Salut à toi,

Ta question ressemble furieusement à un devoir de math.

Montrer que [latex]n^5 - n = n (n - 1) (n + 1) (n^2 + 1)[/latex]
Montrer que c'est un multiple de 2
Montrer que c'est un multiple de 5
En déduire que c'est un multiple de 10

Klim.

On peut même démontrer que n^5 - n est divisible par 30.
La divisibilité par 5 est moins évidente que celles par 2 et 3.
A+

Edit: avec la formulation de MOSTZ, la divisibilité par 5 devient évidente aussi.

Merci, j'avais la flemme de la mettre sur papier
Je pourrais, je mettrais de la récurrence à toutes les sauces

Bonjour,

C'est vrai que ça ressemble furieusement à un exercice de spé maths... mais tant pis .

Je convoque Fermat et Gauss.

Le petit théorème de Fermat nous dit que :
"si p est premier et n non multiple de p, [latex]n^{p-1}-1[/latex] est divisible par p"
On en déduit immédiatement que :
"si p est premier et n quelconque,[latex] n^p-n [/latex]  est multiple de p"

On peut donc, puisque 5 est premier écrire que [latex]n^5-n[/latex] est divisible par 5

D'autre part, [latex]n^5-n=n(n-1)n(+1)(n^2+1)[/latex] comme cela a été écrit et le produit de deux entiers consécutifs est pair (et celui de trois entiers consécutifs est divisible par 3)
On a donc [latex]n^5-n[/latex] divisible par 2  (et par 3).


On termine en appliquant le théorème de Gauss qui dit
"si a est divisible par b et c premiers entre eux, il est divisible par leur produit."

[latex]n^5-n[/latex] est divisible par 2*5 = 10  (et même par 2*3*5=30)

un peu plus basique :

0^5=0
1^5=1
2^5=32
3^5=243
4^5=1024
5^5=3125
6^5=7776
7^5=16807
8^5=32768
9^5=59049

donc n^5 = n mod10

C'est sûr que vu comme ça ça fait moins math spé...

Peut-être mais on peut aussi être compris par un petit nombre de gens, je dis ça..

Le fait que le groupe multiplicatif [latex]\mathbb{Z}/10 \mathbb{Z}^*[/latex] soit d'ordre 4 entraîne d'après le théorème de Lagrange que  [latex]n^4-1[/latex] est divisible par 10 pour tout n premier à 10.
Il reste avec cette méthode à traiter le cas n non premier à 10. Il suffit de remarquer que [latex]2^5-2[/latex] et [latex]5^5-5[/latex] sont divisibles par 10.

Rappel. On note [latex]\mathbb{Z}/10 \mathbb{Z}^*[/latex] le groupe multiplicatif des éléments inversibles de l'anneau [latex]\mathbb{Z}/10 \mathbb{Z}[/latex] des entiers modulo 10.

ah zut, ce n'est pas le jeu de l'automne ici ?
bon, les réponses méritent quand même leur pesant de cacahuètes dans un sac ziplock ...

quoi, des noix de cajou ?