Enigmes

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 #1 - 13-03-2010 09:50:01

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 675
Lieu: Belgique

Manque pas une dnnée?

Que vaut l'aire de la surface bleue?

Merci de donner votre raisonnement.

http://www.prise2tete.fr/upload/looozer-Tangente.jpg



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 #2 - 13-03-2010 11:15:39

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 949

Manque pas une donné?e

Soit r et R les rayons des disques verts. Le grand cercle a un rayon r+R.
La surface bleue a pour aire :
[TeX]\pi (r+R)^2 - \pi r^2 - \pi R^2 = 2 \pi r R[/TeX]
En utilisant la puissance du point de contact des petits cercles par rapport au grand cercle : [latex]- 2r \cdot 2R = - 2 \cdot 2 = -4[/latex]

D'où l'aire en bleu : [latex]2 \pi[/latex]


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #3 - 13-03-2010 12:23:56

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

 #4 - 13-03-2010 15:22:12

schaff60
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 175

Manquee pas une donnée?

si R est le rayon du grand cercle, R1 et R2 des petits cercles, on a
R=R1+R2

surface du grand cercle : π R² = π (R1+R2)² = π R1²+π R2²+2π R1R2

surface des petits cercles : π R1²+π R2²

surface bleue restante : 2π R1R2

la médiatrice du segment rouge est diamètre du cercle bleu et passe par les centres des cercles verts, dans le triangle rectangle inscrit ayant ce diamètre pour base on a comme relation 2R1 x 2R2 = 2² soit R1R2 = 1

Surface bleue : 2π


Un truisme inepte, chamarré d'une phraséologie spécieuse, se diapre subséquemment des apparats d'un apophtegme

 #5 - 13-03-2010 15:32:09

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Mannque pas une donnée?

Apres quelques calculs, en passant par le diametre des cercles verts multipliés entre eux égal 4, on trouve que l'aire bleue égale 2*PI, soit 6.283185...


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #6 - 13-03-2010 16:12:15

ZosleX
Visiteur

Manque aps une donnée?

L'aire bleue est de 2*Pi puisque les rayons des petits disques verts sont inverses, leur produit donne 1.

 #7 - 13-03-2010 17:49:18

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4959

Manque pas une doonnée?

Bonsoir smile

J'en ai vu des pires tongue

On note a , b et c les trois rayons en ordre croissant , comme c=b+a , alors l'aire bleue vaut : [latex]A=\pi(c^2-b^2-a^2)=2\pi ab[/latex]


http://img383.imageshack.us/img383/1966/troisdisques.jpg

Mais la propriété de Pythagore dans le triangle ci-dessus donne ab=1 et [latex]A=2\pi[/latex]

Vasimolo

 #8 - 15-03-2010 11:41:52

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1497

aMnque pas une donnée?

Ben non, il manque pas une donnée.
Si on appelle r le rayon du cercle bleu, a la distance entre le centre du cercle bleu et la droite rouge, et alpha l'angle formé par la perpendiculaire à la droite rouge qui passe par le centre du cercle bleu d'une part, et la droite passant par le centre du cercle bleu et le point d'intersection entre la droite rouge et le cercle bleu d'autre part, on a:
cos(alpha) = a/r
tan(alpha) = 2/a

Or, si x = cos(alpha), tan(alpha) = racine(1-x^2)/x.
r2-a2 = 4
Ici, ca donne, après simplifications, a^2 = r^2 -4
Comme le rayon du grand cercle vert vaut (r+a)/2 et celui du petit cercle vert (r-a)/2, la somme de leur aires fait Pi * (a2+r2)/2, donc Pi*r^2-2*Pi
L'aire du grand cercle bleu étant Pi*r^2, la différence nous donne 2Pi.

 #9 - 15-03-2010 12:42:06

lefredj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 115

Manque pa une donnée?

Si on appelle R le rayon du disque bleu, R1 et R2 les rayons du grand disque et du petit disque vert, on a R = R1 + R2 et l'aire bleue est:
[TeX]A = \pi R^2 - \pi R_1^2 - \pi R_2^2[/TeX]
[TeX]A = \pi [( R - R_1 )( R + R_1 ) - R_2^2][/TeX]
[TeX]A = \pi [ R_2 ( R + R_1 -R_2)][/TeX]
[TeX]A = 2 \pi R_2 R_1[/TeX]
Ensuite, on peut regarder le triangle rectangle rouge:
http://www.prise2tete.fr/upload/lefredj-Tangente.jpg

On a alors (Pythagore):
[TeX]2^2 + (R_1 - R_2)^2 = ( R_1 + R_2)^2[/TeX]
on trouve: [latex]R_2 R_1 = 1[/latex]

L'aire bleue est donc égale à [latex]2 \pi [/latex]!

