méthode "bourrin" à défaut d'en trouver une plus élégante
je résume:

en quelques lignes on obtient l’équation  a=b/10+b²/90
on résout en  prenant b comme inconnue

delta= 81+360a 
c'est un carré entier pour a=1,4,7

pour a= 1 on a b=6    1/6=0,1666666666  seule solution

les autres valeurs de a  ne donnent pas pour b des entiers naturels compris entre 1 et 9.

Franky1103 et Franky1103 il y a une autre solution

Déjà b>a.
a/b = 0,abbbbbbbbbbb
a/b*10 = a,bbbbbbbbbbb
10(a/b)-a=0,bbbbbbbbbbbbbb
(10(a/b)-a)*10 = b,bbbbbbbbbb
(10(a/b)-a)*10-(10(a/b)-a) = b
9(10(a/b)-a)=b
90*a/b-9a = b

Un coup de Wolfram|Alpha et j'ai :
b = 3/2(sqrt(9a²+40a)-3a)

Je teste avec a=1, b=6 et 1/6=,166666666. Il faut sélectionner les couples d'entiers naturels par contre.

J'ai modifié ma réponse sous forme d'édit:
1/6 = 0,1666666....... ou 9/9 = 0,9999999.......

Bonjour,

Déjà nous avons a/b <= 1 et donc a <= b.

Soit [latex]k_a[/latex] le nombre de chiffres de a et [latex]k_b[/latex] le nombre de chiffres de b.

Posons [latex]x = 0,bbbbb\ldots[/latex]  alors nous avons :
[TeX]x*10^{k_b} = b + 0,bbb\ldots = b + x[/TeX]
On en déduit que  [latex]x={b\over10^{k_b}-1}[/latex]

Nous avons également [latex]{a\over b} = 0,abbbbb\ldots[/latex]

donc  [latex]{a\over b}*10^{k_a} = a,bbbb\ldots  = a + x[/latex]
     
Nous avons donc l'équation suivante :
[TeX]a+{b\over10^{k_b}-1} = {a\over b}*10^{k_a}[/TeX]
En la réarrangeant un peu nous obtenons :
[TeX]ab*(10^{k_b}-1) + b^2 = a*10^{k_a}*(10^{k_b}-1) \eqno (1)[/TeX]
Comme 0 < b, on en déduit facilement l'inégalité suivante :
[TeX]ab*(10^{k_b}-1) < a*10^{k_a}*(10^{k_b}-1)[/TeX]
en simplifiant nous avons  [latex]b < 10^{k_a}[/latex]

En se rappelant que [latex]k_a[/latex] est le nombre de chiffres de a et que a <= b, cela signifie que a et b ont le même nombre de chiffres, autrement dit nous avons [latex]k_a=k_b[/latex].

Pour la suite nous poserons donc [latex]k=k_a=k_b[/latex].

L'équation [latex](1)[/latex] devient ainsi :
[TeX]ab*(10^k-1) + b^2 = a*10^k*(10^k-1)[/TeX]
Ce que l'on peut réécrire en :
[TeX]b^2=a(10^k-1)(10^k-b) \eqno (2)[/TeX]
Maintenant faisons une étude sur les nombres de chiffres.

b est un nombre à k chiffres, donc [latex]b^2[/latex] est un nombre à 2k-1 ou 2k chiffres.

De même a et [latex]10^k-1[/latex] sont des nombres à k chiffres donc leur produit [latex]a(10^k-1)[/latex] est aussi un nombre à 2k-1 ou 2k chiffres.

Paragraphe étoilé : ********************************
Comme [latex]10^k-1[/latex] est le plus grand nombre à k chiffres (qui contient que des 9), la seule valeur de a pour laquelle [latex]a(10^k-1)[/latex] a 2k-1 chiffres est [latex]a = 10^{k-1}[/latex] (on aura k 9 plus k-1 0 = 2k-1 chiffres).
***********************************************************

De plus [latex]11(10^k-1)= 10^k * 11 - 11 = 10^{k+1} + 10^k - 11[/latex]
Donc si k > 1 alors [latex]11(10^k-1) > 10^{k+1}[/latex] et a donc k+2 chiffres. Et comme a est un nombre à k chiffres, alors [latex]a(10^k-1)*11[/latex] est un nombre à 2k+1 ou 2k+2 chiffres. Or b a au plus 2k chiffres. Donc pour k > 1, on a [latex](10^k-b) <= 10[/latex].

Donc étudions dans un premier temps le cas k = 1 :

d'après [latex](2)[/latex] nous avons [latex]b^2=a*9*(10-b)[/latex].
Ici nous avons une équation du second degré en b, on peut calculer son discriminant, on obtient ainsi facilement b en fonction de a, et comme nous avons seulement 9 chiffres a essayer, on se rend compte facilement que les deux seules solutions possibles sont :

* a= 1 et b = 6 (et en effet, 1/6 = 0,166666...)
* a = b = 9 (en effet, 9/9=1=0,99999...)

Maintenant supposons k > 1.

