En étudiant ce qui se passe pendant les premières secondes, on réalise que:

Le stylo progresse initialement d’1 cm puis profite de l’élongation pour être immédiatement à 2cm du point initial. Il lui reste 198cm à parcourir soit 99% du chemin.

A t=2s, le stylo est à 3cm, l’élastique est allongé de 200 à 300cm ce qui place le stylo à 3×300/200=4.5cm du départ Il lui reste 98.5% du chemin à parcourir. La distance diminue mais vraiment très lentement.

A t=3s, après élongation, le stylo a parcouru 4×(1/1+1/2+1/3)=7 1/3 cm (98.1% reste à faire) ; on reconnait la suite harmonique, notée H(n).

A t=n sec, la distance parcourue d(n)=(n+1)H(n) sur les 100×n cm d’élastique.

Le stylo arrivera au bout de l’élastique lorsque (n+1)H(n) + 1 = 100n

H(n) diverge mais lentement, très lentement.
Quand n est grand, H(n) = 2.3×Log(n) approximativement

Ce qui donne n = 10^[ (100n-1) / (2.3×(n+1) ]
                       = 100 ^ [ 100/2.3 ]
                       = 100 ^ 43 secondes (c'est plutot long  )

L’âge du big bang est  de l’ordre de 4 × 10^17 sec.

Bonjour,

scrablor me fait remarquer que je n'explicite pas un point pourtant capital pour le paradoxe. Je vais donc le faire mais ça va donner un très gros indice. Je le mets donc en spoiler.

Spoiler : [Afficher le message] Lorsque l'élastique se tend, le stylo ne recule pas, il ne revient pas en arrière sur son trait

Voila, pour ceux qui ne voient pas où cette énigme voulait en venir, l'indice devrait vous éclairer.

Pour scrablor: c'est très certainement une reformulation de celle que tu connais, je la connaissais avec un ver sur un élastique pour ma part.

Merci pour cette confirmation qui ne dénature pas le problème pour autant.

Le premier centimètre tracé correspond à 1% de l'élastique et cela ne changera pas car le trait s'allongera avec l'élastique.
Le deuxième centimètre correspond à 1/2 %
Le troisième centimètre correspond à 1/3 %
Le quatrième centimètre correspond à 1/4 %
...
1+1/2+1/3+1/4+...+1/n est une somme qui peut dépasser tout nombre fixé, elle tend vers l'infini avec n.
Il faut cependant aller très loin pour que cette série harmonique atteigne 100. Ce doit être de l'ordre de n=10^43 ... encore une liberté !

Je connaissais aussi avec une tortue , c'est très simple si on si prend bien

Durant la 1ère seconde on trace 1/100 de la longueur de l'élastique et ça ne change pas avec l'allongement de l'élastique qui s'étire régulièrement . A la deuxième seconde ont trace 1/200 , cela ne change pas après l'élongation , ...

On trace en fait : 1/100+1/200+1/300+... de l'élastique or la série 1+1/2+1/3+1/4+... diverge , on atteint donc l'extrémité de l'élastique .

Vasimolo

Bonne réponse de tout le monde.

Ma formulation de la réponse est quasiment la même que scrablor, je ne vais donc pas tout ré-écrire (je suis un peu paresseux) .

Le point clé qui fait que l'on peut arriver au bout de l'élastique, c'est que celui-ci grandit autant derrière le stylo que devant et donc le point qui avance lentement est entraîné vers l'avant par l'élongation de l'élastique.

Le problème original que je connaissais était avec un ver sur un élastique qui mesurait 1km et s'agrandissait d'autant à chaque seconde. Autant dire que le temps nécessaire était encore plus déraisonnable. J'ai reformulé un peu.

Merci d'avoir joué.