 #10 - 15-03-2010 22:07:33

gelule
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 778

manque paq une donnée?

contrairement à toute attente, Pythagore me dit que la réponse est 2π

 #11 - 15-03-2010 22:16:30

smoofy
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 22

mansue pas une donnée?

Dans un premier temps il est (relativement) facile de montrer que la multiplication des longueurs des deux diametre des deux cercles vert est égale a 4 (la méthode la plus facile étant d'aprés moi en utilisant le fais que quand on trace le diametre reliant les deux points commun aux cercle vert et au cercle bleu et en reliant les deux point des extrémité avec l'intersection du cercle avec le trait rouge on forme un triangle rectangle (propriété d'un cercle) et en calculant son aire de deux maniere : hauteur*base /2 = multiplication des deux cotés de l'angle droit / 2 (en utilisant le théoreme de pithagore et en élevant les deux partie de l'égalité au caré) puis on simplifie le tout).

Ca parrait compliqué mais c'est en faites trés trés simple je résume arrivé ici on a trouver que la multiplication des deux diametre des cercles vert est égale a 4 .... j'esperes que j'ai perdu personne.

une fois trouvé ca tout est fini : il suffit de calculé l'aire bleu. Pour simplifier les écriture je vais noté a le diametre du "petit cercle vert" et b le diamettre du "grand cercle vert" et S l'"aire bleu". J'ai vraiment peur d'avoir perdu tout le monde ! XD.

on a   S= (aire du cercle bleu) - aire du "petit cercle vert" - aire du "grand cercle vert"
           = ((a+b)/2)² * Pi    - (a/2)²*Pi - (b/2)*Pi
           =  ab/2 * Pi      (identité remarquable)
           = 2Pi                (car ab=4)



PS: escusez moi pour la complexicité de mon explication mais je n'arrive pas a écrire des formule sur un forum :s:s

 #12 - 16-03-2010 16:01:34

sjaubert
Visiteur

Manque pas nue donnée?

Soit R le grand rayon et r1<r2 les rayons des deux autres cercles.

On a alors :

R = r1 + r2

et de façon évidente Aire(bleue) = [latex]\pi R^{2}[/latex]-[latex]\pi(r1^{2}+r2^{2})[/latex]=[latex]2\pi r1r2[/latex]

Or si on considère le triangle de côté 2 et (r2-r1) son hypoténuse est  par Pythagore :[latex] 2^{2}+(r2-r1)^{2}=(r1+r2)^{2}[/latex] d'où 1=r1r2

et donc Aire(bleue)=[latex]2\pi[/latex]

 #13 - 16-03-2010 17:47:59

Galaad
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 6

Manuqe pas une donnée?

Salut, je trouve que l'aire bleue vaut [latex]2\pi[/latex].

En effet, [latex]Aire_{bleue}=\pi\times(R^2-r_1^2-r_2^2)=2\pi r_1r_2[/latex], où R est le rayon du cercle bleu, [latex]r_1[/latex] celui du petit cercle vert et [latex]r_2[/latex] de l'autre cercle vert.
Ensuite, en traçant le diamètre horizontal du cercle bleu, on obtient trois triangles rectangles dans le demi-cercle supérieur. En utilisant le théorème de Pythagore, il vient la relation [latex]r_1r_2=1[/latex]. D'où le résultat.

 #14 - 20-03-2010 10:02:01

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 675
Lieu: Belgique

manque pas une dobnée?

Merci et bravo à tous pour vos bonnes réponses.

Comme pour la sphère trouée, je trouve ce problème sympa par le fait que l'aire à calculer est, de façon inattendue, indépendante des rayons des cercles.

 #15 - 20-03-2010 11:14:33

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 566

Manque pas une donnée??

L'aire n'est pas indépendante des rayons. Tu as juste pris un cas particulier qui fait que R1R2 = 1.

