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 #1 - 12-09-2015 12:29:49

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteua 104

Bonjour à tous smile

Mon pâtissier m’a posé une colle de taille !!!

Il propose à ses clients des gâteaux rectangulaires dont les côtés sont des nombres entiers de centimètres qu’il recouvre avec des carrés de pâte d’amande dont les côtés sont aussi des nombres entiers de centimètres .

Un exemple avec un rectangle 8X7 :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau104.png

Il n’a utilisé que 7 carrés !!!

Pour un gâteau de taille quelconque , il me demande le nombre minimal de carrés qu’il doit utiliser ?

Vasimolo

PS : je n’ai pas de réponse au problème , donc lâchez-vous et si je suis dépassé je lève le masque smile

Amusez-vous bien big_smile



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 #2 - 12-09-2015 13:16:02

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

Gâtaeu 104

Bonjour,
Pour un gâteau de taille n × n, un seul carré suffit… Ça ne traite pas le cas général, mais quand même une infinité de cas.

Ajouté : Et pour n × k.n, il faut k carrés.

 #3 - 12-09-2015 14:22:04

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 200

Gteau 104

bonjour.

@vasimolo , ton exemple ne serait pas plutôt un rectangle 8 x 7 ?

 #4 - 12-09-2015 14:27:41

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

gâteai 104

Je n'ai pas compris ton exemple, tu as une longueur de 7 découpé en 2 carré de taille identique ...
Peux-tu donner la taille des carrés de ton exemple ?

Edit : Ok, c'est un rectangle de 8*7.

 #5 - 12-09-2015 17:22:27

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Gteau 104

Ton dessin est faux, Vasimolo, je crois.

 #6 - 12-09-2015 17:30:57

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâetau 104

J'ai corrigé la légende de l'illustration ( les mesures des côtés n'étaient pas les bonnes ) .

Merci pour votre vigilance smile

Vasimolo

 #7 - 12-09-2015 20:28:24

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

âGteau 104

En utilisant la récursivité, on arrive à l'algorithme suivant:

http://www.prise2tete.fr/upload/kossi_t … Carres.png

Quelques exemples:

(8,7)=7

(127,7)=24

(17,6)=7

(100,57)=11

(259,101)=13

 #8 - 12-09-2015 23:04:38

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtau 104

@enigmatus : On peut aller un peu plus loin en remarquant qu'un rectangle km X kn donne le même pavage minimal que le rectangle m X n .

@Kossi : As-tu réussi à déduire de ton programme une formule fermée ou de récurrence pour le nombre de carrés nécessaires ?

Vasimolo

 #9 - 13-09-2015 11:15:15

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Gâteau 1004

Vasimolo, il subsiste un défaut sur ton dessin.

Sinon, je n'ai pas grand chose, juste une conjecture.

On considère un rectangle (a,b) premiers entre eux et tel que a<b<2a. Tout rectangle dont b>2a est ramené au cas énoncé en ôtant autant de fois que nécessaire le carré a. Si (a,b) ne sont pas premiers entre eux, on divise par leur PGCD pour se ramener au cas énoncé.

Conjecture:
Si (a,b) sont 2 nombres successifs de Fibonacci, alors le nombre de carrés est le rang de a dans la suite de Fibonacci.
Rappel des nb de Fibo: 1,1,2,3,5,8,13,21....
Pour le rectangle (3,5), donc 4 carrés.
Pour le rectangle (13,21): 6 carrés.
etc...
Autrement dit, il est impossible de couvrir ces rectangles avec moins de carrés.

Pour les autres (a,b) qui ne sont pas des nombres de Fibonacci, conjecture:
Si (Fn,F(n+1))<(a,b) alors le nombre de carrés nécessaires pour couvrir (a,b) est supérieur ou égal au nombre de carrés nécessaires pour couvrir (Fn, F(n+1)). 

Les premiers (a,b) et le nombre de carrés associés:
(1,2) 2 Fibo
(2,3) 3 Fibo
(3,4) 4
(3,5) 4 Fibo
(4,5) 5
(4,7) 5
(5,6) 5
(5,7) 5
(5,8) 5 Fibo
(5,9) 6
(6,7) 5
(6,11) 6
(7,8) 7
(7,9) 6
(7,10) 6
(7,11) 6
(7,12) 6
(7,13) 6
(8,9) 7
(8,11) 6
(8,13) 6 Fibo
(8,15) 8
(9,10) 6
(9,11) 7
(9,13) 7
(9,14) 7
(9,16) 7
(9,17) 8
((10,11) 6
(10,13) 7
(10,17) 7
(10,19) 7
(11,12) 8
(11,13) 8
(11,14) 7
(11,15) 7
(11,16) 7
(11,17) 7
(11,18) 7
(11,19) 7
(11,20) 8
(12,13) 8
(12,17) 7
(12,19) 7
(12,23) 9

 #10 - 13-09-2015 11:34:26

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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gâtrau 104

@Nodgim : j'ai changé l'image mais il faut que tu la rafraîchisse ( un petit coup de F5 par exemple ) .

Je n'avais pas pensé à Fibonacci mais c'est loin d'être bête et je vais y regarder de près . Les cas qui posent problème sont ceux où longueur et largeur sont voisins , pour les autres on tranche des carrés dont le côté est la largeur du rectangle jusqu'à plus soif lollollol

J'ai fait à la main un tableau pour les premières valeurs ( il y a sans doute des erreurs ) mais on voit que c'est assez chaotique .

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-premieresvaleurs.png

D'autre part j'ai affirmé un peu rapidement que N(km,kn)=N(m,n) mais seule l'infériorité au sens large est réellement évidente .

J'ai bien l'impression que le problème est plutôt costaud smile

Bon courage à ceux qui cherchent .

Vasimolo

 #11 - 13-09-2015 14:53:28

nodgim
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gâtezu 104

Attention Vasimolo, prendre le carré de la largeur ne conduit pas tjs au min. Voir (6,7)--->(6,6)+(1,6) donne 7 alors que (6,4)+(6,3) donne 5.
Plus généralement, pour les couples du genre (2n, 2n+-1), on ramène normalement à (n,2n)+(n+-1,2n)=2+(n+-1,2n).
Pour les premiers jumeaux (p,p+2), je n'ai pas trouvé mieux que (p,p)+(2,p).

 #12 - 13-09-2015 18:41:01

Vasimolo
Le pâtissier
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gâtrau 104

nodgim a écrit:

Attention Vasimolo, prendre le carré de la largeur ne conduit pas tjs au min.

Je n'ai rien affirmé de tel , j'ai simplement dit que lorsque le rapport L/l était grand ( disons supérieur à 2 ) alors on pouvait commencer par découper des carrés dont le côté était la largeur du rectangle .

Vasimolo

 #13 - 13-09-2015 19:12:34

nodgim
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Gâteau 14

Oui c'est vrai. Mea Culpa à cause d'une interprétation hâtive. En fait, je te rejoins sur tes commentaires. En revanche, il me semble de plus en plus incertain qu'il puisse exister une règle de calcul générale.

 #14 - 14-09-2015 08:17:59

nodgim
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Gâeau 104

Pour un rectangle (p, p+2) 2 premiers, il est beaucoup plus intéressant de passer par 4 gros carrés judicieusement répartis. (71,73) par exemple peut être couvert par 20 carrés (il y a peut être mieux). 

Et un rectangle comme (7877,7879) ?

Il me semble que c'est largement aussi compliqué de trouver le nombre min. de carrés que de savoir si un grand nombre est premier ou pas....

 #15 - 14-09-2015 19:20:54

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4733

Gâteau 140

Je suis malheureusement d'accord avec toi les quasi-carrés posent vraiment de gros problèmes . Bizarrement je n'ai pas trouvé de littérature sur ce problème pourtant assez "naturel" .

Il reste quand même l'étude de cas particuliers qui peuvent être très intéressants .

Par exemple : Une preuve que N(km,kn)=N(m,n) ou un contre-exemple ?

Vasimolo

 #16 - 15-09-2015 17:59:42

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4733

Gteau 104

Les derniers gâteaux étaient assurément trop ambitieux ( j'en remercie d'autant plus Kossi et Nodgim pour leurs efforts ) .

A l'avenir j'éviterai de pondre un gâteau avec chaque ânerie qui me traverse la tête smile

Vasimolo

PS : ça ne vous empêche pas d'ajouter ici quelques résultats si vous en avez lol

 #17 - 15-09-2015 18:22:24

Bell63
Banni
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Messages : 93

Gâteau 1004

Salut,

Jetez un coup d`oeil ici :

http://demonstrations.wolfram.com/Minim … ectangles/

ou la :

http://ac.els-cdn.com/S0097316596901041 … 279c9fc441

Un article assez long.


Je viens de voir cela sur un autre forum.

 #18 - 15-09-2015 18:30:59

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâeau 104

Oui , j'ai relancé le sujet ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum … 34,1144867

Vasimolo

 

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