Pour moi, l'étude qualitative, basée sur la symétrie du problème est déjà suffisante pour trancher, comme l'illustre mon histoire avec Jean-pierre et Pascal.
Malgré ça, je vais essayer d'illustrer pourquoi il est déraisonnable d'affirmer ceci (que j'appelle l'affirmation A) :
A="Une fois qu'on a trouvé une somme S dans la première enveloppe, les probabilités de trouver S/2 ou 2S dans l'autre enveloppe sont identiques (50% chacune)."
Je vais illustrer cela avec un exemple.
Supposons que les organisateurs, avant le début du jeu, disposent de quatre paires d'enveloppes, contenant :
(25,50)
(50,100)
(100,200)
(200,400)
Ils choisissent une des paires d'enveloppe au hasard, par exemple avec un dé à 4 faces. Par conséquent, chacune des quatre paires a une chance sur 4 d'être retenue pour le jeu.
On voit déjà que l'affirmation A sera bien vérifiée lorsque la somme trouvée dans l'enveloppe ouverte sera 50€, 100€ ou 200€. Mais ne sera pas vérifiée lorsqu'on tombera sur 25€ ou sur 400€. Effectivement, 25€ est la plus petite somme donc il est impossible d'avoir la moitié après changement et 400€ est la plus grande somme, donc impossible d'avoir le double après changement. Mais, ne nous affolons pas tout de suite, continuons.
Ensuite, les deux enveloppes retenues sont présentées au joueur, on lance la pièce de monnaie, il ouvre l'enveloppe désignée par le sort.
A ce stade, on a:
Probabilité de trouver 25€ dans l'enveloppe ouverte=1/8=0.125 avec la paire (25,50) et tirage face.
Probabilité de trouver 50€ dans l'enveloppe ouverte=1/4=0.25 avec la paire (25,50) et tirage pile ou bien la paire (50,100) et tirage face.
Probabilité de trouver 100€ dans l'enveloppe ouverte=1/4=0.25 avec la paire (50,100) et tirage pile ou bien la paire (100,200) et tirage face.
Probabilité de trouver 200€ dans l'enveloppe ouverte=1/4=0.25 avec la paire (100,200) et tirage pile ou bien la paire (200,400) et tirage face.
Probabilité de trouver 400€ dans l'enveloppe ouverte=1/8=0.125 avec la paire (200,400) et tirage pile.
Supposons que le joueur applique la stratégie de changer systématiquement d'enveloppe et étudions son espérance de gain, d'abord en fonction du contenu de la première enveloppe.
25€ => 50€ gain certain de 25€
50€ => 1/2 * 25€ + 1/2 * 100€ = 62.5€ espérance de gain de 12.5€
100€ => 1/2 * 50€ + 1/2 * 200€ = 125 espérance de gain 25€
200€ => 1/2 * 100€ + 1/2 * 400€ = 250€ espérance de gain 50€
400€ => 200€ perte certaine de 200€
On voit que s'il tombe sur la plus petite somme (25€), le changement est excellent ... il double la mise. En revanche, lorsqu'il tombe sur la plus grande somme (400€), le changement est catastrophique.
Calculons l'espérance de gain totale de la stratégie du changement d'enveloppe, en tenant compte des probabilités de trouver les différentes valeurs dans la première enveloppe.
Espérance de gain total en changeant d'enveloppe:
E = 1/8 * 25€ + 1/4 * 12.5€ + 1/4 * 25€ + 1/4 * 50€ - 1/8 * 200€
= 3.125€ + 3.125€ + 6.25€ + 12.5€ - 25€
= 0€
Voilà, on ne gagne rien, en moyenne, en changeant d'enveloppe ... sur cet exemple.
Si vous étudiez bien ce cas particulier, vous comprendrez que la raison pour laquelle ça ne marche pas, c'est à cause de la somme la plus grande (ici 400€). Lorsque la somme la plus grande sort, le changement d'enveloppe fait perdre tout le bénéfice que l'on peut espérer lorsque les sommes plus petites sortes. Bref, c'est la borne supérieure qui gache tout.
Remarquez, on s'est entété dans le calcul ... alors qu'on savait dès le départ que la règle A n'était pas vérifiée pour les bornes (25€ et 400€). Mais bon, ça fait du bien.
Ensuite, je vous laisse généraliser cette observation. Vous pouvez prendre d'autres séquences de paires, leur affecter des probabilités en essayant de faire "votre maximum" pour que la règle A soit vérifiée: vous buterez toujours sur les bornes qui vous feront échouer.
Le joueur, il ne connait pas l'espace des probabilités. Il ne peut donc pas savoir quand il tombe sur la plus grande valeur possible dans l'enveloppe ouverte au départ. Cela annule sa stratégie de changement ... qui pourtant peut marcher à merveille pour toutes les autres valeurs possibles.
Maintenant, que se passe t-il si l'espace des probabilités ne contient pas de borne maximale de valeur ?
C'est clair que, dans ce cas, ma remarque sur la somme maximale qui "gache tout" ne tient pas.
Le cas ou l'espace des probabilité n'a pas de borne maximale est un peu théorique, car je doute que le budget des chaines de télé soit extensible à l'infini ... mais bon, prenons le comme un cas d'école.
Donc, nous considérons un nombre théorique infini de paires d'enveloppes (chaque paire contenant une somme et son double). Disons qu'on numérote les paires possibles, en utilisant l'ensemble N.
Notons Pk la probabilité que la paire k soit choisie par les organisateurs.
On a, par définition des probabilité dans cet espace :
(Somme de tout les Pk pour k appartenant à N) = 1
Un tirage aléatoire avec équiprobabilité dans cet ensemble là, signifie que pour tout i et j, Pi = Pj.
Or il est impossible d'avoir pour tout i et j, Pi=Pj car sinon, la somme de tout les Pk pour k appartenant à N ne pourrait pas être égale à 1 (cette somme serait infinie).
J'ai fait mon possible ... après, je sèche.
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