Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 25-06-2010 14:26:37

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Tant ed chiffres pour un seul chiffre

Une petite énigme d'arithmétique pour le plaisir (et le WE).

J'aime bien le nombre 4 (tout comme 1,2,8,16,32,64, ...) mais ça doit être une déformation professionnelle comme on dit smile
Donc j'aime beaucoup [latex]{4444}^{4444}[/latex].

Un jour je me suis amusé à faire la somme de ses chiffres, puis la somme des chiffres du nombre obtenu, et ainsi de suite jusqu'à n'obtenir plus qu'un seul chiffre, que j'appelais sa signature.

Saurez-vous dire quel était ce chiffre? (Rassurez-vous, je n'ai pas tout fait à la main smile).

PS: J'aime bien 41 aussi à cause de ([latex]n^2+n+41[/latex] et des nombres premiers - voir http://jeux-et-mathematiques.davalan.or … index.html par exemple)



Annonces sponsorisées :

 
Réponse :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 25-06-2010 14:47:24

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

tant de cgiffres pour un seul chiffre

J'ai écrit un bout de code en scheme et je trouve 7

Code:

(define (sig n)
  (if (< n 10) n
      (sig (+ (modulo n 10) (sig (quotient n 10))))))

(sig (expt 4444 4444))

>7

Sinon 4444 = 4 * 11 * 101.  Ce n'est pas un multiple de 3 donc la signature ne peut être ni 3 ni 6 ni 9.  Mias ça ne mène pas très loin.

Enfin la partie intéressante :

Tout d'abord je voudrais remarquer que la signature est une opération idempotente : sig(sig(n)) = sig(n)

De plus la signature de 10a+b est égale à la signature de a + b, avec a et b des chiffres  : sig(10a+b) = sig(a)+sig(b)
C'est direct à partir de la définition de la signature.

On en déduit que la signature d'une somme de deux entiers est égale à la signature de la somme des signatures des deux entiers.
En effet la somme de deux entiers se fait chiffre a chiffre avec éventuellement des retenues mais dans ce cas on a sig(10a+b) = sig(a)+sig(b).
Pour n et m deux entiers quelconques on a donc sig(n+m) = sig (sig n + sig m)

Comme la multiplication de deux entiers n*m est en fait l'addition n fois de m, on en déduit que sig(n*m) = sig(n*sig m) = sig(sig n * sig m). 

De même on a sig (n^m)  = sig ((sig n)^m).
sig (n ^(a+b)) = sig (sig(n)^a * sig(n)^ b)
sig (n ^(a*b)) = sig (sig(n)^a)^b)


On peut donc calculer la signature sous les opérateurs pour simplifier énormément le calcul (un peu comme en arithmétique modulaire cf exponentiation modulaire ou les prisonniers aux chapeaux colorés :-p )

sig (4444^4444) =
sig(sig (4444)  ^4444) =
sig(sig(sig(4)*sig(11)*sig(101)) ^4444) =
sig(sig(16)^4444) =
sig(7^4444) =
sig (sig (7^4) ^1111) =       // sig (7^4) = sig (2041) = 7
sig (sig (7^11)^101)  =      // (sig (7^11) = sig  (1 977 326 743) = 4
sig (4^101) =
sig (4 * (sig 4^100)) =
sig (4* sig (sig 4^10)^10)) =   // (sig (4^10) = sig  (1 048 576) = 4
sig (4* (sig 4^10)) =
sig(4*4) = sig (16) = 7 big_smile

 #3 - 25-06-2010 15:24:19

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

tant de chiffres pour un seul chigfre

[TeX]4444 \rightarrow 7[/TeX]
[TeX]4444^2 \rightarrow 4[/TeX]
[TeX]4444^3 \rightarrow 1[/TeX]
[TeX]4444^4 \rightarrow 7[/TeX]
[TeX]4444^5 \rightarrow 4[/TeX]
[TeX]4444^6 \rightarrow 1[/TeX]
Et il semblerait que cela continue ainsi... Auquel cas, 4444 étant congru à 1 modulo 3, on obtiendrait 7 par réduction de [latex]4444^{4444}[/latex].

La case réponse me valide ce 7. C'est trop beau pour être du hasard lol Plus qu'à comprendre pourquoi on peut établir cette récurrence... et c'est là que le bât blesse hmm J'y repense et je reviens.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 25-06-2010 16:18:02

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Tant de chiffres pour un seul chifre

Bonjour smile

Si on note [latex]S(p[/latex]) la somme des chiffres d'un entier [latex]p[/latex] et [latex]n=4444^{4444}[/latex] alors :
[TeX]S(n)\leq 9\times [4444 \times log(4444]+1]\leq145906[/TeX]
[TeX]S^2(n)\leq 5 \times 9 \leq 45[/TeX]
[TeX]S^3(n)\leq 12[/TeX]
Où [latex]log[/latex] désigne le logarithme décimal .

Or [latex]4444\equiv 7[mod 9][/latex] , [latex]4444 \equiv 1 [mod 3][/latex] et [latex]7^3 \equiv 1 [mod 9][/latex] .
[TeX]S^3(n)\equiv n \equiv 4444^{444} \equiv 7^{4444} \equiv 7^1 \equiv 7 [mod 9][/TeX]
Et comme  [latex]S^3(n) \leq 12[/latex] , [latex]S^3(n)=7[/latex] .

Ca sent l'été big_smile

Vasimolo

 #5 - 25-06-2010 20:11:57

falcon
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 106

Tant de ciffres pour un seul chiffre

7 !

super probleme, j'ai hate d'avoir une correction.
notons e(a) la signature d'un nombre a

propriétés :
alors si a et b sont deux nombre e(a x b) = e( e(a) x e(b) )
en particulier e(a^n) = e( e(a)^n )

la démonstration de ces propriétés est laissée en exercice au lecteur

enfin e(4444) = 7

étudions les signature des puissances de 7 :
e(7) = 7
e(7^2) = 4
e(7^3) = 1
e(7^4) = 7

d'ou, pour tout entier n e(7^(3n+1)) = 7
or 4444 = 3 x 1481 + 1
donc e(4444^4444) = e(7^(3 x 1481 +1)) = 7


Il vaut mieux pomper meme s'il ne se passe rien que risquer qu'il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas

 #6 - 26-06-2010 04:05:08

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Tant de cchiffres pour un seul chiffre

Comme la somme des chiffres des puisssances de 4444 donnent successivement 7, 4, 1, 7, 4, 1... je dirais 7 puisque 4444 mod 3 = 1


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #7 - 26-06-2010 08:00:48

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

tant de chiffres pour un szul chiffre

En moins de coups j'ai découvert le 7 roll


http://enigmusique.blogspot.com/

 #8 - 26-06-2010 12:02:29

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 932

tant de chiffres pour un seul cgiffre

Cette signature est une congruence modulo 9, sous-jacente dans la traditionnelle preuve par neuf.
[TeX]4444 \equiv 16 \quad [9][/latex] donc [latex]4444 \equiv 7 \quad [9][/TeX][TeX]4444^2 \equiv 7^2 \quad [9][/latex] soit, puisque 49 donne 4+9=13,  [latex]4444^2 \equiv 4 \quad [9][/TeX][TeX]4444^6 \equiv 4^3 \quad [9][/latex] soit, puisque 64 donne 6+4=10 puis 1+0=1,  [latex]4444^6 \equiv 1 \quad [9][/TeX][TeX]4444 = 740 \cdot 6 +4[/latex] donc [latex]{4444}^{4444} \equiv 7^4 \quad [9][/TeX][TeX]7^4 \equiv 4^2 \equiv 7 \quad [9][/TeX]
D'où la fameuse signature : 7 ...

On doit pouvoir faire plus court en partant de 4444=4*1111, passant par 4^8888 et 8888=1481*6+2 ou en remplaçant 7 par (-2).


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #9 - 28-06-2010 14:38:50

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

tant de chiffres pour un seul xhiffre

Que des bonnes réponses. Merci d'avoir participé.
Voici ma propre résolution.

Le "résultat" à utiliser est que tout nombre est congru à la somme de ses chiffres modulo 9 (résultat à la base de la preuve par 9, comme cela a été noté par scrablor).
En une ligne:
[TeX]10 \equiv 1 [9][/latex] donc pour tout k, [latex]10^k \equiv 1[9][/latex] et donc [latex]\sum_{k} a_k.10^k \equiv \sum_{k} a_k [9] [/TeX]
Si on considère la somme de chiffres de [latex]N=4444^{4444}[/latex], celle-ci est congrue à N modulo 9. Les sommes de chiffres itérées restent congrues à N module 9. Le résultat final est lui aussi congru à N modulo 9.
[TeX]4444 \equiv 16 [9] \equiv 7 [9] [/latex] donc [latex]N \equiv 7^{4444} [9][/TeX]
Regardons les puissances de 7 modulo 9 (et surtout cherchons celle congrue à 1 modulo 9):
[TeX]7^2 \equiv 4 [9]
7^3 \equiv 4 \times 7 [9] \equiv 1 [9] [/TeX]
Or [latex]4444=1+3*1481[/latex] donc [latex]N \equiv 7.(7^3)^{1481} [9] \equiv 7 [9][/latex]

La somme de la somme de la somme des chiffres (Vasimolo montre très bien pourquoi il n'y a (que) 3 étapes) est un chiffre congru à 7 modulo 9: c'est donc bien 7.

Félicitations à tous.

 #10 - 29-06-2010 12:52:29

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

tant de chiffres pout un seul chiffre

Vasimolo a écrit:

Ca sent l'été big_smile

Dis tout de suite que c'était super-simple et que je me suis galéré sur une c***erie, aussi, non ? mad

M'énervent, ces matheux lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #11 - 29-06-2010 18:31:47

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Tant dee chiffres pour un seul chiffre

Jaloux smile

Je n'avais pas lu attentivement ta signature , tu n'as pas honte lollollol

Vasimolo

 #12 - 29-06-2010 21:13:59

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Tant de chiffres pour un seull chiffre

Moi, honte ? Jamais lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #13 - 30-06-2010 14:55:40

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Tant de chiffres pour un seul chifrfe

MthS-MlndN a écrit:

Vasimolo a écrit:

Ca sent l'été big_smile

Dis tout de suite que c'était super-simple et que je me suis galéré sur une c***erie, aussi, non ? mad

M'énervent, ces matheux lol

C'est bizarre car il me semblait que le matheux est jamais très fort pour ce calcul.

 #14 - 30-06-2010 15:04:36

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Tant e chiffres pour un seul chiffre

Je peux te la voler, celle-là ? lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #15 - 30-06-2010 15:06:45

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Tant de chiffrees pour un seul chiffre

je t'en prie. Et puis elle est pas vraiment de moi de toute façon :-p

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez à la devinette suivante : 

Le père de toto a trois fils : Riri, Fifi et ?

Mots clés des moteurs de recherche

Mot clé (occurences)
Somme des chiffres de 4444^4444 (7) — Chiffre 4444 (4) — 4444^4444 somme des chiffres (3) — Comment trouver la somme des chiffres du nombre 4444 a la puissance 4444 (2) — Somme chiffres 4444 (2) — N=4444 ^4444 arithmetique (2) — Reponses du livre 365 jeux casses-tetes et enigmes 7-9 ans (2) — Reponse en chiffres seuls (2) — Somme des chiffres 4444^4444 (2) — 4444 8888 (2) — Soit a la somme des chiffres de 4444 (2) — Somme des chiffres de somme des chiffres de 4444 (2) — Solution 4444 (2) — Enigme 4444 (2) — Chiffre congru (2) — Quelle est la somme des chiffres de la somme des chiffres de la somme des chiffres de 4444^4444 (1) — 4444^44444 somme (1) — 4444 puissance 44444 (1) — Somme de chiffres de 2^n (1) — Nombre congru a la somme de ces chiffres (1) — Jeu calcul 100 a trouver avec 4444 (1) — Le chiffre 4444 (1) — Solution jeu 4444 (1) — Somme des chiffres 4444 (1) — Somme chiffres 4444^4444 enigme (1) — 4444^4444 (1) — Somme de chiffres de 4444^4444 (1) — Enigmatok suite inhabituelle (1) — Nombre 4444 (1) — Suite inhabituelle enigmatok (1) — On considere le nombre 4444^4444 (1) — Enigme somme 4444^4444 (1) — Systeme decimal nombre congru somme de ses chiffres modulo 9 (1) — 4444 nombre de chiffres (1) — 4444 somme (1) — 4444^4444 somme des chiffres de a (1) — 8888 enigme (1) — Trouver la somme des chiffres de la somme des chiffres de la somme des chiffres de 4444^4444 (1) — 4444*4444 (1) — Que donne 4444444444 en puissances (1) — Ab x c = de + fg = hi (1) —

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete