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 #1 - 31-08-2011 15:37:53

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Le vol dee céréales !

La marque de céréales, Quels logs, décide de placer dans chaque lot de deux paquets une image. Cette image représente un tiers d'un avion.
Il y a autant d'images de chaque tiers d'avion et la distribution doit se faire aléatoirement à l'usine. Dès qu'un consommateur a réuni les trois tiers d'avion complémentaires, il gagne un voyage à Quatremandoù?
Un inspecteur de la répression des fraudes observe que, sur 1000 foyers ayant déjà acheté 10 paquets depuis le lancement de l'opération, 48 personnes n'ont pas réuni les trois images.
Déterminer le nombre de paquets de céréales à acheter par un foyer pour avoir plus de 99 chances sur 100 de gagner le voyage.



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C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
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 #2 - 31-08-2011 19:16:23

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3330

Le vol de cééales !

Quand on achète trois lots (donc 6 paquets) on a [latex]3![/latex] arrangement possible des trois cartes. Mais on a une chance sur six d'avoir les trois cartes.

On sait aussi que 952 foyers (ou personnes je suppose) on eu les trois cartes différentes.
Ça sent les probabilités conditionnelles mais je ne sais pas comment on s'en sert et encore moins comment faire.
Affaire à suivre...

PS : En trifouillant un peut j'étais à 8 ou 10 paquets. Mais je ne pense pas que ce soit juste.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #3 - 31-08-2011 19:17:33

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3135

Le vol de céraéles !

P(1 ou 2 images) au bout de a achats=3*(2^a-1)/3^a.
Pour que cette valeur soit <0.01, il faut a>14 (en passant par les log et en négligeant le "-1", quitte à contrôler ensuite si ça marche tjs).
Je donne donc 15 achats comme résultat.

Concernant les 1000 foyers ayant fait 10 achats:
3*(2/3)^10=0.052=52/1000 théorique, ce résultat est donc dans le même ordre d'idée que le 48/1000 d'échec.

 #4 - 02-09-2011 16:28:09

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Le vol de cérréales !

Pas mieux que nodgim, bravo !


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #5 - 03-09-2011 22:03:03

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

Le vol de céérales !

L'image du 1er tiers d'avion est noté A,
celle du 2ème tiers d'avion est noté B,
celle du 3ème tiers d'avion est noté C.

On gagne qd on gagne A et B et C, que je noterais ABC plus bas

On admet que les images sont réparties équiprobablement.

Si on achète 1 lot de 2 paquets, on peut obtenir :
A B C
=0 gain, 3 possib

Si on achète un 2è lot de 2 paquets, on peut obtenir :
AA AB AC
BA BB BC
CA CB CC
=0 gain, 3*3 possib

Si on achète un 3è lot de 2 paquets, on peut obtenir :
AAA ABA ACA AAB ABB ACB AAC ABC ACC
BAA BBA BCA BAB BBB BCB BAC BBC BCC
CAA CBA CCA CAB CBB CCB CAC CBC CCC
g(3)=6 gains, p(3)=3*3*3 possib, soit 6/27 =22%

Si on achète un 4è lot de 2 paquets, on peut obtenir :
AAAA ABAA ACAA AABA ABBA ACBA AACA ABCA ACCA
BAAA BBAA BCAA BABA BBBA BCBA BACA BBCA BCCA
CAAA CBAA CCAA CABA CBBA CCBA CACA CBCA CCCA
AAAB ABAB ACAB AABB ABBB ACBB AACB ABCB ACCB
BAAB BBAB BCAB BABB BBBB BCBB BACB BBCB BCCB
CAAB CBAB CCAB CABB CBBB CCBB CACB CBCB CCCB
AAAC ABAC ACAC AABC ABBC ACBC AACC ABCC ACCC
BAAC BBAC BCAC BABC BBBC BCBC BACC BBCC BCCC
CAAC CBAC CCAC CABC CBBC CCBC CACC CBCC CCCC
g(4)=6*3+(6+6+6)=36 gains, p(4)=3*3*3*3 possib, soit 36/81 = 44%

