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 #1 - 16-10-2009 17:44:34

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

poker fetmé

Tout le monde sait ce qu'est le poker. Et je suppose que nombre d'entre vous pensent immédiatement au Texas Hold'em. Mais je voudrais vous faire part d'un problème concernant le poker fermé (celui des westerns). Au poker fermé, chaque joueur reçoit traditionnellement 5 cartes d'un jeu de 52 cartes.

Les combinaisons de cartes du plus faible au plus fort sont alors: paire-double paire-brelan-suite-couleur-full-quinte flush

Mais certains joueurs jouent au poker fermé à 32 cartes (toujours 5 cartes chacun), pour avoir des jeux plus beaux. La couleur est alors plus forte que le full.Pourquoi?
Merci de justifier l'intuition par le calcul. On considère qu'il n'y a pas d'échange de carte.



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 #2 - 16-10-2009 18:10:38

TChance
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 193

Poker ermé

Parce qu'avec 32 cartes tu fais plus souvent un full qu'une couleur.

Pour la couleur comme il y a moins de cartes les chances que la deuxième puis la troisième... soient de la même couleur que les précédentes diminuent plus vite qu'avec 52 cartes (avec 52 cartes il y a encore 9 chances sur 48 -19%- que la dernière carte soit de la même couleur que les 4 premières, avec 32 cartes on tombe à 4 chances sur 28 - 14%)
Pour faire une couleur tu as 7 chance sur 31 que la deuxième carte soit de la même couleur que la première, la troisième à 6 chances sur 30...

Pour le full au contraire les chances augmentent parce le nombre de cartes qui vont faire paire avec celles que tu as déjà représentent une plus grosse part du paquet.

 #3 - 16-10-2009 18:31:52

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 931

Poker fermmé

Avec 32 cartes :
- nombre de mains avec quinte flush : 4*4=16
- nombre de mains avec couleur sans quinte : 4*(8C5)-4*4=208
- nombre de mains avec un carré : 8*28=224
- nombre de fulls : 8*(4C3)*7*(4C2)=1344
Toutes valeurs à comparer au total (32C5)=201376

Avec 52 cartes :
- nombre de mains avec quinte flush : 4*10=40
- nombre de carrés : 13*48=624
- nombre de fulls : 13*(4C3)*12*(4C2)=3744
- nombre de mains avec couleur sans quinte : 4*(13C5)-4*10=5108
Toutes valeurs à comparer au total (52C5)=2598960

Avec 32 cartes, certains placent cependant le carré au-dessus de la couleur...


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #4 - 16-10-2009 18:48:31

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

poker dermé

C'est une question de dénombrement.

Avec 52 cartes, il y a 5112 mains différentes qui forment une couleur et 3744 mains qui forment un full (le tout sur les 2598960 mains différentes), soit 0,20% ce chance d'avoir une couleur et 0,14% de chance d'avoir un full. Donc le full est plus rare donc plus fort.

Avec 32 cartes, il y a 208 couleurs et 1344 full (sur 201376 mains), donc 0,10% de chance d'avoir une couleur et 0,67% de chance d'avoir un full. Donc la couleur est plus forte.

Ces valeurs (si je ne me suis pas trompé en dénombrant) confirment l'ordre diiférent de la valeur des mains suivant le nombre de cartes du jeu.

exemples de calcul :
on note C(5;52) le nombre de combinaisons possibles avec 5 cartes parmi 52 sans ordre (sans ordre signifie que V A 3 5 6 est la même chose que A V 6 5 3).

La formule est C(x;y)=y!/((y-x)!x!) où x! (lire x factoriel) = x * (x-1) * (x-2) * ...* 2 * 1.

Le nombre de mains d'un jeu de 52 est C(5;52) = 2598960.

Le nombre de couleurs d'un jeu de 52 est :
4 (choix libre de la couleur) * C(5;13) (combinaison de 5 carte parmi les 13 de la couleur) - 36 (le nombre de couleurs qui sont aussi des quintes flush 4 * 9) = 5112.

Le nombre de full d'un jeu de 52 est :
13 (choix libre de la hauteru du brelan) * C(3;4) (choix des 3 cartes du brelan parmi les 4 de la hauteur) * 12 (choix de la hauteur de la paire) * C(2;4) (choix des 2 cartes de la paire) = 3744

 #5 - 16-10-2009 18:52:17

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

poker dermé

Ca, c'est au moins des probas, alors allons-y lol



Poker fermé à 52 cartes :

J'ai une couleur si j'ai 5 cartes parmi les 13 de la même couleur. Il y a [latex]\frac{13!}{5!8!}[/latex] façons différentes de former une couleur donnée, on multiplie par 4 (pour considérer qu'il y a 4 couleurs dans le jeu) : il y a 5148 façons de former une couleur sur tous les tirages possibles.

Pour un full, il faut trois cartes parmi les 4 qui ont la même valeur (4 façons d'y parvenir), choisie parmi les 13 valeurs existantes (on en est à 52 triplets de cartes différents), et on doit associer à un triplet quelconque parmi ces 52 possibles une des 6 paires possibles que l'on peut former avec une des 12 couleurs restantes, soit une paire parmi les 72 possibles. [latex]52 \times 72[/latex] nous donne 3744 façons de faire un full.

La couleur est plus probable que le full, elle vaut donc moins.



Poker fermé à 32 cartes :

J'ai une couleur avec 5 cartes parmi 8 de la même couleur, donc 4 \times [latex]\frac{8!}{5!3!}[/latex] ou 224 façons différentes de faire une couleur.

Pour le full : un brelan sur les 4 possibles pour chacune des 8 valeurs, donc 32 brelans possibles. On associe un brelan à une des 6 paires que l'on forme dans une des 7 valeurs restantes : [latex]32 \times 42[/latex] soit 1344 façons différentes de faire un full.

Cette fois-ci, le full est bien plus probable : il vaut donc moins.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #6 - 16-10-2009 20:01:29

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Poke rfermé

Réponse parfaite de Scrablor (comme dab à ce que j'ai pu voir sur le forum), qui m'apprend même quelque chose. Je n'avais pas regardé les carrés.
Dylasse, l'un de tes dénombrements n'est pas correct (à 4 unités près).
Mat', c'est globalement OK, sauf que tu as oublié d'ôter les quinte-flush.
Tchance, ta réponse est trop intuitive.

Je vais essayer de vous trouver un problème plus dur, mais étant limité par mes capacités, c'est ça qui va être dur.

 #7 - 16-10-2009 20:51:43

TChance
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 193

poker fzrmé

Je ne vois pas ce que ma réponse a d'intuitive. Je ne vois vraiment pas ce qu'on peut dire de plus.

Pour dire les choses autrement les piques par exemple (ou les cartes de n'importe quelle autre couleur) représentent 1/4 des cartes que tu aies 52 ou 32 cartes. Mais à 32 cartes chaque fois que tu retires un pique du paquet, la proportion de piques dans le paquet diminue plus vite que dans un jeu de 52 cartes. Donc les couleurs sont plus rares avec 32 cartes que 52.

Dans le même temps les roi (ou n'importe quelle autre valeur) représentent une plus grosse part du paquet s'il y a 32 cartes (un carte sur 8) que 52 (une cartes sur 13). Donc une fois qu'on a touché un roi, nos chances de toucher un deuxième roi sur plus élevées dans un tas de 32 cartes que de 52. Même chose pour toucher un troisième roi puis pour toucher une autre paire avec (quel que soit l'ordre dans lequel tu les touches). Donc on fait plus facilement un full avec 32 qu'avec 52 cartes.

Bien sûr ça n'explique pas pourquoi il y a plus de couleurs que de full à 52 cartes et l'inverse à 32 (ça se constate juste en comparant les probabilités d'apparition mais il n'y a pas d'explication à fournir), ça explique juste pourquoi il y a moins de couleurs et plus de fulls à 32 cartes.

Ca te paraît moins intuitif comme ça ?

 #8 - 16-10-2009 22:14:26

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Poekr fermé

Pour avoir 5 cartes de chaque couleur
il y a [latex]4\times C_8^5[/latex]=224 possibilités

[u]pour avoir un full[\u]
pour faire un full [latex]8\times4\times7\times C_4^2[/latex]=1344 possibilités

Donc il y a plus de possibilités de faire un full qu'une couleur

 

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