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 #1 - 09-11-2012 00:39:40

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
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(ie)rationnel

Etant donné un nombre rationnel [latex]r[/latex] positif, à quelle condition sur [latex]r[/latex] le nombre [latex]r^r[/latex] est-il rationnel ?



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 #2 - 09-11-2012 08:06:48

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
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(ir)rrationnel

On suppose [latex]r >0[/latex].
[latex]r^r[/latex] est rationnel si et seulement si [latex]r\in\mathbb {N}^*[/latex].
Pour le prouver, il suffit de considérer la décomposition de [latex]r[/latex] en facteurs premiers.

 #3 - 09-11-2012 10:46:35

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3766
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

(ir)rztionnel

Hum..
Ca sent le devoir à faire à la maison. Nous sommes sur un site d'énigme, pas d'aide aux devoirs...
lol

Bon, trêve de plaisanterie, si r est rationnel, il peut s'écrire de façon irréductible sous la forme p/q.
Alors si racine q-ème de p et racine q-ème de q sont rationnels, r^r est rationnel.
C'est une condition suffisante, mais est-elle nécessaire ?
Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #4 - 09-11-2012 11:11:57

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

(ir)rtionnel

r est rationnel donc r=a/b avec a et b entiers.

r^r=(a/b)^(a/b) est rationnel si a^(a/b) l'est ainsi que b^(a/b).

a^a est rationnel ainsi que b^a puisque a et b sont entiers, il reste donc à vérifier que (a^a)^(1/b) et (b^a)^(1/b) le sont aussi.

Il faut donc d'abord que la racine b-ièmes de a^a soit entière, c'est à dire que a^a puisse s'écrire c^b avec c entier.

On a alors

 #5 - 09-11-2012 12:00:35

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

(ir)rationel

A priori, si r n'est pas un entier, alors r puissance r est irrationnel. Je proposerais bien la condition que r soit un entier relatif. Mais est ce important que r soit positif ?

 #6 - 09-11-2012 12:07:57

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

((ir)rationnel

Tu es sur la bonne voie Franky, reste à trouver une preuve...

Pour la restriction [latex]r[/latex] positif (disons strictement pour ne pas créer de polémiques), c'est que [latex]r^r[/latex] n'existe pas toujours lorsque [latex]r<0[/latex].

 #7 - 09-11-2012 13:58:33

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

(it)rationnel

Intéressant comme question, la fonction exponentielle n'est pas rationnelle, il faut donc que je trouve une raison qui fasse que

[latex]e^{\frac{x}{y}*ln({\frac{x}{y}})}=\frac{x'}{y'}[/latex] soit rationnelle?

Hum c'est pas très cool ça lol

Shadock


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #8 - 09-11-2012 15:13:27

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

(ir)rationel

@shadock : que veux-tu dire par "la fonction exponentielle n'est pas rationnelle ?"

 #9 - 09-11-2012 17:40:47

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

(ir)ratioonnel

Ah bon ! Je pensais que r^r existait aussi pour r entier négatif car dans ce cas on aurait: r^r = 1/r^(-r) avec (-r)>0.
Pour que r soit un rationnel, il doit exister un entier relatif (positif ou négatif) m et un entier naturel (positif) n tel que: r=m/n.
Dans ces conditions, on peut écrire: r^r = [(m/n)^m]^(1/n). Mais si le nombre (m/n)^m] est bien un rationnel, sa racine n-ième ne le sera que si n=1.
Donc pour que r^r soit un rationnel, il faut et il suffit que r soit un entier relatif.

 #10 - 09-11-2012 17:50:17

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

(ir)rayionnel

C'est sans doute un problème de français ^^
Je m'explique donc : J'entends que l'on ne peut pas exprimer la fonction exponentielle comme un fraction, en effet considérons le raisonnement par l'absurde suivant :
[TeX]exp(x) \in \mathbb{Q} \Longleftrightarrow exp(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}[/latex] avec P et Q deux polynômes à coefficients réels.

