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 #1 - 03-11-2010 19:43:57

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

Une autre écriture pour les entier...

Voici comment on peut écrire les entiers de 1 à 10:
1  = [0, 0]
2  = [0, 1]
3  = [1, 0]
4  = [0, 2]
5  = [1, 1]
6  = [0, 1, 1, 0]
7  = [2, 0]
8  = [0, 3]
9  = [1, 2]
10 = [0, 1, 1, 1]

A votre avis, comment écrit-on alors les dix suivants?

PS: J'ai hésité à poster dans la section logique, mais c'est pour "des raisons mathématiques" que j'ai pensé à introduire cette écriture.

Spoiler : Indice1 L'écriture de 1 peut vous induire en erreur. Dans un premier temps, oubliez la, on peut s'en passer pour comprendre la logique.
Spoiler : Indice2 Il y a toujours un nombre pair de nombres entre les crochets.
Spoiler : Indice3 Des connaissances élémentaires en mathématiques sont suffisantes pour comprendre la logique. Il n'y a aucun calcul compliqué.
Spoiler : Indice4 La notion essentielle pour comprendre la logique est la parité.
Spoiler : Indice5 Pour comprendre la logique, on peut s'inspirer de l'algorithme de la suite de Conway, appliqué à l'écriture binaire. Bien vu Rivas! wink



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 #2 - 03-11-2010 19:52:45

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

une autre éxriture pour les entiers...

11=
12=[1, 0, 0, 2]
13=
14=[0, 1, 2, 0]
15=[1, 0, 1, 1]
16=[0, 1, 0, 3]
17=
18=[0, 1, 1, 2]
19=
20=[0, 2, 1, 1]

A priori je dirais ça mais il m'en manque. Je ne vois pas la logique pour les nombres premiers.

 #3 - 03-11-2010 21:21:16

engine
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 351

une aytre écriture pour les entiers...

Il y a un nombre dont la somme fait 1, deux dont la somme fait 2, quatre dont la somme fait 3. En laissant tomber le 0 (qui fausserait selon toi). Soit il y a six nombres dont la somme vaut trois, soit il y en a 8. Quand j'aurai mieux pigé la logique je le saurais sans doute. Affaire à suivre.


plouf

 #4 - 04-11-2010 01:36:51

supercab
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 20

Une autre écriture pour les entiers..

Je dirais:
11=[2,1]
12=[0,2,1(,0)]
13=[1,0 1,1(,0)]
14=[0,1,2(,0)]
15=[3,0]
16=[0,4]
17=[1,3]
18=[0,1,1,3 2]
19=[2,2]
20=[0,2,1,1]

Je pense que les "0" en fin d'écriture sont inutiles mais pour garder la même écriture que pour 6, j'ai mis des parenthèse.

En tout cas, c'est bien trouvé smile

EDIT : 13 et 18 corrigé (enfin j'espère hmm)

 #5 - 04-11-2010 22:40:17

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

Une autre écriture pour les enties...

En utilisant cette écriture et "en poussant la logique à l'infini", j'arrive à représenter graphiquement une certaine complexité des entiers.
Sur cette image, de haut en bas, sont représentés les entiers de 1 à 100, un par ligne. Les lignes horizontales en clair représentent les dizaines. 
J'espère que ça vous donnera envie de chercher un peu. smile
http://www.prise2tete.fr/upload/luthin-tree1_100.jpg

 #6 - 05-11-2010 20:03:12

engine
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 351

Une autre écriture pur les entiers...

Je trouve ça plutôt décourageant.
Cette fusée m'a fait vomir, désolé.


plouf

 #7 - 05-11-2010 22:05:11

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

une autte écriture pour les entiers...

Je viens de remplacer l'image du dessus. Il faut au moins trois couleurs pour représenter de façon unique un entier.

Sinon, je viens de rajouter un très gros indice dans le sujet.

Pour l'instant, SuperCab est le seul a avoir trouvé.

 #8 - 06-11-2010 01:14:48

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

une autre écriture pour lzs entiers...

Un énigme avec des nombres et de plus entiers: je ne peux pas laisser passer.
Mais je dois dire qu'elle n'était pas simple à trouver.

Voici ce que j'ai trouvé: pour former le nombre on lit le crochet de droite à gauche. Cela donne une suite d'opérations à appliquer sur le résultat précédent. On part de 1. Le premier chiffre est le nombre de fois que l'on multiplie par 2. Le chiffre suivant est le nombre de fois qu'on applique l'opération R*2 +1. Puis le chiffre suivant est de nouveau le nombre de fois où l'on multiplie par 2 et le chiffre suivant le nombre de fois qu'on applique R*2 +1.

Ainsi:
[0, 1, 1, 1] produit:
  1 multiplication par 2: 1*2=2
  1 operation *2+1 appliqué à 2 (résultat précédent): 2*2+1=5
  1 multiplication par 2 du résultat précédent: 5*2=10
[0, 3] produit:
  3 multiplications par 2: 1*2*2*2=8
[1,2] produit:
  2 multiplications par 2: 1*2*2=4
  1 operation *2+1: 2*4+1=9

A noter qu'on pourrait très bien noter 6=[1,1,0], les 0 en tête n'apportent rien.

11=2*5+1 et 5=[1,1] donc 11=[2,1]
12=2*6 et 6=[0,1,1,0], donc 12=[0,2,1,0]=[2,1,0]
13=2*6+1 et 6=[0,1,1,0], donc 13=[1,1,1,0]
14=2*7 et 7=[2,0], donc 14=[0,1,2,0]=[1,2,0]
15=2*7+1 et 7=[2,0] donc 15=[3,0]
16=[0,4]=[4]
17=2*8+1 donc 17=[1,3]
18=2*9 et 9=[1,2] donc 18=[0,1,1,2]=[1,1,2]
19=2*9+1 et 9=[1,2] donc 19=[2,2]
20=2*10 et 10=[0, 1, 1, 1] donc 20=[0,2,1,1]=[2,1,1]

--------------------------------------
Voici une façon un tout petit plus théorique de le dire:
On écrit le nombre en base 2. On ignore le premier 1 et on compte (en lisant de gauche à droite) successivement les groupes/paquets de 0 puis de 1 et on note le "cardinal" de chaque paquet en les écrivant de droite à gauche.
[TeX]\bar{10}^{10}=\bar{1010}^2[/TeX]
On ignore le premier 1, il y a dans l'ordre:
1 chiffre 0, 1 chiffre 1, 1 chiffre 0, on écrit [(0,)1,1,1]
[TeX]\bar{6}^{10}=\bar{110}^2[/TeX]
On ignore le premier 1, il y a dans l'ordre:
0 chiffre 0, 1 chiffre 1, 1 chiffre 0, on écrit [(0,)1,1,0]
[TeX]\bar{20}^{10}=\bar{10100}^2[/TeX]
On ignore le premier 1, il y a dans l'ordre:
1 chiffre 0, 1 chiffre 1, 2 chiffre 0, on écrit [(0,)2,1,1]

En effet, multiplier par 2 revient à ajouter un 0 à la fin du nombre. Effectuer *2+1 revient à ajouter un 1 à la fin du nombre...

Finalement, étant donné le niveau de culture mathématique de celui qui la pose, je pense qu'elle a été inspirée par l'algorithme itératif de la fameuse Suite de Conway appliquée aux écritures binaires des différents nombres. Me trompé-je?

Merci pour cette énigme (dure).

PS: Je n'ai compris l'utilité d'aucun des indices... Alors j'ai tout oublié et j'ai cherché, cherché, ...

 #9 - 06-11-2010 12:39:23

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

une autre écritute pour les entiers...

Suite à l'excellente intervention de Rivas, qui m'a donné une très belle interprétation (qui n'était pas la mienne),  je me suis dit, qu'elle pourrait faire un excellent indice (un méga, du coup!).
Voilà chose faite, vous trouverez un dernier indice dans le sujet.
J'espère ne pas gâcher l'éventuel plaisir que vous auriez pu avoir en résolvant cette énigme seul, mais si le fait d'y parvenir, peut vous en donner un peu... je serais bien content. smile

 #10 - 06-11-2010 18:30:24

engine
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 351

Une autre écriture pour les entires...

J'y ai pensé en plus ! Vite, j'ai plus beaucoup  de temps pour résoudre !


plouf

 #11 - 07-11-2010 00:03:08

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

une autre écrityre pour les entiers...

