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 #1 - 13-03-2010 09:50:01

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

Manque pas une donné?e

Que vaut l'aire de la surface bleue?

Merci de donner votre raisonnement.

http://www.prise2tete.fr/upload/looozer-Tangente.jpg



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 #2 - 13-03-2010 11:15:39

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 931

Manque pas une donné?

Soit r et R les rayons des disques verts. Le grand cercle a un rayon r+R.
La surface bleue a pour aire :
[TeX]\pi (r+R)^2 - \pi r^2 - \pi R^2 = 2 \pi r R[/TeX]
En utilisant la puissance du point de contact des petits cercles par rapport au grand cercle : [latex]- 2r \cdot 2R = - 2 \cdot 2 = -4[/latex]

D'où l'aire en bleu : [latex]2 \pi[/latex]


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #3 - 13-03-2010 12:23:56

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

 #4 - 13-03-2010 15:22:12

schaff60
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 175

manque pas ube donnée?

si R est le rayon du grand cercle, R1 et R2 des petits cercles, on a
R=R1+R2

surface du grand cercle : π R² = π (R1+R2)² = π R1²+π R2²+2π R1R2

surface des petits cercles : π R1²+π R2²

surface bleue restante : 2π R1R2

la médiatrice du segment rouge est diamètre du cercle bleu et passe par les centres des cercles verts, dans le triangle rectangle inscrit ayant ce diamètre pour base on a comme relation 2R1 x 2R2 = 2² soit R1R2 = 1

Surface bleue : 2π


Un truisme inepte, chamarré d'une phraséologie spécieuse, se diapre subséquemment des apparats d'un apophtegme

 #5 - 13-03-2010 15:32:09

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Maanque pas une donnée?

Apres quelques calculs, en passant par le diametre des cercles verts multipliés entre eux égal 4, on trouve que l'aire bleue égale 2*PI, soit 6.283185...


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #6 - 13-03-2010 16:12:15

ZosleX
Visiteur

Manque pas une donné?e

L'aire bleue est de 2*Pi puisque les rayons des petits disques verts sont inverses, leur produit donne 1.

 #7 - 13-03-2010 17:49:18

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Manqe pas une donnée?

Bonsoir smile

J'en ai vu des pires tongue

On note a , b et c les trois rayons en ordre croissant , comme c=b+a , alors l'aire bleue vaut : [latex]A=\pi(c^2-b^2-a^2)=2\pi ab[/latex]


http://img383.imageshack.us/img383/1966/troisdisques.jpg

Mais la propriété de Pythagore dans le triangle ci-dessus donne ab=1 et [latex]A=2\pi[/latex]

Vasimolo

 #8 - 15-03-2010 11:41:52

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

manque pas ube donnée?

Ben non, il manque pas une donnée.
Si on appelle r le rayon du cercle bleu, a la distance entre le centre du cercle bleu et la droite rouge, et alpha l'angle formé par la perpendiculaire à la droite rouge qui passe par le centre du cercle bleu d'une part, et la droite passant par le centre du cercle bleu et le point d'intersection entre la droite rouge et le cercle bleu d'autre part, on a:
cos(alpha) = a/r
tan(alpha) = 2/a

Or, si x = cos(alpha), tan(alpha) = racine(1-x^2)/x.
r2-a2 = 4
Ici, ca donne, après simplifications, a^2 = r^2 -4
Comme le rayon du grand cercle vert vaut (r+a)/2 et celui du petit cercle vert (r-a)/2, la somme de leur aires fait Pi * (a2+r2)/2, donc Pi*r^2-2*Pi
L'aire du grand cercle bleu étant Pi*r^2, la différence nous donne 2Pi.

 #9 - 15-03-2010 12:42:06

lefredj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 115

Manquue pas une donnée?

Si on appelle R le rayon du disque bleu, R1 et R2 les rayons du grand disque et du petit disque vert, on a R = R1 + R2 et l'aire bleue est:
[TeX]A = \pi R^2 - \pi R_1^2 - \pi R_2^2[/TeX]
[TeX]A = \pi [( R - R_1 )( R + R_1 ) - R_2^2][/TeX]
[TeX]A = \pi [ R_2 ( R + R_1 -R_2)][/TeX]
[TeX]A = 2 \pi R_2 R_1[/TeX]
Ensuite, on peut regarder le triangle rectangle rouge:
http://www.prise2tete.fr/upload/lefredj-Tangente.jpg

On a alors (Pythagore):
[TeX]2^2 + (R_1 - R_2)^2 = ( R_1 + R_2)^2[/TeX]
on trouve: [latex]R_2 R_1 = 1[/latex]

L'aire bleue est donc égale à [latex]2 \pi [/latex]!

 #10 - 15-03-2010 22:07:33

gelule
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 778

manque pas unz donnée?

contrairement à toute attente, Pythagore me dit que la réponse est 2π

 #11 - 15-03-2010 22:16:30

smoofy
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 22

mznque pas une donnée?

Dans un premier temps il est (relativement) facile de montrer que la multiplication des longueurs des deux diametre des deux cercles vert est égale a 4 (la méthode la plus facile étant d'aprés moi en utilisant le fais que quand on trace le diametre reliant les deux points commun aux cercle vert et au cercle bleu et en reliant les deux point des extrémité avec l'intersection du cercle avec le trait rouge on forme un triangle rectangle (propriété d'un cercle) et en calculant son aire de deux maniere : hauteur*base /2 = multiplication des deux cotés de l'angle droit / 2 (en utilisant le théoreme de pithagore et en élevant les deux partie de l'égalité au caré) puis on simplifie le tout).

Ca parrait compliqué mais c'est en faites trés trés simple je résume arrivé ici on a trouver que la multiplication des deux diametre des cercles vert est égale a 4 .... j'esperes que j'ai perdu personne.

une fois trouvé ca tout est fini : il suffit de calculé l'aire bleu. Pour simplifier les écriture je vais noté a le diametre du "petit cercle vert" et b le diamettre du "grand cercle vert" et S l'"aire bleu". J'ai vraiment peur d'avoir perdu tout le monde ! XD.

on a   S= (aire du cercle bleu) - aire du "petit cercle vert" - aire du "grand cercle vert"
           = ((a+b)/2)² * Pi    - (a/2)²*Pi - (b/2)*Pi
           =  ab/2 * Pi      (identité remarquable)
           = 2Pi                (car ab=4)



PS: escusez moi pour la complexicité de mon explication mais je n'arrive pas a écrire des formule sur un forum :s:s

 #12 - 16-03-2010 16:01:34

sjaubert
Visiteur

lanque pas une donnée?

Soit R le grand rayon et r1<r2 les rayons des deux autres cercles.

On a alors :

R = r1 + r2

et de façon évidente Aire(bleue) = [latex]\pi R^{2}[/latex]-[latex]\pi(r1^{2}+r2^{2})[/latex]=[latex]2\pi r1r2[/latex]

Or si on considère le triangle de côté 2 et (r2-r1) son hypoténuse est  par Pythagore :[latex] 2^{2}+(r2-r1)^{2}=(r1+r2)^{2}[/latex] d'où 1=r1r2

et donc Aire(bleue)=[latex]2\pi[/latex]

 #13 - 16-03-2010 17:47:59

Galaad
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 6

Manque pas une dnonée?

Salut, je trouve que l'aire bleue vaut [latex]2\pi[/latex].

En effet, [latex]Aire_{bleue}=\pi\times(R^2-r_1^2-r_2^2)=2\pi r_1r_2[/latex], où R est le rayon du cercle bleu, [latex]r_1[/latex] celui du petit cercle vert et [latex]r_2[/latex] de l'autre cercle vert.
Ensuite, en traçant le diamètre horizontal du cercle bleu, on obtient trois triangles rectangles dans le demi-cercle supérieur. En utilisant le théorème de Pythagore, il vient la relation [latex]r_1r_2=1[/latex]. D'où le résultat.

 #14 - 20-03-2010 10:02:01

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

Manque pas ne donnée?

Merci et bravo à tous pour vos bonnes réponses.

Comme pour la sphère trouée, je trouve ce problème sympa par le fait que l'aire à calculer est, de façon inattendue, indépendante des rayons des cercles.

 #15 - 20-03-2010 11:14:33

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

mansue pas une donnée?

L'aire n'est pas indépendante des rayons. Tu as juste pris un cas particulier qui fait que R1R2 = 1.

Enfin, je n'ai pas tout compris aux démonstrations, mais il me semble que c'est ça.

 #16 - 20-03-2010 13:59:22

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

manqie pas une donnée?

...

??? hmm

Ce n'est pas un cas particulier, dans le sens où on peut choisir les rayons comme on le souhaite, ce qui change le rayon du grand cercle, d'ailleurs...


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #17 - 20-03-2010 17:39:55

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

manque oas une donnée?

La barre rouge mesure 4 unités. C'est donc bien un cas particulier, non ? Comme tu le dis toi même, si tu changes les rayons, alors tu changes la valeur de la barre rouge. Le résultat reste 2pi quand même ?

 #18 - 20-03-2010 18:02:34

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 931

Manque pas unne donnée?

Mais non... la distance 4 est fixée. mais si tu changes un rayon, tu changes les trois rayons...


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #19 - 20-03-2010 18:27:37

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

manqye pas une donnée?

OK merci, Scrablor, j'ai pigé.

 

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