Donc [latex]exp'(x)=\frac{P'(x)Q(x)-P(x)Q'(x)}{Q^2(x)}=\frac{P(x)}{Q(x)}[/TeX]
Soit [latex]P'Q-PQ'=PQ[/latex]

Or [latex]deg(PQ)=deg(P)+deg(Q)[/latex]
[TeX]deg(P'Q)=deg(PQ)-1[/TeX]
[TeX]deg(PQ')=deg(PQ)-1[/TeX]
C'est à dire [latex]deg(P'Q)-deg(PQ') \le deg(PQ)-1[/latex], absurde!

Donc on ne peut exprimer la fonction exponentielle comme une fraction.

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #11 - 09-11-2012 17:55:56

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
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(ir)rayionnel

@Franky : je ne parle pas que des entiers, je parle de [latex]r^r[/latex] avec [latex]r[/latex] rationnel. On prend [latex]r[/latex] positif pour être sûr que [latex]r^r[/latex] existe.

Par exemple pour [latex]r=-0,2=-\frac15[/latex], le nombre [latex]r^r[/latex] existe, mais pas pour [latex]r=-0,5=-\frac12[/latex].

Sinon, ta démonstration est un peu expéditive, pourquoi forcément [latex]n=1[/latex] ?

 #12 - 09-11-2012 18:00:09

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

(ir)ratioonnel

@shadock : ah ok, la fonction exponentielle n'est pas une fonction rationnelle ie un quotient de 2 polynômes. Je suis d'accord. Mais à quoi ça sert ?

 #13 - 09-11-2012 18:10:07

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

(ir)rtionnel

[TeX]a^b=e^{bln(a)}[/TeX]
Shadock smile

Euh je crois que je dis une bêtise, bon je vais réfléchir...


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #14 - 10-11-2012 11:36:28

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

(or)rationnel

Bonjour smile

Le problème est assez simple si on le prend par le bon bout .

[latex]\sqrt[n]{x}[/latex] est rationnel si et seulement si [latex]x[/latex] est une puissance nième d'un rationnel . Si [latex]x=\frac ab[/latex] et [latex]x^x=\sqrt[b]{x^a}[/latex] sont rationnels alors [latex]x^a[/latex] doit être une puissance bième d'un rationnel et comme on a pris soin de prendre [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] premiers entre eux [latex]x[/latex] est aussi une puissance bième d'un rationnel . Alors [latex]a[/latex] est une puissance bième d'un entier et [latex]b[/latex] une puissance aième d'un entier . Comme on travaille sur des entiers , quelques inégalités simples donnent [latex]a=1[/latex] ou [latex]b=1[/latex] .  On élimine facilement [latex]a=1[/latex] , il reste [latex]b=1[/latex] qui ne pose aucun problème .

Les solutions sont les entiers positifs .

Vasimolo

 #15 - 10-11-2012 13:21:37

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

(i)rrationnel

@masab : Bonne réponse, mais si tu as envie de développer un peu, c'est pas de refus...

@Vasimolo : Oui bravo.

 #16 - 10-11-2012 14:57:30

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

(ir)ratinnel

Complément à mon post précédent
On a la relation: r^r = (m/n)^(m/n) = [(m/n)^m]^(1/n)
Donc (m/n)^m doit être une puissance n-ième d'un rationnel et, puisque m et n sont premiers entre eux (fraction par définition irréductible), (m/n) aussi.
Donc m et n doivent être des puissances n-ièmes d'entiers.
Donc il doit exister un entier p tel que: n = p^n, d'où: p = exp[log(n)/n], uniquement vérifié pour n=1.
Je maintiens donc ma conclusion que r doit être un entier relatif.

 #17 - 10-11-2012 15:30:30

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

(ir)ratoinnel

Oui Franky bravo, c'est bien ça.

 #18 - 10-11-2012 16:16:08

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 681

(ir))rationnel

Pour simplifier, je prouve d'abord ce que j'ai énoncé dans 2 cas particuliers.
1) [latex]r=p^\alpha[/latex] avec [latex]p[/latex] premier, [latex]\alpha\in\mathbb{N}^*[/latex]
Dans ce cas [latex]r^r[/latex] est un entier.

2) [latex]r=\frac{1}{p^\alpha}[/latex] avec p premier, [latex]\alpha\in\mathbb{N}^*[/latex]
Supposons que [latex]r^r[/latex] soit rationnel :
[TeX]r^r=\frac{a}{b}[/latex] avec [latex]a,b[/latex] premiers entre eux.
Alors
[latex]b^{p^\alpha}=a^{p^\alpha}\,p^\alpha[/TeX]
D'après le lemme de Gauss, [latex]p[/latex] divise [latex]b[/latex] ; donc [latex]p[/latex] ne divise pas [latex]a[/latex].
Si [latex]b[/latex] contient le facteur [latex]p[/latex] à la puissance [latex]k\geq 1[/latex], on a donc
[TeX]p^{k\,p^\alpha}=p^\alpha[/TeX]
[TeX]k\,p^\alpha=\alpha[/TeX]
ce qui est impossible. Donc [latex]r^r[/latex] n'est pas rationnel.

Le cas général se traite de façon analogue, en considérant la décomposition de [latex]r[/latex] en facteurs premiers.

 #19 - 11-11-2012 11:41:40

leberbere
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 31
Messages : 4
Lieu: Tizi Ouzou

(ir)rationnnel

aucune


faire fonctionner sa tête , y'a pas mieu, lol

 #20 - 11-11-2012 12:42:24

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

(ir)ratoinnel

Je ne vois pas de solution autre que r entier.

 #21 - 11-11-2012 12:58:43

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

(irrationnel

@leberbere : Il y a bien une condition : par exemple pour [latex]r=\frac12[/latex], on obtient [latex]r^r=\sqrt{\frac12}=\frac1{\sqrt2}[/latex] qui n'est pas rationnel.

@nodgim : Oui, bonne réponse. Sais-tu pourquoi ?

 #22 - 12-11-2012 17:22:13

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

(ri)rationnel

Bravo à tous ceux qui ont trouvé que [latex]r[/latex] doit être entier.

Je fournis ici une démonstration très détaillée :

On pose [latex]r=\frac ab[/latex] avec [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] deux entiers (strictement positifs) premiers entre eux.

On suppose que [latex]r[/latex] n'est pas entier (ie [latex]b \geq 2[/latex]) et que [latex]r^r[/latex] est un rationnel.

On peut écrire [latex]r^r=\frac pq[/latex] avec [latex]p[/latex] et [latex]q[/latex] deux entiers premiers entre eux.

Cela donne [latex]\frac{a^a}{b^a} = \frac{p^b}{q^b}[/latex]

Comme les deux fractions sont irréductibles, on en déduit que [latex]b^a=q^b[/latex]

Notons ce nombre [latex]x[/latex]. Dans la décomposition en produit de facteurs premiers de [latex]x[/latex], les puissances qui apparaissent sont des multiples de [latex]a[/latex] car [latex]x=b^a[/latex], et également des multiples de [latex]b[/latex] car [latex]x=q^b[/latex]. Puisque [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] sont premiers entre eux, on en déduit que ces puissances sont des multiples de [latex]ab[/latex] et par conséquent que [latex]x=y^{ab}[/latex] où [latex]y[/latex] est un entier.

On en déduit que [latex]b^a=y^{ab}[/latex] et donc [latex]b=y^b[/latex].

Mais [latex]b \geq 2[/latex] donc [latex]y \geq 2[/latex] et donc [latex]b \geq 2^b[/latex]. C'est absurde.

Par conséquent, si [latex]r[/latex] est un rationnel non entier, alors [latex]r^r[/latex] est irrationnel. Évidemment, si [latex]r[/latex] est un entier, alors [latex]r^r[/latex] est un entier donc un rationnel.

 

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