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 #1 - 03-12-2007 20:54:56

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1533

Dexu nombres entre 2 et 100

Petite énigme mathématique, donc, que j'affectionne particulièrement.
Un prof de math un peu tordu tire au hasard deux nombres A et B compris entre 2 et 100, puis il fait venir au tableau Stephane et Patrick.
A Stephane, il communique la somme S de ces deux nombres.
A Patrick, il donne le produit P de ces deux nombres.

Stephane: "Patrick, je sais que tu ne peux pas trouver quels étaient A et B"
Patrick: "Si c'est comme ça, alors j'ai trouvé"
Stephane: "Ah bon? Alors moi aussi".

Voilà, à vous de chercher, quels étaient A et B?



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 #2 - 04-12-2007 02:42:15

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

deux nombres enyre 2 et 100

J'ai commencé par ecrire un programme, et je trouvais 2 solutions:
Spoiler : [Afficher le message]
A=6 et B=17 pour une somme de 23 et un produit de 102.
ou
A=13 et B=22 pour une somme de 35 et un produit de 286.
qui sont bien des mauvaises solutions.. ou sont peut-etre des solutions d'un aute probleme (dont l'enoncé serait legerement different)

Puis je l'ai refait avec Excel et je trouve la solution unique:
Spoiler : [Afficher le message]
A=4 et B=13 pour une somme de 17 et un produit de 52.
Ceci est confirmé par plein de pages concernant ce probleme sur internet.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #3 - 04-12-2007 08:52:48

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1533

Deux nnombres entre 2 et 100

Tout à fait exact, mais à l'instar du problème des 4 couleurs, une démo "informatique" est très controversée. La réponse est donc exacte mais j'aimerai une démo mathématique :p

 #4 - 04-12-2007 17:28:08

FSRom1
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 74

Deux nombres entre et 100

Spoiler : Réponse
A et B valent 4 et 13.
En ce qui concerne le raisonnement menant à la bonne réponse, j'y étais parvenu il y a quelque temps, mais je n'ai plus tout en tête (ni le temps de m'étaler dans des raisonnements sans fin).
Je me souviens qu'il y a une bonne exploitation des nombres premiers, notamment au niveau du produit et du fait que la plupart des entiers de 4 à 400 peuvent se décomposer comme la somme d'un nombre premier et d'une puissance de 2.

 #5 - 04-12-2007 22:28:22

Bonswouar
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 9

Deux nombres enter 2 et 100

Serait-il possible d'avoir une explication sur la démarche à suivre pour trouver la solution?

Car malgrès le fait que j'ai lu vos spoiler, je ne comprends pas comment vous avez trouvé ça et pourquoi c'est juste...

 #6 - 05-12-2007 08:36:19

FSRom1
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 74

Deu nombres entre 2 et 100

Spoiler : Raisonnement - Épisode 1 "La menace polynôme"
Patrick dans le dialogue dit: "Si c'est comme ça, alors j'ai trouvé". Cela implique qu'il ne peut trouver A et B seulement à partir de P.

Cela permet d'éliminer plusieurs possibilités.
1) Supposons que A et B sont des nombres premiers p1 et p2. P admet donc 4 diviseurs (1, p1, p2 et p1p2). A et B étant 2 diviseurs de P qui, multipliés entre eux, donnent P, alors Patrick peut en conclure que:
- soit A et B valent 1 et p1p2, ce qui est à rejeter car A>1 et B>1 par hypothèses.
- soit A et B valent p1 et p2.
Dans ce cas de figure, Patrick trouverait alors directement A et B, ce qui est faux. Donc A et B sont sont pas 2 nombres premiers (compris entre 2 et 200)

2) Considérons la décomposition de P en nombre premiers (P = p1*p2*...*pn avec n>2 et le même nombre pouvant se répéter plusieurs fois). Supposons que l'un de ces facteurs premiers (p1 par exemple) est strictement supérieur à 100.
- Soit A et B valent p1*(un ou plusieurs autres facteurs premiers) et (le produit des facteurs premiers restant). Comme tout nombre premier est supérieur ou égal à 2, le facteur "p1*(un ou plusieurs autres facteurs premiers)" est strictement supérieur à 200. Tous ces cas sont donc à rejeter compte tenu des hypothèses.
- soit A et B valent p1 et p2*p3*...*pn.
Dans ce cas de figure, Patrick trouverait aussi directement A et B. Donc A et B sont des multiples de nombres premiers inférieurs à 100.

 #7 - 05-12-2007 09:05:55

FSRom1
Passionné de Prise2Tete
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Deux nombres entre 2 ett 100

Spoiler : Raisonnement - Épisode 2 "L'attaque des binômes"
Stéphane dans le dialogue dit: "Patrick, je sais que tu ne peux pas trouver quels étaient A et B".
Grâce aux déductions de l'épisode 1, cela implique que la somme S ne peut en aucun cas être obtenue:
- en additionnant 2 nombres premiers (entre 2 et 200).
- en additionnant 1 nombre supérieur ou égal à 2 avec le multiple d'un nombre premier supérieur à 100.


4 ≤ S ≤ 400 par hypothèses (397 sommes possibles). Mais bon nombre de possibilités pour S sont à exclure:
1) 400 est à exclure, car cela conduirait à la conclusion immédiate que A = B = 200.

2) Toutes les sommes de 103 à 399 sont à exclure. On peut les obtenir en additionnant un nombre compris entre 2 et 200 avec un nombre premier compris entre 100 et 200 (à savoir 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 et 199).

3) Toutes les sommes paires jusque 102 sont à exclure. Conformément à une conjecture vérifiée pour de très grands nombres, tout nombre pair peut se décomposer comme la somme de 2 nombres premiers. Pour les sommes paires jusque 102, ces nombres premiers sont bien compris entre 2 et 200.

4) En outre, 5, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 25, 31, 33, 39, 43, 45, 49, 55, 61, 63, 69, 73, 75, 81, 85, 91 et 99 sont à exclure, car on peut les obtenir en additionnant 2 (seul nombre premier pair) et un autre nombre premier.

Restent donc comme sommes possibles: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53, 57, 59, 65, 67, 71, 77, 79, 83, 87, 89, 93, 95, 97, 101 (25 possibilités)
De plus, toutes les sommes possibles étant impaires, l'on sait que si A est pair alors B est impair (et vice versa)

 #8 - 05-12-2007 09:53:28

FSRom1
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Deux nombers entre 2 et 100

Spoiler : Raisonnement - Épisode 3 "La revanche des Chiffres"
Patrick enchaîne en disant: "Si c'est comme ça, alors j'ai trouvé".
Cela implique que parmi les différents couples de diviseurs de P, il n'y en a qu'un où la somme des diviseurs donne une des sommes "autorisées".


