Si vous avez déjà joué au poker en live, ou déjà vu des joueurs de poker, vous savez certainement qu'ils s'amusent tous avec leurs jetons, en réalisant des figures plus ou moins complexes : les "tricks".
Parmi ces figures, la plus connue est le "shuffle". Elle consiste, à partir de 2 piles de jetons, de même niveau, à les mélanger pour n'en obtenir qu'une seule, et ainsi de suite.
En voici le déroulement illustré : une pile de jetons, qu'on coupe en 2 au milieu, ce qui donne 2 piles côté à côté, on les rapproche et on fait en sorte que les jetons s'intercalent un sur deux et reconstituent une seule pile, qu'on recoupe en 2 etc etc





Selon le nombre de jetons au départ, n jetons dans chaque pile, avec une couleur pour chaque pile, en combien de mouvements le joueur de poker retrouvera ses jetons rangés comme dans la position initiale ?
Peut-on donner une formule mathématique donnant le nombre de mouvements en fonction de n ?

On considère que les jetons s'intercalent toujours de la même manière à chaque mouvement : le jeton tout en bas provient de la pile de gauche, celui juste au dessus provient de la pile de droite, etc ... et le jeton tout en haut provient de la pile de droite.
Quand on coupe, la pile du haut passe à droite.
En gros, le jeton du bas reste toujours en bas, celui du haut toujours en haut.

Un "mouvement" consiste à : couper en 2, puis rassembler les jetons.

(le calcul est assez facile pour un nombre de jetons de départ égal à une puissance de 2)