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 #1 - 26-06-2013 11:07:17

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Un probleme d'anles indice n°3

Puisque demain c'est le brevet des collèges alors je vous demande de résoudre cette énigme avec que des notions vues au collège (c'est à dire pas de vecteurs, pas de formule d'Alkashi,.....).

Enoncé
Soit ABC un triangle isocèle en A tel que [latex]\widehat{BAC}[/latex]= 20°

On place D sur le côté [AB] tel que [latex]\widehat{BCD}[/latex]= 50°
On place E sur le côté [AC] tel que [latex]\widehat{CBE}[/latex]= 60°
On note F le point d'intersection des droites (CD) et (BE).

Déterminer les valeurs des angles du triangle DEF

Spoiler : [Afficher le message] indice n°1: tracer G sur le côté [AB] tel que [latex]\widehat{BCG}[/latex]= 60°

Spoiler : [Afficher le message] Indice n°2: Que de triangles isocèles et équilatéraux

Spoiler : [Afficher le message] Indice n°3: Dans un triangle équilatéral toutes les droites remarquables sont confondues



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 #2 - 26-06-2013 11:38:23

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

nU probleme d'angles indice n°3

Merci beaucoup d'avoir posté ce problème. Je fais partie de ceux qui ont brevet de maths demain.

J'ai la flemme de tout détailler mais je trouve :
[TeX]\widehat{DEF}=30°[/TeX]
[TeX]\widehat{EFD}=70°[/TeX]
[TeX]\widehat{FDE}=80°[/TeX]
Voilà.

 #3 - 26-06-2013 13:17:00

Vi-Claire
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 34

un prpbleme d'angles indice n°3

j'ai trouvé les angles sauf DEF... Je ne trouve pas la logique.

 #4 - 26-06-2013 18:29:35

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

Un problleme d'angles indice n°3

Les angles du triangle DEF sont donnés par
angle(DFE)=70°
angle(EDF)=80°
angle(DEF)=30°

En considérant les angles du triangle BCF, on obtient angle(DFE)=70°.

On note H l'intersection des droites (BE) et (CG) ; les triangles BCH et EGH sont équilatéraux.
angle(BDC)=50° donc le triangle BCD est isocèle en B ; d'où BD = BC= BH .
Le triangle BDH est donc isocèle en B d'où angle(BHD)=80° ; par suite angle(DHG)=40°.
Or angle(DGH)=40° ; donc le triangle DGH est isocèle en D ; comme de plus le triangle EGH est équilatéral, il en résulte que la droite (DE) est bissectrice intérieure de angle(GEH) ; d'où angle(DEF)=30°.

Enfin en considérant les angles du triangle DEF, on obtient angle(EDF)=80°.

 #5 - 26-06-2013 20:30:19

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

un probleme d'angles insice n°3

Il y a quelque temps je m'étais intéressé à ce type de problèmes , il y a souvent des solutions astucieuses qui tuent le problème en un rien temps . Si on veut généraliser , une façon intéressante de voir les choses ( elle permet de créer pleins de problèmes du même genre ) : le triangle est une portion de polygone régulier à 18 côtés .

http://img823.imageshack.us/img823/2184/q8p3.jpg

Angles au centre , angle inscrit , on conclut assez vite .

Vasimolo

 #6 - 27-06-2013 13:11:19

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

un probleme d'zngles indice n°3

Brevet de français terminé ! Brevet de maths en vue à 14h30 !!!

 #7 - 27-06-2013 16:09:46

Renzia
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 1

un orobleme d'angles indice n°3

c'est  impossible lol

 #8 - 28-06-2013 17:35:27

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 416

Un proleme d'angles indice n°3

Salut !

Tout d'abord, le calcul de l'angle DFE:
Deux angles opposés par le sommet sont de même mesure donc
angle(DFE) = angle(BFC)

Or dans le triangle BFC on connait les deux autres angles :
angle (CBF) = 60° et angle (BCF) = 50°.
Puisque la somme des angles d'un triangle vaut toujours 180° on en déduit que l'angle (BFC) et donc que l'angle (DFE) = 70°.


Ensuite ton indice nous aiguille vers la solution une fois qu'on utilise les angles inscrits.

En effet après avoir placé le point G on se retrouve avec angle(BGC) = angle(BEC) = 40° donc il existe un cercle passant par les 4 points B,E,G et C.
A partir de là et toujours en utilisant les angles inscrits on remarque que :

angle(EDC) = angle(EBC) car ils interceptent le même arc EC,
or angle (EDC)=angle(EDF)=60°

On termine avec le dernier angle (DEF) qui vaut donc 180-70-60 = 50°

 #9 - 02-07-2013 06:24:17

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

U probleme d'angles indice n°3

Par un raisonnement géométrique, trop long à décrire
sans dessins, je trouve finalement les angles suivants:

DEF = 30°
EFD = 70°
FDE = 80°

Merci pour cette énigme, pas si simple que cela.

 #10 - 02-07-2013 15:34:40

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

Un probleme d'angles indiice n°3

Vasimolo a écrit:

Le triangle est une portion de polygone régulier à 18 côtés.

C'est une solution vraiment élégante: bravo et merci.

 #11 - 02-07-2013 18:01:21

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Un probleme da'ngles indice n°3

Bravo a tous; j'attendais la solution de masab mais celle de Vasimolo est tres elegante

 

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