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#1 - 09-11-2012 00:39:40
- titoufred
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(ir)ratiinnel
Etant donné un nombre rationnel [latex]r[/latex] positif, à quelle condition sur [latex]r[/latex] le nombre [latex]r^r[/latex] est-il rationnel ?
#2 - 09-11-2012 08:06:48
- masab
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(ir)ratipnnel
On suppose [latex]r >0[/latex]. [latex]r^r[/latex] est rationnel si et seulement si [latex]r\in\mathbb {N}^*[/latex]. Pour le prouver, il suffit de considérer la décomposition de [latex]r[/latex] en facteurs premiers.
#3 - 09-11-2012 10:46:35
- Klimrod
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(ir)ratipnnel
Hum.. Ca sent le devoir à faire à la maison. Nous sommes sur un site d'énigme, pas d'aide aux devoirs...
Bon, trêve de plaisanterie, si r est rationnel, il peut s'écrire de façon irréductible sous la forme p/q. Alors si racine q-ème de p et racine q-ème de q sont rationnels, r^r est rationnel. C'est une condition suffisante, mais est-elle nécessaire ? Klim.
J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.
#4 - 09-11-2012 11:11:57
- golgot59
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(ir)rationne
r est rationnel donc r=a/b avec a et b entiers.
r^r=(a/b)^(a/b) est rationnel si a^(a/b) l'est ainsi que b^(a/b).
a^a est rationnel ainsi que b^a puisque a et b sont entiers, il reste donc à vérifier que (a^a)^(1/b) et (b^a)^(1/b) le sont aussi.
Il faut donc d'abord que la racine b-ièmes de a^a soit entière, c'est à dire que a^a puisse s'écrire c^b avec c entier.
On a alors
#5 - 09-11-2012 12:00:35
- Franky1103
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(ir)rationnrl
A priori, si r n'est pas un entier, alors r puissance r est irrationnel. Je proposerais bien la condition que r soit un entier relatif. Mais est ce important que r soit positif ?
#6 - 09-11-2012 12:07:57
- titoufred
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(ir)artionnel
Tu es sur la bonne voie Franky, reste à trouver une preuve...
Pour la restriction [latex]r[/latex] positif (disons strictement pour ne pas créer de polémiques), c'est que [latex]r^r[/latex] n'existe pas toujours lorsque [latex]r<0[/latex].
#7 - 09-11-2012 13:58:33
- shadock
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(ir)ratipnnel
Intéressant comme question, la fonction exponentielle n'est pas rationnelle, il faut donc que je trouve une raison qui fasse que
[latex]e^{\frac{x}{y}*ln({\frac{x}{y}})}=\frac{x'}{y'}[/latex] soit rationnelle?
Hum c'est pas très cool ça
Shadock
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#8 - 09-11-2012 15:13:27
- titoufred
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(ir)rationnnel
@shadock : que veux-tu dire par "la fonction exponentielle n'est pas rationnelle ?"
#9 - 09-11-2012 17:40:47
- Franky1103
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(ir)ratipnnel
Ah bon ! Je pensais que r^r existait aussi pour r entier négatif car dans ce cas on aurait: r^r = 1/r^(-r) avec (-r)>0. Pour que r soit un rationnel, il doit exister un entier relatif (positif ou négatif) m et un entier naturel (positif) n tel que: r=m/n. Dans ces conditions, on peut écrire: r^r = [(m/n)^m]^(1/n). Mais si le nombre (m/n)^m] est bien un rationnel, sa racine n-ième ne le sera que si n=1. Donc pour que r^r soit un rationnel, il faut et il suffit que r soit un entier relatif.
#10 - 09-11-2012 17:50:17
- shadock
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(ir)rationne
C'est sans doute un problème de français ^^ Je m'explique donc : J'entends que l'on ne peut pas exprimer la fonction exponentielle comme un fraction, en effet considérons le raisonnement par l'absurde suivant : [TeX]exp(x) \in \mathbb{Q} \Longleftrightarrow exp(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}[/latex] avec P et Q deux polynômes à coefficients réels.
