Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 11-10-2011 13:54:16

kotaryu
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 7

N^5 -

Salut cool
Prouvez moi que pour chaque n naturel que : (n^5 - n) est divisible par 10 smile
exemple : pour n = 2, on a 2^5 - 2 = 32 - 2 = 30 qui est divisible par 10 roll
bonne chance !



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 11-10-2011 14:03:14

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3766
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

^5 - n

Salut à toi,

Ta question ressemble furieusement à un devoir de math.

Montrer que [latex]n^5 - n = n (n - 1) (n + 1) (n^2 + 1)[/latex]
Montrer que c'est un multiple de 2
Montrer que c'est un multiple de 5
En déduire que c'est un multiple de 10

Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #3 - 11-10-2011 15:19:27

MOSTZ
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 16

N^5 -n

J'ai pensé à la récurrence mais c'est un peu trop bourrin
Sinon tu as une autre décomposition:
n^5–n = (n–2)(n–1)n(n+1)(n + 2) + 5n(n+1)(n-1), ça parle tout seul, ça revient certes au même que la formule de Klimrod

 #4 - 11-10-2011 15:21:55

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

N^ 5- n

On peut même démontrer que n^5 - n est divisible par 30.
La divisibilité par 5 est moins évidente que celles par 2 et 3.
A+

Edit: avec la formulation de MOSTZ, la divisibilité par 5 devient évidente aussi.

 #5 - 11-10-2011 15:33:58

Yuka2
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 31

N^5 - nn

La recurrence n'est pas tres elegante mais se fait aussi.

On developpe (n+1)^5-(n+1), on isole n^5-n et on factorise ce qui reste. Cela donne :

(n+1)^5-(n+1) = n^5 - n + 5n[2n(n+1) + (n^3 +1)]

Soit n est pair et donc 5n*[...] est divisible par 10.
Soit n est impair et donc n^3 +1 est pair et [2n(n+1) + (n^3 +1)] l'est aussi.

 #6 - 11-10-2011 15:41:02

MOSTZ
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 16

NN^5 - n

Merci, j'avais la flemme de la mettre sur papier wink
Je pourrais, je mettrais de la récurrence à toutes les sauces big_smile

 #7 - 11-10-2011 16:05:13

MOSTZ
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 16

N^ - n

certes pas très élégante, mais je trouve joli comment tu as factorisé ce qui reste en 5n[2n(n+1) + (n^3 +1)] et le petit raisonnement qu'il y a après,
alors que les deux autres formules (surtout la mienne) font plus "sorties d'un chapeau magique"

 #8 - 11-10-2011 16:37:54

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

N^ - n

Bonjour,

C'est vrai que ça ressemble furieusement à un exercice de spé maths... mais tant pis smile.

Je convoque Fermat et Gauss.

Le petit théorème de Fermat nous dit que :
"si p est premier et n non multiple de p, [latex]n^{p-1}-1[/latex] est divisible par p"
On en déduit immédiatement que :
"si p est premier et n quelconque,[latex] n^p-n [/latex]  est multiple de p"

On peut donc, puisque 5 est premier écrire que [latex]n^5-n[/latex] est divisible par 5

D'autre part, [latex]n^5-n=n(n-1)n(+1)(n^2+1)[/latex] comme cela a été écrit et le produit de deux entiers consécutifs est pair (et celui de trois entiers consécutifs est divisible par 3)
On a donc [latex]n^5-n[/latex] divisible par 2  (et par 3).


On termine en appliquant le théorème de Gauss qui dit
"si a est divisible par b et c premiers entre eux, il est divisible par leur produit."

[latex]n^5-n[/latex] est divisible par 2*5 = 10  (et même par 2*3*5=30)

 #9 - 11-10-2011 16:53:17

kotaryu
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 7

N^5 -n

Belle démonstration les gars, vraiment bien joué, pour vous dire je suis nouveau ici,  et je suis impressionné par la multitude des solutions que vous m'avez donné, j’espère que je pourrai rester ici parmi les génies roll 
Et désolé je suis faible en français, pardonnez moi si je fais des fautes parfois, je vous promettrai de poster d'autres exercices plus tard big_smile

 #10 - 11-10-2011 17:18:40

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

^5 - n

un peu plus basique :

0^5=0
1^5=1
2^5=32
3^5=243
4^5=1024
5^5=3125
6^5=7776
7^5=16807
8^5=32768
9^5=59049

donc n^5 = n mod10

C'est sûr que vu comme ça ça fait moins math spé...

 #11 - 11-10-2011 22:02:50

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

b^5 - n

Si on veut faire un peu plus maths-spé on peut dire que [latex]\mathbb{Z}/10 \mathbb{Z}^*[/latex] est d'ordre 4 big_smile

Vasimolo

 #12 - 11-10-2011 23:02:38

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3316

n^5 - b

Peut-être mais on peut aussi être compris par un petit nombre de gens, je dis ça..wink


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #13 - 11-10-2011 23:14:49

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

n^5 - b

C'est un peu ( beaucoup ) ce que je voulais dire smile

Vasimolo

 #14 - 14-10-2011 11:36:13

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 681

N^5 n

Le fait que le groupe multiplicatif [latex]\mathbb{Z}/10 \mathbb{Z}^*[/latex] soit d'ordre 4 entraîne d'après le théorème de Lagrange que  [latex]n^4-1[/latex] est divisible par 10 pour tout n premier à 10.
Il reste avec cette méthode à traiter le cas n non premier à 10. Il suffit de remarquer que [latex]2^5-2[/latex] et [latex]5^5-5[/latex] sont divisibles par 10.

