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 #1 - 25-08-2009 13:07:26

salehseghiri
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 40

Volume max paralleelepipede

Soit un parallélépipède rectangle de dimensions [latex]a, b, c[/latex] dont la surface [latex]s=4x^2[/latex]avec [latex]x[/latex] une constante réelle.

Déterminer [latex]a, b, c[/latex] en fonction de [latex]x[/latex] pour que le volume soit maximal.

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 #2 - 25-08-2009 13:55:54

CalamitySt
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 15
Lieu: Annecy

Volume max parallelepipde

En fait il faut juste mettre en équation les données entre elles et faire une dérivation pour déterminer le maximum ?
Je n'ai pas fait le calcul, mais en général c'est la forme cubique (a=b=c) qui maximise le volume.


Le chemin le plus long commence par un petit pas.

 #3 - 25-08-2009 14:38:29

Autleaf
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 70
Lieu: Toulouse

volume mac parallelepipede

Il s'agit ici d'un problème d'optimisation du volume avec une contrainte égalité sur la surface.

b et c sont les paramètres
V(b,c) = abc
S(b,c) = 2ab+2ac+2bc-6a² = 0

Avec la méthode de Lagrange, on pose phi (b,c) = V + m*S

On cherche alors les points de gradient nul.
phi' = [ac+2m(a+c) ; ab+2m(a+b) ; ab+ac+bc-3a²] = [0;0;0]

On arrive à deux solutions :
b = -3a    c = -3a
et
b = a       c = a

la première n'est pas possible (longueurs négatives) donc il s'agit ici d'un cube !

Ce résultat aurait peut-être pu être trouvé en observant le même phénomène avec la multiplication et la somme de nombres :
on a 6+7=5+8=4+9
et  6*7=42 > 5*8=40 > 4*9=36

Ainsi pour obtenir le volume le plus grand pour une surface fixe, il faut que les dimensions soient les plus proches possibles (a=b=c, on peut pas faire beaucoup plus proche...)

Je sais pas si cette comparaison est très compréhensible mais je trouve qu'elle reflète bien le résultat.

 #4 - 25-08-2009 16:34:44

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 2×3121

volume max parallelepipzde

Si 6*a^2=2*a*c+2*b*c+2*b*a, alors une solution évidente est a=b=c

Le volume V=a^3

Je ne vois pas comment prouver ceci, ça semble évident.

 #5 - 25-08-2009 22:09:33

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

volume max paralmelepipede

Je dirais [latex]x^3[/latex] en postulant naivement que tout comme en 2D, à surface constante,  on maximise le volume quand c'est un cube.

Des lors on a trivialement [latex]a=b=c=x [/latex]ce qui donne ce [latex]x^3[/latex] en volume

 #6 - 25-08-2009 23:22:13

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Volume max pparallelepipede

[TeX]s = 6 x^2 = 2 (ab + ac + bc)

V = a b c[/TeX]
On veut [latex]V[/latex] max. D'instinct je répondrais [latex]a=b=c=x[/latex], mais je ne vois pas comment le démontrer...


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 #7 - 26-08-2009 18:15:07

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Volume max parllelepipede

que c'est dur...
c'est au moins un probleme de math de 6eme...
Tout le monde sait qu'à surface égale on a un volume maximum quand le parallélépipède  est un cube...donc:
a=b=c=x


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #8 - 26-08-2009 18:41:38

emaths
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 9

Volume max paralleleipede

Parmi tous les parallélépipèdes rectangles de surface donnée, c'est le cubue qui a le plus grand volume.

La réponse est donc [latex]a=b=c=x[/latex].

 #9 - 27-08-2009 18:22:02

ddpm
Visiteur

Volume max paarallelepipede

Soit a-k, a, a+k les dimensions du parallélépipède rectangle, avec k>0 et a>k.

V=a*(a-k)*(a+k) = a*(a^2 - k^2)
Vmaxi => k=0 d'ou V= a^3

Le parallélépipède rectangle de volume maximum est un cube, donc a=b=c.
S = 6x^2 = 6 a^2 => a = b = c = x

 #10 - 28-08-2009 10:12:07

bagouze
Expert de Prise2Tete
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Messages : 589
Lieu: Lille

Vlume max parallelepipede

Bon je suis pas roi de la démonstration, mais la règle disant que pour un périmètre constant le polygone à X côtés ayant la plus grande surface est un polygone régulier de X côtés doit pouvoir s'appliquer en 3D.  Pour une surface périphérique constante (4x²), le parallélépipède ayant le plus grand volume est un parallélépipède régulier, soit, ici, un cube.
DONC a=b=c, et 6a²=4x²
a=b=c=(racine de 2/3)x     

Désolé pour l'écriture, mais j'ai essayé de comprendre l'utilisation du bouton TEX, et........j'ai pas réussi lol  Y'a un manuel??


"Nous sommes tous dans le caniveau, mais certains d'entre nous regardent les étoiles." (O. Wilde)

 #11 - 28-08-2009 18:38:02

salehseghiri
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 40

volume max parallelzpipede

[TeX]2(ab+ac+bc)=4x^2[/latex]  [latex]\Rightarrow[/latex] [latex]c=[/latex][latex]\frac{(-ab+2x^2)}{(a+b)}[/TeX]
[TeX]v(a,b)=abc=\frac{ab(-ab+2x^2)}{(a+b)}[/TeX]
[TeX]\frac{dv(a,b)}{(da)}=\frac{dv(a,b)}{(db)}[/latex]  [latex]=0[/latex]     [latex]\Rightarrow[/latex] [latex]\frac{-((a^2 (2 a b + b^2 - 2 x^2))}{(a+b)^2}=\frac{-((b^2 (2 a b + a^2 - 2 x^2))}{(a+b)^2[/latex][latex]=0[/latex]  [latex]\Rightarrow a=b[/TeX]
donc:
[TeX]3a^2=3b^2=2x^2 \Rightarrow a=b=x.sqrt[\frac{2}{3}][/TeX]
[TeX]c=[/latex][latex]\frac{(-ab+2x^2)}{(a+b)}=a=b=x.sqrt[\frac{2}{3}[/TeX]
merci pour tout

 #12 - 28-08-2009 18:41:25

salehseghiri
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 40

Volume max paralllepipede

Bravo bagouze

 #13 - 28-08-2009 19:32:47

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Rouen

Volume max parallelepipeede

dhrm77 a écrit:

que c'est dur...
c'est au moins un probleme de math de 6eme...

Quelle superbe gentillesse dans tes propos, je suis stupéfait hmm
As-tu cherché une démo ? Non. Et elle était bien chiante à faire, à en croire la réponse donnée par salehseghiri... Je ne savais pas qu'on étudiait les dérivées partielles en sixième... Où as-tu été scolarisé ? lol


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 #14 - 29-08-2009 00:46:58

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

volume max parallelepipese

Je crois que ça a été fait suite à la réplique de dhrm77, "arf, trop facile". Comme ça on était forcés de calculer que l'aire de chaque côté faisait, non pas [latex]x^2[/latex] tout simplement, mais [latex]\frac{2}{3}x^2[/latex].

Rajout de complexité de polichinelle, certes, mais ça pouvait peut-être nous pousser à chercher une démo plus générale...


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 #15 - 29-08-2009 09:44:14

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Volume max paralleleppiede

Vasimolo a écrit:

Une question bête . Pourquoi poser [latex]S=4x^2[/latex] et pas [latex]S=6x^2[/latex] ?

Vasimolo

C'était le cas quand j'ai répondu en tout cas.
Mais visiblement l'énoncé a été changé entre-temps ^^
Il aurait fallut prévenir qu'on cherche la nouvelle solution :-p

 #16 - 29-08-2009 09:56:20

bagouze
Expert de Prise2Tete
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Volume max parallelpeipede

Nicouj a écrit:

Mais visiblement l'énoncé a été changé entre-temps ^^

Me disais aussi...big_smile


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 #17 - 29-08-2009 15:09:22

dhrm77
L'exilé
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volume max parallelepipedr

Je crois qu'il ne faudrait pas confondre un puzzle/une enigme avec un probleme de math.
Pour un probleme de math on applique des regles connues pour trouver la solution.
Ici, simplement a=b=c=sqrt(s/6) (quel que soit s)

Pour une énigme, il y a un coté mysterieux ou la méthode de resolution n'est pas évidente, et ou la plus grosse difficulté du probleme est donc de trouver comment la résoudre.

Et puis si on change l'énoncé, il faut prevenir ceux qui ont déjà répondu.

MthS-MlndN a écrit:

Je ne savais pas qu'on étudiait les dérivées partielles en sixième... Où as-tu été scolarisé ? lol

Non effectivement, pas de dérivées partielles en sixième, mais j'étais un de rare à savoir calculer une racine carrée à la main en 6eme.

Et puis le probleme était de déterminer a, b, c, et non pas de le prouver. On peut simplement determiner par observation ou approximations successives.

PS: j'ai été scolarisé dans la meme ville que minifat. Il doit y avoir quelque chose dans l'eau...


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 #18 - 29-08-2009 15:11:32

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Volume max parallelepipedde

Ben écoute, euh, je ne sais pas, bravo. Moi aussi, j'étais un peu autiste, mais j'ai la décence de ne pas m'en vanter roll


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 #19 - 30-08-2009 14:31:55

oannes
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volume mac parallelepipede

En 6ème je regardais les filles dans un coin de la cour et j'échangeais des cartes des Chevaliers du Zodiaque avec les coupains. Ce qui ne m'empêchait pas comme beaucoup d'autres de calculer une racine à la main, qui n'est rien d'autre qu'une multiplication. lol
Depuis, la bière a eu raison de mon potentiel (pour les racines, pas pour les filles hein namého!)


"Rien n'est plus réel que rien" Démocrite

 #20 - 30-08-2009 15:02:10

MthS-MlndN
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Volume max paralleleppipede

Mais c'est quoi, tous ces autistes qui calculent des racines carrées à la main en sixième, m***e ?! big_smile

(Et là, Vasimolo se pointe et rajoute : "Des racines carrées en sixième ? Pfff, bande d'attardés ! Moi, en sixième, je démontrais le théorème de Fermat dans la marge de mon cahier" lol)


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 #21 - 30-08-2009 15:07:47

oannes
Professionnel de Prise2Tete
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Volumee max parallelepipede

Mais euh, les multiplications c'est quand même plus tôt que la 6ème non? Je suis si vieux que ça? Tu peux plus demander à un gamin de 11 ans de faire 163x163 (par exemple)? O_o


"Rien n'est plus réel que rien" Démocrite

 #22 - 30-08-2009 15:21:09

MthS-MlndN
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Volume ma parallelepipede

Et s'il se trompe dans son calcul, pas de dessert. Bien fait. Petit con.


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 #23 - 30-08-2009 18:28:42

CalamitySt
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Lieu: Annecy

volume max parzllelepipede

Je donne des cours particuliers de maths de temps en temps pour des élèves entre la 6e et la terminale. Pour ceux qui ne connaissent pas les programmes vous seriez surpris ... Je vais parler comme une vieille (de 35 ans) mais tant pis : le niveau requis à chaque classe a bien baissé ...
En 4e certains élèves en sont encore à transpirer sur des calculs de proportions et de vitesses. Moi j'étudiais ça en CM1 je crois ?
Regardez les ana-bac des terminales de gestion (stg) : il y a des problèmes de pourcentages et de cumul d'intérêts sur un livret d'épargne ...


Le chemin le plus long commence par un petit pas.

 #24 - 30-08-2009 21:15:07

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

volume max parallzlepipede

Yep, j'ai pas mal pratiqué l'enseignement à domicile aussi, et le niveau de STG tout particulièrement est hallucinant... Non pas que les taux d'intérêt me fassent ch**r mais pas loin lol


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