Enigmes

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 #1 - 18-08-2010 21:27:22

carole085
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 6

Tableaau maudit

Bonjour à tous!

Etant fan d'énigmes et de casse-têtes, un ami m'a confié un tableau à faire. Malheureusement, je n'arrive pas à ce qu'il veut et je commence à douter que ce soit possible, et forcément, c'est pour vendredi, sinon c'est pas drôle. lol
Il a 16 équipes et 8 jeux différents. Il voudrait faire jouer toutes les équipes à tous les jeux sans qu'elles ne se rencontrent deux fois. Jusque là ça va. Mais il voudrait que cela se fasse sur 8 temps seulement, et là je bloque. Je n'arrive pas à trouver comment caser toutes les équipes en même temps.
Si quelqu'un s'est déjà frotté à ce problème... j'espère qu'il pourra me dire s'il y a une solution! smile

Bon courage et merci pour ceux qui essaieront!

Carole



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 #2 - 18-08-2010 22:20:36

langelotdulac
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2518

Tablaeu maudit

Il te reste Jeudi pour inviter ton ami à dîner, le faire boire plus que de raison, profiter de son ivresse pour lui extorquer la solution, le mettre au lit et l'appeler le lendemain matin avant que son taux d'alcolémie soit descendu en dessous de 4 et que les tambours du Burundi aient cessés de battre dans l'immensité de son cerveau déshydraté ..... et là, tu lui balances la solution !
A part ça, je vois pas .... big_smile


Tu es largement assez dingo pour qu'un Minito te semble cohérent \o/ !

 #3 - 18-08-2010 22:23:31

cogito
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 493

tableau mzudit

Bonjour à tous smile

Ce Problème revient à trouver un carré greco-latin d'ordre 8.
on peut numéroter de 1 à 8 les huit premières équipes et
attribuer huit couleurs différentes aux huit autres équipes.
chaque colonne du carré représente un jeu et chaque ligne
représente un "temps". Si par exemple on a un 4 vert à la
cinquième ligne et deuxième colonne, alors ça veux dire que
que l'équipe 4 va rencontrer l'equipe verte au jeu numéro 2 et au
temps 5 (ou cinquième manche). Et le truc est d'avoir tous les nombres de
1 à 8 apparaître une seul fois dans chaque ligne et chaque colonne du carré,
d'avoir en même temps les huit couleurs une seul fois dans chaque ligne et chaque
colonn,. Et en plus que chacun des chiffres apparaissant huit fois dans la grille doit
être de couleurs différentes.

C'est ce qu'on appelle un carré greco-latin . Et il a été démontrer
que seul les carrés greco-latin d'ordre 2 et 6 n'ont  pas de solutions,
donc celui-ci étant d'ordre huit à bien une solution.

Voilà et pour une solution ... heu, je m'y met tout de suite big_smile.


Il y a sûrement plus simple.

 #4 - 18-08-2010 22:29:02

langelotdulac
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2518

yableau maudit

C'est bien ce que je disais lol


Tu es largement assez dingo pour qu'un Minito te semble cohérent \o/ !

 #5 - 18-08-2010 22:52:45

carole085
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 6

tableau laudit

Wow! Merci tout d'abord pour l'info et merci de chercher avec moi.
Mon ami n'a pas la solution, c'est bien pour cela qu'il m'a demandé de faire l'emploi du temps de son jeu.
J'ai essayé en remplissant mon tableau au hasard les premières cases et en utilisant une logique de sudoku pour le finir mais si je ne laisse que 20 cases à compléter il y a trop peu de marge de manœuvre et s'il y en a plus il y a trop de hasard et ça finit en erreur.
Je m'y remets.

A bientôt!

 #6 - 18-08-2010 23:01:36

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Tbaleau maudit

Je suis quasiment persuadé d'avoir déjà vu ce problème sur ce site, mais pas moyen de le retrouver. Ceci dit, la réponse donnée par cogito est pas mal, et on sait que le problème admet une solution :

Un Wikipedien bien renseigné a écrit:

En 1958, Bose, Parket et Shrikhande ont démontré l'existence de carrés gréco-latins pour tous les ordres, sauf pour l'ordre 2 et l'ordre 6 (la démonstration de ce dernier ayant déjà été faite par Tarry).

Ce site donne une réponse :

http://www.jlsigrist.com/images/cl/gl8.png

Je n'essaie même pas de comprendre ce que ça veut dire, je donne juste les infos que je trouve lol

EDIT : après être parti dans une direction plus que tordue, j'ai fini par comprendre. Je vais procéder comme l'explique Cogito, au mot près. Les équipes seront désignées par des lettres de A à P (en fait, les lettres I à P sont juste les chiffres 1 à 8 du tableau).