Par exemple, P peut être de la forme P = 2^i * p, où p est un nombre premier et i>1. Dans ce cas, P admet 2*(i+1) diviseurs et alors:
- soit A et B valent 1 et (2^i*p).
- soit A et B valent 2^(i-j) et (2^j*p) avec 0<j<i.
- soit A et B valent 2^i et p.
La première proposition est rejetée par hypothèses, tandis que la deuxième est fausse car dans ce cas S = A+B est pair (somme interdite). Il ne reste donc que la 3e possibilité qui permet une conclusion sans équivoque.

 #9 - 05-12-2007 11:21:22

FSRom1
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deux nombres enyre 2 et 100

Spoiler : Raisonnement - Épisode 4 "Un Premier espoir"
Stéphane conclut par: "Ah bon? Alors moi aussi".
Cela implique que si la somme S peut s'écrire sous la forme S=a1+b1=a2+b2=..., alors il n'existe qu'un seul couple (ai,bi) dont le produit satisfait les mêmes propriétés que P.


On a:
11 = 2^2 + 7 = 2^3 + 3
23 = 2^2 + 19 = 2^4 + 7
27 = 2^2 + 23 = 2^3 + 19
35 = 2^2 + 31 = 2^4 + 19
37 = 2^3 + 29 = 2^5 + 5
47 = 2^2 + 43 = 2^4 + 31
51 = 2^2 + 47 = 2^3 + 43
57 = 2^2 + 53 = 2^4 + 41
67 = 2^3 + 59 = 2^6 + 3
71 = 2^2 + 67 = 2^6 + 7
77 = 2^2 + 73 = 2^3 + 61
79 = 2^3 + 71 = 2^5 + 47
83 = 2^2 + 79 = 2^4 + 67
93 = 2^2 + 89 = 2^5 + 61
95 = 2^4 + 79 = 2^6 + 31
101 = 2^2 + 97 = 2^6 + 37

On a donc pour ces sommes 2 décompositions du type S=2^i+p avec i>1 et p nombre premier. À chacune de ces décompositions correspond un produit P'= 2^i * p, qui satisfait les conditions portant sur P (cf. épisode 3). On peut donc éliminer ces sommes qui ne respectent pas la condition énoncée en tête de paragraphe.

 #10 - 05-12-2007 14:35:26

FSRom1
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deux nombres rntre 2 et 100

Spoiler : Raisonnement - Épisode 5 "Les Produits contre-attaquent"
Pour les 8 sommes restantes, il faut pousser les recherches un peu plus loin.
Cependant, pour éliminer des sommes on recherche préférentiellement les décompositions faisant apparaitre des puissances de 2 et des multiples de grands nombres premiers. Ainsi on a plus de chances d'éliminer des couples de diviseurs pour motif de somme paire ou de somme supérieure à 103 et donc de trouver 2 décompositions satisfaisant les conditions sur P, condition suffisante pour exclure la somme considérée.

- 97 = 93 + 2^2 = 89 + 2^3
La première décomposition livre un produit de 372. Parmi les couples de diviseurs, on a : 1 et 372 (hors hypothèses), 2 et 186 (somme paire), 3 et 124 (somme > 101), 4 et 93 (somme admise), 6 et 62 (somme paire), 12 et 31 (s=43 somme interdite). 372 se conforme aux conditions sur P.
Le produit issu de la deuxième décomposition est de la forme 2^i*p et est donc lui aussi conforme aux conditions sur P.
97 est à exclure

- 89 = 73 + 2^4 = 25 + 2^6
La première décomposition livre un produit de la forme 2^i*p et la seconde un produit de 1600. Ce produit admet 11 couples de diviseurs dont seul le couple (25,64) donne une somme conforme.
89 est à exclure pour la même raison que précédemment.

- 65 = 61 + 2^2 = 49 + 2^4
La première décomposition livre un produit de la forme 2^i*p et la seconde un produit de 784 qui admet 8 couples de diviseurs dont seul le couple (16,49) donne une somme conforme.
65 est à exclure pour la même raison que précédemment.

- 59 = 43 + 2^4 = 55 + 2^2
La première décomposition livre un produit de la forme 2^i*p et la seconde un produit de 220 qui admet 6 couples de diviseurs dont seul le couple (4,55) donne une somme conforme.
59 est à exclure pour la même raison que précédemment.

- 53 = 37 + 2^4 = 21 + 2^5
La première décomposition livre un produit de la forme 2^i*p et la seconde un produit de 673 qui admet 12 couples de diviseurs dont seul le couple (21,32) donne une somme conforme.
53 est à exclure pour la même raison que précédemment.

- 41 = 37 + 2^2 = 25 + 2^4
La première décomposition livre un produit de la forme 2^i*p et la seconde un produit de 400 qui admet 8 couples de diviseurs dont seul le couple (16,25) donne une somme conforme.
41 est à exclure pour la même raison que précédemment.

- 29 = 13 + 2^4 = 27 + 2
La première décomposition livre un produit de la forme 2^i*p et la seconde un produit de 54 qui admet 4 couples de diviseurs dont seul le couple (2,2) donne une somme conforme.
29 est à exclure pour la même raison que précédemment.

La seule somme S qui nous reste est S=17

 #11 - 05-12-2007 14:42:46

FSRom1
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deux nombreq entre 2 et 100

Spoiler : Raisonnement - Épisode 6 "Le retour du cqfdi"
Par élimination, il ne nous reste que S=17. Il convient cependant de vérifier que ce résultat est vrai.
Stéphane ne peut décomposer S que de 7 manières:
17 = 2+15 = 3+14 = 4+13 = 5+12 = 6+11 = 7+10 = 8+9

- Si 17=2+15 le produit est 30. Parmi les 4 couples de diviseurs de 30, (2,15) et (5,6) ont une somme non interdite par les conditions de l'épisode 2.   
- Si 17=3+14, le produit est 42. Parmi les 4 couples de diviseurs de 42, (2,21) et (3,14) ont une somme "non interdite".
- Si 17=4+13, le produit est 52. Parmi les 6 couples de diviseurs de 52, seul (4,13) a une somme "non interdite". 
- Si 17=5+12, le produit est 60. Parmi les 6 couples de diviseurs de 60, (3,20) et (5,12) ont une somme "non interdite".- Si 17=6+11, le produit est 66. Parmi les 4 couples de diviseurs de 66, (2,33) et (6,11) ont une somme "non interdite".
- Si 17=7+10, le produit est 70. Parmi les 4 couples de diviseurs de 70, (2,35) et (7,10) ont une somme "non interdite".
- Si 17=8+9, le produit est 72. Parmi les 6 couples de diviseurs de 72, (3,24) et (8,9) ont une somme "non interdite".

