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 #1 - 16-10-2009 23:16:44

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4934

la rondz des fourmis

Bonsoir smile

Le sujet Les fourmis de VanSS , http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=4873 m'en a rappelé un autre .

Des fourmis se déplacent dans un anneau circulaire de 1m de circonférence à la vitesse constante de 1m/min . Certaines tournent dans un sens et d'autres dans l'autre et quand deux d'entre elles se rencontrent elles font demi-tour pour repartir à la même vitesse mais dans l'autre sens .

Quelle que soit la position de départ , peut-on être sûr qu'à un moment donné toutes les fourmis retrouveront leurs positions et leur sens de déplacement initiaux . Plus précisément le mouvement de l'ensemble des fourmis est-il périodique et si oui quel en est la période ?

Amusez-vous bien smile

Vasimolo



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 #2 - 16-10-2009 23:22:56

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

La rodne des fourmis

je te hais lol

--
en toute amitié, il va de soi big_smilebig_smilebig_smile


http://enigmusique.blogspot.com/

 #3 - 19-10-2009 10:36:14

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

La ronde des fourmsi

On va supposer que les fourmis portent des dossards et qu'elles échangent leur dossard lorsqu'elles se rencontrent.

Les dossards tournent à vitesse constante et vont donc se retrouver en position initiale simultanément en ayant fait chacun un tour au bout de D (D=1 minute, temps pour faire un tour).
Par contre, ils seront portés par des fourmis vraisemblablement différentes.

Si N fourmis sont présentes dans l'anneau, il y a N! façon de distribuer les dossards aux fourmis, donc au bout d'un temps N! D, on est sur que les dossards seront portés selon une distribution déjà rencontrée.

Donc le mouvement des fourmis est périodique, d'une période inférieure ou égale à N! D.

En pratique, pour N = 3, la période est soit D (toutes les fourmis tournent dans le même sens), soit 3 D (2 dans un sens, 1 dans l'autres).

Après quelques heures de creusage :

Puisque les fourmis ne se croisent pas, elles conservent le même ordre dans le tube, simplement décalé de P positions (entre 0 à N-1 positions) lorsque les dossards ont fait un tour.

En faisant faire T tours aux dossards, on aura décalé les fourmis de TP positions. En choissant T = N/PGCD (P, N), on aura décalé de PN/PGCD(P,N)=PPCM(P,N) donc les fourmis sont revenues à leur position initiale.

Donc la période est au maximim N D, elle pourra être un diviseur de N.

Exemple :
4 fourmis :
toutes dans le même sens : période D
2 dans un sens, 2 dans l'autre : période 2 D
3 dans un sens, 1 dans l'autre : période 4 D.

Rem : c'est en fait un problème de permutation, la période est égale à l'"ordre" de cette permutation.

 #4 - 20-10-2009 15:54:17

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4934

La ronde des fourims

Très bon boulot dylasse smilesmilesmile

Personnellement j'avais changé légèrement le problème qui avait tendance à me donner le tournis . On peut supposer que les fourmis tournent toujours dans le même sens et échangent leurs dossards ( il suffit alors de suivre les dossards ) . Ca revient exactement à ce que tu as dit mais pour moi c'est plus reposant smile Il y a alors deux ronds de fourmis qui tournent comme deux anneaux en sens contraire disons des fourmis rouges et des fourmis noires qui passent leur temps à changer de maillots . La encore visuellement c'est pas le top et on peut lier un repère à l'anneau des fourmis rouges on obtient un anneaux de fourmis rouges fixe et un anneau de fourmi noires qui tournent deux fois plus vite et qui déplace les dossards d'une fourmi rouge à une autre ( on peut bien sûr échanger le rôle de chaque type de fourmis ) .

Ceci dit tu peux tout à fait garder ton modèle , je précise juste que la période du mouvement dépend uniquement du nombre de fourmis de chaque couleur ( tournant initialement dans un sens ou dans l'autre ) . Pour conclure il te reste juste à préciser cette période , mais tu as pratiquement fini smile

Encore bravo !!!

Vasimolo

 #5 - 20-10-2009 18:42:31

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

La ronde des foumris

Merci pour tes encouragements, je poursuis donc...

On va supposer qu'il y a p dosards qui tournent dans un sens (positif) et i dossards qui tournent dans le sens négatifs.

Chaque dossard positif va croiser i dossards lors d'un tour (uniquement les dossards négatifs). A chaque croisement, le dossard passe sur la fourmi suivante dans le sens positif. Donc à chaque tour les dossards positifs sont décalés de i fourmis dans le sens positifs. De la même façon, les dossards négatifs sont décalés de p fourmis dans le sens négatifs. (ouf, on n'a pas 1 fourmis avec 2 dossards et une qui s'enrhume !!!).

On va chercher T pour qu'au bout de T tours, tous les dossards soient revenus au point de départ :
pT et iT doivent être multiples de N.

N=g(p'+i') où g est le pgcd de i et p et p' et i' premiers entre eux (pour les puristes, si i=0, on prendra g=p).

En prenant T=N/g, on a répondu à la question :

La période du mouvement de nos fourmis est donc : N/g D !

 #6 - 20-10-2009 19:10:46

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4934

ma ronde des fourmis

Rien à ajouter smile

J'aime beaucoup ce problème tellement complexe en apparence , qui semble dépendre d'une multitude de paramètres ( positions des fourmis ) et qui se révèle comme un "simple" problème d'arithmétique .

Bravo !!!

Vasimolo

 

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