Ca te donne les emplois du temps directement. Je commence :

Jeu 1 :
1/ A contre I
2/ B contre J
3/ C contre K
4/ D contre L
5/ E contre M
6/ F contre N
7/ G contre O
8/ H contre P

Jeu 2 :
1/ G contre O
2/ F contre N
3/ E contre M
4/ H contre P
5/ B contre J
6/ D contre L
7/ C contre K
8/ A contre I

Jeu 3 :
1/ C contre K
2/ H contre P
3/ B contre J
4/ G contre O
5/ D contre L
6/ A contre I
7/ F contre N
8/ E contre M

Jeu 4 :
1/ E contre M
2/ D contre L
3/ H contre P
4/ F contre N
5/ G contre O
6/ C contre K
7/ A contre I
8/ B contre J

Je te laisse finir wink


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #7 - 18-08-2010 23:16:41

Flying_pyros
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Tableau maudti

Mathias a écrit:

Je suis quasiment persuadé d'avoir déjà vu ce problème sur ce site, mais pas moyen de le retrouver.

Idem pour moi. J'ai eu beau le chercher, je ne l'ai pas retrouvé ce sujet...hmm
Du coup, je te laisse refaire le boulot !!! tonguelol

 #8 - 18-08-2010 23:17:24

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

tableau mzudit

J'ai fait bien plus que je n'avais fait la première fois (en fait, la première fois, je n'avais rien compris... Cogito est sans doute plus clair que d'autres dans ses explications smile)


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #9 - 18-08-2010 23:18:14

carole085
Amateur de Prise2Tete
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Tablea maudit

J'avais par déduction déjà compris tout ceci malheureusement. Les seules méthodes que j'ai trouvées sont des formules mathématiques vraiment trop compliquées pour moi.
Le carré que tu as mis en exemple est d'ailleurs faux car des associations comme H8 reviennent plusieurs fois. Hors le propre de ce tableau c'est qu'aucune association n'est répétée.
Je vais continuer de me creuser la tête... On sait jamais, un éclair de génie est si vite arrivé...!
Mais merci pour toutes ces recherches et à bientôt si le coeur t'en dit.

 #10 - 18-08-2010 23:22:04

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Tableau mauidt

M***e, exact : son carré d'ordre 8 est totalement faux, ce n'est qu'un carré latin avec les caractères "A1", "B2", "C3", etc. Flûte. Je repars à mes recherches smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #11 - 18-08-2010 23:29:30

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

tabmeau maudit

Ouaiiiiiiiis !

Si tes équipes s'appellent a, b, c, d, e, f, g, h, A, B, C, D, E, F, G et H :

Code:

aA bC cE dG eD fB gH hF
bB aD dF cH fC eA hG gE
cC dA aG bE gB hD eF fH
dD cB bH aF hA gC fE eD
eE fG gA hC aH bF cD dB
fF eH hB gD bG aE dC cA
gG hE eC fA cF dH aB bD
hH gF fD eB dE cG bA aC

Alleluyah, je n'y croyais plus !

Je cite ma source :

http://denisfeldmann.fr/trouvailles.htm

Je n'ai strictement rien compris à l'explication, mais ça marche smile



Je ne comprends pas encore la logique de construction d'un carré gréco-latin : on peut en créer un en superposant deux carrés latins distincts, mais quelles conditions y a-t-il sur les carrés latins choisis ? Quelqu'un sait-il me répondre ? (...Cogito ? smile)


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #12 - 19-08-2010 00:07:30

carole085
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 6

tableau mausit

Encore une fois il y a une erreur sur la dernière colonne: 2fois D. Mais en inversant deux lettres j'y suis arrivé. Enfin tu as fait tout le boulot, merci bcp!!! big_smilebig_smilebig_smilebig_smile
Bonne nuit à tous, moi je vais reposer mon cerveau...hmm

 #13 - 19-08-2010 00:19:00

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Talbeau maudit

OK, dors bien smile Je vais faire de même, le site de Denis Feldmann m'a bien pété le cerveau lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #14 - 19-08-2010 23:23:42

cogito
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 493

Tableau maudiit

MthS-MlndN a écrit:

Je cite ma source :

http://denisfeldmann.fr/trouvailles.htm

Je n'ai strictement rien compris à l'explication, mais ça marche smile



Je ne comprends pas encore la logique de construction d'un carré gréco-latin : on peut en créer un en superposant deux carrés latins distincts, mais quelles conditions y a-t-il sur les carrés latins choisis ? Quelqu'un sait-il me répondre ? (...Cogito ? smile)

Apperemment, il n'y a pas de méthode générale pour faire un carré greco-latin, sad
c'est un problème difficile en générale, d'ailleur la méthode exposé ici pour
l'ordre 8 utilise des mathématiques assez poussée : hmm

