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 #26 - 25-11-2009 23:33:23

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Enttassement maximal de sphères dans un cube

A ce stade, je voudrais expliquer comment on calcule la diamètre des sphères dans les cas de figures donnés ci-dessus.
Prenons l'exemple de 2 sphères:
Il y a 2 pratiquement methodes:
1) on place les sphères dans un cube virtuel, et on pose l'equation de la diagonale:
[TeX]sqrt{3}[/latex] = [latex]sqrt{3}[/latex]R + R + R + [latex]sqrt{3}[/latex]R
    on en déduit que R= [latex]\frac {sqrt{3}} {2+2sqrt{3}}[/latex] ou encore que D = [latex]\frac {sqrt{3}} {1+sqrt{3}}[/TeX]
2) on place des points (qui representent plus tard les centre de sphères, dans un cube de 1x1x1, de manières à ce que ces points soient le plus éloignés les uns des autres. Pour 2, c'est simple, il sont placés sur 2 coins opposés:
http://www.prise2tete.fr/upload/dhrm77-cube2b.png
la distance qui les sépare est tout simplement [latex]sqrt{3}[/latex] . Maintenant il nous faut convertir cette dimension dans le probème qui nous interesse. Pour ca, il suffit de diviser par la dimension du cube qui contiendrais les sphères si les centres sont inscrits dans un cube de 1x1x1. Si X est la distance entre les centre 2 centres, et donc egalement le diametre des sphères, pour trouver la dimension de ce grand cube, on rajoute tout simplement le rayon de chaque coté: GrandCube= X/2+1 + X/2, soit 1+X. Maintenant puisque le problème est donné avec un cube initial de taille constante = 1:
Soit X la distance entre 2 centres dans le problème simplifié, le diamètre des sphères D = [latex]\frac {X} {1+X}[/latex]
Donc, pour 2 sphères on trouve [latex]\frac {sqrt{3}} {1+sqrt{3}}[/latex]
Si la 1ère méthode parait simple pour 2 sphères, ca se complique rapidement pour un plus grand nombre de sphères.

De la même manière:
pour 3 et 4 sphères:
X = [latex]{sqrt{2}[/latex], donc D = [latex]\frac {sqrt{2}} {1+sqrt{2}}[/latex]

Et oui, le meilleur arangement pour 3 et 4 sphères est le même. Pour 3 sphères, il suffit d'en enlever une.

pour 5 sphères:
X = [latex]{sqrt{\frac {5}{4}}[/latex], donc D = [latex]\frac {sqrt{5}} {2+sqrt{5}}[/latex]

pour 6 sphères:
on pose: X=[latex]sqrt{{a^2}+1+{a^2}}[/latex] et X=[latex]sqrt{(1-a)^2+(1-a)^2}[/latex] on en deduit que:

1=4a puis b=[latex]\frac {3}{4}[/latex] puis X = [latex]\frac{3sqrt{2}}{4}[/latex] puis D = [latex]\frac {3sqrt{2}} {4+3sqrt{2}}[/latex] ou [latex]9-6sqrt{2}[/latex]
(encore bravo à Vasimolo au passage)

pour 7 sphères:
Voici d'abord à quoi ressemble l'arangement optimal des 7 sphères:
http://www.prise2tete.fr/upload/dhrm77-cube7a.PNG
Dans cette configuration, une seule sphère est dans un coin. On calcule d'abord la distance qui sépare un bord à une des sphères qui touche celle du coin, puis aprés quelques pages de calculs que je vous épargnerais, on trouve:
X=[latex]sqrt{\frac{16+2sqrt{3}-8sqrt{\frac{5}{2}+sqrt{3}}}{3}}[/latex]
puis:
D=[latex]\frac{sqrt{\frac{16+2sqrt{3}-8sqrt{\frac{5}{2}+sqrt{3}}}{3}}}{sqrt{\frac{16+2sqrt{3}-8sqrt{\frac{5}{2}+sqrt{3}}}{3}}+1}[/latex] soit 0.458897882

Pour 8 et 27 sphères:
Il est évident que les solutions sont 1/2 et 1/3, avec une configuration cubique, cependant ca s'arrète là. Pour 64 sphères, il existe un arangement qui est plus optimal que la configuration cubique.

Pour 9 sphères:
configuration donnée par lefredj: une sphère dans chaque coin, et une au centre du cube:
X = [latex]{\frac {sqrt{3}}{2}[/latex], donc D = [latex]2sqrt{3}-3[/latex]

Pour 10 sphères: (voir configuration page précédente)
On trouve X = [latex]\frac {3}{4}[/latex] donc D = [latex]\frac {3}{7}[/latex]

Pour 11 et 12 sphères:
Les configurations sont connues, mais les calculs sont si compliqués que l'on ne connait qu'une approximation trouvé par ordinateur.


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#0 Pub

 #27 - 27-11-2009 00:04:55

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4871

Entassement maximal de sphères dans unn cube

A perdre la boule mad

Ces problèmes de remplissage , déjà extrêmement difficiles dans le plan deviennent pratiquement inextricables dans l'espace . On sait prévoir les tendances pour un grand nombre de boules mais l'étude au cas par cas fait vraiment penser à du bricolage , un bricolage que je trouve amusant mais j'en connais qui ne doivent pas trouver cela très drôle big_smilebig_smilebig_smile

Vasimolo

 #28 - 27-11-2009 00:11:23

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

entassemenr maximal de sphères dans un cube

On  attend plus que Milou pour compléter le zoo lol
Continuez, c'est toujours un plaisir de vous lire ;-)


http://enigmusique.blogspot.com/

 #29 - 28-11-2009 23:20:35

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

entassement maximal de sphères sans un cube

Je continue:

Pour 13 et 14 sphères:
Là c'est vraiment tres simple. On a 5 points sur chaque face comme le montre Vasimolo page précédente.
X = [latex]\frac{sqrt{2}}{2}[/latex]  donc, D = [latex]sqrt{2}-1[/latex]

Il est généralement admis que la solution pour 13 est la même que pour 14, il suffit d'enlever une sphère. Il n'est apparement pas possible de les déplacer légerement pour obtenir un diamètre plus élevé.


Pour 15 sphères:
Voici l'arangement optimal:
http://www.prise2tete.fr/upload/dhrm77-cube15a.PNG
C'est assez symétrique, et les calculs sont plus simples que je pensais à l'origine. Comme d'habitude les traits rouges symbolisent des sphères qui se touchent. La sphère au centre ne "touche" aucune sphère en particulier, c'est à dire qu'elle peut se situer a plusieurs endroits differents, ou encore qu'elle peut être plus grosse que les autres sphères. Je vous laisse 24hr pour calculer le diamètre des sphères dans cette configuration.


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 #30 - 30-11-2009 18:02:52

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Entassment maximal de sphères dans un cube

Puisque personne ne repond, pour 15 sphères:
- on constate que du à la symmetrie, le point en haut à gauche est au milieu du segment.
- on pose ensuite l'équation: [latex]X^2=(\frac{1}{2})^2+(1-X)^2[/latex]
- on en conclu que: X=[latex]\frac{5}{8}[/latex] donc D = [latex]\frac{5}{13}[/latex]

Je continue avec:
18 sphères:
l'arangement optimal pour 18 sphères est:
http://www.prise2tete.fr/upload/dhrm77-cube18a.PNG
On a 3 couches horizontales de 6 sphères en quinconce. Les équations sont simples.


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 #31 - 15-02-2016 09:16:10

leresolus
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 1

entassemenr maximal de sphères dans un cube

Pour 7 sphères le diamètre 0.458897882 donné comme réponse n'est pas exact,
il devrait être compris entre le diamètre pour 6 sphères et celui pour 8 sphères.

leresolus

 #32 - 16-02-2016 02:51:40

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Entassemetn maximal de sphères dans un cube

Oui effectivement, et félicitations pour être le premier à le remarquer en plus de 6 ans.

Je n'ai pas cherché mes notes d'il y a 7 ans, mais après avoir réparé la formule LaTex (il manquait '\' devant sqrt, le convertiseur LaTex d'il y a 7ans acceptais le sqrt sans le \ ), j'ai pu recalculer la valeur.

Désolé de ne pas l'avoir calculé correctement la première fois.
Le message est trop vieux pour pouvoir etre édité aujourd'hui.
Donc voici la section pour 7 sphères corrigée:

X=[latex]\sqrt{\frac{16+2\sqrt{3}-8\sqrt{\frac{5}{2}+\sqrt{3}}}{3}}[/latex] soit 1.001098926
puis:
D=[latex]\frac{\sqrt{\frac{16+2\sqrt{3}-8\sqrt{\frac{5}{2}+\sqrt{3}}}{3}}}{\sqrt{\frac{16+2\sqrt{3}-8\sqrt{\frac{5}{2}+\sqrt{3}}}{3}}+1}[/latex] soit 0.500272308


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