S=17 est bien la seule somme qui admet UN SEUL couple (a,b) où a+b=S et tel que le produit ab vérifie les conditions portant sur P.

Ce couple unique étant (4,13), par identification: A=4 et B=13. CQFD.

 #12 - 05-12-2007 14:57:03

dhrm77
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seux nombres entre 2 et 100

Un peu tard, apres FSROM1, mais comme ma technique est legeremewnt differente, voici mon éxplication de la solution de l'énigme Produit & Somme:
Spoiler : [Afficher le message]
J'ai d'abord écrit un programme qui calcule tous les produits et toutes les sommes pour 2 nombres de 2 à 100, en prenant soin de ne pas dupliquer une operation. Ensuite je compte le nombre de fois que j'obtient chaque produit. Puisque Stephane dit a Patrick qu'il sait que Patrick ne peut pas determiner les 2 nombres, donc on apprend que le produit ne peut pas être fait de facon unique.
Par exemple 21 ne peut etre fait que par 3*7 (produits de 2 nombres premiers) mais egalement 2328 ne peut etre que le produit de 24*97 puisque 97 est premier, 2328 ne peut pas etre le produit de 12 *194 parce que 194 est superieur a 100. Donc en fait on elimine tous les produits de nombre premiers superieurs a 50. Donc on elimine toutes les sommes qui peuvent etre faite avec un couple A & B quelconque dont le produit peut etre fait de facon unique. Par exemple 10 peut etre fait par 7+3 et 7*3 est la seule facon de faire 21. Donc on elimine 10 comme somme potentielle.

Ce qui reste est cette liste:
a=2 b=9 p=18 s=11
a=2 b=15 p=30 s=17
a=2 b=21 p=42 s=23
a=2 b=25 p=50 s=27
a=2 b=27 p=54 s=29
a=2 b=33 p=66 s=35
a=2 b=35 p=70 s=37
a=2 b=39 p=78 s=41
a=2 b=45 p=90 s=47
a=2 b=51 p=102 s=53
a=3 b=8 p=24 s=11
a=3 b=14 p=42 s=17
a=3 b=20 p=60 s=23
a=3 b=24 p=72 s=27
a=3 b=26 p=78 s=29
a=3 b=32 p=96 s=35
a=3 b=34 p=102 s=37
a=3 b=38 p=114 s=41
a=3 b=44 p=132 s=47
a=3 b=50 p=150 s=53
a=4 b=7 p=28 s=11
a=4 b=13 p=52 s=17
a=4 b=19 p=76 s=23
a=4 b=23 p=92 s=27
a=4 b=25 p=100 s=29
a=4 b=31 p=124 s=35
a=4 b=33 p=132 s=37
a=4 b=37 p=148 s=41
a=4 b=43 p=172 s=47
a=4 b=49 p=196 s=53
a=5 b=6 p=30 s=11
a=5 b=12 p=60 s=17
a=5 b=18 p=90 s=23
a=5 b=22 p=110 s=27
a=5 b=24 p=120 s=29
a=5 b=30 p=150 s=35
a=5 b=32 p=160 s=37
a=5 b=36 p=180 s=41
a=5 b=42 p=210 s=47
a=5 b=48 p=240 s=53
a=6 b=11 p=66 s=17
a=6 b=17 p=102 s=23
a=6 b=21 p=126 s=27
a=6 b=23 p=138 s=29
a=6 b=29 p=174 s=35
a=6 b=31 p=186 s=37
a=6 b=35 p=210 s=41
a=6 b=41 p=246 s=47
a=6 b=47 p=282 s=53
a=7 b=10 p=70 s=17
a=7 b=16 p=112 s=23
a=7 b=20 p=140 s=27
a=7 b=22 p=154 s=29
a=7 b=28 p=196 s=35
a=7 b=30 p=210 s=37
a=7 b=34 p=238 s=41
a=7 b=40 p=280 s=47
a=7 b=46 p=322 s=53
a=8 b=9 p=72 s=17
a=8 b=15 p=120 s=23
a=8 b=19 p=152 s=27
a=8 b=21 p=168 s=29
a=8 b=27 p=216 s=35
a=8 b=29 p=232 s=37
a=8 b=33 p=264 s=41
a=8 b=39 p=312 s=47
a=8 b=45 p=360 s=53
a=9 b=14 p=126 s=23
a=9 b=18 p=162 s=27
a=9 b=20 p=180 s=29
a=9 b=26 p=234 s=35
a=9 b=28 p=252 s=37
a=9 b=32 p=288 s=41
a=9 b=38 p=342 s=47
a=9 b=44 p=396 s=53
a=10 b=13 p=130 s=23
a=10 b=17 p=170 s=27
a=10 b=19 p=190 s=29
a=10 b=25 p=250 s=35
a=10 b=27 p=270 s=37
a=10 b=31 p=310 s=41
a=10 b=37 p=370 s=47
a=10 b=43 p=430 s=53
a=11 b=12 p=132 s=23
a=11 b=16 p=176 s=27
a=11 b=18 p=198 s=29
a=11 b=24 p=264 s=35
a=11 b=26 p=286 s=37
a=11 b=30 p=330 s=41
a=11 b=36 p=396 s=47
a=11 b=42 p=462 s=53
a=12 b=15 p=180 s=27
a=12 b=17 p=204 s=29
a=12 b=23 p=276 s=35
a=12 b=25 p=300 s=37
a=12 b=29 p=348 s=41
a=12 b=35 p=420 s=47
a=12 b=41 p=492 s=53
a=13 b=14 p=182 s=27
a=13 b=16 p=208 s=29
a=13 b=22 p=286 s=35
a=13 b=24 p=312 s=37
a=13 b=28 p=364 s=41
a=13 b=34 p=442 s=47
a=13 b=40 p=520 s=53
a=14 b=15 p=210 s=29
a=14 b=21 p=294 s=35
a=14 b=23 p=322 s=37
a=14 b=27 p=378 s=41
a=14 b=33 p=462 s=47
a=14 b=39 p=546 s=53
a=15 b=20 p=300 s=35
a=15 b=22 p=330 s=37
a=15 b=26 p=390 s=41
a=15 b=32 p=480 s=47
a=15 b=38 p=570 s=53
a=16 b=19 p=304 s=35
a=16 b=21 p=336 s=37
a=16 b=25 p=400 s=41
a=16 b=31 p=496 s=47
a=16 b=37 p=592 s=53
a=17 b=18 p=306 s=35
a=17 b=20 p=340 s=37
a=17 b=24 p=408 s=41
a=17 b=30 p=510 s=47
a=17 b=36 p=612 s=53
a=18 b=19 p=342 s=37
a=18 b=23 p=414 s=41
a=18 b=29 p=522 s=47
a=18 b=35 p=630 s=53
a=19 b=22 p=418 s=41
a=19 b=28 p=532 s=47
a=19 b=34 p=646 s=53
a=20 b=21 p=420 s=41
a=20 b=27 p=540 s=47
a=20 b=33 p=660 s=53
a=21 b=26 p=546 s=47
a=21 b=32 p=672 s=53
a=22 b=25 p=550 s=47
a=22 b=31 p=682 s=53
a=23 b=24 p=552 s=47
a=23 b=30 p=690 s=53
a=24 b=29 p=696 s=53
a=25 b=28 p=700 s=53
a=26 b=27 p=702 s=53

