chiffre une seule fois (2) — Trouvez deux nombres dont la somme est 23 et le produit 112 (2) — Quelles sont les paires des nombre premiers entre 45 18 11 55 2 (2) — Enigme somme et produit de deux nombres (2) — On considere la liste suivante 45 18 11 55 2 les nombres premiers (2) — Trouver deux nombres dont la somme est egale a 57 et le produit egal a (2) — Wizard 12b35 (2) — Quel sont les multiples de 20 compris entre 140 et 300 (2) — 2 nombres entre 2 et 99 (2) — Quel sont les produits egaux a 20 (2) — Difference entre le produit de 35 par 100 et 51 (2) — Trouver un lien entre 2 et 9 3 et 27 (2) — Nombre entre 0 et 100 2/3 (2) — On choisit deux nombres entre 2 et 100 (2) — 2 nombres dont la somme est 70 et la difference est 12 (2) — Multiples de 25 compris entre 0et 400 (2) — Probleme mathematique 2 200 produit somme (2) — Multiples de 2 entre 100 et 200 (2) — Je suis compris entre 1 et 100. je suis un multiple de 25. et je suis impai (2) — Je cherche les multiples de 20 compris entre 140 et 300 (2) — Somme et produit de 2 nombres (2) — Trover les multiples de 150 (2) — Enigme mathematique des nombres de 1 a 99 (2) — Multiple de 11 compris entre100 et 200 (2) — Deux nombres compris entre deux et cent (2) — 45 18 11 55 2 les paires de nombres premiers entre eux (2) — Deux nombres entiers dont la somme est 52 (2) — Devinette produit somme (2) — Deux nombres pairs compris entre 90 et 100 (2) — 5 8 et 100 nombre compris entre 100 et 150 (2) — Dans 305 quelle sont les nombre egaux (2) — Je suis compris entre 1 et 100 et j ai trois diviseurs et je suis pair (2) — Enigme 2 nombres premiers entre 2 et 100 (2) — Enigme produit deux nombres somme deux nombre (2) — Multiple de 2 de 100 a 200 (2) — Enonce de probleme dont les nombres sont 50 (2) — Trouver 2 nombres dont la sommes est 150 (2) — On choisit 2 nombres entre 2 et 100 (2) — Nombre de chiffres entre 1 et 99 (2) — Un programme de c++ qui calcule les nombres premiers jusqu a100 (2) — Je suis un nombre de 3 chiffres multiple de 2345 et 9 superieur a 100 et inferieure a 200 qui suis je ? ou trouver la reponse (2) — Produit de deux nombre (2) — Decomposer un nombre premier en additionnant (2) — Solution nombre entier entre 43 et 57 (2) — Trouver deux nombres premiers dont la somme est egale a 52 et la difference 12 (2) — Connaitre math multiple compris (2) — L enigme des deux nombres (2) — Nous sommes deux nombres entiers.notre sommes est 20 notre produit est 96. qui sommes nous (2) — Les nombres premiers du 01 a100.2 (2) — Nous sommes deuxnombres entier. notre sommes est de 27 (2) — Choisi un nombre entre 1 et 100 (2) — Je suis compris entre 1 et 100 j ai 3 diviseurs je suis pair (2) — Comment faire la difference entre le produit de 35 par 100 et 51 (2) — Quels sont les multiples de 2 (2) — Enigme 2 nombre (2) — Decomposer 294 en un produit de puissance (2) — Decomposition en somme de nombres premiers (2) — Comment ecrire le nombre 15 comme une somme de deux produits (2) — Trouver 2 nombres entiers tels que la difference est egale a 14 et la somme multipliee par 2 soit egale a 130 (2) — Solution multiple de 9 comprise entre 100 et 200 (2) — Nombres compris entre 200 et 300 (2) — Tous les multiples de 15 inferieurs a 100 (2) — Quels sont les multiples de 11 entre 100 et 200 (2) — Quel est la somme des nombres de 1 a 100 compris ( 1+2+3....