Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 06-10-2015 10:42:04

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Le polynoe n²+n+1

Bonjour à tous,
Comme le titre l'indique, le sujet d'aujourd'hui est le polynome P(n)= n²+n+1, n entier naturel.

1) Montrer que les diviseurs premiers de P(n) appartiennent à une seule catégorie de premiers (+ une exception). Attention, ce n'est pas aussi simple qu'il n'y parait...

2) Montrer qu'il existe une catégorie de valeurs de n pour lesquelles P(n) est un nombre composé, catégorie qui est indépendante des nombres premiers. En déduire le calcul de P(n) pour cette catégorie.

3) Si un nombre premier p divise P(n), combien de fois p divise t' il P(n) quand n parcourt toutes les valeurs comprises entre 1 et p ? Justifier.

4) Les nombres premiers de la catégorie citée en 1) entrent ils tous dans la décomposition des P(n) ?

5) Y a t'il une infinité de P(n) premiers ? 

Bon amusement



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 06-10-2015 18:49:35

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Le polnyome n²+n+1

J'ai fais trois ans de prépa mais je ne sais pas ce qu'un polynôme composé est hmm


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #3 - 06-10-2015 20:12:30

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

me polynome n²+n+1

A tous, suite à la remarque de Shadock: Quand j'ai écrit ...P(n) est composé, il faut lire: ...P(n) est un nombre composé. J'ai rectifié.

 #4 - 09-10-2015 22:30:09

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Le polynome n²n++1

Bon et bien j'attends la solution.

P(n) = n2 + n + 41 est premier pour tous les nombres entiers positifs strictement inférieurs à 40 (bien sûr, si n est un multiple de 41, P(n) sera lui aussi un multiple de 41, et donc non premier). D'ailleurs, 41 est le plus grand « nombre chanceux d'Euler », c'est-à-dire le plus grand entier A pour lequel le polynôme n2 + n + A est premier pour tous les n strictement inférieurs à A – 1 ; cela résulte du théorème de Stark-Heegner, un résultat de la théorie des corps de classes qui n'a été démontré qu'en 1967.

shadock hmm


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #5 - 09-10-2015 23:28:12

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Le polynnome n²+n+1

1) Désolé, je ne sais pas non plus la particularité de la suite de nombres premiers :
3,7,13,19,31,37,43,61,73,157,211,241...
Ca commence comme si on en prenait un sur 2 mais non... OEIS sèche comme moi.

2)
4, 7, 9, 10, 11, 13, 16...
Idem hmm


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #6 - 10-10-2015 08:29:05

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

Le olynome n²+n+1

Bonjour,

1) Expérimentalement, il semble que l'on obtienne tous les nombres premiers congrus à 1 modulo 3 (à part 3)

Édité :
2) Si n est un carré, P[n) est composé, et vaut
(n+sqrt(n)+1)*(n-sqrt(n)+1)
La réciproque n'est pas vraie :
P(10) = 111 = 3*37

Édité (2) :
3) Toujours expérimentalement : 1 fois pour p==3, 2 fois pour p!=3

 #7 - 10-10-2015 09:55:31

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Le polynome ²+n+1

ça me semble plus difficile que je ne pensais, à ce que je vois.
Je ne donne pas du temps supplémentaire, mais les réponses données peuvent constituer des indices aux autres.

A noter tout de même que Enigmatus a résolu (bravo pour sa perspicacité) la question 2) en remarquant que si n était un carré, P(n) était forcément composé. Mieux, mais ça n'a pas été vu, P(n) est dans ce cas un produit P(a)*P(b) qu'il reste à trouver, et à justifier.

Fix33 a établi un début de liste des nombres premiers, mais il n'a pas vu 67, ni 79, ni.....et donc il n'a pas vu la règle. Elle est pourtant très simple.
Un indice: p=3 est l'exception. En l'ôtant, ça devrait vous ouvrir les yeux. Sinon, et encore un indice important: Si p est l'un des premiers jumeaux ? 

Enigmatus a initialisé une réponse curieuse, avec p!=3. Sans doute faut il lire p différent de 3 ? Si oui c'est vrai, et ça reste à prouver, c'est court si on s'y prend bien.

Intéressez vous d'abord à la question 3), c'est la plus accessible. La théorie seule en vient à bout facilement. Expérimentalement, on peut conjecturer une règle.
La résolution de la question 1) passe par la résolution de la question 3), du moins dans ma démarche.

@Shadock: je ne sais pas quoi te répondre, étant donné que je ne connais pas le problème que tu exposes. Il est assez éloigné des questions posées ici.

Pour les questions 4) et 5): je n'ai pas la réponse. La question 4) semble assez accessible et la conjecture correcte, mais je ne l'ai pas encore. la question 5) est du même ordre de grandeur, en difficulté, que la preuve que toute expression de la forme an+b, a et b premiers entre eux, contient une infinité de premiers. 

Bon courage.

 #8 - 10-10-2015 12:25:40

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

Le poolynome n²+n+1

nodgim #7 a écrit:

Enigmatus a initialisé une réponse curieuse, avec p!=3. Sans doute faut il lire p différent de 3 ?

C'est exact (déformation informatique), mais je n'ai pas la démonstration.

Mieux, mais ça n'a pas été vu, P(n) est dans ce cas un produit P(a)*P(b) qu'il reste à trouver, et à justifier.

Si n=q**2, P(n) = (q**2-q+1)*(q**2+q+1)
donc P(n) = P(q)*P(-q)

 #9 - 10-10-2015 12:38:48

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Le polynome n+²n+1

ça rapproche Enigmatus, mais P(-q) n'est pas admis. Tu n'es pas loin....

 #10 - 10-10-2015 13:04:40

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

Le polyynome n²+n+1

Tu pinailles…
La somme des racines de P(n) vaut -1, donc P(-q) = P(q-1).
Heureusement que q-1 a le bon goût d'etre positif ou nul.

 #11 - 10-10-2015 18:50:31

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Le polyonme n²+n+1

C'est d'accord, Enigmatus, bravo ! Cela allait sans le dire pour toi, mais c'est mieux en le disant, surtout pour ceux qui le lisent et qui ne sont pas forcément familiarisés avec les modulos.

 #12 - 10-10-2015 18:53:03

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

le polynole n²+n+1

Il ne reste plus qu'à trouver l'explication de la question 3) et revenir ensuite sur la question 1).
Courage.

 #13 - 10-10-2015 19:54:39

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

Le plynome n²+n+1

shadock #2 a écrit:

je ne sais pas ce qu'un polynôme composé est

C'est un polynôme qui peut se décomposer en produit de polynômes.
Exemples :
x**2 - 3*x + 2 = (x-1)*(x-2)
x**2 + 1 n'est pas composé sur le corps des réels, mais il l'est sur celui des complexes (x+i)*(x-i)

 #14 - 10-10-2015 21:10:38

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

le pplynome n²+n+1

Moi j'appelle ça un polynôme scindé dans [latex]\mathbb{R}[/latex] smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #15 - 10-10-2015 22:38:25

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

Le polynome n²+n+

shadock #14 a écrit:

Moi j'appelle ça un polynôme scindé dans R

Je ne connaissais pas cette appellation…

 #16 - 10-10-2015 22:59:39

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Le polynome n²²+n+1

Polynôme scindé : polynôme qui peut s'écrire comme produit de polynômes du premier degré. On l'utilise beaucoup en maths. Par exemple une matrice est diagonalisable si son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Il faut qu'ils soient du premier degré, chose toujours vrai dans C et forcément moins dans R. En revanche est-ce que composé veut dire que ça peut être le produit de deux polynômes de degré différent de un?


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #17 - 11-10-2015 07:35:15

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

Le ploynome n²+n+1

Je ne saurais te donner une définition précise (prépa il y a 50 ans…).

 #18 - 11-10-2015 20:15:39

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

le poltnome n²+n+1

Pour le 2) on peut également remarquer que :

P(3k+1) = (9k²+6k+1) + (3k+1) + 1 = 9k² + 9k + 3 = 3 x (3k²+3k+1)

 #19 - 12-10-2015 10:38:13

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

le poltnome n²+n+1

Oui Titoufred. On peut en déduire que n²+n+1 n'est jamais divisible par 9.

 #20 - 17-10-2015 18:15:40

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Le polynoome n²+n+1

Je donne la soluce.
On suppose que pour un p donné, il peut exister 2 nombres a et b tels que:
a²+a+1=0 [p]
b²+b+1=0 [p] avec 1<=a<b<p.
La différence vaut:
b²-a²+b-a=0 [p]
(b-a)(b+a+1)=0 [p]
b-a<p donc b+a+1=0 [p]
b=p-a-1.
Pour un p qui divise le polynome, il y a 2 valeurs pour 1<=n<p-1.

Comme b+a=p-1, et a<b, alors a<=(p-1)/2 et donc p>=2a+1

Pour un n²+n+1=p1*p2, n ne peut être la valeur min. pour p1 et p2 en même temps. Si n était la valeur min pour p1 et p2, alors p1>=2n+1 et p2>=2n+1 donc le produit p1*p2>n²+n+1, donc impossible.
Conséquence: La valeur min de n pour lequel un p donné divise n²+n+1 ne peut être valeur min pour 2 nombres premiers. Donc, les nombres premiers se découvrent 1 à la fois dans l'ordre croissant de n. Comme c'est toujours un nombre 6k+1 ou 3(6k+1) attendu, Il ne peut y avoir de produit p1=6k-1 et p2=6j-1.

CQFD.

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez à la devinette suivante : 

Le père de toto a trois fils : Pim, Pam et ?

Sujets similaires

Sujet Date Forum
17-12-2010 Enigmes Mathématiques
P2T
12-07-2013 Enigmes Mathématiques
P2T
Une simplification ardue par papiauche
10-05-2008 Enigmes Mathématiques
P2T
1+1 par saluto
20-12-2010 Enigmes Mathématiques
P2T
Du binaire partout par scarta
20-07-2010 Enigmes Mathématiques
P2T
Somme de chiffres par papiauche
03-09-2008 Enigmes Mathématiques
P2T
Echecs 21 par Vasimolo
14-11-2012 Enigmes Mathématiques
P2T
D'entiers par looozer
09-07-2011 Enigmes Mathématiques
P2T
Dix fois cinq par darkcod03100
06-05-2011 Enigmes Mathématiques

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete