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 #1 - 08-11-2009 15:04:17

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Entassemet maximal de sphères dans un cube

Voici un problème qui remonte à 400 ans.

Quel est le diamètre maximal de sphères identiques que l'on puisse caser dans un cube de 1m de coté, et ceci pour un nombre de sphères de 1 à l'infini.

Par exemple pour une seule sphère, il est évident que le diamètre de la plus grosse sphère que l'on puisse mettre dans un cube de 1x1x1 est 1.
Qu'en est-il si l'on essaye de mettre 2 sphères identiques dans un cube de 1x1x1?
puis 3, 4, 5 et ainsi de suite jusqu'à l'infini.

Comme la solution numérique peut facilement se trouver sur internet, pour compliquer un peu, et pour être sur que vous fassiez vous-même les calculs, je voudrais la réponse sous forme d'expression mathématique et non pas sous forme numérique. Par exemple, si pour un cas particulier la réponse devait être 0.707106781, je voudrais que vous la donniez sous la forme [latex]\frac {sqrt{2}} {2}[/latex].

Veuillez poster vos résultats au fur et à mesure que vous les trouvez.
Je conseille aux débutants de commencer par les cas simples: 8 et 27 sphères.
puis de plus en plus compliqué: 4, 3, 2, 5, 9, 14, 13, 10 sphères...
avant d'attaquer les plus complexes: 6, 7, 11, 12, 15, 16 sphères...
Vous aurez du mal pour 7 sphères, et pour 11 et 12 sphères, je ne crois pas que la solution sous forme d'expression mathématique soit connue.

Si vous n'etes pas sur de comprendre le problème, n'hesitez pas à poser des questions.

Au cas ou l'énoncé prette peut-etre à confusion. Il n'y a pas de solution générale. C'est tout du cas-par-cas.

Pour chaque cas (N sphères identiques), procédez en 2 temps:
1) trouver l'arangement ou le diametre des sphères est maximum. (c'est la partie énigme)
2) calculer le diamètre de ces sphères. (c'est la partie math)

Question subsidiaire:
Le volume occupé par la sphère, dans le cas d'une seule sphère est de 0.52359877...
Pour 2, 3, 4, 5, 6, etc... le volume occupé par les sphères est plus petit (remplissage moins efficace). A partir de combien de sphères, obtient on un taux d'occupation du cube supérieur à 52.3598777% ?

Bonne chance.

Edit: Du au manque de réponses, je rallonge le temps caché à 255 heures. Impossible de mettre 1176 heures pour coincider avec l'anniversaire de la naissance de Kepler...



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 #2 - 12-11-2009 15:49:04

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Entassement maximal de sphères dans un cbue

Désolé, mais la partie mathématique et géométrique du problème me rebute. Pourtant, pour qui n'est pas en conflit avec la géométrie dans l'espace, c'est sans aucun doute un problème intéressant wink


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 12-11-2009 17:30:26

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 792

entassement laximal de sphères dans un cube

Je veux bien essayer, alors pour 2 :

On peut mettre les 2 sphères en diagonale

La diagonale mesure [latex]\sqrt{3}[/latex], il reste à calculer la portion de la diagonale qui n'est pas la sphère. Soit x le rayon de cette sphère, on a :
[TeX]\frac{\sqrt{3}}{2}=x+x\sqrt{3}[/TeX]
On résout : [latex]x=\frac 3 4 -\frac{\sqrt{3}}{4}\approx 0.317[/latex]

Le volume occupé sera de [latex]2 \times \frac{4}{3}\pi x^3 \approx 0.2668[/latex]

 #4 - 12-11-2009 23:33:08

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4986

Entassement maximal de sphèes dans un cube

Je m'étais intéressé au problème il y a quelque temps et j'avais trouvé un site qui récapitulait les derniers résultats connus , malheureusement je n'arrive pas à le retrouver , je ne désespère pas .

En attendant en voilà un fantastique pour la dimension 2 c'est à dire des disques dans des carrés http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/packing/csq/csq.html . N'hésitez pas à fouiller , c'est une mine d'or smile

Vasimolo

 #5 - 13-11-2009 10:43:38

lefredj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 115

rntassement maximal de sphères dans un cube

J'aimerais avoir le temps de me pencher sur ce problème intéressant. J'y reviendrais peut-être. Mes raisonnements n'auront rien de rigoureux, tout sera intuitif (et donc probablement très approximatif)

Pour 2 :
A priori, les deux sphères doivent chacune être dans un coin opposé du cube. Pour des raisons de symétrie, elles doivent se toucher au centre du cube, et leur centre est sur la diagonale (de longueur [latex]sqrt3[/latex]).
http://www.prise2tete.fr/upload/lefredj-2spheres.jpg
en faisant une coupe du rectangle diagonal, on a:
[TeX]D(1+sin(\theta))=1[/TeX]

[TeX]sin(\theta)=1/sqrt3[/TeX]
en simplifiant:
[TeX]D=\frac{3-sqrt3}{2}[/TeX]
Pour 3 :
je trouve
[TeX]D=3-sqrt6[/TeX]
si j'ai le temps, je mettrais les détails

pourtant, j'étais relativement content de moi...
Pour 4 :
il me semble que la solution est de les disposer en tétraèdre, avec les sphères dans 4 coins.
deuxième tentative (merci pour les conseils):
http://www.prise2tete.fr/upload/lefredj-4spheres.jpg
En regardant la diagonale d'une face du cube, l'équation est la suivante
[TeX]D(1+sqrt2)=sqrt2[/TeX]
donc
[TeX]D=2-sqrt2[/TeX]
Pour 8 ( et 8^n ):
les sphères sont disposées en cube. Ce qui donne un diamètre de 0.5m.
On peut généraliser pour 8^n, un diamètre de (0.5)^n.
Bon ok, j'ai été un peu rapide sur la généralisation...

Pour n^3:
Les sphères sont disposées en cube. Ce qui donne un diamètre de (1/n) m.

Pour 9:
la configuration doit être : une shère dans chaque coin, et une au centre du cube. On a donc le même dessin que pour la configuration à 2 sphères, mais avec 3 sphères sur la diagonale. L'équation devient:
[TeX]D(1+2sin(\theta))=1[/TeX]
donc [latex]D=2sqrt3-3[/latex]

allez, je me lance pour une généralisation:
Pour n^3 + (n-1)^3:
Une configuration "en quinconce" qui généralise la configuration pour 9. C'est un cube de nxnxn sphères et un autre de (n-1)x(n-1)x(n-1) sphères imbriqués. La diagonale du cube aligne 2*n-1 sphères:
[TeX]D(1+(2n-2)sin(\theta))=1[/TeX]
donc [latex]D=\frac{(2n-2)sqrt3-3}{(2n-2)^2-3}[/latex]




... to be continued

 #6 - 15-11-2009 11:57:44

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 792

entassement mzximal de sphères dans un cube

C'est un travail énorme que de calculer toutes les possibilités et le coté géométrique n'est pas simple (il faut une bonne vue dans l'espace et plein de dessins).
Sans dout faudrait il simplifier en demandant dans cette énigme, seulement 2 boules. Et proposer dans un autre topic 3 ou 4, et d'autres situations précises intéressantes.

 #7 - 15-11-2009 15:30:56

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Entassement maximal de sphères dans n cube

Le problème n'est pas si compliqué qu'il parait au premier abord.
Voici un indice qui vous permettra de simplifier beaucoup la résolution.

Spoiler : [Afficher le message] Au lieu de chercher à caser des sphères dans un cube, cherchez a placer des points dans l'espace (les centres de ces sphères) dans un cube plus petit, à une distance maximale l'un de l'autre. Convertir ensuite le résultat vers le problème original avec une équation trés simple (la même pour toutes les configurations). Pour les cas de 2, 4, 9 et 14 sphères par exemple, ca se résout par cette méthode en 2 coups de cuillère à pot. 

PS: Je ne mettrais mes solutions que quand j'aurais suffisament  de réponses ou au 27 decembre, whatever comes first.


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 #8 - 16-11-2009 17:42:03

ollyfish2002
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 355
Lieu: Tenant

entasqement maximal de sphères dans un cube

Hello
Je retente ma chance.
Tu m'as ok pour 8 sphères, 4 au fond et 4 au dessus, je trouve D=1/2.


"La science est une chose merveilleuse... tant qu'il ne faut pas en vivre !"  Albert Einstein.

 #9 - 17-11-2009 10:07:19

ollyfish2002
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 355
Lieu: Tenant

Entasement maximal de sphères dans un cube

Hello
J'insiste:
Pour deux sphères, positionnées selon la diagonale du cube
[TeX]D={\sqrt{3}}/(1+\sqrt{2})[/TeX]
Pour 4 sphères
[TeX]D={1/(1+\sqrt{2})[/TeX]


"La science est une chose merveilleuse... tant qu'il ne faut pas en vivre !"  Albert Einstein.