Donc [latex]exp'(x)=\frac{P'(x)Q(x)-P(x)Q'(x)}{Q^2(x)}=\frac{P(x)}{Q(x)}[/TeX] Soit [latex]P'Q-PQ'=PQ[/latex]
Or [latex]deg(PQ)=deg(P)+deg(Q)[/latex] [TeX]deg(P'Q)=deg(PQ)-1[/TeX] [TeX]deg(PQ')=deg(PQ)-1[/TeX] C'est à dire [latex]deg(P'Q)-deg(PQ') \le deg(PQ)-1[/latex], absurde!
Donc on ne peut exprimer la fonction exponentielle comme une fraction.
Shadock
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#11 - 09-11-2012 17:55:56
- titoufred
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(ir)raionnel
@Franky : je ne parle pas que des entiers, je parle de [latex]r^r[/latex] avec [latex]r[/latex] rationnel. On prend [latex]r[/latex] positif pour être sûr que [latex]r^r[/latex] existe.
Par exemple pour [latex]r=-0,2=-\frac15[/latex], le nombre [latex]r^r[/latex] existe, mais pas pour [latex]r=-0,5=-\frac12[/latex].
Sinon, ta démonstration est un peu expéditive, pourquoi forcément [latex]n=1[/latex] ?
#12 - 09-11-2012 18:00:09
- titoufred
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(ir)rztionnel
@shadock : ah ok, la fonction exponentielle n'est pas une fonction rationnelle ie un quotient de 2 polynômes. Je suis d'accord. Mais à quoi ça sert ?
#13 - 09-11-2012 18:10:07
- shadock
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(ir)rationnrl
[TeX]a^b=e^{bln(a)}[/TeX] Shadock
Euh je crois que je dis une bêtise, bon je vais réfléchir...
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#14 - 10-11-2012 11:36:28
- Vasimolo
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(ir)raionnel
Bonjour
Le problème est assez simple si on le prend par le bon bout .
[latex]\sqrt[n]{x}[/latex] est rationnel si et seulement si [latex]x[/latex] est une puissance nième d'un rationnel . Si [latex]x=\frac ab[/latex] et [latex]x^x=\sqrt[b]{x^a}[/latex] sont rationnels alors [latex]x^a[/latex] doit être une puissance bième d'un rationnel et comme on a pris soin de prendre [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] premiers entre eux [latex]x[/latex] est aussi une puissance bième d'un rationnel . Alors [latex]a[/latex] est une puissance bième d'un entier et [latex]b[/latex] une puissance aième d'un entier . Comme on travaille sur des entiers , quelques inégalités simples donnent [latex]a=1[/latex] ou [latex]b=1[/latex] . On élimine facilement [latex]a=1[/latex] , il reste [latex]b=1[/latex] qui ne pose aucun problème .
Les solutions sont les entiers positifs .
Vasimolo
#15 - 10-11-2012 13:21:37
- titoufred
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(ir)eationnel
@masab : Bonne réponse, mais si tu as envie de développer un peu, c'est pas de refus...
@Vasimolo : Oui bravo.
#16 - 10-11-2012 14:57:30
- Franky1103
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(ir))rationnel
Complément à mon post précédent On a la relation: r^r = (m/n)^(m/n) = [(m/n)^m]^(1/n) Donc (m/n)^m doit être une puissance n-ième d'un rationnel et, puisque m et n sont premiers entre eux (fraction par définition irréductible), (m/n) aussi. Donc m et n doivent être des puissances n-ièmes d'entiers. Donc il doit exister un entier p tel que: n = p^n, d'où: p = exp[log(n)/n], uniquement vérifié pour n=1. Je maintiens donc ma conclusion que r doit être un entier relatif.
#17 - 10-11-2012 15:30:30
- titoufred
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(ir)ratiobnel
Oui Franky bravo, c'est bien ça.
