Pour la première question, un double Wikipedia m'aura suffi :

"Un entier naturel est premier (ou irréductible) au sens des entiers de Gauss si et seulement s'il n'est pas somme de deux carrés."

Un petit coup de théorème des deux carrés de Fermat derrière :

"Un entier est somme de deux carrés si et seulement si chacun de ses facteurs premiers de la forme 4k + 3 intervient à une puissance paire."

Donc un entier est premier au sens des entiers de Gauss si et seulement si sa décomposition en facteur de nombres premiers fait apparaître au moins un facteur de la forme 4k+3 élevé à une puissance impaire.

Je relis la question pour me rendre compte que tu parles uniquement des entiers premiers, et je reviens sur ma réponse :

Un entier premier est premier au sens des entiers de Gauss si et seulement s'il est congru à 3 modulo 4. (Parce que ceux congrus à 1 peuvent s'écrire comme la somme de deux carrés, et que 2, comme somme de 1 et 1 -- wouah ! -- peut s'écrire .)



Deuxième question : la norme de 215-232i (au sens des entiers de Gauss, donc la somme des carrés de la partie réelle et de la partie imaginaire) est 100049, un nombre premier. Donc 215-232i est un nombre premier de Gauss.

Quelques détails : si on écrit cet entier de Gauss comme le produit de deux entiers de Gauss a et b, alors N(215-232i)=N(a).N(b) (car la norme est multiplicative, ça se démontre en une ligne en utilisant le fait que la norme de x est le produit de x par son conjugué). En d'autres termes, N(a).N(b) est un nombre premier, et vu que N(a) et N(b) sont deux entiers, l'un d'eux vaut forcément 1, donc a ou b est une unité (1, i, -1 ou -i). Donc le nombre lui-même est premier.

M'en fous

Question 1.
Supposons qu'un nombre premier entier p soit factorisable par 2 complexes a+i.b et c+i.d. Leur produit vaut p, donc leurs arguments sont opposés et le produit de leurs modules vaut p.
Autrement dit, p^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2)
Aucun des deux facteurs ne vaut 1 (un entier de Gauss dont le module est 1 est parmi les 4 éléments qu'on a exclu, à savoir 1, -1, i et -i)
Donc (a^2+b^2)=(c^2+d^2)=p puisque p est premier, ce qui signifie qu'un nombre premier serait alors factorisable par 2 complexes conjugués.
D'après ce qu'on a vu à la première étape, ce n'est pas le cas pour p=3[4]

Pour le cas p=2, p=(1+i)(1-i)

Autrement dit, p=3[4] est un nombre premier de Gauss, sinon il est factorisable

Question 2.
(215+232i)(215-232i) = 100049; qui est premier.
Or, d'après le volume 2 de cette série, on sait qu'un nombre premier ne peut pas s'écrire sous la forme d'un produit de 3 entiers de Gauss. S'il existait a et b tels que a.b = 215-232i, alors (215+232i).a.b = p ce qui est absurde.
215-232i est donc un nombre premier de Gauss.

Comme le disaient Mathias et gabrielduflot (sans le démontrer) on peut plus généralement dire que si a^2+b^2 est premier alors a+ib et a-ib sont des nombres premiers de Gauss (la démonstration étant la même que ci-dessus, en remplaçant 215 et 232 par a et b)