Enigme Aire du cercle avec une seule donnée @ Prise2Tete

Damnation · #1

Bonsoir !

Voilà un exercice posé par mon professeur de Maths, j'ai bien entendu la réponse.
Soit un cercle O et son modèle réduit O' à l'échelle 1/4,3 (Juste pour dire que ca ne serve pas) superposés (Le petit rond dans le grand).
Soit la tangeante passant par le point I de O'. Les points de cette tangeant se notent M et N.
Soit A le centre de O et de O'.
On a donc un triangle MAN (avec I appartenant à MN).
Nous avons donc notre seule donné MN=4cm.
Si votre figure est bien tracée, quelle est l'aire de O - O'?

Je pense que je me suis mal fait comprendre... Si il y a des problème de ferai une figure sur Paint ; )

Good luck

Je met la case réponse, veuillez arrondir au centième
(Réponse du type ab,cd)

kosmogol · #2

On a donc un triangle MAN

Damnation · #3

???

oO

MthS-MlndN · #4

"Soit la tangeante passant par le point I de O'. Les points de cette médiane se notent M et N."

Tangente, médiane : quel rapport ?

Je veux bien une figure

dhrm77 · #5

C'est pas tres clair tout ca...
Est-ce que "superposés" signifie que les 2 cercles ont le meme centre?
S'agit-il de la tangente à O' qui coupe O aux point M et N ?

Sinon si j'ai la correcte représentation, je trouve

4 * pi = 12.56637061435917295385057..... qui s'arrondi à 12,57

dhrm77 · #6

PS: l'échelle du petit rond par rapport au grand n'est pas nécessaire pour résoudre l'équation, et devrais être omis de l'énoncé.

Damnation · #7

Est-ce que "superposés" signifie que les 2 cercles ont le meme centre?
S'agit-il de la tangeante à O' qui coupe O aux point M et N ?

Oui et oui

Damnation · #8

L'échelle n'est pas importante non. j'ai fait un dessin a main levé sans échelle précise et je m'en suis sortit. : )

Bonne réponse tout de même, tu as le niveau 2nde ; )

MthS-MlndN · #9

J'essaie de m'imaginer la figure, et si je la visualise bien, MI (de longueur 2cm) est un des côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle, l'autre côté de cet angle droit étant IA (le rayon du cercle O') et l'hypoténuse étant AM (le rayon du cercle O).

On a alors MI^2+IA^2=AM^2 que je vais noter 4=R^2-r^2

L'aire de O-O' vaut l'aire de O qui est PI R^2, moins l'aire de O' qui vaut PI r^2.
Cela donne PI (R^2-r^2) = 4 PI soit environ 12,57 cm^2.

Un problème très intéressant, j'ai beaucoup aimé

Damnation · #10

Et oui bravo Mathias, je vous en fait part car je l'ai beaucoup aimé aussi : )

Vasimolo · #11

Bonsoir

En appelant [latex]r[/latex] et [latex]r'[/latex] les rayons des deux cercles , par Pythagore : [latex]r^2=r'^2+4[/latex] donc [latex]\pi.r^2=\pi.r'^2+4\pi[/latex] donc [latex]o-o'=4\pi[/latex] . Amusant et inutile en effet de parler d'échelle

Vasimolo

FRiZMOUT · #12

Bon alors, c'est pas trop dur, on s'en sort avec notre ami Pythagore :
[latex]AN^2 = AI^2 + IN^2 [/latex]donc [latex]R^2 = r^2 + 4[/latex].

En prenant la différence des aires :
[latex]\pi R^2-\pi r^2 = \pi (r^2 +4) - \pi r^2=4 \pi = 12,56[/latex].

NickoGecko · #13

Bonjour,
Je reformule l'énoncé tel que je l'ai compris
O et O' sont deux cercles concentriques de centre A
Le rayon de O' est (1/4,3) celui de O (donnée inutile)
La tangente en un point I quelconque de O' coupe le cercle O en M et N
MN = 4 cm

Nous avons effectivement un triangle isocèle MAN avec :
I milieu de [MN]
[AI] orthogonal à [MN]

Alors IN²+IA²=AN²

On cherche l'aire de O moins celle de O' (anneau)
valant Pi*(AN²-AI²) soit Pi*IN² et comme IN=MN/2 = 2 cm cette surface vaut donc : 4 * Pi
soit 12,57 cm²

Milou_le_viking · #14

Hello,

Soit a = rayon de O', b = IM = 2 cm et c = rayon de O.
On trouve grace à la formule de Pythagore :

a² + b² = c²

ou écrit autrement,

c² - a² = b²

hors en multipliant par pi, nous trouvons

pi.b²
= pi.(c² - a²)
= pi.c² - pi.a²
= air de O - air de O'
= air de (O-O')
= 4.pi cm²
~ 12,57 cm²

C'est mignon comme calcul.

scarta · #15

Comme le triangle AMI est un copain (=> blague), il a le bon gout d'être rectangle en I (MI est une tangente à O' en I)
Donc au secours, Pythagore, délivre nous de ce problème vicieux quoique de très bon gout
MI²+AI² = AM²
AM est le rayon de O (on va dire qu'il s'appelle R) et AI celui de O' (R'), quant à MI il fait 2 cm, I étant le milieu de MN (chose qu'on peut démontrer facilement: AM = AN vu que ce sont 2 rayons d'un même cercle, (AI) et (MN) sont perpendiculaires donc (AI) est la médiatrice de [MN] et comme elle coupe ce segment en I, c'est donc le milieu de ce segment).
Revenons à nos moutons:
R'²+4 = R², ou encore R²-R'² = 4

Nous ce qu'on veut, c'est Pi.R² - Pi.R'² = Pi.(R²-R'²) = 4Pi
La réponse est donc 4.Pi, soit 12.57 cm²

Golfc · #16

Prenons le triangle AIM.
AI -> rayon du petit cercle r
AM -> rayon du grand cercle R
r/R = 1/4.3
de Pythagore IM = [latex]sqrt(4.3^2-1)[/latex]
Le segment IM vaut 2 cm
de Thalès r = 2/IM cm
R = 8.6/IM cm

A-a = PI[latex](R^2-r^2)[/latex]

En simplifiant, on arrive à [latex]4PI cm^2[/latex], soit environ 12.57 cm carrés.

Très joli tout ça !
mais je suis nul en Latex, désolé, je ne sais même pas faire PI
Spoiler : et n'en rajoutez pas un deuxième...

EDIT : merci à piode !

papiauche · #17

Le triangle OIM est rectangle en I.
R²=4+r²

donc (R²-r²) = 4, indépendant du rapport R/r.

La surface demandée vaut 4*pi() soit environ 12,57 cm².

Damnation · #18

Eh bien que des bonnes réponses ! Vous avez donc le niveau 2nde : P
J'ai trouvé cet exercie très simpa et apparement vous l'avez aimé aussi ; )
Bonne soirée

zikmu · #19

Moi ce qui me fait un peu peur, c'est que la 2nde c'est 1 an avant la 1ère et avant le bac français...

je rigole bien sûr...

Dommage, je n'ai rien compris à l'énoncé mais c'est sans doute très bien...

Damnation · #20

Toi c'est pas la première fois que tu viens reprendre mes fautes d'orthographes, désolé de ne pas être COMME TOI

zikmu · #21

Je ne veux que ton bien, mais vraiment je n'ai pas compris...désolé et sans méchanceté aucune...

Damnation · #22

Ne pas comprendre l'énoncé c'est une chose et

Moi ce qui me fait un peu peur, c'est que la 2nde c'est 1 an avant la 1ère et avant le bac français...

en est une autre...

zikmu · #23

Certes et c'est CQFD...

Si ça arrive facilement de déraper dans les réponses, essaie stp de vérifier avant de poster un sujet ( là tu as le temps non ? )

nb : je suis assez nul en français sinon...mais je me soigne...

yogolo · #24

Le triangle AIM est rectangle en I puisque MN est tangent en I au petit cercle O'.
Le théorème de Pythagore permet de dire:
AM^2= AI^2 + IM^2
ou R^2= r^2 + 2^2 (AM est le rayon du cercle O, AI ets le rayon du cercle O', IM est la moitié du segment tangent MN qui vaut 4, donc IM vaut 2)
R^2 - r^2 = 2^2 = 4
La différence entre les aires de O et O' , c'est-à-dire la couronne, vaut:
¶R^2 - ¶r^2 = ¶( R^2 - r^2) = ¶ . 4
Donc 12, 57

Damnation · #25

Déraper dans les réponses ? Expliques ça m'intéresse

PS : Bonne réponse Yogolo

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Aire du cerclee avec une seule donnée

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#4 - 30-11-2009 21:45:39

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