+99+100)? (2) — Tous les nombres premiers superieurs a 200 (2) — A^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) (2) — Produit somme 2 mathematiciens enigme je ne peux pas trouver (2) — Trouve 2 nombres dont la somme est 41 et la difference 11 (2) — Multiple entre 25 et 100 (2) — Additionne les cent premiers nombres entiers hors 0 (2) — Solution pour deux nombres dont la somme soit 23 et le produit 102 (2) — La solution de l egnigme de la somme de nombres entre 1 et 100 (2) — Patrick je sais que tu ne peux pas trouver quels etaient a et b (2) — Les multiple de 12 compris entre 100 et 150 (2) — La somme des nombres entre 1 et 100 (2) — Je suis un nombre entier compris entre 100 et 2oo (2) — La somme de deux nombres est egale a 83 et la difference de ces 2 nombres est egale a 19 . determiner ces deux nombres (2) — Multiple de 9compris entre 100 et 150 (2) — Nombre entier paire premier entres eux (2) — Deux nombres dont la somme est 41 et la difference 11 (2) — Existe t-il deux nombres dont la somme est egales a 8 et le produit egal a 5 ? (2) — Ecriture nombre 2 200 (2) — Multiple de 17 inferieur a 200 (2) — Une devinette : dux nombres ont pour somme 300. (2) — La difference de deux nombres a trois chiffres est un multiple de 99 (2) — Enigme somme de 1 a 100 (2) — Je ne peux pas trouver ces deux nombres ha je le (2) — Trouver 2 nombres dont la sommes est 150 et la difference est de 78 (2) — Excel compris entre 2 valeurs (2) — Enigme 250 et 300 en pile de de 2 3 et 5 restant 1 (2) — Combien y a t il de nombres entiers compris entre 100 et 200 dont les seuls (2) — Deux nombres compris entre 5 et 200 (2) — Multiple de 2 compris entre 20 et 50 (2) — Quel est le multiple de 6 et de 8 compris entre 100 et 130 (2) — La somme entre deux nombre (2) — Devinette mathematique produit somme 2 99 (2) — Comment trouver 160 avec les chiffre 3 6 7 10 (2) — Trouver 2 nombres entier dont la somme est 52 et la difference est 12 (2) — 2 et 99 somme produit (2) — Recherche de la somme des 100 premier nombre (2) — Produit des nombres entiers compris entre 1 et 2007 (2) — Decomposer 294 (2) — Quels sont les nombres premiers entre 100 et 150 (2) — Je suis un nombre entier entre 100 et 200 (2) — Trouve 2 nombres entier qui verifient les conditions somme egale 15 produit egal 36 (2) — Est il vrai de dire que le produit de deux nombres est toujours superieur (2) — Nombre superieur a 2 (2) — Enigme nombre 2 100 (2) — Produit 154 somme 25 (2) — 52 somme de deux nombre entier (2) — On choisit deux nombres compris entre 5 et 200 (2) — L enigme des deux nombres entre (2) — La somme des produits de 11 par 17 et de 21 par 28 (2) — Donne la reponse la somme de deux nombre pair (2) — Enigme 2 et 100 (2) — Decomposition somme nombre premier (2) — Exemples de nombres premiers entre eux (2) — Quels sont les multiples de 9 entre 50 et 150 (2) — 2 nombres ont produit 36 et pour somme15 (2) — Produit somme je sais (2) — Nombre entier compris entre 124 et 4532 (2) — Trouver deux nombres (2) — Excel : compris entre 60 et 69 (2) — Je suis compris entre 1 et 100 j ai 3 diviseurs je suis pair. je suis : (2) — On choisit deux nombres entre 2 et 100. (2) — Soient deux nombres entiers a et b (entre 2 et 200 inclus). (2) — A b somme produit 2 200 (2) — Additionner tous les nombres entiers de 1 a 200 (2) — Objets caches (2) — Multiple de 8 compris entre 52 et 107 (2) — Effectuer le produit entier compris entre 1 et 2007 (2) — La somme des deux nombre est 65 et leur difference 17 (2) — 11entre0 et 154 (2) — Ecris les multiples de 20 compris entre 140 et 300 reponse (2) — Alors j ai trouve somme produit (2) — Enigme savant deux nombre somme produit (2) — Nombres premiers entre eux (2) — La somme du produit de 3 par 8 et de 25 (2) — Deux nombre entier dont la somme est 52 (2) — Il y a deux nombres a et b compris entre 2 et 100 (2) — Nombre de 2chiffres egaux a 7 fois la somme de leur chiffre (2) — Nombre unique 3 chiffre 3 diviseur (2) — Quels sont les nombres premiers de 2 a 20 (2) — Nombre entiers compris entre (2) — La solution pour trouver cinq multiples de 9 entre 50 et 150 (2) — Trouver 2 nombres entiers egal a 52 (2) — Enigmes la difference entre deux nombres est 25 (2) — Quelle sont les multiple de 15 inferieur a 100 (2) — Enigme produit et somme de nombres (2) — On considere deux nombres dont la somme est 400 (2) — Enigme mathematique somme produit entre 2 et 100 (2) — Liste des produits de deux nombres entier (2) — Quelles sont les 2 nombres qui ont pour somme 52 et difference 12 (2) — Nombres premiers entre 140 et 160 (2) — Je suis le plus grand multiplede 5 inferieur a99 (2) — Somme produit 2 et 99 (2) — Un nombre compris entre 100 et 150 (2) — Quelle sont les multiples de 2 compris entre 20et50 (2) — 2 nombres produit somme (2) — Deux nombre ont pour somme 200 (2) — Deux profs de math enigme (2) — Ecrits tous les nombres premiers compris entre 50 et 60 (2) — Enigme la somme (1+2+3...+99+100) (2) — Nombres premiers entre eux jusqu a 200 (2) — Nombre paire et somme egale a 50 (2) — Quelles sont des multiples impairs de 3 compris entre 1 et 72 inclus (2) — Diviseur de 56 (2) — Quel sont les multiple de 150 (2) — Quels sont les multiples de 20 compris entre 140 et 300 (2) — Decompose 294 en un produit de puissance de 6 et de 7 (2) — Entre et-100-2 (2) — Trouve 2 nombre dont la somme est 100 et la difference 74 (2) — Trouver deux nombres dont la somme est egale a 27 et le produit egal a 180 (2) — Quelqsont le nmbre de chiffres pour chaque jeu de hasard (2) — Quels sont les couples de nombres premiers entre eux dont le produit est 42 (2) — Je suis un nombre superieur a 100 (2) — 2 a 100 nombres enigmes (2) — Quels sont tout les multiple de 2 3 et 5 compris entre 100 et 300 (2) — Nombre premier entre 100 et 150 (2) — Nombre 67 (2) — Nombre entre 30 et 100 (2) — Calcule toutes les sommes possibles de deux nombres (2) — Somme et produit compris entre 2 et 200 (2) — Tout les multiple de 9 compris entre 100 et 150 (2) — Trouver somme produit enigme (2) — Ecris la liste des multiple de 2 compris entre 20 et 50 (2) — Trouve 2 nombres dont la somme est 100 et la difference 74 (2) — Enigme chiffre somme quotient (2) — Deux mathematiciens somme produit (2) — Differences qu il est possible d obtenir entre deux nombres (2) — Entre 2 et 100 probleme (2) — Termes dont la sonne est egale au produit (2) — Quels nombres sont egal a 26 (2) — Deux nombres entiers entre 2 et 200 (2) — Multiple de 9 entre 100 et 150 (2) — Nombre entier combien de 9 entre 0 et 100 (2) — Produit et somme (2) — Existe t il deux nombre don la somme est 100 est la difference est 2 (2) — Nombre entre 100 et150 multiple de 2 3 et7 (2) — Nombres premiers entre eux 2 11 18 45 55 (2) — Trouver un nombre dont la somme est 52 et la difference 12 (2) — Un nombre compris entre 0 et 99 (2) — Exercice de maths: les entiers a et b sont premiers entre eux les entiers b et c sont prmiers entre eux peut-on en deduire que a et c sont premiers entre eux? trouve un contre exemple (2) — On considere la liste suivante : 45; 18; 11; 55; 2 (2) —

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