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 #1 - 03-09-2010 19:08:12

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Héla stique !!!

Bonjour,

Une petite prise de tête pour le week-end. Haha! (toujours le même hommage).

Comme toujours dans le monde des paradoxes et des choses un peu bizarres, il faut prendre quelques libertés avec la physique conventionnelle.

Je dispose donc d'un élastique mesurant un mètre au repos et extensible indéfiniment (voila la liberté).

Cet élastique est fixé à un de ses bouts et je pose mon stylo à cette extremité (celle fixée). Je commence à dessiner un trait dans le sens de la longueur sur l'élastique et mon stylo avance à la vitesse constante de 1 cm par seconde.

A la fin de chaque seconde, la personne qui tient l'autre extremité recule instantanément (liberté je t'adore) d'un mètre en tendant l'élastique qui s'allonge d'autant (rappelez-vous: il est extensible à l'infini). Il faut noter qu'on pourrait tendre l'élastique de façon continue sans que cela ne change le problème mais le traiter sous la forme discrète aide un peu (à mon avis).

On doit aussi supposer que la personne qui tire pourra toujours reculer d'un mètre de plus (je sais, c'est un peu abuser de la liberté) en restant dans un plan.

La question est: "Vais-je arriver au bout de l'élastique avec mon stylo et si oui pourquoi?"

Bon week-end :-)



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 #2 - 03-09-2010 21:24:14

Victorio
Visiteur

Héélas tique !!!

Pour moi c'est IMPOSSIBLE d'arriver au bout de cet INFINI élastique.
Je suis plutôt terre à terre, et il me semble que l'infini soit infini. Mais c'est quoi l'infini ???... peut-on supposer que d'une façon ou d'une autre il y est un mur au bout de l'infini ???...
Alors, hein ???... Qu'est-ce qu'il y a derrière le mur ???

PS : et le stylo lui !?!... il aura de l'encre à l'infini ???

 #3 - 03-09-2010 23:54:47

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Hélas tiquue !!!

En étudiant ce qui se passe pendant les premières secondes, on réalise que:

Le stylo progresse initialement d’1 cm puis profite de l’élongation pour être immédiatement à 2cm du point initial. Il lui reste 198cm à parcourir soit 99% du chemin.

A t=2s, le stylo est à 3cm, l’élastique est allongé de 200 à 300cm ce qui place le stylo à 3×300/200=4.5cm du départ Il lui reste 98.5% du chemin à parcourir. La distance diminue mais vraiment très lentement.

A t=3s, après élongation, le stylo a parcouru 4×(1/1+1/2+1/3)=7 1/3 cm (98.1% reste à faire) ; on reconnait la suite harmonique, notée H(n).

A t=n sec, la distance parcourue d(n)=(n+1)H(n) sur les 100×n cm d’élastique.

Le stylo arrivera au bout de l’élastique lorsque (n+1)H(n) + 1 = 100n

H(n) diverge mais lentement, très lentement.
Quand n est grand, H(n) = 2.3×Log(n) approximativement

Ce qui donne n = 10^[ (100n-1) / (2.3×(n+1) ]
                       = 100 ^ [ 100/2.3 ]
                       = 100 ^ 43 secondes (c'est plutot long  cool)

L’âge du big bang est  de l’ordre de 4 × 10^17 sec.


The proof of the pudding is in the eating.

 #4 - 04-09-2010 12:42:07

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 932

hélas toque !!!

Je connais le problème avec un sol élastique et un individu qui s'y déplace. Mais là, tu ne dis pas que le stylo suit l'élastique quand on tend ce dernier, donc je ne vois pas le paradoxe... roll


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #5 - 04-09-2010 13:15:12

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Héla tique !!!

Bonjour,

scrablor me fait remarquer que je n'explicite pas un point pourtant capital pour le paradoxe. Je vais donc le faire mais ça va donner un très gros indice. Je le mets donc en spoiler.

Spoiler : [Afficher le message] Lorsque l'élastique se tend, le stylo ne recule pas, il ne revient pas en arrière sur son trait

Voila, pour ceux qui ne voient pas où cette énigme voulait en venir, l'indice devrait vous éclairer.

Pour scrablor: c'est très certainement une reformulation de celle que tu connais, je la connaissais avec un ver sur un élastique pour ma part.

 #6 - 04-09-2010 13:37:19

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Héals tique !!!

Avant de répondre, Je voudrais savoir ce qu'il se passe a la fin de la premiere seconde.
Le stylo a avancé de 1cm, mais quand l'élastique s'alonge de 1m, est le stylo se retrouve a 2cm de l'origine, ou reste-t-il a un cm?
Si il reste a 1cm, alors c'est simple, on atteindra jamais la fin, puisque la fin s'eloigne de 1m/s alors que le stylo avance de 1cm/s
Sinon, je crois que le probleme est mieux défini avec une fourmis qui avance sur l'elastique a la vitesse de 1cm/s
Si le stylo se retrouve donc a 2cm, comme une fourmi avancerais avec l'elastique, alors je pense que apres 15092685036023226758611901985592964155385805 alongements, le stylo arrive au bout.
le probleme est equivalent a dire que l'avancement relatif du stylo est de :
1/100+1/200+1/300+1/400... etc
et donc que pour que le stylo arrive au bout il faut que cette somme arrive a s'accumuler pour former 1.

PS: le nombre ci-dessus est approximatif. La valeur exacte est probablement dans les 0.0000001% de la valeur mentionée.
on peut donc l'écrire 1.509268504*10^43


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #7 - 04-09-2010 13:59:56

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 932

Hélas tique !!

Merci pour cette confirmation qui ne dénature pas le problème pour autant.

Le premier centimètre tracé correspond à 1% de l'élastique et cela ne changera pas car le trait s'allongera avec l'élastique.
Le deuxième centimètre correspond à 1/2 %
Le troisième centimètre correspond à 1/3 %
Le quatrième centimètre correspond à 1/4 %
...
1+1/2+1/3+1/4+...+1/n est une somme qui peut dépasser tout nombre fixé, elle tend vers l'infini avec n.
Il faut cependant aller très loin pour que cette série harmonique atteigne 100. Ce doit être de l'ordre de n=10^43 ... encore une liberté !


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #8 - 04-09-2010 17:14:05

falcon
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 106

hélas tiqie !!!

notons u(n) l'avancée du stylo à la toute fin de la n-ieme seconde

nous avons
u(0) = 0 cm
u(1) = 2 cm
u(2) = 4.5 cm

et plus généralement
u(n+1) = [ u(n) + 1 ] x (n+1)/n

le " x (n+1) / n " est du au fait que l'on tire l'élastique de 1 m alors qu'il était long de n mètres.

cherchons un équivalent de le vitesse de croissance de la suite u(n).

posons v(n) = u(n) / n

on a v(n+1) = v(n) + 1 / n
on en déduit v(n) ~ ln(n)

ainsi u(n) ~ n ln(n) cm
alors que la longueur de l'élastique ~ 100n cm

Donc le stylo arrivera bien au bout de l'élastique au bout d'un temps approximativement égal à :

e¹⁰⁰ = 2.688 × 10^43 secondes

par conséquent tu n'arriveras pas au bout de ton vivant


Il vaut mieux pomper meme s'il ne se passe rien que risquer qu'il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas

 #9 - 04-09-2010 19:39:33

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Héls tique !!!

Je connaissais aussi avec une tortue , c'est très simple si on si prend bien smile

Durant la 1ère seconde on trace 1/100 de la longueur de l'élastique et ça ne change pas avec l'allongement de l'élastique qui s'étire régulièrement . A la deuxième seconde ont trace 1/200 , cela ne change pas après l'élongation , ...

On trace en fait : 1/100+1/200+1/300+... de l'élastique or la série 1+1/2+1/3+1/4+... diverge , on atteint donc l'extrémité de l'élastique .

Vasimolo

 #10 - 04-09-2010 20:25:06

Garetcha
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 7
Lieu: Guadeloupe

hékas tique !!!

Salut,

Oui on va arriver au bout de l'élastique parce que à chacune des secondes que l'on tend l'élastique, ce dernier s'étend sur tout son long y compris la partie déjà écrite avec le stylo. Tot ou tard on va bien arriver jusqu'au bout de l'élastique.

Par contre ce que je ne sais pas c'est si la distance de 1m se réduit au fur et à mesure ou si la distance entre le bout et le stylo ne change jamais? ( enfin sauf les parts que le stylo grignote!

 #11 - 07-09-2010 00:17:42

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Hléas tique !!!

Bonne réponse de tout le monde.

Ma formulation de la réponse est quasiment la même que scrablor, je ne vais donc pas tout ré-écrire (je suis un peu paresseux) smile .

Le point clé qui fait que l'on peut arriver au bout de l'élastique, c'est que celui-ci grandit autant derrière le stylo que devant et donc le point qui avance lentement est entraîné vers l'avant par l'élongation de l'élastique.

Le problème original que je connaissais était avec un ver sur un élastique qui mesurait 1km et s'agrandissait d'autant à chaque seconde. Autant dire que le temps nécessaire était encore plus déraisonnable. J'ai reformulé un peu.

Merci d'avoir joué.

 

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