Enfin, je n'ai pas tout compris aux démonstrations, mais il me semble que c'est ça.

 #16 - 20-03-2010 13:59:22

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Manque pas une donnéee?

...

??? hmm

Ce n'est pas un cas particulier, dans le sens où on peut choisir les rayons comme on le souhaite, ce qui change le rayon du grand cercle, d'ailleurs...


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #17 - 20-03-2010 17:39:55

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 566

manque pas une dinnée?

La barre rouge mesure 4 unités. C'est donc bien un cas particulier, non ? Comme tu le dis toi même, si tu changes les rayons, alors tu changes la valeur de la barre rouge. Le résultat reste 2pi quand même ?

 #18 - 20-03-2010 18:02:34

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 949

Manque pas une donéne?

Mais non... la distance 4 est fixée. mais si tu changes un rayon, tu changes les trois rayons...


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #19 - 20-03-2010 18:27:37

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 566

manqur pas une donnée?

OK merci, Scrablor, j'ai pigé.

 

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(1) — 6 cercles dans 1 grand (1) — Solution casse remplire un cercle avec 6 disque (1) — Ronds dans des cercle jeux (1) — Surface restante 4 cercles (1) — Remplir 1 cercle avec 6 cercle (1) — Casse tete remplir un rond avec des palet (1) — Enigme mathematique avec six cercle (1) — Completer un grand cercle avec 6 autres (1) — Remplir un disque avec six (1) — Ecrire le rayon du cercle bleu par rapport au cercle vert (1) — Casse tete du rond a remplir (1) — Casse tete determiner le rayon d une boule 4 fois plus petit dans un carre (1) — Jeu 6 cercles noirs (1) — Astuce recouvrir 1 rond (1) — Remplir le cercle avec 6 petits cercle (1) — Jeu cercle et 6 disque on doit remplir le cercle avec les 6 disques (1) — Casse tete cercle palet (1) — Placer 6 cercles (1) — Technique remplir cercle avec 6 cercles (1) — Remplir un cercle avec 6 cercles plus petit (1) — Combler un cercle par de petit cercle (1) — Theoreme des 6 palets solution (1) — Cassetete cacher un rond rouge avec 6 palets (1) — 1 grand cercle 6 petits cercles (1) — Un grand cercle six petits (1) — 6palets remplir 1cercle (1) — Casse tete rond noir 6 petit cercle (1) — Remplir un cercle avec plusieur petits cercles (1) — Jeu de foire 6 ronds remplir cercle (1) — Logo cercle bleu rond rouge (1) — Enigme remplire un gros disque avec 6 petit (1) — Comment recouvrir un cercle avec 6 petits cercles (1) — Comment remplir un cercle avec 6 petits cercles? (1) — Rond noir 6 rond rouge (1) — Jeu remplir cercle avec cercles (1) — Case tete remplire un rond avec des disc (1) — Cacher un cercle avec six solution (1) — Jeux avec 6 ronds (1) — Solution jeu du disque remplir avec 6petits disques (1) — Comment remplir un grand cercle avec 6 petit cercles (1) — Jeux cache cercle (1) — Jeu de foire - remplir le disque (1) — Jeux du rond a combler (1) — Remplir un cercle avec d autres cercle (1) — Cacher 1 grand cercle avec 6 petits cercle (1) — Remplir un rond avec 5 rond (1) — Calcul aire petits cercle dans grand cercle cercle (1) — Casse tete mettre 6 rond dans un cercle (1) — Jeu recouvrir cercle avec 6 disques (1) — Six cercles dans un grand cercle solution (1) — Jeux des six palets (1) — Recouvrir cercle avec 6 cercles (1) — 6 petits cercle dans un grand (1) — Jeu 1 rond grand 6 ronds petit (1) — Completer le rond avec 6 ronds (1) — Remplir cercle avec disque (1) — Casse tete 1 cercle 6 cercles (1) — Jeu pour cacher un gro rond avec des petit rond (1) — Jeux du grand cercle et des 6 cercles (1) — Comment remplir un rond avec 6 petit rond enigme (1) — Enigmes avec des cercles (1) — Rond vert foire (1) — Comment disposer 6 rond dans un cercle (1) — 6rond pour en cacher en gros (1) — Casse tete 6 rond recouvrir (1) — Cercle recouvrir avec 6 palets (1) — Jeu des 6 palets technique de resolution 1 (1) — Remplir disque avec carre (1) — Jeux cacher cercle vert avec 6 cercles (1) — Regle nouveau disque bleu (1) — Six cercle dans gros (1) — Casse tete avec un cercle et 6 palets (1) — Logorond bleu avec trait noir (1) — Jeu des disques a la foire (1) — Jeu foire des rond (1) — Solution jeux disques remplir cercle (1) — Recouvrir un grand cercle avec 6 petits cercles (1) — Techenique recouvrir un rond avec six rond (1) — Rond vert a remplir avec disque (1) — Soluce pour remplire un cercle avec 6 petit cercle (1) — Astuce pour cacher un triangle de rond (1) — Enigme 1 grand cercle 6 petits (1) — Recouvrir rond avec 6 palets (1) — Solutions 1 grand cercle 6 petits (1) — Difference entre cercle rond (1) — Remplir 1 rond avec 6 (1) — Solution remplir un cercle avec 6 cercle (1) — Combler un cercle avec six petits cercles (1) — Jeux combine palets rond triangle (1) — Surface cercles r1-r2 (1) — Casse tete cacher un cercle avec 6 petit cercle (1) — Jeux enigme remplir un grand cercle noir avec 6 petits cercle (1) — Casse tete comment recouvrire un disque avec 6 dispue (1) — Cercle 5 disques (1) — 6 ronds remplir un rond (1) — Soluce casse tete grand cercle video (1) — Remplir en entier un grand cercle avec 6 petit.cercle (1) — Jeu de reflexion 1 cercle et 6 petit (1) — Remplir une surface de cercles (1) — Jeu a la foire : cacher un cercle avec des disque astuce (1) — Jeux flash 6 palets (1) — Jeu foire remplir le rond noir (1) — Aire du cercle (1) — Remplir cercle avec 6 cercles (1) — 1 grand cercles et 6 petit (1) — Jeux des rond a la foire (1) — Remplir un grand cercle avec 6 petits (1) — Remplir un cercle noir avec des cercles (1) — Comment recouvrir un cercle avec 6 cercles plus petit (1) — Remplir le cercle avec 6 petits (1) — Jeu cercle cacher surface (1) — Foire disques (1) — Recouvrir un rond avec 6 petits ronds (1) — Jeu casse tete faire un rond avec 6 disque solution (1) — Logo bleu rond avec trait rouge (1) — Foir solution remplir le rond avec les six rond (1) — Comment combler un cercle avec 6 cercles (1) — Remplir un rond ave des ronds (1) — Enigme grand cercle 6 petit (1) — (1) — Quel diametre font les rond du jeu 6 palet (1) — Formle pour remplir petit cercle dans grand (1) — Grand rond rempli avec des petits rond (1) — Jeu des 6 palets foire belgique (1) — Foire technique cercle (1) — Jeux remplir cercle avec rond (1) — Cacher gros cercle avec 6 petits cercles (1) — 6.283185 (1) — Astuces 6 rond pour recouvre un gros (1) — Jeu 5 palet dans un cercle (1) — Remplir un cercle avec des petits ronds (1) — 6 palets (1) — Jeux cercle noir a remplir avec 6 cercle (1) — Casse tete 1 grand cercle 6 petit cercle (1) — Gros rond couvert par six petit (1) — Gros rond 6 petits ronds (1) — Resolution casse tete grand cercle et six petits (1) — Theoreme du jeu des 6 palets (1) — Remplir un gros rond avec 6 petits (1) — Jeu du rond a remplire avec 6 ronds (1) — Casse tete jeu des 6 palets (1) — 1 grand cercle et 6 petit solution (1) — Jeux des 6 palets explication (1) — Le cercle avec 6 rond (1) — Foire de rouen recouvrir un cercle (1) — Jeu recouvrir un cercle avec cinq autres cercles (1) — 6 petits cercle pour remplir un gros cercle (1) — Casses tete rond (1) — Jeu placer ronds sur grand rond (1) — Remplissez cercle jeux (1) — 6 cercles dans un (1) — Un grand cercle et si petit casse tete (1) — Diametre du grand cercle dans le jeux des 6 palets (1) — Jeux cercle a remplir avec 6 (1) — 1 grand cercle et 6 petit (1) —

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