Bonjour,


A première lecture, cela me fait penser à l'énigme

"embouteillage sur le périph' "

à part qu'ici, la table est encore "droite" alors que le périphérique est circulaire ...

Je reviens ....

A+

Bonsoir .

Je crois que j'ai une idée du codage de la position . On note ni le nombre de pièces à la distance i d'un chevalier ( n0 représente le nombre de ses pièces ) . Sa somme notée S est définie par =n0+2.n1+4.n2+8.n4... . A chaque coup la somme de chaque chevalier augmente de 2^(k-1) ( k est la distance entre le chevalier qui distribue les pièces et celui dont on calcule la somme ) sauf si c'est son vis-à-vis qui a distribué les chevalières la somme restant alors stable . Comme chacun des S ne peut pas grandir indéfiniment et que la même personne ne peut pas distribuer continuellement des chevalières , les échanges vont nécessairement s'arrêter .

Vasimolo

En effet mais bon , le vis-à-vis du distributeur baisse de 2^k les autres augmentent de 2^i avec i la distance entre les deux chevaliers . Globalement la somme de tous les S varie toujours dans le même sens donc elle va forcément coincer à un moment donné .

Pas le temps de finir ce soir , on m'attend au volley

Bonne soirée .

Vasimolo

Oui en fait la somme est constante , il faudra trouver autre chose

Vasimolo

On appelle une case active une case où un chevalier (=case) donne une bague en amont et en aval. C'est donc au départ une case à au moins 2 bagues. S'il y a plusieurs cases actives successives, qu'on va appeler zone active, alors le bilan après un passage complet sur cette zone est:
-La 1ére et la dernière case perdent 1 bague. Pour la 1ere case, la bague manquante est en amont. Pour la dernière case, la bague manquante est en aval.
-Les cases intermédiaires ont un nb de bagues inchangé. En effet, 1 case donne 2 bagues, mais en reçoit 2 (une de la case amont, une de la case avale).
Une zone active, dans le sens des échanges, a pour 1er case une case d'au moins 2 bagues et pour dernière case celle juste avant une case sans bague (vide). Donc, les cases à une seule bague qui suivent une 1ère case active font partie de la zone active. En effet, après échange d'une case active, une case à 1 bague située juste en aval deviendra active par acquisition d'une bague.


Exemple de zone active:
(Les 0 sont les cases vides, et les autres nombres représentent le nombre de bagues dans une case)

...021111100... qui donnera après échanges de G à D ---->....111111010...
Les 0 sont les cases vides, et les autres nombres représentent le nombre de bagues dans une case.

Une configuration globale des bagues sur un cercle peut être décrite ainsi de cette façon:

;zone active A;0;suite éventuelle de 0 et de 1;zone active B;0;suite éventuelle de 0 et de 1;zone active C;0;suite éventuelle de 0 et de 1;....;zone active A.

Dans la suite du texte, les échanges ne seront plus représentés en détail, mais seulement après un passage global sur zone active.

Montrons qu'une zone active indépendante s'étale en largeur et s'écrase en hauteur (l'empilement des bagues diminue)

En amont:
...0000A. A est une case avec assez de bagues pour la démo. Son cardinal change avec les passages, mais par simplification, on garde A (réservoir de bagues)
Suite de passages successifs:
0000A
0001A
0002A
0010A   
0011A
0012A
0021A
0111A
etc...
quand le A est épuisé, on ira chercher un autre empilement (au moins 2 bagues) en aval.

On émet à partir de A une seconde bague qui recule à chaque passage et qui vient au bout occuper une case vide.

En aval:
A00000
A10000
A01000
A11000
A10100
A01100
A11100
A11010
A10110
A01110
etc..
quand le A est épuisé, on ira chercher un autre empilement (au moins 2 bagues) en amont.

C'est comme si on allait chercher la 1ère case vide et qu'on la ramenait jusqu'à A pour l'occuper.

En amont ou en aval, il y a bien étalement en largeur et grignotage des empilements.

Si entre 2 zones actives, il y a un nombre de cases vides disponibles inférieur à ce que peut occuper les zones actives, il y aura fusion des 2 zones actives.

Mention pour le cas particulier suivant:

Une succession de 02020, c'est à dire de zones actives minimales (1 case isolée de 2 bagues).
0202020
1020201
1102011
1110111
On a là encore une dégradation de la zone active en une suite de 1.

Fin du cas particulier.


Comme le nombre de cases est supérieur de 1 unité au nombre de bagues, toutes les cases moins 1 seront occupées par une seule bague.

Si le nombre de bagues était égal au nombre de cases, alors on ne pourrait pas mettre une bague dans chaque case.
Scénario des échanges dans ce cas:
11111211110
11112111101
11121111011
11211110111
etc...
la zone active reste à largeur constante. Elle n'est jamais éliminée.

En revanche, s'il y a une case de plus que de bagues:
11112111100
11121111010
11211110110
12111101110
21111011110
11110111111

Conclusion:
Le final des échanges sera, par disparition des zones actives démontrée, une suite de 1 dans chaque case + 1 case vide.

Salut Ebichu j'ai deux raisonnements jusqu'à maintenant et je ne sais pas comment conclure les deux, peut tu me dire si l'une des deux est bonne pour que j'essaie de conclure ou je dois chercher une autre méthode :
1)Supposons par absurde que les échanges ne s’arrêtent pas, ça veut dire que les nombres d'étapes sont infinies ce qui veut dire qu'il y a des répartitions qui se répètent, maintenant on doit démontrer que seuls les répartitions possibles qui se répètent sont du genre 0111111 qui signifie que les échanges se sont arrêtés ce qui est contradictoire à notre supposition.
2)Puisque les échanges vont s’arrêter ça veut dire que qu'il s’arrête dans la répartition 01111111 maintenant on doit démontrer qu'en commençant avec cette répartition on peut arriver à n'importe quelle répartition en inversant les règles.
Merci d'avance pour ton aide ^^
Je viens de remarquer une donnée dans l'énoncé que je n'ai pas pris en compte, j'espère que ça va être utile .

Cette fois ci je vais proposer une réponse, dans les répartitions on a au moins un zéro, mais pour faire des échanges on doit avoir au moins 2 zéros ,puisque on doit démontrer que les échanges vont s’arrêter ça veut dire qu'on doit démontrer que le nombre de zéros va atteindre 1. On suppose que f(n) est une fonction qui représente le nombre de zéro tel que n est représente le nombre d'étapes et des échanges effectués .Voici les cas (je vais prendre seulement une partie des nobliaux car on effectue seulement un échange par étape  les nombres représentent le nombre des chevalières):
-030 devient 111 f(n+1)=f(n)-2
-000 ou 111 pas de changement f(n+1)=f(n)
-130 devient 211 f(n+1)=f(n)-1
-121 devient 202 f(n+1)=f(n)+1
Ces les 4 cas possibles pour la fonction, on peut dire que la fonction a plus de chance de diminuer et de tendre vers 1.
PS:Je sais que la réponse n'est pas complète j'essaie de trouver un moyen pour prouver que f(n+1)=f(n)+1 n'est pas important.
A suivre.

La nuit porte conseil

On note C1 ; C2 ; Cn les n chevaliers dans le sens giratoire avec C1 et Cn voisins . On suppose par l’absurde que les échanges de chevalières sont interminables et on note Pi la première chevalière échangée entre Ci et C(i+1) ( en posant C(n+1)=C1 ) . On peut supposer aussi que la chevalière Pi restera entre les mains de Ci ou C(i+1) en effet si l’un doit la donner , il peut tout à fait la donner à l’autre . On a vu que tous les chevaliers participaient à la fête donc chaque paire CiC(i+1) va avoir sa chevalière numérotée i ce qui contredit le fait qu’il n’y a que n-1 chevalières .

Vasimolo

J'avais en effet compris que l'échange se faisait dans un sens donné: tous ceux qui pouvaient échanger le faisaient. Du coup ma démo n'est plus valable.
Je regarde pour le cas d'échanges dans un ordre aléatoire.

@Promath : c'est une façon de faire. Mais trouver cette variable n'est pas chose aisée, et faire une démo propre par la suite non plus

Bravo Vasimolo et Ebichu !