On voit que les seules sommes potentielles sont: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47 et 53.

Ensuite J'ai transporté cette liste sous excel. Et puisque Patrick dit a stephane "Si c'est comme ça, alors j'ai trouvé", alors ca signifie Patrick sait qu'une seule somme peut correspondre a son produit. donc j'ai eliminé toutes les lignes dont le produit n'est pas fait de facon unique. et il reste:
a=2    b=9    p=18    s=11
a=3    b=8    p=24    s=11
a=4    b=7    p=28    s=11
a=4    b=13    p=52    s=17
a=7    b=16    p=112    s=23
a=10    b=13    p=130    s=23
a=4    b=19    p=76    s=23
a=5    b=22    p=110    s=27
a=7    b=20    p=140    s=27
a=8    b=19    p=152    s=27
a=9    b=18    p=162    s=27
a=10    b=17    p=170    s=27
a=11    b=16    p=176    s=27
a=13    b=14    p=182    s=27
a=2    b=25    p=50    s=27
a=4    b=23    p=92    s=27
a=4    b=25    p=100    s=29
a=6    b=23    p=138    s=29
a=7    b=22    p=154    s=29
a=8    b=21    p=168    s=29
a=10    b=19    p=190    s=29
a=11    b=18    p=198    s=29
a=12    b=17    p=204    s=29
a=13    b=16    p=208    s=29
a=2    b=27    p=54    s=29
a=4    b=31    p=124    s=35
a=6    b=29    p=174    s=35
a=8    b=27    p=216    s=35
a=9    b=26    p=234    s=35
a=10    b=25    p=250    s=35
a=12    b=23    p=276    s=35
a=14    b=21    p=294    s=35
a=16    b=19    p=304    s=35
a=17    b=18    p=306    s=35
a=3    b=32    p=96    s=35
a=5    b=32    p=160    s=37
a=6    b=31    p=186    s=37
a=8    b=29    p=232    s=37
a=9    b=28    p=252    s=37
a=10    b=27    p=270    s=37
a=16    b=21    p=336    s=37
a=17    b=20    p=340    s=37
a=3    b=38    p=114    s=41
a=4    b=37    p=148    s=41
a=7    b=34    p=238    s=41
a=9    b=32    p=288    s=41
a=10    b=31    p=310    s=41
a=12    b=29    p=348    s=41
a=13    b=28    p=364    s=41
a=14    b=27    p=378    s=41
a=15    b=26    p=390    s=41
a=16    b=25    p=400    s=41
a=17    b=24    p=408    s=41
a=18    b=23    p=414    s=41
a=19    b=22    p=418    s=41
a=4    b=43    p=172    s=47
a=6    b=41    p=246    s=47
a=7    b=40    p=280    s=47
a=10    b=37    p=370    s=47
a=13    b=34    p=442    s=47
a=15    b=32    p=480    s=47
a=16    b=31    p=496    s=47
a=17    b=30    p=510    s=47
a=18    b=29    p=522    s=47
a=19    b=28    p=532    s=47
a=20    b=27    p=540    s=47
a=22    b=25    p=550    s=47
a=23    b=24    p=552    s=47
a=5    b=48    p=240    s=53
a=6    b=47    p=282    s=53
a=8    b=45    p=360    s=53
a=10    b=43    p=430    s=53
a=12    b=41    p=492    s=53
a=13    b=40    p=520    s=53
a=15    b=38    p=570    s=53
a=16    b=37    p=592    s=53
a=17    b=36    p=612    s=53
a=18    b=35    p=630    s=53
a=19    b=34    p=646    s=53
a=20    b=33    p=660    s=53
a=21    b=32    p=672    s=53
a=22    b=31    p=682    s=53
a=23    b=30    p=690    s=53
a=24    b=29    p=696    s=53
a=25    b=28    p=700    s=53
a=26    b=27    p=702    s=53
Maintenant, à cause de la derniere déclaration de Stephane "Ah bon? Alors moi aussi". On peut en deduire qu'il sait qu'un seul produit peut faire la somme qu'il a. Et dans cette derniere liste, seulle la somme de 17 peut etre faite de facon unique.
Donc a=4, b=13, p=52, s=17


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #13 - 05-12-2007 16:33:22

Bonswouar
Amateur de Prise2Tete
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Messages : 9

Deux nombres entre 2et 100

Merci beaucoup pour vos explication, je crois avoir compris! big_smile

J'essaierais de poser cette énigme à mon prof de spécialité mathématiques pour voir s'il trouve..! (la décomposition en produit de facteurs premiers étant très étudiée en Spé Math en S)

 #14 - 05-12-2007 17:04:11

quaramba
Sage de Prise2Tête
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Messages : 1538
Lieu: Entre une chaise et un bureau

deux bombres entre 2 et 100

C'est aussi étudié en spé maths en L big_smile


脱了裤子放屁

 #15 - 05-12-2007 23:14:08

Bonswouar
Amateur de Prise2Tete
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Messages : 9

deux nombres entre 2 zt 100

[Hors sujet] De toute façon, j'ai plutot l'impression que les programmes de spé math sont à peu près similaires pour toutes les sections générales, non? [/Hors sujet]

 #16 - 06-12-2007 01:19:23

scarta
Elite de Prise2Tete
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Dux nombres entre 2 et 100

Chapeau pour la demo en étape, chapeau aussi pour la recherche exhaustive (ça doit pas être facile facile ...)

 #17 - 06-12-2007 03:31:29

dhrm77
L'exilé
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Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Deux nombres enntre 2 et 100

On viens de me poser une question en privé:

Pourquoi la personne qui multiplie A=4 et B=13 AB=52 ne choisit pas A=2 et B=26?

Je reponds ici pour en faire profiter tout le monde:

Voici donc le point de vue des 2 joueurs:

Patrick recoit 52
Stephane recoit 17

Stephane sait que 17 peut etre fait par l'addition des couples de nombres suivants, et que leurs produits peuvent etre aussi fait d'une autre maniere:
2+15:  2*15 =30 = 6*5
3+14:  3*14=42 = 6*7
4+13:  4*13=52 = 2*26
5+12:  5*12=60 = 6 *10
6+11: 6*11=66 = 3 * 22
7+10: 7*10=70 = 5 * 14
8+9:  8*9 = 72 =   6 * 12
Donc il peut dire que Patrick ne peut pas savoir quels sont ces nombres.

Patrick qui a le 52 sait que les nombres sont soit 4*13 soit, 2*26.
Mais il sait aussi que si c'etait 2*26, la somme serait 28, et Stephane  n'aurait pas pu dire qu'il etait sur que Patrick ne puisse pas connaitre les nombre A & B juste en regardant le produit, puisque 28 peut par exemple etre la somme le 5 & 23 qui sont tous les deux premiers, donc qui font un produit unique. Donc il en deduit que ca ne peut pas etre 2 * 26.
Il est donc certain ques les nombres sont 4 et 13.

Quand Stephane apprend ca, il doit faire le raisonement que patrick vient de faire pour toutes les autres produits possibles ( 30, 42, 52, 60, 66, 70 et 72) et cherche celui pour lequel ce qu'il vient de dire, ne marche pas sauf une seul produit. Par exemple, comme il a la somme de 17.
il examine la possibilité 17=11+6
3 produits sont possibles pour 66: 2*33, 3*22 et 6*11
2+33=35, 35 est aussi 3+32, 4+31, 5+30.... la plupart des ces sommes ne peuvent pas etre eliminées parce que leur produits peuvent etre faits de plusieurs manieres. Donc Patrick n'aurait pas pu dire qu'il savait quels sont A&B si le produit etait 66. Meme raisonement pour les autres nombres sauf pour 42. (je simplifie un peu...)


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 #18 - 06-12-2007 08:04:53

FSRom1
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 74

Deux nombres entre 2 e 100

À la vue les echos qui ont suivi les démonstrations, je suis content de voir que malgré la lourdeur du raisonnement, ça n'a pas causé une épidémie de migraines wink En effet, j'ai beaucoup détaillé par moments, mais je voulais, contrairement à la simulation informatique, livrer quelque chose d'extrêmement rigoureux.
Maintenant il ne me reste plus qu'à souhaiter "Longue vie à Prise2tete.fr", comme cela je saurais où je pourrais retrouver ce raisonnement fort fastudieux sans devoir le retaper big_smile

PS : Je viens de remarquer que j'avais un peu allourdi le problème en admettant que A et B pouvaient être compris entre 2 et 200 (données du problème que j'avais rencontré ailleurs sur la toile), alors que l'énigme ici présente se limitait à A et B compris entre 2 et 100.

 #19 - 28-06-2013 21:41:59

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1204

deyx nombres entre 2 et 100

Ben moi j'ai cru que deux n'était pas compris entre deux et 100.
j'ai trouvé 4 et 9 c'est pas bon?

 #20 - 28-06-2013 22:37:30

vladimir37
Expert de Prise2Tete
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Messages : 503
Lieu: nantes

Deux nmobres entre 2 et 100

scarta a écrit:

Petite énigme mathématique, donc, que j'affectionne particulièrement.
Un prof de math un peu tordu tire au hasard deux nombres A et B compris entre 2 et 100, puis il fait venir au tableau Stephane et Patrick.
A Stephane, il communique la somme S de ces deux nombres.
A Patrick, il donne le produit P de ces deux nombres.

Stephane: "Patrick, je sais que tu ne peux pas trouver quels étaient A et B"
Patrick: "Si c'est comme ça, alors j'ai trouvé"
Stephane: "Ah bon? Alors moi aussi".

Voilà, à vous de chercher, quels étaient A et B?

Une autre manière de voir les choses, plus synthétique et plus claire
Considérons que:
[TeX]A+B=S[/TeX]
et
[TeX]A*B=P[/TeX]
Donc, on a:
[TeX]A=(S-\sqrt{S*S-4*P})/2[/TeX]
et
[TeX]B=(S+\sqrt{S*S-4*P})/2[/TeX]
Faites l'essai avec P=52 et S =17.
Vous retrouvez A=4 et B=13.

 #21 - 28-06-2013 23:06:07

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1947
Lieu: Paris

Deux nombres entre et 100

En fait c'est A=4 et B=13 mais c'est beaucoup plus clair.

 #22 - 28-06-2013 23:09:58

vladimir37
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
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Lieu: nantes

Deux nombres eentre 2 et 100

C'est rectifié mais les formules sont correctes. Un autre essai avec P=74 et S=39 pourrait vous convaincre.

 