 #10 - 17-11-2009 19:24:58

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4986

Entassement maximal de sphères dans n cube

Je me suis amusé avec trois sphères :

On choisit dans un cube donné trois points les plus éloignés possibles , on utilise ces points comme centres de sphères tangentes deux à deux et on enferme le tout dans un grand cube "parallèle" au premier : [latex]D=2-\sqrt{2}[/latex]

http://img690.imageshack.us/img690/7323/troissphres.jpg

Il serait bon que tu indiques régulièrement les cas déjà résolus , comme il y en a une infinité , il n'est pas indispensable qu'on se marche sur les pieds lollollol

Vasimolo

 #11 - 17-11-2009 20:45:37

zikmu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 277

entassemebt maximal de sphères dans un cube

Mon pauvre dhrm77...

tu n'as pas de franc succès avec ton énigme à moins que tout le monde se réserve pour la fin...

Alors je vais jouer et sans y réfléchir pour le moment...

je te donne pour 8 sphères de 50 cm et 27 sphères d' 1/3 m...wink

 #12 - 18-11-2009 10:10:31

ollyfish2002
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 355
Lieu: Tenant

Entassement mximal de sphères dans un cube

Je crois avoir compris les simples.
Pour 27 : 1/3
pour 64 : 1/4
pour 125: 1/5
pour 216: 1/6
et ainsi de suite
Je bosse encore sur 2...


"La science est une chose merveilleuse... tant qu'il ne faut pas en vivre !"  Albert Einstein.

 #13 - 18-11-2009 13:34:42

zikmu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 277

Entassemet maximal de sphères dans un cube

Je veux bien encore donner une ou deux solutions faciles mais après ça prend du temps pour les différentes solutions et là...?...je ne suis pas bon...d'ailleurs j'ai déjà les boules...(http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=2233 )

donc pour 64 boules , 25cm
et pour 125 , 20 cm...à suivre si le temps le permets...wink
( j' y réfléchis mais ne garantis rien... )

Sinon il y a ça en attendant : lol

 #14 - 18-11-2009 14:45:23

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

entassement maximal de sphètes dans un cube

Commençons par les  cas simples, les cubes

Pour 1, 1 boule diamètre 1m

Pour 8, 4 au dessus de 4 autres, diamètre 50 cm yikes

Pour 27, 1/3 de m

Et mince, finalement on doit peit être faire mieux en tassant bien !



Et puis face à Newton, Kepler et autre Rogers, mes cellules de Voronoi ne résistent pas lol


http://enigmusique.blogspot.com/

 #15 - 18-11-2009 23:51:19

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4986

Entassemetn maximal de sphères dans un cube

Même méthode et sauf erreur pour cinq sphères : [latex]D=5-2\sqrt{5}[/latex]

http://img42.imageshack.us/img42/9219/cinqsphres.jpg

Vasimolo

 #16 - 19-11-2009 00:57:58

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4986

Entassement maximal de sphères dans un cbue

Dans l'élan , pour neuf sphères [latex]D=2\sqrt{3}-3[/latex]

http://img692.imageshack.us/img692/77/neufsphres.jpg

Sauf erreur smile

Vasimolo

 #17 - 19-11-2009 05:30:51

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Entassement maximal de sphères daans un cube

A quelques minutes du Gong, voici les résultats:

Bravo à:

- EfCeBa pour 2 sphères (sauf qu'il me donne le rayon au lieu du diamètre)
- lefredj pour 2, 4, 8 et 9 sphères.
- Vasimolo pour 3, 5 et 9 sphères.
- zikmu, ollyfish2002 et kosmogol pour 8 et 27 sphères.

Et dans l'ordre du nombre de sphères:
- 1: (évident)
- 2: EfCeBa et lefredj
- 3: vasimolo
- 4: lefredj
- 5: vasimolo
- 6:
- 7:
- 8: lefredj, ollyfish2002, zikmu et kosmogol
- 9: lefredj et vasimolo
-10:
-14:
-15:
-17:
-18:
-27: zikmu, ollyfish2002 et kosmogol

Je voudrais aussi signaler qu'il est dangereux de généraliser. Si l'arangement cubique est optimal pour 8 et 27 sphères, il ne l'est pas en revanche pour 64, 125 et au dela (n^3 pour n>3). Pour ces nombres, il existe des arangements ou la densité des sphères est plus grande. Généralement, il s'agit de la configuration hexagonale (ou pyramidale) au centre, et déformée sur les bords.
Egalement, la généralisation n^3 + (n-1)^3 ne marche pas non plus pour 35 sphères. La configuration optimale pour ce nombre de sphères y ressemble mais et légèrement déformée.
Meme si j'énoncé du problème ne limite pas le nombre de sphères, je n'esperer pas aller au dela de 27.
J'attend que quelqu'un mette les solutions pour 10 et 14 qui sont relativement simple, avant que je mette toute mes solutions.


