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 #1 - 29-05-2011 10:58:33

Alexein41
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Messages : 119

Puissances irrtionnelles e^pi et pi^e

[TeX]A = e^\pi[/latex] et [latex]B = \pi^e[/TeX]
Lequel des deux nombres A et B est le plus grand ? Exposez votre démarche smile.

Bon courage ! Alexein41.

P.S. : J'ai complètement oublié ce qu'était une calculatrice. tongue



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 #2 - 29-05-2011 12:33:50

ksavier
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 166

puissances irratipnnelles e^pi et pi^e

traditionnellement, l'étude de la fonction [latex]f:x\mapsto \dfrac{x}{ln x}[/latex],
permet de démontrer que la fonction [latex]f[/latex] est croissante sur [latex][e;+\infty[[/latex] avec [latex]f(e)=e[/latex].

Bref,

[latex]\pi>e \Longrightarrow \dfrac{\pi}{ln \pi} >e \Longrightarrow e^\pi>\pi^e[/latex].

 #3 - 29-05-2011 15:05:16

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

puissances irrationnelles e^oi et pi^e

Soit la fonction [latex]f[/latex] définie par [latex]f(x) = e \ln (x) - x[/latex] sur [latex]\mathbb{R}_*^+[/latex].
[TeX]f'(x) = \frac{e}{x} - 1[/TeX]
Donc [latex]f[/latex] atteint son maximum pour [latex]x = e[/latex], elle est strictement croissante avant et strictement décroissante après, et [latex]f(e)=0[/latex] par calcul direct.
[TeX]f(\pi)< 0[/latex] (car [latex]\pi \neq e[/latex], même pas besoin de se souvenir si c'est plus grand ou plus petit), soit [latex]e \ln(\pi)<\pi[/latex]. On passe tout ça à l'exponentielle, qui est une fonction strictement croissante :

[latex]e^{e \ln(\pi)} <e^{\pi}[/TeX]
Et comme e^{a \ln b} = b^a :
[TeX]\pi^e < e^{\pi}[/TeX]


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 29-05-2011 15:05:49

Kikuchi
Passionné de Prise2Tete
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Messages : 91

Puissancs irrationnelles e^pi et pi^e

On commence d'abord par étudier la fonction [latex]f:\;x\mapsto \dfrac{x}{\ln(x)}[/latex]

Sa dérivée est [latex]\dfrac{\ln(x)-1}{\ln^2(x)}[/latex] qui sera strictement positive sur [latex]]e;+\infty][/latex]

La fonction [latex]f[/latex] est donc strictement croissant sur [latex]]e;+\infty][/latex] et donc strictement croissante (et continue bien sûr) sur [latex][e;+\infty][/latex]

Ainsi,  [latex]a<b \Rightarrow \dfrac{a}{\ln(a)}<\dfrac{b}{\ln(b)} \Rightarrow a.\ln(b) < b.\ln(a) \Rightarrow b^a<a^b[/latex]

Et comme [latex]e<\pi[/latex] alors [latex]\pi^e<e^{\pi}[/latex]


There's no scientific consensus that life is important

 #5 - 29-05-2011 16:25:00

shadock
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Puissances irrationnelles e^ppi et pi^e

Si [latex]a<b[/latex] alors [latex]\forall (a;b) \in \mathbb{R}_+^2 {/} [{0;1}] \Rightarrow a^b>b^a[/latex]

Or [latex]e<\pi[/latex]
Donc [latex]e^\pi>\pi^e[/latex]

Shadock smile

J'avais oublié au moins une chose, pour le reste ça fonctionne bien avec les entiers et on m'a déjà dit que ça fonctionnait avec les réels.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #6 - 29-05-2011 18:22:19

franck9525
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Lieu: UK

Puissances irrationnlles e^pi et pi^e

[TeX]A=e^\pi B=\pi^e[/TeX][TeX]\rm ln(A)=\pi~ et ln(B)=e*ln(\pi)[/TeX]
Soit [latex] f(x)=\frac x{ln(x)} - e[/latex]
[TeX]f(e) = 0[/latex] et [latex]f(x)[/latex] est croissante pour toutes valeurs supérieures.
Comme [latex]\pi > e[/latex] alors [latex] f(\pi)>0[/TeX]
Ce qui donne [latex]\pi>e*ln(\pi)[/latex] et A > B


The proof of the pudding is in the eating.

