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 #1 - 23-02-2012 19:05:07

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

eelation particulière entre somme et produit

Je choisis deux entiers strictement positifs. Leur somme vaut un certain pourcentage de leur produit, bon, OK. Mais, ô surprise, non seulement ce pourcentage est entier, mais c'est un des deux entiers du début...

Quels sont les entiers que j'ai choisis ?

(Je précise que je n'ai pas de solution générale à ce problème, qui m'est venu en tête en courant d'après-midi, seulement une solution particulière et des pistes de recherche. J'y travaille en ce moment même big_smile)



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 #2 - 23-02-2012 20:13:03

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,691E+3

Relatino particulière entre somme et produit

A mon avis, cela revient à

100(a+b)/ab=a

b= 100a/ (a^2 - 100)

Seule solution entière dans 0 - 100 : a=15 donc b=12

 #3 - 23-02-2012 20:22:55

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3175

elation particulière entre somme et produit

(15,12) (12,15) et je dirais qu'il n'existe que cette seule paire solution.

 #4 - 23-02-2012 21:05:58

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Relation patriculière entre somme et produit

Bonsoir,
Soient [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] deux entiers naturels positifs,
L’énoncé nous affirme :
[TeX]a+b=\frac{a}{100}.ab[/TeX]
Ce qui conduit à:
[TeX]b.a^2-100a-100b=0[/TeX]
Puisque [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex]jouent le même rôle ici, fixons [latex]b[/latex] comme constante, cela nous amène à une équation du second degré avec:
[TeX]\mathcal{4}=400(25+b^2)[/TeX]
Donc:
[TeX]x_1=\frac{50-10 \sqrt{25+b^2}}{b}[/TeX]
et
[TeX]x_2=\frac{50+10 \sqrt{25+b^2}}{b}[/TeX]
Il est évident que [latex]x_1[/latex] est négatif, donc :
[TeX]a=\frac{50+10 \sqrt{25+b^2}}{b}[/TeX]
Afin que [latex]a[/latex] soit un entier, [latex]\sqrt{25+b^2}[/latex] doit l'être aussi ! et que le numérateur divise le dénominateur.

Edit : je démontre unicité !
[TeX]\sqrt{25+b^2}^2[/latex] est un carré parfait !
donc : [latex]5^2+b^2=n^2[/TeX]
On a recours un un Triplet pythagoricien !
On sait que les triplets dont tous les termes sont inférieurs à 100 sont les suivant :
(3, 4, 5)             (20, 21, 29)        (11, 60, 61)     (13, 84, 85)
(5, 12, 13)     (12, 35, 37)     (16, 63, 65)     (36, 77, 85)
(8, 15, 17)     (9, 40, 41)     (33, 56, 65)     (39, 80, 89)
(7, 24, 25)     (28, 45, 53)     (48, 55, 73)     (65, 72, 97)

On peut aussi s'intéresser à l'équation du cercle : [latex]5^2+b^2=n^2[/latex] et trouver les coordonnées.
Du coup, le seul triplet possible est (5, 12, 13) puisque [latex]n>5[/latex]
Donc forcément: [latex]b=12[/latex]
Il suffit maintenant de se confirmer que [latex]a[/latex] est un entier aussi.
[TeX]\frac{50+10 \sqrt{25+12^2}}{12}=15[/TeX]
Donc la seule solution possible : [latex]a=15   et   b=12[/latex]


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #5 - 23-02-2012 21:22:14

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2010
Lieu: Paris

relatiin particulière entre somme et produit

Une seule solution pour moi : 12 et 15, donc la somme 27 vaut 15% du produit 180.

 #6 - 23-02-2012 21:22:22

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Relation particulière enre somme et produit

En gros on a : A et B deux nombres choisis par tes soins tel que
[TeX]A+B=\frac{x*A*B}{100}[/latex] où x est un nombre entier.
On peut donc chercher x tel que [latex]x=\frac{100(A+B)}{A*B}[/TeX]
Le numérateur étant de la forme [latex]100*k, k \in \mathbb{N}[/latex] Alors A*B divise l'ensemble en un nombre entier.
Donc [latex]A*B|100 \lor A*B|A+B[/latex]

On cherche donc x tel que :
[latex]A*B \equiv 0[/latex] [100] ou [latex]A*B \equiv 0[/latex] [A+B]

J'ai déjà l'impression qu'avec cette méthode ça ne va pas être de tout repos !

Je reviendrai....
Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #7 - 23-02-2012 21:50:26

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 675
Lieu: Belgique

Relattion particulière entre somme et produit

J'en suis à chercher les nombres naturels non nuls a et b tels que
[TeX]b=\frac{100a}{(a²-100)}[/TeX]
Au pif, j'ai 12 et 15.
WA me dit qu'il n'en a pas d'autres.

 #8 - 23-02-2012 22:35:49

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Rouen

Rleation particulière entre somme et produit

Je vois que ce problème, sur lequel je me suis mollement arraché quelques cheveux en courant d'après-midi, inspire pas mal de monde par ici smile

Pas mal de bonnes réponses, dont certaines (trop rares pour l'instant) démontrent même Spoiler : Gros spoiler l'unicité de la réponse . COntinuez comme ça wink


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 #9 - 23-02-2012 22:48:42

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2830
Lieu: Luxembourg

Relation particulière entre somme et produi

Bonjour,
Soient a et b ces deux entiers.
On aura: a+b=kab, avec k valant a ou b (je vais prendre a, peu importe car le problème est symétrique).
Donc: b=a/[(a-1)(a+1)] et, à ma connaissance, aucun entier n'est divisible par son prédécesseur et son successeur.
Donc soit a et b n'existent pas, soit je me suis planté quelquepart.
Bonne soirée.
PS: Si on inverse somme et produit, on aurait: ab=a(a+b) d'où a=0 et ça ne marche pas non plus.

EDIT:
Au temps pour moi, je n'avais pas bien compris l'énoncé pour le pourcentage (c'est 100p qui est entier et pas p).
Finalement on doit avoir: a + b = a²b / 100, soit b = 100a / [(a - 10).(a + 10)]
Un petit coup de tableur me donne que les deux nombres sont 12 et 15.
Mais je n'arrive pas à prouver l'unicité de cette solution.

 #10 - 23-02-2012 22:51:57

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 420

Relation particulière entre somme te produit

Il faut résoudre l'équation x+y = x/100 * xy.
c'est à dire 100x + 100y = x²y
ou encore x²y - 100y = 100x
d'où  y(x²-100) = 100x

On obtient donc la fonction y=100x/(x²-100).

En étudiant cette fonction on trouve que x ne peut pas être entre 0 et 10 auquel cas y serait négatif.
De plus en étudiant les variations de cette fonction on remarque que sur ]10;+inf[, la fonction est décroissante et tend vers 0.

Pour trouver la solution particulière que tu demandes je n'ai eu juste qu'à rentrer la fonction en question et m'apercevoir que pour x=15 on avait y=12.

Si on continue jusqu'à x=30 on voit que y=3,75 et on remarque qu'il n' y a toujours pas eu d'autres entier pour y.

On continue jusqu'à x=101 et on voit que y est plus petit que 1 et qu'il n' y a toujours pas eu d'autres entier pour y.

Il n' y a donc qu'une unique solution à ton problème.

Vérifions:

15+12=27 et 15%de15*12 = 27

Voilà beaucoup ont du trouver j'espère avoir été un des plus clair wink

 #11 - 23-02-2012 23:23:48

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2010
Lieu: Paris

Relation particulière entre somme et produuit

J'appelle [latex]x[/latex] et [latex]y[/latex] les 2 nombres. Je suppose que le pourcentage vaut [latex]x%[/latex].

L'énoncé se traduit par cette équation :
[TeX]x + y = \frac x {100} x y[/TeX]
ou encore :
[TeX]yx^2 - 100x - 100y = 0[/TeX]
Après résolution de cette équation du second degré : (x positif)
[TeX]x = \frac {10 \left( 5 + \sqrt{25+y^2}\right)}{y}[/TeX]
Il est donc nécessaire de trouver un [latex]y[/latex] tel que
[TeX]\sqrt{25+y^2}[/latex] soit un nombre entier.
Appelons n ce nombre entier, on a alors :

[latex]n =\sqrt{25+y^2}[/TeX]
ou encore
[TeX](n-y)(n+y) = 25[/TeX]
Les seules possibilités sont :

1. [latex]n-y = 25[/latex] et [latex]n+y = 1[/latex] : alors [latex]y=-12[/latex] , impossible car [latex]y>0[/latex]
2. [latex]n-y = 5[/latex] et [latex]n+y = 5[/latex] : alors [latex]y=0[/latex], impossible car [latex]y > 0[/latex]
3. [latex]n-y = 1[/latex] et [latex]n+y = 25[/latex] : alors [latex]y=12[/latex] et [latex]n=13[/latex], ouf !

Reste à vérifier que notre solution [latex]x[/latex] est bien un nombre entier :
[TeX]x=\frac{10(5+\sqrt{25+144})}{12}[/TeX]
soit [latex]x=15[/latex]

Il y a donc un unique couple solution : 12 et 15

 #12 - 23-02-2012 23:38:35

Grizix
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 31

relation partoculière entre somme et produit

En supposant qu'on trouve X pourcents à la fin, l'équation est :
(X+Y)/XY = X/100 <=> 100X+100Y = YX² <=> Y = 100X/(X²-100)
Ne reste plus qu'à étudier la fonction.

 #13 - 24-02-2012 10:36:51

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 490
Lieu: Ardèche

relation particuloère entre somme et produit

L'énoncé peut s'écrire 100(a+b)=a²b
Considéré comme équation en a, cela donne :
[TeX]a=\frac{50\pm\sqrt{(50²+100b²)}}b[/TeX]
qui a pour seule solution entière b=12 (voir plus bas)
et a=15

Vérification
12x15=180
12+15=27=15% de 180

Démonstration :
5²+b²=y² car doit être un carré
(y+b)(y-b)=5² implique y+b=25 et y-b=1 d'où b=12

 #14 - 24-02-2012 10:47:39

bougnatfranz
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 2

Relation partticulière entre somme et produit

Hello,

La solution est unique, tes entiers valent 15 et 12.
En effet, si a est l'entier qui représente le pourcentage, et b l'autre, alors on a la relation (a+b)/(ab)=a/100, ce qui donne ba^2-100a-100b=0. C'est une équation du 2è degré en a, le discriminant est Delta=100^2+(20b)^2. Ce doit etre le carré d'un entier z (sinon a n'est pas rationnel), donc les entiers x=100, y=20b et z forment un triplé pythagoricien. Divisons les tous par 20, on a x1=5, y1=b et z1=z/20, il est forcément primitif (puisque 5 est premier), donc b est pair et 5 s'écrit p^2-q^2, avec p et q entiers. Factorisons, on a (p+q)(p-q)=5, donc (5 est premier, et q positif), p+q=5, p-q=1, donc p=3, q=2, donc b qui vaut 2pq (expression des triplés pythagoriciens primitifs) est égal à 12, et z1 vaut p^2+q^2=13. Ainsi z=260, donc Delta = (260)^2, donc a vaut (100 + 260)/(2*b) (c'est la seule racine positive à l'équation du 2è degré), et miracle a est entier et vaut 15.

Vu ton problème, c'est la seule solution. Remarquons que si tu n'avais pas précisé que c'était la somme qui était un pourcentage du produit, mais simplement que produit et somme correspondaient (en pourcentage l'un de l'autre) à un des deux entiers, il y avait une 2è solution : a=1 et b=99 (en résolvant facilement l'équation ab/(a+b)=a/100 en supposant a non nul) et une infinité d'autres (a=0 et b= n'importe quel entier) si on accepte que a est nul (ce que tu exclus).

En tout cas merci pour cette petite énigme qui m'a bien amusée ! Amicalement,

 #15 - 25-02-2012 00:55:25

MacArony
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Lieu: Liège

Relation paarticulière entre somme et produit

Hello smile

http://www.prise2tete.fr/upload/MacArony-demo1.JPG

P.S. : Quelqu'un sait-il si il y a un tuto qq part sur le forum pour apprendre à se servir des formules LaTeX ? big_smile

Mac


Chien qui court dans la cour ne mérite aucun discours, mais lion qui accourt sans recours, au secours !

 #16 - 25-02-2012 02:52:19

dhrm77
L'exilé
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relarion particulière entre somme et produit

Une seule solution:
15+12=27 =  15% de (15*12)
Au flair, je dirais qu'on peut probablement prouver que les 2 nombres ne peuvent pas depasser 100.

On peut aussi etendre la recherche au "pour-mille" '‰':
aucune solution

...et au "pour-dix-mille" '‱'
150+120=270 =  150‱ de (150*120)


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #17 - 25-02-2012 11:13:58

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Coutiches

Relation particuilère entre somme et produit

Soient les nombres a et b.
a+b=x%*ab
avec x=a alors :
a+b=a²b/100
1/b+1/a=a/100
1/b=(a²-100)/(100a)
1/b=(a-10)(a+10)/(100a)
b=100a/[(a-10)(a+10)]

On (voit que a>10, sinon b<0)

b=100a/[a²-100]
a²b-100b=100a
a²b/100-b=a et comme a est entier, il faut que a²b soit un multiple de 100.

je pose : a=10c
c²b-b=10c
c²b-10c-b=0 (d'inconnue c)
delta=100+4b² qui doit de nouveau être un carré parfait : je pose 100+4b²=x²
(x-10)(x+10)=4b²

Pour 4b² pair, il faut que x soit pair aussi (et x>10 pour avoir 4b² >0).

x=12 donne 2*22=4b² donc b²=11 impossible
x=14 donne b²=24 non
x=16 donne b²=39 non
x=18 donne b²=56 non
x=20 donne b²=75 non
x=22 donne b²=96 non
x=24 donne b²=119 non
x=26 donne b²= 144 OUI

Donc b=12
c²b-10c-b=0 devient 12c²-10c-12=0
delta=100+4*12²=676=26²
c=(10+26)/24=1.5

a=10c=15

Vérification :
a+b=15+12=27
ab=180
27/180=0.15=15% !

Pfff, c'est laborieux, et je n'ai pas le courage de démontrer l'unicité...

 #18 - 25-02-2012 12:05:07

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

relation particulière entre somme et prpduit

@MacArony : vérifie ta solution, car 1+99 ne vaut ni 1%, ni 99%, de 1*99...


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 #19 - 25-02-2012 13:10:21

MacArony
Passionné de Prise2Tete
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Lieu: Liège

relarion particulière entre somme et produit

Au temps pour moi, j'avais mal lu l'énoncé.
Ma réponse du haut donne le résultat si leur produit vaut un certain pourcentage de leur somme (99% de (1+99) = 99*1)
J'ai droit à des points en plus pour l'avoir trouvé ?big_smile
La solution est unique aussi.

Bon alors pour la somme qui vaut un % du produit maintenant :
http://www.prise2tete.fr/upload/MacArony-demo2.JPG

Pas le temps de démontrer l'unicité, mais je fais confiance à Excel lol

C'est juste cette fois ci ?roll

Mac.


Chien qui court dans la cour ne mérite aucun discours, mais lion qui accourt sans recours, au secours !

 #20 - 26-02-2012 13:27:50

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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relatuon particulière entre somme et produit

Ouais, mieux, ouais wink


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 #21 - 26-02-2012 16:37:22

Moriss
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 460

Relation particulière entre soomme et produit

Effectivement, a et b doivent être non nuls sinon une solution facile vient vite à l'esprit...

Je n'ai trouvé qu'une seule réponse : 12 et 15.
12x15=180
12+15=27
27/180=15%

En fait, je suis sûr que c'est la seule réponse possible car j'ai testé toutes les solutions entières possibles (le nombre constituant le pourcentage étant presque à coup sûr compris entre 1 et 100).
Si le nombre constituant le pourcentage est supérieur à 100, l'autre nombre est alors strictement inférieur à 1, ce qui contredit l'énoncé de départ.
Si le nombre du pourcentage est inférieur à 10, l'autre est négatif ! S'il est égal à 10, l'autre est infini (une division par 0 se produit) ! S'il est supérieur à 25, l'autre ne peut être égal qu'à 1, 2, 3 ou 4, ce qui m'a fait gagner un temps énorme pour tester toutes les possibilités.

Donc 12 et 15 sont les seules solutions possibles.

 #22 - 27-02-2012 14:39:41

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Relationn particulière entre somme et produit

Merci pour cette énigme arithmétique (j'adore ça) smile

J'appelle a et b les 2 nombres et a celui qui vaut le pourcentage.
On a donc:
[TeX]a+b=\dfrac{a}{100}.ab[/latex] soit [latex]b(a^2-100)=100a[/latex] (1).

On sait que a et b sont entiers strictement positifs et que a est inférieur ou égal à 100.
On voit aussi d'après (1) que a est en fait supérieur ou égal à 11.

Si a n'est pas divisible par 5, [latex]a^2-100[/latex] n'est pas divisible par 25, donc c'est b qui est divisible par 25.
Or à part pour a=11 ou a=12, les valeurs de b sont plus petites que 25 et ne peuvent être nulles. a=11 ou a=12 ne sont pas solutions.
Donc a est divisible par 5.
Posons a=5a'.
On sait que a' appartient à l'intervalle entier [3,20].
(1) devient: [latex]b(a'^2-4)=20a'[/TeX]
Il n'y a pas de solutions entière pour b=2 ou 3.
Or à partir de a'=8, b est < 3 donc a' est dans l'intervalle entier [3,7].

Une recherche rapide montre que la seule solution est a'=3, soit a=15 et b=12.

On vérifie:
15+12=27 qui vaut bien 15% de 15x12.

Il y a peut-être un moyen sans essai/erreur, bien que j'ai essayé de limiter leur nombre.

Merci encore.

 #23 - 27-02-2012 14:45:28

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Relatioon particulière entre somme et produit

Il s'agissait bien de 12 et 15, et certains ont démontré l'unicité avec un brio certain (mais des solutions relativement simples, au final).

Bravo, et merci pour votre participation smile


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