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 #1 - 31-01-2011 13:05:17

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

pojer tricks : le shuffle

Si vous avez déjà joué au poker en live, ou déjà vu des joueurs de poker, vous savez certainement qu'ils s'amusent tous avec leurs jetons, en réalisant des figures plus ou moins complexes : les "tricks".
Parmi ces figures, la plus connue est le "shuffle". Elle consiste, à partir de 2 piles de jetons, de même niveau, à les mélanger pour n'en obtenir qu'une seule, et ainsi de suite.
En voici le déroulement illustré : une pile de jetons, qu'on coupe en 2 au milieu, ce qui donne 2 piles côté à côté, on les rapproche et on fait en sorte que les jetons s'intercalent un sur deux et reconstituent une seule pile, qu'on recoupe en 2 etc etc
http://www.prise2tete.fr/upload/L00ping007-shuffle1.JPG
http://www.prise2tete.fr/upload/L00ping007-shuffle2.JPG
http://www.prise2tete.fr/upload/L00ping007-shuffle3.JPG


Selon le nombre de jetons au départ, n jetons dans chaque pile, avec une couleur pour chaque pile, en combien de mouvements le joueur de poker retrouvera ses jetons rangés comme dans la position initiale ?
Peut-on donner une formule mathématique donnant le nombre de mouvements en fonction de n ?

On considère que les jetons s'intercalent toujours de la même manière à chaque mouvement : le jeton tout en bas provient de la pile de gauche, celui juste au dessus provient de la pile de droite, etc ... et le jeton tout en haut provient de la pile de droite.
Quand on coupe, la pile du haut passe à droite.
En gros, le jeton du bas reste toujours en bas, celui du haut toujours en haut.

Un "mouvement" consiste à : couper en 2, puis rassembler les jetons.

(le calcul est assez facile pour un nombre de jetons de départ égal à une puissance de 2)



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 #2 - 31-01-2011 14:16:08

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 163
Lieu: devant mon écran

Poker tricks : el shuffle

Si on appelle "opération", le fait de reconstituer une seule pile et ensuite de faire 2 piles égales, alors je pense que pour les puissances de 2 (2^n jetons dans chaque pile), la réponse est  n + 1 opérations.

Exemple : pour 2 piles de 2 jetons il faut 2 opérations, pour 2 piles de 4 jetons, il faut 3 opérations, pour 2 piles de 8 jetons, il faut 4 opérations, ...

Je cherche encore pour généraliser les autres cas.

Malheureusement je n'arrive pas encore à généraliser...

pour n = 3, il faut 4 opérations
pour n = 5, il faut 6 opérations
pour n = 6, il faut 10 opérations
pour n = 7, il faut 12 opérations...


On n’est jamais très fort pour ce calcul...

 #3 - 31-01-2011 15:35:29

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Poker rticks : le shuffle

Pour un nombre de jeton =[latex]2^n[/latex] ,il y aura une symetrie dans les couleurs a chaque étape et le nombre de mouvement doit etre [latex]n+1[/latex].
autrement il faut passer par une ecriture en binaire je crois !


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #4 - 31-01-2011 16:38:44

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

Pker tricks : le shuffle

Pour être précis dans ton énoncé, il faut aussi préciser si quand tu coupes, la pile du haut devient celle de gauche ou celle de droite?

 #5 - 31-01-2011 17:41:34

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

pokzr tricks : le shuffle

Précision : quand on coupe, la pile du haut passe à droite.
En gros, le jeton du bas reste toujours en bas, celui du haut toujours en haut.

Un "mouvement" consiste à : couper en 2, puis rassembler les jetons.

 #6 - 01-02-2011 13:52:48

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Paris

poker trickd : le shuffle

Bon début, fred et Azdod.

Il semble que la généralisation pose problème hmm

 #7 - 01-02-2011 18:34:16

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Paris

poker tricks : le shuffke

Indice :

Regarder, dans l'ordre, les puissances successives de 2, modulo (n-1) ...

 #8 - 03-02-2011 19:50:47

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

Poker trics : le shuffle

Il y a en effet une histoire de décomposition en cycle des nombres de 1 à 2n-2
Après on prend le ppcm de la longueur des cycles ce qui donne le nombre d'étapes nécessaires.
C'est sommaire, mais j'ai la flemme d'en faire plus et aussi de trouver une formule explicite tonguesmile

 #9 - 05-02-2011 09:45:59

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

poker tricks : le shufflz

S'il y a n jetons dans chaque pile, cela fait 2n jetons au total.
Je vous propose une formule donnant le nombre d'opérations N en fonction de n, sans justification...
[TeX]\fbox{N=ppcm\{k\in\mathbb{N}^*|2^{k}=1 \quad mod \quad (2n-1)\}}[/TeX]
En fait, il suffit de numéroter les jetons de 0 à 2n-1 en partant du bas de la pile, d'effectuer une fois l'opération, de noter alors le nouvel ordre des numéros.
On a 1 envoyé sur 2, 2 envoyé sur 4, 4 envoyé sur 8,... donc à chaque fois on multiplie par 2, modulo 2n-1, jusqu'à retomber sur 1.
Cela donne un cycle.
Il peut y avoir plusieurs cycles. Dans ce cas, on retombe bien sur un dans tous les cycles (cad la pile initiale), qd on a effectué un nombre d'opérations égal au ppcm de la longueur des différents cycles.

edit :
Après reflexion je pense que tous les cycles obtenus ont meme longueur.
Il y a une histoire d'orbites modulo une certaine opération, mais je n'ai pas envie de me replonger dans mes cours d'algebre tongue
J'arrange donc la formule :
...


edit de l'edit, j'ai dit une connerie, la 1ere réponse était bonne :
si n=5 :
Il y a 10 jetons, et la pile initiale est : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Après une opération, on a 0,5,1,6,2,7,3,8,4,9

Donc 3 et 6 sont échangés (2-cycle (36) ), et d'autre part on a le cycle (124875)
Donc un cycle de longueur 2 et l'autre de longueur 6, on retombe sur l'identité en élevant à la puissance 6, soit le ppcm de la longueur des cycles.

 #10 - 05-02-2011 11:07:37

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

pokrr tricks : le shuffle

Excellente reponse de toni, tu peux résumer ca en un mot :-)

 #11 - 05-02-2011 18:50:25

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

Poker tricks : le shufffle

Comme je ne me souviens pas (ou en tout cas ne vois pas), tu vas pouvoir me raffraichir la memoire wink

 #12 - 05-02-2011 20:14:22

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

PPoker tricks : le shuffle

La réponse est donc :
c'est l'ordre de 2 dans Z/(2n-1)Z, ce qu'a très exactement dit toni avec des modulos.

Démonstration ici, on parle d'out-shuffle pour ce genre de mélange, jetons ou cartes à jouer.

 #13 - 06-02-2011 08:27:46

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Poker tricks : le shuffel

On ne peut pas donner de formule simple.
http://oeis.org/A002326

 #14 - 06-02-2011 13:38:31

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Poker trickss : le shuffle

Une des références citées s'appelle "Shuffling into Hyperspace", j'adore lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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