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#1 - 12-09-2015 12:29:49
- Vasimolo
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#2 - 12-09-2015 13:16:02
- enigmatus
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Gâteeau 104
Bonjour, Pour un gâteau de taille n × n, un seul carré suffit… Ça ne traite pas le cas général, mais quand même une infinité de cas.
Ajouté : Et pour n × k.n, il faut k carrés.
#3 - 12-09-2015 14:22:04
- unecoudée
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Gâtau 104
bonjour.
@vasimolo , ton exemple ne serait pas plutôt un rectangle 8 x 7 ?
#4 - 12-09-2015 14:27:41
- godisdead
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Gâtau 104
Je n'ai pas compris ton exemple, tu as une longueur de 7 découpé en 2 carré de taille identique ... Peux-tu donner la taille des carrés de ton exemple ?
Edit : Ok, c'est un rectangle de 8*7.
#5 - 12-09-2015 17:22:27
- nodgim
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Gâteau 10
Ton dessin est faux, Vasimolo, je crois.
#6 - 12-09-2015 17:30:57
- Vasimolo
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Gâteau 14
J'ai corrigé la légende de l'illustration ( les mesures des côtés n'étaient pas les bonnes ) .
Merci pour votre vigilance
Vasimolo
#8 - 12-09-2015 23:04:38
- Vasimolo
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Gâteauu 104
@enigmatus : On peut aller un peu plus loin en remarquant qu'un rectangle km X kn donne le même pavage minimal que le rectangle m X n .
@Kossi : As-tu réussi à déduire de ton programme une formule fermée ou de récurrence pour le nombre de carrés nécessaires ?
Vasimolo
#9 - 13-09-2015 11:15:15
- nodgim
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gâtzau 104
Vasimolo, il subsiste un défaut sur ton dessin.
Sinon, je n'ai pas grand chose, juste une conjecture.
On considère un rectangle (a,b) premiers entre eux et tel que a<b<2a. Tout rectangle dont b>2a est ramené au cas énoncé en ôtant autant de fois que nécessaire le carré a. Si (a,b) ne sont pas premiers entre eux, on divise par leur PGCD pour se ramener au cas énoncé.
Conjecture: Si (a,b) sont 2 nombres successifs de Fibonacci, alors le nombre de carrés est le rang de a dans la suite de Fibonacci. Rappel des nb de Fibo: 1,1,2,3,5,8,13,21.... Pour le rectangle (3,5), donc 4 carrés. Pour le rectangle (13,21): 6 carrés. etc... Autrement dit, il est impossible de couvrir ces rectangles avec moins de carrés.
Pour les autres (a,b) qui ne sont pas des nombres de Fibonacci, conjecture: Si (Fn,F(n+1))<(a,b) alors le nombre de carrés nécessaires pour couvrir (a,b) est supérieur ou égal au nombre de carrés nécessaires pour couvrir (Fn, F(n+1)).
Les premiers (a,b) et le nombre de carrés associés: (1,2) 2 Fibo (2,3) 3 Fibo (3,4) 4 (3,5) 4 Fibo (4,5) 5 (4,7) 5 (5,6) 5 (5,7) 5 (5,8) 5 Fibo (5,9) 6 (6,7) 5 (6,11) 6 (7,8) 7 (7,9) 6 (7,10) 6 (7,11) 6 (7,12) 6 (7,13) 6 (8,9) 7 (8,11) 6 (8,13) 6 Fibo (8,15) 8 (9,10) 6 (9,11) 7 (9,13) 7 (9,14) 7 (9,16) 7 (9,17) 8 ((10,11) 6 (10,13) 7 (10,17) 7 (10,19) 7 (11,12) 8 (11,13) 8 (11,14) 7 (11,15) 7 (11,16) 7 (11,17) 7 (11,18) 7 (11,19) 7 (11,20) 8 (12,13) 8 (12,17) 7 (12,19) 7 (12,23) 9
#10 - 13-09-2015 11:34:26
- Vasimolo
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#11 - 13-09-2015 14:53:28
- nodgim
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âGteau 104
Attention Vasimolo, prendre le carré de la largeur ne conduit pas tjs au min. Voir (6,7)--->(6,6)+(1,6) donne 7 alors que (6,4)+(6,3) donne 5. Plus généralement, pour les couples du genre (2n, 2n+-1), on ramène normalement à (n,2n)+(n+-1,2n)=2+(n+-1,2n). Pour les premiers jumeaux (p,p+2), je n'ai pas trouvé mieux que (p,p)+(2,p).
#12 - 13-09-2015 18:41:01
- Vasimolo
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Gâtea u104
nodgim a écrit:Attention Vasimolo, prendre le carré de la largeur ne conduit pas tjs au min.
Je n'ai rien affirmé de tel , j'ai simplement dit que lorsque le rapport L/l était grand ( disons supérieur à 2 ) alors on pouvait commencer par découper des carrés dont le côté était la largeur du rectangle .
Vasimolo
#13 - 13-09-2015 19:12:34
- nodgim
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Gâteau 10
Oui c'est vrai. Mea Culpa à cause d'une interprétation hâtive. En fait, je te rejoins sur tes commentaires. En revanche, il me semble de plus en plus incertain qu'il puisse exister une règle de calcul générale.
#14 - 14-09-2015 08:17:59
- nodgim
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Gâtea 104
Pour un rectangle (p, p+2) 2 premiers, il est beaucoup plus intéressant de passer par 4 gros carrés judicieusement répartis. (71,73) par exemple peut être couvert par 20 carrés (il y a peut être mieux).
Et un rectangle comme (7877,7879) ?
Il me semble que c'est largement aussi compliqué de trouver le nombre min. de carrés que de savoir si un grand nombre est premier ou pas....
#15 - 14-09-2015 19:20:54
- Vasimolo
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Gâteau 1044
Je suis malheureusement d'accord avec toi les quasi-carrés posent vraiment de gros problèmes . Bizarrement je n'ai pas trouvé de littérature sur ce problème pourtant assez "naturel" .
Il reste quand même l'étude de cas particuliers qui peuvent être très intéressants .
Par exemple : Une preuve que N(km,kn)=N(m,n) ou un contre-exemple ?
Vasimolo
#16 - 15-09-2015 17:59:42
- Vasimolo
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gâtzau 104
Les derniers gâteaux étaient assurément trop ambitieux ( j'en remercie d'autant plus Kossi et Nodgim pour leurs efforts ) .
A l'avenir j'éviterai de pondre un gâteau avec chaque ânerie qui me traverse la tête
Vasimolo
PS : ça ne vous empêche pas d'ajouter ici quelques résultats si vous en avez
#17 - 15-09-2015 18:22:24
- Bell63
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#18 - 15-09-2015 18:30:59
- Vasimolo
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