#18 - 10-11-2012 16:16:08
- masab
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(ir)rationel
Pour simplifier, je prouve d'abord ce que j'ai énoncé dans 2 cas particuliers. 1) [latex]r=p^\alpha[/latex] avec [latex]p[/latex] premier, [latex]\alpha\in\mathbb{N}^*[/latex] Dans ce cas [latex]r^r[/latex] est un entier.
2) [latex]r=\frac{1}{p^\alpha}[/latex] avec p premier, [latex]\alpha\in\mathbb{N}^*[/latex] Supposons que [latex]r^r[/latex] soit rationnel : [TeX]r^r=\frac{a}{b}[/latex] avec [latex]a,b[/latex] premiers entre eux. Alors [latex]b^{p^\alpha}=a^{p^\alpha}\,p^\alpha[/TeX] D'après le lemme de Gauss, [latex]p[/latex] divise [latex]b[/latex] ; donc [latex]p[/latex] ne divise pas [latex]a[/latex]. Si [latex]b[/latex] contient le facteur [latex]p[/latex] à la puissance [latex]k\geq 1[/latex], on a donc [TeX]p^{k\,p^\alpha}=p^\alpha[/TeX] [TeX]k\,p^\alpha=\alpha[/TeX] ce qui est impossible. Donc [latex]r^r[/latex] n'est pas rationnel.
Le cas général se traite de façon analogue, en considérant la décomposition de [latex]r[/latex] en facteurs premiers.
#19 - 11-11-2012 11:41:40
- leberbere
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(ir)rattionnel
faire fonctionner sa tête , y'a pas mieu, lol
#20 - 11-11-2012 12:42:24
- nodgim
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(ir)rattionnel
Je ne vois pas de solution autre que r entier.
#21 - 11-11-2012 12:58:43
- titoufred
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(ir)ratoonnel
@leberbere : Il y a bien une condition : par exemple pour [latex]r=\frac12[/latex], on obtient [latex]r^r=\sqrt{\frac12}=\frac1{\sqrt2}[/latex] qui n'est pas rationnel.
@nodgim : Oui, bonne réponse. Sais-tu pourquoi ?
#22 - 12-11-2012 17:22:13
- titoufred
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(ir)rrationnel
Bravo à tous ceux qui ont trouvé que [latex]r[/latex] doit être entier.
Je fournis ici une démonstration très détaillée :
On pose [latex]r=\frac ab[/latex] avec [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] deux entiers (strictement positifs) premiers entre eux.
On suppose que [latex]r[/latex] n'est pas entier (ie [latex]b \geq 2[/latex]) et que [latex]r^r[/latex] est un rationnel.
On peut écrire [latex]r^r=\frac pq[/latex] avec [latex]p[/latex] et [latex]q[/latex] deux entiers premiers entre eux.
Cela donne [latex]\frac{a^a}{b^a} = \frac{p^b}{q^b}[/latex]
Comme les deux fractions sont irréductibles, on en déduit que [latex]b^a=q^b[/latex]
Notons ce nombre [latex]x[/latex]. Dans la décomposition en produit de facteurs premiers de [latex]x[/latex], les puissances qui apparaissent sont des multiples de [latex]a[/latex] car [latex]x=b^a[/latex], et également des multiples de [latex]b[/latex] car [latex]x=q^b[/latex]. Puisque [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] sont premiers entre eux, on en déduit que ces puissances sont des multiples de [latex]ab[/latex] et par conséquent que [latex]x=y^{ab}[/latex] où [latex]y[/latex] est un entier.
On en déduit que [latex]b^a=y^{ab}[/latex] et donc [latex]b=y^b[/latex].
Mais [latex]b \geq 2[/latex] donc [latex]y \geq 2[/latex] et donc [latex]b \geq 2^b[/latex]. C'est absurde.
Par conséquent, si [latex]r[/latex] est un rationnel non entier, alors [latex]r^r[/latex] est irrationnel. Évidemment, si [latex]r[/latex] est un entier, alors [latex]r^r[/latex] est un entier donc un rationnel.
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