Mais on va essayer d'éclaircir tout ça.  big_smile

On a Formule LaTeX : $8 = 2^3$,
Donc le corps à huit éléments (noté  Formule LaTeX : $F_8$)  sera construit à partir du corp Z/2Z,
Pour ça on choisi un polynôme de Z/2Z[X] qui n'as pas de racine dans Z/2Z, (ici de degré 3 Formule LaTeX : $F_8$,
et de degré n pour le corps à Formule LaTeX : $2^n$ éléments).(Ici le polynôme choisi est  Formule LaTeX : $X^3 + X + 1$)
Ensuite on dit soit Formule LaTeX : $\alpha$ la racine de ce polynôme...
       -Je coyait qu'il avait pas de racine ton polynôme mad
       -oui mais ça c'est le pouvoir du verbe wink, le polynôme n'a pas de racine dans Z/2Z,
mais là on est en train de construire le corps où il à une racine (si mes souvenirs son bon,
je crois que ça s'appelle le corps de rupture du polynôme) , pour un exemple avec un truc
plus connus, on peut dire que C, l'ensemble des nombres complexes est le corps de
rupture de Formule LaTeX : $X^2 +1$, on a dit : Soit i la racine de  Formule LaTeX : $X^2 +1$, et après
on a construit les nombres complexes. Eh bien, là on va faire pareil sauf qu'au lieu de le faire
avec le corps des réels on le fait avec Z/2Z.

Et donc au lieu d'avoir a+ib avec a et b réel (pour reprendre l'exemple ci-dessus) on aura

                         Formule LaTeX : $a+b\alpha+c\alpha^2$    avec a,b,c dans Z/2Z.

(Dans C on a  Formule LaTeX : $X^2 +1$ qui est de degré 2, donc une base est 1, i.
Mais ici on a un polynôme de degré 3 on a donc comme base Formule LaTeX : 1, \alpha, \alpha^2.
En fait ce qu'on est en train de faire sa s'appelle une extension de corps, C est une
extension sur R de degré 2 et Formule LaTeX : $F_8$ est une extension sur Z/2Z de degré 3 )
ce qui fait bien huit éléments :

                         Formule LaTeX : $ 0, 1, \alpha, \alpha^2, 1+\alpha, 1+\alpha^2, \alpha+\alpha^2, 1+\alpha+\alpha^2.$

avec ces huits éléments on peut faire une table de Caley pour la loi  "+" (en gros la table d'addition de  Formule LaTeX : $F_8$)

et en renommant nos huits éléments A, B, C, D, E, F, G, H on obtient un premiers carré latin. (Enfin.)

Ensuite on multiplie la première ligne de notre table de Caley par une racine du polynôme (il y en a trois :  Formule LaTeX : $\alpha, \alpha+\alpha^2, 1+\alpha+\alpha^2$) ,pour faire simple on va
choisir Formule LaTeX : \alpha ce qui nous donne :

                        Formule LaTeX : $0, \alpha, \alpha^2, 1+\alpha, \alpha+\alpha^2, 1, 1+\alpha+\alpha^2, 1+\alpha^2.$

Note : Pour les calculs, il ne faut pas oublier que Formule LaTeX : \alpha est racine du polynôme
Formule LaTeX : $X^3 + X + 1$ et donc en particulier que Formule LaTeX : \alpha^3 = \alpha +1 (car on fait les calculs dans Z/2Z.).

Donc si on garde la même notation (mais avec des minuscules) on notre deuxième carré latin
avec comme première ligne :  a, c, d, e, g, b, h, f, et pour le reste on recopie la colonne du A
sous la colonne du a, (avec des minuscules tongue ) etc et on a donc notre deuxième carré latin.

Et si on fusionne les deux ont obtient la solution cité précédemment, sans fautes (du moin j'espère.) ça donne :

Code:

aA  bC  cD  dE  eG  fB  gH  hF
bB  aE  eF  fC  cH  dA  hG  gD
cC  eA  aG  gB  bD  hE  dF  fH
dD  fG  gA  aH  hC  bF  cE  eB
eE  cB  bH  hA  aF  gC  fD  dG
fF  dH  hB  bG  gE  aD  eC  cA
gG  hD  dC  cF  fA  eH  aB  bE
hH  gF  fE  eD  dG  cG  bA  aC

.

cool

J'espère avoir éclairer (plutôt qu'embrouiller ) l'algorithme qui permet de trouver des carrés
greco-latin, sinon pourquoi cette méthode marche je ne sais pas.

Mais attention, si mes souvenirs sont toujours bon je crois qu'il existe un corps à n éléments
seulement si  n est une puissance d'un nombre premiers, donc cette methode ne marche pas
pour 10 par exemple.

Et pour ceux qui veulent en savoir plus, les mathémathiques utilisées ici font parti de la
théorie de Galois. Vous trouverez peut-être des explications plus clair et plus détaillées
que ce que j'ai essayer d'expliquer. smile


Il y a sûrement plus simple.

 #15 - 19-08-2010 23:44:08

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Rouen

tableai maudit

Merci beaucoup pour cette explication. Je n'ai pas tout suivi, j'ai un peu la tête dans le c**, et j'ai fait de l'opti toute la journée (enfin, entre deux jeux Flash lol), mais je relirais "au frais" demain, ça m'intrigue vraiment. Merci encore smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #16 - 20-08-2010 14:55:02

carole085
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 6

tableau maidit

Encore une preuve que mon bac littéraire ne m'a servi à rien... J'ai toujours pas compris la formule. Je vais m'en tenir au sudoku, je vais économiser des efferalgans comme ça! Merci encore à tous et bon weekend!

 

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