Voici mon interprétation du code.
Je prends un entier n. Il peut se mettre sous la forme:
n=n0=2n1 si il est pair
n=n0=2n1+1 si il est impair
De la même façon, n1 peut se décomposer en:
n1=2n2 si il est pair
n1=2n2+1 si il est impair
Et ainsi de suite, jusqu'à ce que j'obtienne ni=1.
Si je mémorise le cheminement qui m'y a conduit, j'aurais décrit l'entier initial de façon unique.
Je compte alors les fois de suite où j'obtiens des nombres pairs ou impairs, et je les range entre crochets. Par convention, je choisis de décrire le cheminement par autant "d'opérations pairs que d'impairs" (C1). Autrement dit, le codage de n se fera toujours avec un nombre pair d'entiers. Par convention, le premier nombre de la série traduit des opération impaires" (C2), le second, des opérations pairs, des opérations impaires pour le troisième  etc...
Autant prendre des exemples, ça sera sûrement plus clair:

5=2*2+1, puis 2=2*1
On commence donc par une opération impaire, suivie d'une opération paire.
=> 5 = [1,1]

6=2*3, puis 3=2*1+1
Je commence donc par zéro opération impair (voir C2) puis une paire, une impaire, et zéro pair (voir C1).
=> 6 = [0,1,1,0]

Finalement, les entiers de 11 à 20 se codent ainsi:
11 = [2,1]
12 = [0,2,1,0]
13 = [1,1,1,0]
14 = [0,1,2,0]
15 = [3,0]
16 = [0,4]
17 = [1,3]
18 = [0,1,1,2]
19 = [2,2]
20 = [0,2,1,1]

Bravo à Supercab et Rivas qui ont compris cette logique. Je vous invite à lire la réponse de rivas qui donne une belle interprétation et fait un rapprochement intéressant avec l'écriture binaire.

Bon, ce que j'ai expliqué plus haut, c'est la version "simple" (j'avais dit que des notions de base étaient suffisantes...), qui à sûrement l'avantage de pouvoir être comprise par un plus grand nombre mais qui est à mon sens, pas très rigoureuse. En particulier, l'écriture de 1 est ambigüe avec ces seules explications...

J'ai donc introduit deux fonctions f et g telles que:
[TeX]f(x)=2x+1[/latex] et [latex]g(x)=2x[/TeX]
J'utilise la notation suivante pour les composées:
[TeX]f^{m}(x)=(\underbrace{f\circ f\circ ...\circ f}_{m\times})(x)[/TeX]
Alors, je propose que:
[TeX]\forall n \in \mathbb{N}^*, \exists !p\in \mathbb{N}^*, \exists !(m_1, m_2,...,m_{2p})\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}^{*2(p-1)}\times\mathbb{N} \backslash n=(f^{m_1}\circ g^{m_2}\circ ...\circ g^{m_{2p}})(1)[/TeX]
Vous l'avez donc compris, le vecteur [latex](m_1, m_2,...,m_{2p})[/latex] constitue le codage (et je ne sais pas pourquoi j'ai introduit des crochets! hmm)
Puisque toute fonction composée zéro fois, est la fonction identité, on a bien [latex](f^0\circ g^0)(1)=1[/latex], ce qui explique le codage de 1.

Deux mots sur l'image du dessus.
De la même façon, on peut coder ou décomposer les entiers [latex]m_i[/latex] jusqu'à l'obtention de 0 uniquement. Un exemple...
2 = [0,1] = [0,[0,0]]
4 = [0,2] = [0,[0,[0,0]]]

En remplaçant les "[", "0" et "]" par trois couleurs différentes, on obtient alors la représentation graphique que j'ai donné ci-dessus (on peut se passer de représenter le "," car le "0" n'est qu'un chiffre...).
Je trouve ça assez intéressant de "mettre à jour" un certain coté chaotique dans la suite des entiers, tout comme peut l'avoir celle des nombres premiers. Il semble y avoir tout de même un arrangement semi-périodique...

Voila, j'espère ne pas avoir raconté trop de bêtises.
Merci à ceux qui ont participé et cherché. smile

PS: ah oui, j'oubliais, et pour répondre à Rivas.
Ce qui m'a amené à cette écriture n'est pas la suite Conway, mais la suite de Syracuse. En essayant d'exprimer les termes de cette suite (même pas peur! big_smile), c'est venu "assez naturellement"... Peut-être que je proposerai ce que j'ai fait sous forme d'une énigme, c'est assez amusant, d'ailleurs le sujet de ma nouvelle énigme est issu également d'une réflexion à propos de cette même fameuse suite.

 #12 - 07-11-2010 01:06:44

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Une autrre écriture pour les entiers...

Merci luthin pour cette longue rédaction et pour cette énigme. J'espère que la nouvelle est moins difficile.
Je m'étais donc trompé sur l'inspiration (mais pas sur l'étendue de ta culture mathématique) smile

 #13 - 07-11-2010 01:18:34

engine
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 351

Une autre écriturre pour les entiers...

Un combiné du binaire et de la suite de Conway, j'ai traité les deux séparément ! è_é


plouf
 

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