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(3) — 2 nombres ont pour somme 52 et pour difference 12. quels sont ces deux nombres ? (3) — Nous sommes deux nombres entiers notre somme est 27 notre produit est 176 (3) — Nombres somme egale 52 difference egale 12 (3) — La somme de 60 et du produit de 29 par 19 (3) — Enigme mathematique pour trouver le chiffre 150 (3) — Enigme 2 nombres somme produit (3) — #4 re: accueil du cercle prive ? 26-08-2010 14:05 (3) — +2 - 9 - 20 - 51 - 107 (3) — Enigme mathematique deux nombres entre 1 et 100 (3) — Cite les multiples de 12 compris entre 100 et 150 (3) — Entre 2 nombres (3) — Enigme nombre premier (3) — Multiple de 37 compris entre 240 et 280 (3) — Un prof de math tire au hasard deux nombres a et b compris entre 2 et 100 puis il fait venir au tableau stephane et patrick. a stephane il communique la somme s de ces deux nombres. a patrick il donne le produit p de ces deux nombres. stephane: patrick je sais que tu ne peux pas trouver quels etaient a et b patrick: si c est comme ca alors j ai trouve stephane: ah bon? alors moi aussi. (3) — Trouver deux nombres entiers dont somme est 52 difference 12 (3) — Choisi un chiffre entre 1 et 10 (3) — Je suis a la fois un multiple de 6 et de 8 et je suis compris en tre 100 et 130 (3) — Enigme choisi un nombre entre 11 et (3) — Quel sont les deux nombres qui on comme somme 15 et en produit 36 (3) — Enigmes & le nombre 50 (3) — Nombre de deux chiffre multiplier par le produit on optient 336 (3) — Les multiples de 2 entre 20 et 50 (3) — Decomposer 294 en produit de (3) — Enigme s et p nombre entre 2 et 200 (3) — Trouver deux nombres entiers dont la somme est 52 est la difference est 12 (3) — Devinette choisis un nombre (3) — Multiple de 51 (3) — Nombre ou chiffre entre 100 et 150 (3) — Quels sont les multiples de 8 entre 110 et 140 (3) — Enigme somme produit deux nombres (3) — Nombre premiers superieur a 100 (3) — Trouver tout les calculs de 1 a 100 apratir de 4 nonbre au choit (3) — 51 47 50 45 46 48 (3) — Multiple de 6 et de 8 compris entre 100 et 130 (3) — Deux nombres compris entre 2 et 99 (3) — Nombres premiers entre 2 et 100 (3) — 2 nombre entiers dont la somme est 52 la diffrence est 12 (3) — Decomposer 294 en un produit de puissances 6 et de 7 (3) — Nombre inferieur a 100 (3) — Trouve deux nombres entiers dont la somme est 52 et la difference12 (3) — Deux nombres compris entre 2 et 99. (3) — Enigme nombre somme produit (3) — Trouver deux nombres compris entre 2 et 100 (3) — Dans chaque ca trouve deux paires de nombres dont le produit est 72? (3) — Explication nombre entier dont la somme est 52et la difference est 12 (3) — 2 nombre entier dont la somme est 52 (3) — Multiple de 15 inferieur a 100 (3) — Enigme nombre produit somme (3) — Enigme produit somme 2 200 (3) — Nous sommes deux nombres entier notre somme est 27 est notre produit 176 qui somme nous ? (3) — Nombre entier de 1 a 150 (3) — Retrouver le multiple de 30 superieur (3) — Deux nombre entier dont la somme est 52 et la difference est 12 (3) — Nombre de facteur possible dans le produit ou la somme est 42 (3) — Trouver le nombre choisi (3) — La somme de deux nombre est egale a 100 et sa difference 74 (3) — Un nombre entier: est compris entre 100 et 150 (3) — Eliminer deux nombre de somme 12 et de produit 32 (3) — Soient deux nombres entre 2 et 99 (3) — Trouver 2 nombres dont la somme est egal a 57 et le produit egal a 540 (3) — Ecrire les multiples de 20 compris entre 140 et 300 (3) — Probleme+somme+produit (3) — Quelles sont les multiples de 50 (3) — Je suis un nombre entier compris entre 1523 et 612 (3) — La somme des deux nombres est 25 et le produit154 (3) — Nombre premier entre 140 et 160 (3) — Les nombres premiers superieurs a 100 (3) — Somme produit enigme math (3) — Nombres premiers entre 0 et 100 (3) — Multiple de 9 et je suis un nombre compris entre 100et200 (3) — Quelq sont les nombres entiers entre 2 et 99 (3) — Nombre premier compris entre 100 et 200 (3) — Nous sommes deux nombres notre somme est egale a 11 notre difference est egale a 3 (3) — Calcule la somme de 97 et du produit de 16 et 23? (3) — Quel sont les multiples de 4 comprise entre 150 et 162 (3) — Enigme deux nombres produit somme (3) — Entre deux nombre (3) — Citer deux nombres entiers compris entre 20 et 50 premiers entre eux (3) — Soient a et b deux nombre entiers compris entre 2 et 100. (3) — Le multiple de 2 comprise entre 77 et 93 (3) — Un nombre entier compris entre 100 et 150 (3) — Je ne vois pas comment tu pourrais trouver les deux chiffres (3) — Enigme nombres somme produit (3) — Nous somme deux nombre entier notre somme est 25 notre produit est 154 qui somme nous (2) — Les nombre premier inferieure a 100 (2) — Trouvez 2 nombres entiers dont la somme est 52 et la difference est 12 (2) — Je suis a la fois un multiple de 6 et de 8 et je suis compris entre 100 et 130 (2) — Peux tu trouver deux nombres entiers pairs premiers entre eux? (2) — Choisi un chiffre entre 2 et 100 (2) — Parmi ces nombrestrouves les nombres entiers (2) — Jai choisi deux nombre compris entre 2 et 200 voici leur somme. (2) — Trouver de nombre entiers que leur sommes est egale a 14 leur produit est e (2) — Nombres premiers entre 2 a 200 (2) — L enigme de la somme et du produit (2) — Trouver deux nombre entier dont la somme est 52 (2) — Les chiffres jusqu a 99 (2) — On considere la liste suivantes 45 ; 18 ; 11; 55 ; 2 (2) — Liste des nombres entiers inferieur a 100 (2) — Nous sommes deux nombres entiers. notre somme est 27 et notre produit est 176 qui sommes nous (2) — Somme de 2 nombre entier =52 et leur difference =12 (2) — Nombre 70 (2) — Astuce devinette nombres entiers (2) — Quel est le chiffre compris entre 200 et 300 multiple de 5 et 7 pas de 2 (2) — Calculer 2 nombres dont la somme est 20 et le produit 96 (2) — L enigme des nombres premiers (2) — Determiner les deux nombres entiers dont la somme est egale a 130 et la difference = 44 (2) — Enigme 20b (2) — 3 nombre premier entre 50 et 100 (2) — Enigme entre 1 et 99 produit somme (2) — Multiple de 100 entre 400 et 1500 (2) — Trouver un nombre si sa somme est 25 et son produit 154 (2) — Un prof de math tire au hasard deux nombres a et b compris entre 2 et 100 a stephane il communique la somme de ces deux nombres. a patrick il donne le produit de ces deux nombres. stephane: patrick je sais que tu ne peux pas trouver quels sont a et b patrick: si c est comme ca alors j ai trouve stephane: ah bon? alors moi aussi (2) — Multiple de 2compris entre 65et83 (2) — Les deux nombres (2) — On considere la liste suivante 45 18 11 55 2 (2) — Avec les chiffres 50102361 il faut trouver 510 quels sont les possibilitees (2) — Multiples de 10 compris entre 100 et 150 (2) — De 2 a 200 (2) — J?ai choisi de nombres entiers entre (2) — Je suis un multiple de 9 je suis compris entre 100 et 200 (2) — Quel nombre dont les 3/4 plus les 2/3 font 170 (2) — La difference entre le produit de 35 par 100 et51 (2) — 100 sous une forme de 2 produits (2) — Enigme 19b (2) — Trouver la somme de 2 nombres grace a leur difference (2) — Entiers compris entre 5 et 200 (2) — Excel liste de nombre dont 2 font une somme cherchee (2) — Le produit des nombres entiers compris entre 50 et 100 (2) — Existe t il deux nombres dont la somme est egale a 8 et le produit egal a 5 (2) — Enigme 9b (2) — Nombre compris entre 7 et 8 (2) — 65 et 56 multiple de 9 demonstration (2) — Enigme produit somme deux nombres mathematiciens (2) — Nombre compris entre (2) — Blabla (2) — Deux nombres entiers dont somme 27 et produit 176 (2) — ? on choisit deux nombres entre 2 et 100 (2) — Je suis a la fois multiple de 6 et de 8 et je suis compris entre 100 130 (2) — Trouver 2 nombres premiers entre eux (2) — Produit nombres entiers superieurs egaux a -231 (2) — Comment calculer 48 de plusieurs facon (2) — Ecrire le nombre 15 comme une somme de 2 produits (2) — Trouver 2 nombres entiers dont la somme est 52 et la difference 12 (2) — Pairs de 70a100lesquels sont des multiples de 4 (2) — Trouver deux nombres entiers dont la somme est 52 et la difference est 12 solution (2) — Deux nombre compri entre 2 et 4 (2) — On considere la liste suivante : 45; 18; 11; 55; 2 (2) — Comment trouvez deux nombre entiers dont la somme est 52 et la difference 12 (2) — 2 nombres entre 2 et 200 somme produit (2) — Trouver produit de 2 nombres entiers (2) — 15 comme une somme de deux produits (2) — Comment calculer les cent premiers nombre entiers (2) — La somme de deux nombres est egale a 100 et leur difference est egale a 74. quels sont ces deux nombres? (2) — Nous sommes deux nombres entiers.notre somme est 25 notre produit est 154 qui sommes nous ? (2) — Deux nombres 2 100 (2) — Un nombre compris entre 0 et 99 (2) — Trouver un nombre dont la somme est 52 et la difference 12 (2) — Quels nombres sont egal a 26 (2) — Deux nombres entiers entre 2 et 200 (2) — Termes dont la sonne est egale au produit (2) — Entre 2 et 100 probleme (2) — Choisis deux nombres dont la somme (2) — Chauve souris (2) — Multiple de 9 entre 100 et 150 (2) — Nombre entier combien de 9 entre 0 et 100 (2) — Exercice de maths: les entiers a et b sont premiers entre eux les entiers b et c sont prmiers entre eux peut-on en deduire que a et c sont premiers entre eux? trouve un contre exemple (2) — Nombre entre 100 et150 multiple de 2 3 et7 (2) — Existe t il deux nombre don la somme est 100 est la difference est 2 (2) — Produit et somme (2) — Nombres premiers entre eux 2 11 18 45 55 (2) — Comment calculer le produit de tous les nombres entiers superieur ou egaux a - 10 et +10 (2) — La somme de 2 nombres est egale a 43 et leur difference est egale a 19 : quels sont ces nombres ? (2) — Enigmes 1 et 99 different de 100 (2) — Choisi un chiffre (2) — Enigme somme et produit de deux nombres entre 2 et 100 (2) — Un nombre entier compris entre 100 et 400 (2) — Somme et le produit de deux entiers compris entre 2 et 200 (2) — Exemples de nombres entre 8 et 8;05 (2) — Trouve toutes les facon d ecrire 36 comme produit de deux nombre (2) — Comment ecrire les multiples de 2 compris entre 77 et 93 (2) — Nombre premiers entre eux avec 45; 18; 11; 55; 2 (2) — Somme produit 2 200 (2) — Enigme 2 nombres (2) — Enigme avec le nombre 70 (2) — Mathematiques decomposer des nombres de 2 facons (2) — Le jeu le plus dur du monde (2) — Reponse al enigme quelle est la somme des chiffres compris entre 1 et 100 compris (2) — Nombre 21 (2) — Calculs des nombres premiers avec excel (2) — Trouve deux nombre entier dont la somme est 52 et la difference 12 (2) — Multiple de 2 entre 20 et 50 (2) — Enigme trouver 2 nombres (2) — Multiple de 9 compri entre 100 et 200 (2) — On cherche deux nombres entiers compris entre 2 et 50. (2) — Les multiples de 2 compris entre 23 et 37 (2) — Quel est les multiple de 2 entre 65et83 (2) — Probleme somme produit de deux entiers enigme mathematiques (2) — Deux nombres somme hasard enigmes (2) — Je suis a la fois multiple de 6 et de 8 et je suis compris entre 100et 130 (2) — Deux nombres dont leur somme est egale a leur different (2) — Trouver 2 nombres entier dont la somme et 52 et la differance et 12 (2) — Pose et effectue le maths 324fois 18 et150 fois 16 (2) — Quel nombre entier ont pour somme 52 et pour difference 12 ? (2) — Produit de deux nombres premiers entre eux (2) — Enigme somme produit sais (2) — Trouver deux nombres entiers dont somme est 27 et produit 176 (2) — Enigme des 2 nombres (2) — Deux chiffres nombre inferieur a 10 excel (2) — 2 nombres entiers dont le somme est 52 et le difference est 12 (2) — On considere la liste suivante : 45 ; 18 ; 11 ; 55 ; 2 determiner en justifiant les reponses : 1) les nombres premiers ; 2) les paires de nombres premiers entre eux (2) — Oient deux nombres compris entre 2 et 99 (2) — Nombre premier entre 2 et 200 (2) — Decomposer 294 avec le produit de puissances 6 et 7 (2) — Je suis un nombre entier compris entre 1000 et 1500 (2) — Comment trouver 2 nombres entiers dont somme est 52 difference 12 (2) — Trouve deux nombres entiers dont la somme est 52 et la difference est 12 (2) — Nombre entier entre 100 et 200 (2) — Le produit les nombres compris entre 2 chiffres (2) — Multiple de 2 compris entre 77 et 93 (2) — A est la somme du produit de 31 par 5 et de 7 (2) — Somme des 100 premier nombre paire de 1 a 200 (2) — On considere la liste suivante : 45; 18; 11; 55; 2. (2) — Nombre premier entre 400 et 420 (2) — Quels sont les deux nombre compris entre 200 et 300 (2) — Calculer la somme des 100 nombres pairs (2) — Nombres compris entre 15 et 60 multiples a la fois de 2 et de 9 (2) — Chiffre entre 100 et 200 multiple de 9 (2) — Deux nombre ont pour somme 300 (2) — Trouver les deux nombres dont la somme est 23 et dont le produit est 112 (2) — Produit de 2 nombres entiers et somme de ces 2 nombres (2) — Tous les multiples de 2 compris entre 65 et 83 (2) — Somme deux nombres premiers (2) — Je ne peux pas trouver ces deux nombres (2) — Nombre entier comprise entre 13 et 067 (2) — Je ne sais pas quels sont les deux nombres (2) — Excel nombre compris entre 2 valeurs (2) — Nombre premier jusqu a 200 (2) — Excel devinette 2 and 100 (2) — On multiplie entre eux tous les nombres entiers compris entre 50 et 100 (2) — Trouve deux nombres dont la somme vaut 52 et la difference 12 (2) — Nombre premier somme produit enigme (2) — Calculer la somme des puissances de 2 comprises entre 100 et 2000 (2) — Ecris les multiples de 8 compris entre 52 et 107 (2) — Deux nombre entre 2 et 99 (2) — Couple a et b entre 2 et 200 (2) — Somme 31 et produit 150 trouver les nombres (2) — Un nombre entre 1 et 150 (2) — La somme de deux nombres est egale a 100 (2) — 21 et 18 sont-ils des nombre premier entre eux (2) — Tous les multiples de 2 et 9 entre 15 et 60 (2) — Enigme deux nombres somme produit (2) — Nombre entier dont la somme est 52 et la difference 12 (2) — Nombre premiers entre 400 et 420 (2) — Les facteurs (les nombres)entre 50 et 100 (2) — Nous sommes deux nombres entiers (2) — 2 nombres dont la somme est egale a 57 et le produit egal a 540 (2) — Quels sont les nombres premiers entre 140 et 160 (2) — Domnner moi de multiples de 12 compris entre 100 et 200 (2) — Multiple de 3 entre 50et 100 (2) — Multiple entre les chiffre 23 et 35 (2) — Nous somme 2 nombre entier (2) — Les nombres premiers superieur a 100 (2) — Deux premiers nombres sont pris au hasard (2) — 2 nombre entier notre somme est 27 notre produit est 176 qui somme nous (2) — Calculer la somme de deux chiffres leur differences et leur produit (2) — Comment calculer 1+2+3+.......... (2) — Calcul entre 0 et100 (2) — Multiple de 9 compris entre 50 et 150 (2) — Nombres premiers entre eux 36 et 55 sont-ils premiers entre eux? (2) — Multiples de 11 compris entre 100 et 200 (2) — Nombres compris entre 5 et 200 (2) — Mathe*je suis compris entre 200 et 300 je suis multiple de7 et multiple (2) — 130 et 232 sont t il premier entre eux (2) — -500 et 300 produit entre c est deux entier (2) — Excel chiffre compris entre 2 valeurs (2) — Multiple de 37 compris entre 280 et 300 (2) — Les nombres de 100 a 200 (2) — Un prof de math tire au hasard deux nombres a et b compris entre 2 et 100 puis il fait venir au tableau stephane et patrick. a stephane il communique la somme s de ces deux nombres. a patrick il donne le produit p de ces deux nombres. (2) — Nous sommes deux nombres entiers notre somme est 27 et notre produit est 176 (2) — Excel dans une suite chiffres pair trouver les manquants (2) — Deux nombre dont la somme est 150 et la difference 78 (2) — Nombre a b 2 et 100 (2) — Quel est la difference entre le produit de 35 par 100 et51 (2) — 25 et 30 sont ils des nombres premiers entre eux (2) — Trouvez 2 nombre dont la somme est egal a 57 et le produit egal a 540 (2) — Comment savoir si entre 2 nombre quel est produit et somme (2) — 90 et 300 premiers entre eux ? (2) — Nombre de deux chiffres egale a deux fois son produit (2) — Comment calculer deux nombres premier entre eux (2) — 2 100 somme produit (2) — Formule somme de 2 nombres est egale a son produit (2) — Enigme 2 nombres entiers entre 2 et 100 (2) — Produit et somme enigme (2) — Pourquoila difference entre deuxnombres comportant les memes chiffres (2) — Etant donne trois nombres 78 59 et 43 en les additionnant deux a deux on obtient 3 sommes (2) — Quel que soit le nombre entier choisi s il est supereir a 53 alors il est inferieur a 57. (2) — Deux entiers dont la somme est 27 et le produit176 (2) — Decomposer 294 en un produit de puissance de 6 et 7 (2) — Deux nombre ont pour produit 36 et pour somme 15 (2) — Additionner les nombres et les chiffres 3 4 un 12 dix 13 reponse 71 (2) — Chiffre jusqu a 200 cent (2) — Nous somme deux nombres entiers.notre produit et 176.qui somme nous (2) — Enigme : trouver tous les nombres de deux chiffres egaux a 7 fois la somme de leurs chiffres. (2) — Enigme deux nombres entiers (2) — Quels sont les nombres dont la somme est egale a 25 et le produit a 154 (2) — Nombre 2 100 somme produit (2) — Quel sont les nombre premier (2) — Comment ecrire 54 comme un produits de deux entiers (2) — Quel sont les 2 nombre dont la somme et 20 et le produit 96 (2) — Fait un multiple de9 jusqu a 150 (2) — 25 et 30 sont-ils des nombres premiers entre eux (2) — Solution soient deux nombres compris entre 2 et 99 (2) — Somme de 2 nombres premiers (2) — Trouver les nombres dont le produit est un multiple de la somme (2) — 2 nombres entier dont la somme est 52 (2) — Determiner deux nombres dont la somme est 71 (2) — Devinette avec 2 5 25 7 4 3 et 75 trouvez 546 (2) — Les paires de nombres premiers entre eux (2) — Produit 154 somme 25 (2) — On choisit deux nombres compris entre 5 et 200 (2) — L enigme des deux nombres entre (2) — Enigme 2 nombres premiers entre 2 et 100 (2) — Enigme produit deux nombres somme deux nombre (2) — Je suis compris entre 1 et 100 et j ai trois diviseurs et je suis pair (2) — Dans 305 quelle sont les nombre egaux (2) — Deux nombres pairs compris entre 90 et 100 (2) — 5 8 et 100 nombre compris entre 100 et 150 (2) — Je suis un nombre de 3 chiffres multiple de 2345 et 9 superieur a 100 et inferieure a 200 qui suis je ? ou trouver la reponse (2) — Multiple de 2 de 100 a 200 (2) — Enonce de probleme dont les nombres sont 50 (2) — Trouver 2 nombres dont la sommes est 150 (2) — Un programme de c++ qui calcule les nombres premiers jusqu a100 (2) — Nombre de chiffres entre 1 et 99 (2) —

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