 #7 - 29-05-2011 19:57:31

rivas
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Lieu: Jacou

puissances irrationnelmes e^pi et pi^e

Méthode Vasimolo pour flamber smile :
1- [latex]f(x)=\dfrac{ln(x)}x[/latex] est décroissante sur le bon intervalle
2- Donc [latex]e^\pi>\pi^e[/latex]
3- Allez y doucement sur les puissances

J'ai tout bon? smile

Méthode Rivas avec les détails:
[TeX]e^\pi>\pi^e \Leftrightarrow \pi.ln(e)>e.ln(\pi)[/latex] (car ln est croissante)
[latex]\Leftrightarrow \dfrac{ln(e)}e>\dfrac{ln(\pi)}{\pi}[/latex] (car e et pi sont positifs).
Posons [latex]f(x)=\dfrac{ln(x)}x[/TeX][TeX]f'(x)=\dfrac{1-ln(x)}{x^2}[/TeX]
f' est négative sur [latex][e,+\infty][/latex] donc f est décroissante sur le même intervalle.
Donc [latex]f(e)>f(\pi)[/latex] ce qui montre bien la dernière partie de l'équivalence et donc que:
[TeX]e^\pi>\pi^e[/TeX]
Merci pour ce classique (sans calculatrice) smile

 #8 - 30-05-2011 10:12:40

halloduda
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Lieu: Ardèche

Puissances irrationnells e^pi et pi^e

Cela revient à comparer [latex]\pi [/latex]à [latex]e.\log\pi[/latex], ou [latex]\frac 1 e[/latex] à [latex]\frac {\log\pi} {\pi}[/latex].
La fonction [latex]\frac {\log x}x[/latex] étant décroissante pour x>e, [latex]A=e^\pi>B=\pi^e[/latex]

En effet, sa dérivée [latex]\frac{1-\log x}{x^2}[/latex]est <0 pour x>e

 #9 - 30-05-2011 12:21:35

Autleaf
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Lieu: Toulouse

puissanczs irrationnelles e^pi et pi^e

Intéressons-nous à la fonction ln(x)/x

Cette fonction est strictement croissante sur ]0,e] puis strictement décroissante sur [e,+inf[. Elle atteint donc un maximum en e qui vaut 1/e.

On a pi>e
=> ln(pi)/pi<ln(e)/e  (fonction ln(x)/x strictement décroissante)
=> e.ln(pi)<pi.ln(e)   (pi et e >0)
=> exp(e.ln(pi)) < exp(pi.ln(e))  (fonction exp strictement croissante)
=> pi^e<e^pi

Donc B<A ! smile

Dur dur de se remettre à ce genre de raisonnement...

 #10 - 30-05-2011 12:50:20

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

Puissances irationnelles e^pi et pi^e

Bonjour,
Soit ln la fonction logarithme népérien (de base e)
J'étudie la fonction f(x) = ln(x)/x pour x>0
La dérivée f'(x) = (1-ln(x))/x² s'annule pour x=e
On peut écrire un tableau de variation: on voit que:
- pour 0<x<e, f'(x)>0 et donc f est croissante,
- pour x>e, f'(x)<0 et donc f est décroissante.
Donc si a<b<e, alors f(a)<f(b) et si a>b>e, alors f(a)<f(b) aussi.
Remarque 1: f(e)=1/e est un maximum.
Remarque 2: si a<e<b (ou a>e>b), on ne peut rien dire pour f(a) et f(b).
On voit que pour tout x>0 différent de e, f(x)<f(e) (et en particulier pour pi)
Donc ln(x)/x < ln(e)/e => e.ln(x) < x.ln(e) => exp[e.ln(x)] < exp[x.ln(e)]
Et finalement x puissance e < e puissance x
Et c'est aussi valable pour x=pi
Bonne journée.
Frank

 #11 - 30-05-2011 19:02:04

Yanyan
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puissances irrationnelles e^po et pi^e

Puisque on a perdu notre calculatrice admettons juste que [latex]e<\pi[/latex].