Si on achète un 5è lot de 2 paquets, on peut obtenir :
AAAAA ABAAA ACAAA AABAA ABBAA ACBAA AACAA ABCAA ACCAA
BAAAA BBAAA BCAAA BABAA BBBAA BCBAA BACAA BBCAA BCCAA
CAAAA CBAAA CCAAA CABAA CBBAA CCBAA CACAA CBCAA CCCAA
AAABA ABABA ACABA AABBA ABBBA ACBBA AACBA ABCBA ACCBA
BAABA BBABA BCABA BABBA BBBBA BCBBA BACBA BBCBA BCCBA
CAABA CBABA CCABA CABBA CBBBA CCBBA CACBA CBCBA CCCBA
AAACA ABACA ACACA AABCA ABBCA ACBCA AACCA ABCCA ACCCA
BAACA BBACA BCACA BABCA BBBCA BCBCA BACCA BBCCA BCCCA
CAACA CBACA CCACA CABCA CBBCA CCBCA CACCA CBCCA CCCCA

AAAAB ABAAB ACAAB AABAB ABBAB ACBAB AACAB ABCAB ACCAB
BAAAB BBAAB BCAAB BABAB BBBAB BCBAB BACAB BBCAB BCCAB
CAAAB CBAAB CCAAB CABAB CBBAB CCBAB CACAB CBCAB CCCAB
AAABB ABABB ACABB AABBB ABBBB ACBBB AACBB ABCBB ACCBB
BAABB BBABB BCABB BABBB BBBBB BCBBB BACBB BBCBB BCCBB
CAABB CBABB CCABB CABBB CBBBB CCBBB CACBB CBCBB CCCBB
AAACB ABACB ACACB AABCB ABBCB ACBCB AACCB ABCCB ACCCB
BAACB BBACB BCACB BABCB BBBCB BCBCB BACCB BBCCB BCCCB
CAACB CBACB CCACB CABCB CBBCB CCBCB CACCB CBCCB CCCCB

AAAAC ABAAC ACAAC AABAC ABBAC ACBAC AACAC ABCAC ACCAC
BAAAC BBAAC BCAAC BABAC BBBAC BCBAC BACAC BBCAC BCCAC
CAAAC CBAAC CCAAC CABAC CBBAC CCBAC CACAC CBCAC CCCAC
AAABC ABABC ACABC AABBC ABBBC ACBBC AACBC ABCBC ACCBC
BAABC BBABC BCABC BABBC BBBBC BCBBC BACBC BBCBC BCCBC
CAABC CBABC CCABC CABBC CBBBC CCBBC CACBC CBCBC CCCBC
AAACC ABACC ACACC AABCC ABBCC ACBCC AACCC ABCCC ACCCC
BAACC BBACC BCACC BABCC BBBCC BCBCC BACCC BBCCC BCCCC
CAACC CBACC CCACC CABCC CBBCC CCBCC CACCC CBCCC CCCCC
g(5)=36*3+(14+14+14)=150 gains,
p(5)=3*3*3*3*3 possib, soit 150/243 = 61.7%

Si on achète un 6è lot de 2 paquets, houlaaaa, je n'ai plus le courage de continuer les monstrueux copier/coller.....

Résumons :
g(1)=0, p(1)=3^1
g(2)=0, p(2)=3^2
g(3)=6, p(3)=3^3
g(4)=36, p(4)=3^4
g(5)=150, p(5)=3^5

Pour p(n), on voit bien les puissances de 3 au dénominateur.

Mais pour les g(n), j'ai un peu galéré et j'ai fini par découvrir la décomposition du numérateur.
Bon ok, ce n'est pas de la pure récurrence :
http://img7.imagebanana.com/img/ywiel77u/cereales.gif

Donc, au bout de 15 lots de 2 paquets, zou le gain est sûr à 99%. À moi le voyage à Quatremandoù big_smile big_smile

Quant à l'inspecteur, il avait observé 48 cas non-gagnants. La théorie indique 52.

 #6 - 10-10-2011 13:42:31

cfpcompte
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 1

Le vol de céréaales !

@nodgim: Pas convaincu. Tu sembles placer au dénominateur [latex]3*2^a[/latex], pour exclure d'abord une des trois images, et ensuite choisir toutes les images parmi les deux restantes. Mais tu comptes une configuration du type AAAAA deux fois : une fois en excluant B, et une fois en excluant C...

 #7 - 12-10-2011 18:52:46

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3135

le vol dz céréales !

Bien vu, quelqu'un qui regarde avec un oeil attentif !
On va donc retirer 3 à la formule. Je corrige ma réponse.

 

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