Après avoir défini une méthode, calculé les premières valeurs et cherché les termes sur OEIS, je suis fier de pouvoir annoncer que ma méthode est conjecturée comme étant la bonne, mais ça n'a pas été démontré. En plus il faut pour celà calculer tous les termes précédents. Donc pour le gogol faudra repasser

En gros:
Spoiler : [Afficher le message] U(n) est le nombre de termes nécessaires pour déplacer mes n plateaux sur 4 piquets.
- j'en déplace un nombre n' (compris entre 0 et n-1) sur 4 piquets : U(n')
- j'en déplace n-n' sur 3 piquets (le quatrième est déjà utilisé) : tours de Hanoï classique, soit 2^(n-n')-1
- je déplace les n' premiers sur 4 piquets (peu importe que le piquet d'arrivée ne soit pas vide, je peux tout à fait poser mes plateaux dessus vu qu'ils sont plus petits) : U(n')

Au final, U(n) = min(2^(n-n')-1 + 2U(n'), n'=0..n-1)

Premiers résultats

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2    3
3    5
4    9
5    13
6    17
7    25
8    33
9    41
10    49
11    65
12    81
13    97
14    113
15    129
16    161
17    193
18    225
19    257
20    289

Même le gogol c'est jouable.
Mais le coup de la différence qui vaut 2^N N+1 fois avant de passer au N suivant, au delà de 30 ça reste une conjecture (et jusqu'à 30 c'est de la recherche exhaustive)

Mais bon, en gros, U(n(n+1)/2) = 2^n * (n-1) + 1 pour les termes de rang "nombre triangulaire", donc on repère le plus proche du terme qui nous interesse et après on ajoute jusqu'à n fois 2^n pour aller jusqu'à notre "cible".

Pour un milliard ça fait donc:
2^44720 * 44719 +1 + 38440 * 2^44720, soit 83159 * 2^44720 + 1

Et pour le gogol :
2^141421356237309504880168872420969807856967187537694 * 184882637637851345918212995981821713329192258350028 + 1

le nombre de chiffres de ce nombre comporte à lui seul pas moins de 49 chiffres...

Pour ce que ça vaut

Allez la formule générale (sous réserve que la conjecture soit valide, bien entendu)



(Désolé si je passe par un autre site pour afficher mon Latex)

Et la formule Excel pour ceux qui veulent jouer avec :

POWER(2;FLOOR((SQRT(8*A1+1)-1)/2;1))*(-1+A1-((FLOOR((SQRT(8*A1+1)-1)/2;1))*((FLOOR((SQRT(8*A1+1)-1)/2;1))-1))/2)+1