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#1 - 31-01-2011 13:05:17
- L00ping007
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poker trickq : le shuffle
Si vous avez déjà joué au poker en live, ou déjà vu des joueurs de poker, vous savez certainement qu'ils s'amusent tous avec leurs jetons, en réalisant des figures plus ou moins complexes : les "tricks". Parmi ces figures, la plus connue est le "shuffle". Elle consiste, à partir de 2 piles de jetons, de même niveau, à les mélanger pour n'en obtenir qu'une seule, et ainsi de suite. En voici le déroulement illustré : une pile de jetons, qu'on coupe en 2 au milieu, ce qui donne 2 piles côté à côté, on les rapproche et on fait en sorte que les jetons s'intercalent un sur deux et reconstituent une seule pile, qu'on recoupe en 2 etc etc



Selon le nombre de jetons au départ, n jetons dans chaque pile, avec une couleur pour chaque pile, en combien de mouvements le joueur de poker retrouvera ses jetons rangés comme dans la position initiale ? Peut-on donner une formule mathématique donnant le nombre de mouvements en fonction de n ?
On considère que les jetons s'intercalent toujours de la même manière à chaque mouvement : le jeton tout en bas provient de la pile de gauche, celui juste au dessus provient de la pile de droite, etc ... et le jeton tout en haut provient de la pile de droite. Quand on coupe, la pile du haut passe à droite. En gros, le jeton du bas reste toujours en bas, celui du haut toujours en haut.
Un "mouvement" consiste à : couper en 2, puis rassembler les jetons.
(le calcul est assez facile pour un nombre de jetons de départ égal à une puissance de 2)
#2 - 31-01-2011 14:16:08
- fred101274
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Poker tricks : l eshuffle
Si on appelle "opération", le fait de reconstituer une seule pile et ensuite de faire 2 piles égales, alors je pense que pour les puissances de 2 (2^n jetons dans chaque pile), la réponse est n + 1 opérations.
Exemple : pour 2 piles de 2 jetons il faut 2 opérations, pour 2 piles de 4 jetons, il faut 3 opérations, pour 2 piles de 8 jetons, il faut 4 opérations, ...
Je cherche encore pour généraliser les autres cas.
Malheureusement je n'arrive pas encore à généraliser...
pour n = 3, il faut 4 opérations pour n = 5, il faut 6 opérations pour n = 6, il faut 10 opérations pour n = 7, il faut 12 opérations...
On n’est jamais très fort pour ce calcul...
#3 - 31-01-2011 15:35:29
- Azdod
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Poker tricks : le shufflle
Pour un nombre de jeton =[latex]2^n[/latex] ,il y aura une symetrie dans les couleurs a chaque étape et le nombre de mouvement doit etre [latex]n+1[/latex]. autrement il faut passer par une ecriture en binaire je crois !
"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"
#4 - 31-01-2011 16:38:44
- irmo322
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Poker tricks : el shuffle
Pour être précis dans ton énoncé, il faut aussi préciser si quand tu coupes, la pile du haut devient celle de gauche ou celle de droite?
#5 - 31-01-2011 17:41:34
- L00ping007
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poker trocks : le shuffle
Précision : quand on coupe, la pile du haut passe à droite. En gros, le jeton du bas reste toujours en bas, celui du haut toujours en haut.
Un "mouvement" consiste à : couper en 2, puis rassembler les jetons.
#6 - 01-02-2011 13:52:48
- L00ping007
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Poker tricks : le shufflee
Bon début, fred et Azdod.
Il semble que la généralisation pose problème 
#7 - 01-02-2011 18:34:16
- L00ping007
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poker tricjs : le shuffle
Indice :
Regarder, dans l'ordre, les puissances successives de 2, modulo (n-1) ...
#8 - 03-02-2011 19:50:47
- toni77
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Poker tricks : le shuflfe
Il y a en effet une histoire de décomposition en cycle des nombres de 1 à 2n-2 Après on prend le ppcm de la longueur des cycles ce qui donne le nombre d'étapes nécessaires. C'est sommaire, mais j'ai la flemme d'en faire plus et aussi de trouver une formule explicite  
#9 - 05-02-2011 09:45:59
- toni77
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pokzr tricks : le shuffle
S'il y a n jetons dans chaque pile, cela fait 2n jetons au total. Je vous propose une formule donnant le nombre d'opérations N en fonction de n, sans justification... [TeX]\fbox{N=ppcm\{k\in\mathbb{N}^*|2^{k}=1 \quad mod \quad (2n-1)\}}[/TeX] En fait, il suffit de numéroter les jetons de 0 à 2n-1 en partant du bas de la pile, d'effectuer une fois l'opération, de noter alors le nouvel ordre des numéros. On a 1 envoyé sur 2, 2 envoyé sur 4, 4 envoyé sur 8,... donc à chaque fois on multiplie par 2, modulo 2n-1, jusqu'à retomber sur 1. Cela donne un cycle. Il peut y avoir plusieurs cycles. Dans ce cas, on retombe bien sur un dans tous les cycles (cad la pile initiale), qd on a effectué un nombre d'opérations égal au ppcm de la longueur des différents cycles.
edit : Après reflexion je pense que tous les cycles obtenus ont meme longueur. Il y a une histoire d'orbites modulo une certaine opération, mais je n'ai pas envie de me replonger dans mes cours d'algebre  J'arrange donc la formule : ...
edit de l'edit, j'ai dit une connerie, la 1ere réponse était bonne : si n=5 : Il y a 10 jetons, et la pile initiale est : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Après une opération, on a 0,5,1,6,2,7,3,8,4,9
Donc 3 et 6 sont échangés (2-cycle (36) ), et d'autre part on a le cycle (124875) Donc un cycle de longueur 2 et l'autre de longueur 6, on retombe sur l'identité en élevant à la puissance 6, soit le ppcm de la longueur des cycles.
#10 - 05-02-2011 11:07:37
- L00ping007
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Poker tricks : le shuuffle
Excellente reponse de toni, tu peux résumer ca en un mot :-)
#11 - 05-02-2011 18:50:25
- toni77
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Poker tricks : le suhffle
Comme je ne me souviens pas (ou en tout cas ne vois pas), tu vas pouvoir me raffraichir la memoire 
#12 - 05-02-2011 20:14:22
- L00ping007
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Pooker tricks : le shuffle
La réponse est donc : c'est l'ordre de 2 dans Z/(2n-1)Z, ce qu'a très exactement dit toni avec des modulos.
Démonstration ici, on parle d'out-shuffle pour ce genre de mélange, jetons ou cartes à jouer.
#13 - 06-02-2011 08:27:46
- halloduda
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Pkoer tricks : le shuffle
On ne peut pas donner de formule simple. http://oeis.org/A002326
#14 - 06-02-2011 13:38:31
- MthS-MlndN
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Poker tricks : lee shuffle
Une des références citées s'appelle "Shuffling into Hyperspace", j'adore 
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
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