Rappel. On note [latex]\mathbb{Z}/10 \mathbb{Z}^*[/latex] le groupe multiplicatif des éléments inversibles de l'anneau [latex]\mathbb{Z}/10 \mathbb{Z}[/latex] des entiers modulo 10.

 #15 - 14-10-2011 11:43:10

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

N^5 -n

http://www.tiresias.org/images/clasp_tupperware_1.jpg


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #16 - 14-10-2011 11:56:55

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1745

b^5 - n

http://www.webstaurantstore.com/plastic-pickle-bag-3-x-5-zip-lock-1000-box/plastic-pickle-bag-3-x-5-zip-lock-1000-box.jpg

ah zut, ce n'est pas le jeu de l'automne ici ?
bon, les réponses méritent quand même leur pesant de cacahuètes dans un sac ziplock ...

quoi, des noix de cajou ?


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #17 - 14-10-2011 15:14:53

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

N^5 -n

lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : 

Un berger a 30 moutons, ils meurent tous sauf 15, combien en reste-t-il ?

Sujets similaires

Mots clés des moteurs de recherche

Mot clé (occurences)
N^5-n divisible par 5 (23) — Demontrer que n^5-n est divisible par 5 (9) — A=n^5-n (5) — N n 4-1 multiple de 5 (4) — Enigme des radis et de l ane (3) — Montre n 5 n (3) — Montrer que n^5-n est divisible par 5 (3) — An=n^5-n divisible par 3 (3) — Comment montrer que n(n+5)(n+7) est un multiple de 2? (2) — N 5-n multiple de 5 (2) — Divisible par 30 (2) — N(n4-1) divisible par 5 (2) — Demontrer que n^5-n est divisibke par 30 (2) — Montrer que a est divisible par 5 (2) — Demonstration de n*5-n est divisible par 15 (2) — Demontrer que n^5-n est disible par 10 (2) — Demontrer que n5-n est un multiple de 5 (2) — N (n^4 ? 1)/5 (2) — N5-n divisible par 5 (1) — Demontrer que n^5-n (1) — 58 est un multiple de 5 (1) — Demonstration 2+2=5 (1) — 5n+10 multiple de 5 (1) — Montrer que n(n^4-1) est divisable par 5 (1) — N^5-n montrer que divisible par 23456 et 7 (1) — N^2-n multiple de 5 (1) — Demontrer que n^(5)-n est divisible par 5 (1) — A=n^5-n montrer que a est divisible par 5 (1) — Demontrer que n^5-n est un nombre positif (1) — N5 n divisible par 5 (1) — N^5-n divisible par 2 (1) — Ten7yet n 5 la (1) — Montrer que le produit (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) est multiple de cinq (1) — Demonstration de n(n^4-1) divisible par 5 (1) — En deduire que n^5-n est divisible par 30 (1) — Demontrer que n^5-n est un multiple de 5 (1) — N^5-n multiple de 5 (1) — N^5-n divisible par 30 recurrence (1) — Montrer que n2 est divisible par 5 (1) — Le produit de deux entiers consecutifs est 240 (1) — Montrer que n 5 n est divisible par 5 (1) — N^5-n est un multipe de 5 (1) — Prouver n^5-n divisible par3 (1) — Demontrer que pour tout n -3n^2+11n+4 est divisible par n-4 (1) — Montrer que n^5-n est divisible par 2 (1) — N5 - n (1) — Demontrer que n^5-n est divisible par 30 (1) — Montrons par recurence que n^5-n est un multiple de 5 (1) — 2+2=5 demonstration (1) — Demontrer que an n 5 n est divisible par 3 (1) — Montrer que n5-n est divisible par 240 (1) — A=n^2-n montrer que a est divisible par 5 (1) — Montrer que n(5n^2+1) est divisible par 3 (1) — Devient divisible par 5 (1) — Montrer que n^5-n est un multiple de 5 (1) — Demontrer que a = n 5 - n est divisible par 5 (1) — N5-n est divisible par 5 (1) — 2+2=5 with demostration (1) — Soit n>1 montrer que n^5-n est un multiple de 5 (1) — Soit an=n^5-n. demontrer que an esr un multiple de 3 (1) — Montrer que n(n4-1) est un multiple de 5 (1) — Montrer que est divisible par 7 (1) — Montrer que n^5-n est un multiple de 3 (1) — Montrer que n2-1 est divisible par 5 (1) — Montrer que n 5 n est divisible par 30 (1) — N^5-n est divisible par30 petit theoreme de fermat (1) — Montrer n^5-1 est divisible par 5 (1) — N2+1 divisible par 5 (1) — Montrer que n^5-n est divisible par 30 par la reccurrence (1) — Demontrer que n^5-n divisible par 30 (1) — N^5-n est divisible par 10 (1) —

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete