En fait, je ne vois que 7 combinaisons avec un résultat à 4 chiffres qui correspondent dont une qui apparait clairement.

33*33 = 1089
44*44 = 1936
55*55 = 3025
66*66 = 4356
77*77 = 5929
88*88 = 7744
99*99 = 9801

aabb = 11 x a0b

On doit donc chercher un nombre x tel que 11x² = a0b (car, forcément, le nombre recherché sera de la forme 11² fois un carré).

Il faut trouver un carré qui, multiplié par 11, donne un nombre de 3 chiffres dont le chiffre des dizaines est 0. Pour cela, la somme des deux chiffres de ce carré doit faire 10 (dû au calcul des multiples de 11): le seul carré répondant à ce critère est 64 (6 +4 = 10).

64 = 8² donc le nombre cherché est 88. Effectivement, après calcul, 88² = 7744. Bingo !

Au lieu de de decrire le carré avec aabb, on va le decrire  cdef ou c=d et e=f.
on va dire que cdef=(a+b)^2. avec a etant les dizaines et b les unités
soit cdef=a^2+2ab+b^2.
a^2 n'influence pas ef
f est determiné par b uniquement.
donc va ecrire une relation entre b et ef:
b=0 ef=00+2ab
b=1 ef=01+2ab
b=2 ef=04+2ab
b=3 ef=09+2ab
b=4 ef=16+2ab
b=5 ef=25+2ab
b=6 ef=36+2ab
b=7 ef=49+2ab
b=8 ef=64+2ab
b=9 ef=81+2ab

on observe que b ne peut pas etre impair puisque pour faire e=f on doit avoir un mobre impair pour 2ab.
donc on elimine les nombres dont la difference entre les 2 chiffres est impairs et on cherche a:

b=0 ef=00+2ab  soit 2ab se termine par 0. comme b=0, a peut etre n'importe quoi, mais aucun carre n'est de la forme aa00
b=2 ef=04+2ab 2ab=x4 : a=1 (12*12=144) ou a=6 (62*62=3844) ou a=11 qui est impossible
b=8 ef=64+2ab 2ab=x8 : 3=4 (38*38=1444) ou a=8 (88*88=7744)

on trouve donc la solution en testant 4 essais.

aabb=7744 = 88^2

Si seulement j'avais remarqué que aabb etait un multiple de 11, j'aurais pu trouvé la solution en un seul essai.. :-(