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 #18 - 19-11-2009 14:11:24

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
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entasselent maximal de sphères dans un cube

Merci à lefredj et vasimolo pour leur beaux dessins.
Je recapitule les solutions plus bas.


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 #19 - 20-11-2009 19:35:15

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4986

Entassement maaximal de sphères dans un cube

En prenant les sommets et les centres des faces on obtient 14 points et 14 sphères : [latex]D=\sqrt{2}-1 [/latex]

http://img41.imageshack.us/img41/4871/14sphres.jpg

Pour les autres on va encore laisser reposer 400 ans big_smile

Vasimolo

 #20 - 21-11-2009 03:00:00

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
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Entasement maximal de sphères dans un cube

Correct, bravo à Vasimolo pour 14 sphères.


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 #21 - 23-11-2009 18:40:04

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
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Entassement maximal de sphères dans un cub

Pour vous aider à trouver la solution pour 10 sphères, voici l'arangement optimal des 10 centres des 10 sphères:
http://www.prise2tete.fr/upload/dhrm77-cube10a.PNG
Les lignes rouges representes des sphères qui se touchent.
A vous de faire les calculs.


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 #22 - 23-11-2009 22:59:02

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Etnassement maximal de sphères dans un cube

En m'appuyant sur la figure et sauf erreur , je trouve [latex]D= \frac37[/latex] smile

Vasimolo

 #23 - 23-11-2009 23:15:50

dhrm77
L'exilé
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entassement maximal de sphères dans un cibe

Correct. Bravo à Vasimolo pour 10 sphères.

Voici donc un sommaire provisoire des réponses:

Nbr de sphères : Diamètre
1: 1

2: [latex]\frac {sqrt{3}} {1+sqrt{3}}[/latex] ou [latex]\frac {3-sqrt{3}} {2}[/latex] soit 0.633924596...

3: [latex]\frac {sqrt{2}} {1+sqrt{2}}[/latex] ou [latex]2-sqrt{2}[/latex] soit 0.58578643...

4: [latex]\frac {sqrt{2}} {1+sqrt{2}}[/latex] ou [latex]2-sqrt{2}[/latex] soit 0.58578643...

5: [latex]\frac {sqrt{5}} {2+sqrt{5}}[/latex] ou [latex]5-2sqrt{5}[/latex] soit 0.527864045...

6:

7:

8: [latex]\frac {1}{2}[/latex] soit 0.5

9: [latex]\frac {sqrt{3}}{2+sqrt{3}}[/latex] ou [latex]2sqrt{3}-3[/latex] soit 0.46410616...

10: [latex]\frac {3}{7}[/latex] soit 0.428571428...
...
13: [latex]\frac {sqrt{2}} {2+sqrt{2}}[/latex] ou [latex]sqrt{2}-1[/latex] soit 0.414213562...

14: [latex]\frac {sqrt{2}} {2+sqrt{2}}[/latex] ou [latex]sqrt{2}-1[/latex] soit 0.414213562...
...
27: [latex]\frac {1}{3}[/latex] soit 0.33333333...


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 #24 - 25-11-2009 02:12:30

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

enrassement maximal de sphères dans un cube

On a pour ainsi dire fini avec les arangements les plus simples.

Continuons avec 6 sphères.

Voici l'arangement optimal des 6 centres dans le cas des 6 sphères:
http://www.prise2tete.fr/upload/dhrm77-cube6a.PNG
Curieusement, dans cet arangement, aucune sphères ne se trouve dans un coin.
Comme les calculs sont relativment simples, une fois que l'on connait l'arangement, je vous laisse 24hr avant de donner la réponse.


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 #25 - 25-11-2009 17:06:09

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Entassmeent maximal de sphères dans un cube

Sauf erreur [latex]9-6\sqrt{2}[/latex] , curieuse disposition hmm

Vasimolo

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