Et utilisons le fait que ln est concave donc en-dessous de toutes ses tangentes.
La tangente en [latex]e[/latex] a pour équation
[TeX]\frac{1}{e}(x-e)+1[/TeX]
d'où [latex]ln(\pi) <\frac{1}{e} (\pi-e)+1[/latex]

donc [latex]eln(\pi)<\pi-e+e=\pi[/latex]

en passant à l'exponentielle on a [latex]\pi^e<e^{\pi}[/latex].


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #12 - 01-06-2011 13:51:58

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Piussances irrationnelles e^pi et pi^e

shadock a écrit:

Si [latex]a<b[/latex] alors [latex]\forall (a;b) \in \mathbb{R}^2 \Rightarrow a^b>b^a[/latex]

Or [latex]e<\pi[/latex]
Donc [latex]e^\pi>\pi^e[/latex]

Shadock smile

Bonjour Shadock,
Je ne suis pas d'accord avec toi sur la "formule générale".
En effet (voir ma réponse) on voit que:
- si 0<a<b<e alors a puissance b < b puissance a,
- si e<a<b alors a puissance b > b puissance a,
- mais si 0<a<e<b alors on ne peut rien dire.
Tout dépend "du même côté" (s'il y a) ou se trouvent a et b.
Tout ça, sans la garantie du gouvernement (donc à vérifier).
Bonne journée.
Frank

 #13 - 01-06-2011 15:50:42

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
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Puissances irrationnellles e^pi et pi^e

Que des bonnes réponses ! En général, le passage par une étude de fonctions a été préféré pour résoudre cette énigme. smile

J'ai fait de même, en étudiant la fonction [latex]f(x) = x - e ln(x)[/latex], de dérivée [latex]f'(x) = 1 - \frac{e}{x}[/latex], strictement négative sur [latex]] 0 ; e [[/latex] et positive sur [latex][ e ; +\infty [[/latex].

La fonction [latex]f[/latex] est donc décroissante sur [latex]]0;e[[/latex] et croissante sur [latex]]e;+\infty[[/latex]. Son minimum est atteint pour la valeur [latex]x=e[/latex] et [latex]f(e)=0[/latex]. [latex]f(x)[/latex] est donc une fonction strictement positive sur [latex]]0;e[\cup]e;+\infty[[/latex].

Sachant que [latex]\pi[/latex] est un nombre strictement positif différent de e, on a :
[TeX]f(\pi) > 0[/TeX]
[TeX]\pi - eln(\pi) > 0[/TeX]
[TeX]\pi > ln(\pi^e)[/TeX]
[TeX]e^\pi > \pi^e[/TeX]
d'où [latex]A > B[/latex]

Voilà. smile

Je ne suis pas sûr de ton raisonnement Shadock, en prenant a = 0,5 et b = 0,7, ça ne marche pas hmm.

Bravo à Yanyan pour sa belle démarche ! smile

Et surtout, merci à tous d'avoir participé ! big_smile Alexein41.

 #14 - 01-06-2011 16:20:55

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Puissances irrationnells e^pi et pi^e

Bravo à Yanyan pour sa belle démarche !

Oui ! c'est Yanyan qui reçoit le prix Vasimolo pour sa réponse à cette belle énigme. big_smile


The proof of the pudding is in the eating.

 #15 - 01-06-2011 17:20:23

rivas
Elite de Prise2Tete
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puissances irratiinnelles e^pi et pi^e

La plupart de ces démonstrations donnent un "effet sorti du chapeau" par l'exhibition d'une fonction ex-nihilo que l'on étudie et qui convient à posteriori pour montrer l'inégalité.

Il me semble plus naturel de partir de l'inégalité demandée et par des transformations successives aboutir à une forme dans laquelle on voir la fonction qui devra être étudiée. Cela donne moins cet aspect sorti du chapeau.

Qu'en pensez-vous?

 #16 - 01-06-2011 18:03:55

Palin01
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puissances irrztionnelles e^pi et pi^e

A mon avis, c'est parce qu'ils n'ont pas exposé entièrement leur raisonnement : ils n'auraient pas trouvé cette fonction par hasard, mais ce que tu critiques c'est peut-être le fait qu'ils n'aient pas assez détaillé ?

 #17 - 01-06-2011 18:25:40

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
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Puissances irrationnleles e^pi et pi^e

En partant de l'inégalité demandée, et en la transformant successivement, on est presque tous arrivé à étudier une fonction. Après son étude, on conclut en repartant de l'inégalité transformée, et en aboutissant à A > B. Mais comme ça, on répète l'étape "transformation de l'inégalité".
La démarche faite ici (c-à-d poser directement la fonction et en déduire l'inégalité) permet de ne pas se répéter tout au long du raisonnement. Mais c'est vrai que ça fait un peu "sorti du chapeau". Après, Palin01 a raison, on a pas trouvé la fonction au hasard. C'est juste pour faire plus rapide qu'on zappe l'étape "recherche de la fonction". smile

 #18 - 01-06-2011 18:26:13

Yanyan
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Puissances irrationnelles e^pi et ip^e

Je me demande si mon prix a de la valeur...
Quant à ma démarche elle utilise la concavité de ln, je pense que c'est un peu plus élégant qu'une étude de fonction.
Je ne l'ai pas sortie de mon chapeau, c'est juste une approximation maitrisable.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #19 - 01-06-2011 18:32:47

rivas
Elite de Prise2Tete
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Puissances irrationnelles e^pi t pi^e

Mon but n'est pas de critiquer.

Je me doute bien que ceux qui ont répondu ont fait le raisonnement qui permet de trouver l'une ou l'autre des fonctions à étudier et qu'il ne l'ont pas sorti de nulle part.

Je dis juste que la rédaction donne cette impression et que c'est dommage pour ceux qui n'ont pas cherché eux-même et qui vont lire ça et se dire: comment est-ce que j'aurais pu penser à étudier cette fonction?

C'est un peu comme si on commençait le roman par la conclusion.

 #20 - 01-06-2011 18:36:03

Yanyan
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puissances irrationnrlles e^pi et pi^e

En effet Rivas on n'oublie souvent cela...
Bravo à toi qui connait l'art du détail et de la clarté.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #21 - 01-06-2011 18:41:27

rivas
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Puisssances irrationnelles e^pi et pi^e

Yanyan a écrit:

Je me demande si mon prix a de la valeur...
Quant à ma démarche elle utilise la concavité de ln, je pense que c'est un peu plus élégant qu'une étude de fonction.
Je ne l'ai pas sortie de mon chapeau, c'est juste une approximation maitrisable.

Les goûts et les couleurs ça ne se discute pas smile
Mon point aussi était sur l'élégance. Les rédactions exhibant à priori la solution miracle me semblent par exemple moins élégantes que celle montrant comment on en arrive la.
Cela me rappelle quand en spé on commençait une démo par:
Soit [latex]\epsilon[/latex]>0. Posons [latex]\epsilon_1=\dfrac{2\epsilon^{3/2}}{\pi}[/latex] pour arriver miracle à la fin de la démo avec une majoration valant exactement [latex]\epsilon[/latex].

La concavité de ln est un concept plus ardu (dérivée seconde).
Encore plus la propriété que la courbe soit sous les tangentes du fait de cette concavité.
Pour quelqu'un adepte du principe des rasoirs d'Ockham il appréciera plus une solution utilisant un outil moins puissant mais suffisant.

Personnellement, je trouve l'utilisation de la concavité plus élégante.

 #22 - 01-06-2011 18:42:10

rivas
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Puissances irrationnleles e^pi et pi^e

Yanyan a écrit:

En effet Rivas on n'oublie souvent cela...
Bravo à toi qui connait l'art du détail et de la clarté.

J'hésite sur l'interprétation...

 #23 - 01-06-2011 19:21:09

Yanyan
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Puissancse irrationnelles e^pi et pi^e

Il n'y a pas à hésiter : c'est un compliment.


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 #24 - 01-06-2011 19:22:47

rivas
Elite de Prise2Tete
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Puissances irrationnelles e^p et pi^e

Je t'en remercie et en suis flatté de ta part alors.

 #25 - 01-06-2011 23:35:10

shadock
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Messages : 3332

Pussances irrationnelles e^pi et pi^e

J'ai corriger ce que j'ai écrit. Je n'ai pas de démonstration à proposer mais je suis quasi certain que ça marche (au moins avec les entiers). Quoiqu'il en soit l'énigme n'était pas de mon niveau à la vue de vos réponses. smile


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