Le problème peut etre compliqué....
Mais le triangle equilatéral relie 3 Sommets de l'Hexagone. Donc c'est un sommet sur deux

Soit c la longueur des  6 cotes de l'hexagone.

Les trois triangles sont isocéles, 2 cotés appartenant à l'hexagone. L'angle au sommet est 1200deg (=20*vertex).

la hauteur du triangle est donc c*sin(30)=c/2
le base est 2*c*cos(30)=c*sqrt(3)
l'aire du triangle est A1=c^2*sqrt(3)/4

le demi perimetre est p=c(2+sqrt(3))/2

le heron nous donne le rayon du cercle inscrit: r=A1/p
donc A2, aire du cercle inscrit est
A2=pi*(A1/p)^2=...=pi*c^2*(21/4-3^(3/2))

avec c=6.7cm, A2=7.6cm^2 (la réponse n'est pas acceptée??)

Bonjour,

j'ai trouvé par le calcul une aire de 7,6cm² mais la case solution ne l'accepte pas... Pourtant j'ai vérifié mon résutat avec géogebra et il semble correct :



Explications :

Les 3 petits triangles sont isocèles (6,7cm pour les deux petits côtés) avec un grand angle de 120° (propriété de l'hexagone) et donc deux angles de 30°.

1. On trace un cercle inscrit dans un des 3 petits triangles. Le centre H de ce cercle inscrit est l'intersection des bissectrices du triangle isocèle.

2. On partage le triangle isocèle en deux pour faire apparaître deux triangles rectangles. On applique un coup de cosinus dans le triangle EDG (avec ED=6,7cm et angle DEG=30°) pour calculer la longueur EG. Le calcul donne EG=5,8cm. On utilise ensuite cette longueur pour calculer la longueur GH (du triangle rectangle EGH, avec EG=5,8cm et angle HEG=DEG/2=15°). Un coup de tangente nous done GH=1,55cm.

Or GH = rayon du cercle inscrit dans le triangle isocèle donc A = pi*GH² = 7,6cm²

Un petit peu plus amusant , donner la valeur exacte de l'aire

Vasimolo

la taille maximale des cercles dans les petits triangles: R=segment * (sqrt(3)-3/2) = 0.23205080756887729352744634150587 * 6.7 = 1.5547404107114778666338904880893
aire = PI * 1.55474041^2 = 7.59391351