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 #1 - 06-10-2015 10:42:04

nodgim
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Le polynome nn²+n+1

Bonjour à tous,
Comme le titre l'indique, le sujet d'aujourd'hui est le polynome P(n)= n²+n+1, n entier naturel.

1) Montrer que les diviseurs premiers de P(n) appartiennent à une seule catégorie de premiers (+ une exception). Attention, ce n'est pas aussi simple qu'il n'y parait...

2) Montrer qu'il existe une catégorie de valeurs de n pour lesquelles P(n) est un nombre composé, catégorie qui est indépendante des nombres premiers. En déduire le calcul de P(n) pour cette catégorie.

3) Si un nombre premier p divise P(n), combien de fois p divise t' il P(n) quand n parcourt toutes les valeurs comprises entre 1 et p ? Justifier.

4) Les nombres premiers de la catégorie citée en 1) entrent ils tous dans la décomposition des P(n) ?

5) Y a t'il une infinité de P(n) premiers ? 

Bon amusement



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 #2 - 06-10-2015 18:49:35

shadock
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Le polyynome n²+n+1

J'ai fais trois ans de prépa mais je ne sais pas ce qu'un polynôme composé est hmm


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #3 - 06-10-2015 20:12:30

nodgim
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Le pollynome n²+n+1

A tous, suite à la remarque de Shadock: Quand j'ai écrit ...P(n) est composé, il faut lire: ...P(n) est un nombre composé. J'ai rectifié.

 #4 - 09-10-2015 22:30:09

shadock
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Le polynome n²+n++1

Bon et bien j'attends la solution.

P(n) = n2 + n + 41 est premier pour tous les nombres entiers positifs strictement inférieurs à 40 (bien sûr, si n est un multiple de 41, P(n) sera lui aussi un multiple de 41, et donc non premier). D'ailleurs, 41 est le plus grand « nombre chanceux d'Euler », c'est-à-dire le plus grand entier A pour lequel le polynôme n2 + n + A est premier pour tous les n strictement inférieurs à A – 1 ; cela résulte du théorème de Stark-Heegner, un résultat de la théorie des corps de classes qui n'a été démontré qu'en 1967.

shadock hmm


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #5 - 09-10-2015 23:28:12

fix33
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Le pollynome n²+n+1

1) Désolé, je ne sais pas non plus la particularité de la suite de nombres premiers :
3,7,13,19,31,37,43,61,73,157,211,241...
Ca commence comme si on en prenait un sur 2 mais non... OEIS sèche comme moi.

2)
4, 7, 9, 10, 11, 13, 16...
Idem hmm


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #6 - 10-10-2015 08:29:05

enigmatus
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Le pollynome n²+n+1

Bonjour,

1) Expérimentalement, il semble que l'on obtienne tous les nombres premiers congrus à 1 modulo 3 (à part 3)

Édité :
2) Si n est un carré, P[n) est composé, et vaut
(n+sqrt(n)+1)*(n-sqrt(n)+1)
La réciproque n'est pas vraie :
P(10) = 111 = 3*37

Édité (2) :
3) Toujours expérimentalement : 1 fois pour p==3, 2 fois pour p!=3

 #7 - 10-10-2015 09:55:31

nodgim
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Le polynome n+²n+1

ça me semble plus difficile que je ne pensais, à ce que je vois.
Je ne donne pas du temps supplémentaire, mais les réponses données peuvent constituer des indices aux autres.

A noter tout de même que Enigmatus a résolu (bravo pour sa perspicacité) la question 2) en remarquant que si n était un carré, P(n) était forcément composé. Mieux, mais ça n'a pas été vu, P(n) est dans ce cas un produit P(a)*P(b) qu'il reste à trouver, et à justifier.

Fix33 a établi un début de liste des nombres premiers, mais il n'a pas vu 67, ni 79, ni.....et donc il n'a pas vu la règle. Elle est pourtant très simple.
Un indice: p=3 est l'exception. En l'ôtant, ça devrait vous ouvrir les yeux. Sinon, et encore un indice important: Si p est l'un des premiers jumeaux ? 

Enigmatus a initialisé une réponse curieuse, avec p!=3. Sans doute faut il lire p différent de 3 ? Si oui c'est vrai, et ça reste à prouver, c'est court si on s'y prend bien.

Intéressez vous d'abord à la question 3), c'est la plus accessible. La théorie seule en vient à bout facilement. Expérimentalement, on peut conjecturer une règle.
La résolution de la question 1) passe par la résolution de la question 3), du moins dans ma démarche.

@Shadock: je ne sais pas quoi te répondre, étant donné que je ne connais pas le problème que tu exposes. Il est assez éloigné des questions posées ici.

Pour les questions 4) et 5): je n'ai pas la réponse. La question 4) semble assez accessible et la conjecture correcte, mais je ne l'ai pas encore. la question 5) est du même ordre de grandeur, en difficulté, que la preuve que toute expression de la forme an+b, a et b premiers entre eux, contient une infinité de premiers. 

Bon courage.

 #8 - 10-10-2015 12:25:40

enigmatus
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le oolynome n²+n+1

nodgim #7 a écrit:

Enigmatus a initialisé une réponse curieuse, avec p!=3. Sans doute faut il lire p différent de 3 ?

C'est exact (déformation informatique), mais je n'ai pas la démonstration.

Mieux, mais ça n'a pas été vu, P(n) est dans ce cas un produit P(a)*P(b) qu'il reste à trouver, et à justifier.

Si n=q**2, P(n) = (q**2-q+1)*(q**2+q+1)
donc P(n) = P(q)*P(-q)

 #9 - 10-10-2015 12:38:48

nodgim
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Le poolynome n²+n+1

ça rapproche Enigmatus, mais P(-q) n'est pas admis. Tu n'es pas loin....

 #10 - 10-10-2015 13:04:40

enigmatus
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Lee polynome n²+n+1

Tu pinailles…
La somme des racines de P(n) vaut -1, donc P(-q) = P(q-1).
Heureusement que q-1 a le bon goût d'etre positif ou nul.

 #11 - 10-10-2015 18:50:31

nodgim
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Le polynome n²²+n+1

C'est d'accord, Enigmatus, bravo ! Cela allait sans le dire pour toi, mais c'est mieux en le disant, surtout pour ceux qui le lisent et qui ne sont pas forcément familiarisés avec les modulos.

 #12 - 10-10-2015 18:53:03

nodgim
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Le polynme n²+n+1

Il ne reste plus qu'à trouver l'explication de la question 3) et revenir ensuite sur la question 1).
Courage.

 #13 - 10-10-2015 19:54:39

enigmatus
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le poltnome n²+n+1

shadock #2 a écrit:

je ne sais pas ce qu'un polynôme composé est

C'est un polynôme qui peut se décomposer en produit de polynômes.
Exemples :
x**2 - 3*x + 2 = (x-1)*(x-2)
x**2 + 1 n'est pas composé sur le corps des réels, mais il l'est sur celui des complexes (x+i)*(x-i)

 #14 - 10-10-2015 21:10:38

shadock
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L polynome n²+n+1

Moi j'appelle ça un polynôme scindé dans [latex]\mathbb{R}[/latex] smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #15 - 10-10-2015 22:38:25

enigmatus
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Le polynomme n²+n+1

shadock #14 a écrit:

Moi j'appelle ça un polynôme scindé dans R

Je ne connaissais pas cette appellation…

 #16 - 10-10-2015 22:59:39

shadock
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Le polynoe n²+n+1

Polynôme scindé : polynôme qui peut s'écrire comme produit de polynômes du premier degré. On l'utilise beaucoup en maths. Par exemple une matrice est diagonalisable si son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Il faut qu'ils soient du premier degré, chose toujours vrai dans C et forcément moins dans R. En revanche est-ce que composé veut dire que ça peut être le produit de deux polynômes de degré différent de un?


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #17 - 11-10-2015 07:35:15

enigmatus
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Le polynome n²+nn+1

Je ne saurais te donner une définition précise (prépa il y a 50 ans…).

 #18 - 11-10-2015 20:15:39

titoufred
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Le polynomee n²+n+1

Pour le 2) on peut également remarquer que :

P(3k+1) = (9k²+6k+1) + (3k+1) + 1 = 9k² + 9k + 3 = 3 x (3k²+3k+1)

 #19 - 12-10-2015 10:38:13

nodgim
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Le polnome n²+n+1

Oui Titoufred. On peut en déduire que n²+n+1 n'est jamais divisible par 9.

 #20 - 17-10-2015 18:15:40

nodgim
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Le polynome n²+n+

Je donne la soluce.
On suppose que pour un p donné, il peut exister 2 nombres a et b tels que:
a²+a+1=0 [p]
b²+b+1=0 [p] avec 1<=a<b<p.
La différence vaut:
b²-a²+b-a=0 [p]
(b-a)(b+a+1)=0 [p]
b-a<p donc b+a+1=0 [p]
b=p-a-1.
Pour un p qui divise le polynome, il y a 2 valeurs pour 1<=n<p-1.

Comme b+a=p-1, et a<b, alors a<=(p-1)/2 et donc p>=2a+1

Pour un n²+n+1=p1*p2, n ne peut être la valeur min. pour p1 et p2 en même temps. Si n était la valeur min pour p1 et p2, alors p1>=2n+1 et p2>=2n+1 donc le produit p1*p2>n²+n+1, donc impossible.
Conséquence: La valeur min de n pour lequel un p donné divise n²+n+1 ne peut être valeur min pour 2 nombres premiers. Donc, les nombres premiers se découvrent 1 à la fois dans l'ordre croissant de n. Comme c'est toujours un nombre 6k+1 ou 3(6k+1) attendu, Il ne peut y avoir de produit p1=6k-1 et p2=6j-1.

CQFD.

 

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