Nous avons vu que dans ce cas là  [latex](10^k-b) <= 10[/latex]

Supposons que  [latex](10^k-b) = 1[/latex], alors on a [latex]b = (10^k-1)[/latex], en remplaçant dans [latex](2)[/latex] on obtient :
[TeX](10^k-1)^2=a*(10^k-1)*1[/TeX]
ce qui donne [latex]a = b = (10^k-1)[/latex], et en effet, comme a et b ne sont composés que de chiffres 9, on a bien a/b=1=0,999999....

Maintenant il nous reste plus qu'a regarder le cas [latex]1 < (10^k-b) <= 10[/latex].
Nous avons d'après le paragraphe étoilé que  [latex]b^2[/latex]  est un nombre  à 2k chiffres (car [latex]a(10^k-b)[/latex] est forcément plus grand que [latex]10^{k-1}[/latex] )


Nous pouvons écrire également  [latex]b = (10^k-i)[/latex] avec  [latex]1 < i <= 10[/latex].

Nous avons donc  [latex]b^2= 10^{2k} - 2 * i * 10^k + i^2 = ai*(10^k - 1)[/latex]
Donc i divise [latex]10^{2k}[/latex], c'est à dire :
i = 2, 5 ou 10.

En remplaçant et en simplifiant par i dans chaque cas, nous obtenons :

Si i=10, [latex]10^{2k-1} - 2 * 10^k + 10 = a*(10^k - 1)[/latex]
Si i=5, [latex]2*10^{2k-1} - 2 * 10^k + 5 = a*(10^k - 1)[/latex]
Si i=2, [latex]5*10^{2k-1} - 2 * 10^k + 2 = a*(10^k - 1)[/latex]

Dans tous les cas le membre de gauche de l'égalité est un nombre à 2k-1 chiffres. Or toujours d'aprèse le paragraphe étoilé, la seule possibilité pour que [latex]a*(10^k-1)[/latex] soit un nombre à 2k-1 chiffres est que [latex]a=10^{k-1}[/latex].

Ce qui fait en remplaçant :

Si i=10, [latex]10^{2k-1} - 2 * 10^k + 10 = 10^{2k-1} - 10^{k-1}[/latex]
Si i=5, [latex]2*10^{2k-1} - 2 * 10^k + 5 = 10^{2k-1} - 10^{k-1}[/latex]
Si i=2, [latex]5*10^{2k-1} - 2 * 10^k + 2 = 10^{2k-1} - 10^{k-1}[/latex]

Pour i=10 on obtient [latex]10^{k-1} + 10 = 2*10^k[/latex], ce qui impossible par unicité de l'écriture en base 10.

Pour i= 2 et 5, nous avons le membre de gauche qui se termine par 2 ou 5, alors que le membre de droite se termine par un 0, nous avons donc une contradiction.

Pour résumé les solutions sont :
  si k=1 :  1/6 = 0,166666...
            9/9 = 0,999999...

  si k>1 : 99..9/99..9= 0,99999...

Bon, encore une fois je ne fais pas dans la simplicité

Soit :
[TeX]p[/latex] le nombre de chiffres dans l'écriture de [latex]a[/TeX]
[TeX]q[/latex] le nombre de chiffres dans l'écriture de [latex]b[/TeX]
Alors l'équation peut s'écrire :
[TeX]\frac{a}{b}=\frac{1}{10^p}(a+\frac{b}{10^q-1})\Leftrightarrow a=\frac{1}{10^p}(ab+\frac{b^2}{10^q-1})\Leftrightarrow a(1-\frac{b}{10^p})=\frac{1}{10^p}*\frac{b^2}{10^q-1}[/TeX]
[TeX]\Leftrightarrow a=\frac{b^2}{(10^q-1)(10^p-b)}[/TeX]
Maintenant pour que [latex]a[/latex] soit entier, [latex]10^q-1[/latex] doit diviser [latex]b[/latex] or  [latex]10^q-1[/latex] est le plus grand nombre qui s'écrit avec [latex]q[/latex] chiffres donc [latex]b=10^q-1[/latex]
On a maintenant [latex]a=\frac{10^q-1}{10^p-b}=\frac{10^q-1}{10^p-10^q+1}[/latex]
[TeX]\bullet[/latex] Si [latex]p<q[/latex] alors [latex]10^p-10^q+1 \leq 10^p-10^{p+1}+1=10^p(1-10+\frac{1}{10^p})<-8*10^p<0[/latex] donc [latex]a<0[/latex], ce qui ne convient pas

[latex]\bullet[/latex] Si [latex]p>q[/latex] alors [latex]10^p-10^q+1\geq 10^{q+1}-10^q+1=9*10^q+1>10^q-1[/latex] donc [latex]a[/latex] n'est pas entier, ce qui ne convient pas non plus.

Donc [latex]p=q[/latex] et [latex]a=10^q-1=b[/TeX]
Et on a alors [latex]1=0.9999999999...[/latex] (ce qui est vrai !)

Finalement, l'ensemble des solution est [latex]\{(10^n-1,10^n-1), n\in\mathbb{N}^*\}[/latex]

Merci cogito magnifique ; une réponse bien détaillée et expliquée en plus tu as étudié le cas ou a , b >9

Ben on peut pas dire qu'il soit paresseux Mr Cogito...