Enigmes

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 #1 - 09-09-2010 18:09:26

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 946

Une bonne notte

Je mets une bonne note à quiconque me calcule cette valeur :
[TeX]n=\sqrt{28+10\sqrt{3}}+\sqrt{28-10\sqrt{3}}[/TeX]
... avec la preuve, bien sûr !



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Réponse :

Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.
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 #2 - 09-09-2010 18:47:13

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 119

une bonbe note

Alors alors,
[TeX]n=\sqrt{28+10\sqrt{3}}+\sqrt{28-10\sqrt{3}}
n^2=(\sqrt{28+10\sqrt{3}}+\sqrt{28-10\sqrt{3}})^2
n^2=(\sqrt{28+10\sqrt{3}})^2+2*\sqrt{28+10\sqrt{3}}*\sqrt{28-10\sqrt{3}} + (\sqrt{28-10\sqrt{3}})^2
n^2=28+10\sqrt{3}+2*\sqrt{(28+10\sqrt{3})(28-10\sqrt{3})}+28-10\sqrt{3}
n^2=56+2*\sqrt{28^2-(10\sqrt{3})^2}
n^2=56+2*\sqrt{784-300}
n^2=56+44
n^2=100
n=10[/TeX]
On ne prend pas [latex]n=-10[/latex], car [latex]n[/latex] est la somme de deux racines carrés de l'ensemble des réels, [latex]n[/latex] est donc positif.

Enigme... enfin... exercice très sympa ! wink

 #3 - 09-09-2010 18:54:18

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

unz bonne note

On peut montrer facilement que [latex]28 - 10 \sqrt{3}[/latex] est positif, grâce au fait que [latex]\sqrt{3} < \sqrt{4} = 2[/latex] par exemple, et donc montrer que [latex]n[/latex] existe.
[TeX]n[/latex] est forcément positif, en tant que somme de racines carrées. Calculons [latex]n^2[/latex] :

[latex]\begin{align} n^2 &= \left( \sqrt{28 + 10 \sqrt{3}} + \sqrt{28 - 10 \sqrt{3}} \right) ^2 \\
&= (28 + 10 \sqrt{3}) + (28 - 10 \sqrt{3}) + 2 \sqrt{28 + 10 \sqrt{3}} \sqrt{28 - 10 \sqrt{3}} \\
&= 56 + 2 \sqrt{\left(28 + 10 \sqrt{3}\right) \left(28 - 10 \sqrt{3}\right)} \\
&= 56 + 2 \sqrt{ 28^2 - \left(10 \sqrt{3} \right)^2} \\
&= 56 + 2 \sqrt{484} \\
&= 56 + 44 \\
&= 100 \\
n^2 &= 10^2
\end{align}[/TeX]
Donc [latex]n=10[/latex].


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 09-09-2010 20:12:47

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

UUne bonne note

On a  [latex](\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b})^2=a+b+a-b+2\sqrt{(a+b)(a-b)}=2(a+\sqrt{a^2-b^2})[/latex].

Ici a= 28, donc a²=784 et b²= 300 et donc a²-b² = 484=4*121=22² et encore donc
[TeX]n^2=2(28+\sqrt 22^2)=100[/TeX]
et comme n est la somme de deux racines carrés alors n est positif et donc n= -10 est exclu
donc n=10.
Bref la rrroutine habituel quoi smile


Il y a sûrement plus simple.

 #5 - 09-09-2010 22:34:26

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1926
Lieu: UK

une nonne note

l'astuce est de retrouver les carrés cachés sous les racines :
[TeX]28=25+3=5^2+sqrt3^2[/TeX]
ce qui donne
[TeX]28 +/- 10\sqrt3 = (5^2+/- 2*5\sqrt3 + sqrt3^2)=(5+/-sqrt3)^2[/TeX]
et donc
[latex]n=5+sqrt3+5-sqrt3=10[/latex] cool


The proof of the pudding is in the eating.

 #6 - 09-09-2010 22:59:15

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Une bone note

... avec la preuve, bien sûr !

Ah, là c'est tout de suite plus dur lol


http://enigmusique.blogspot.com/

 #7 - 09-09-2010 23:21:27

gelule
Expert de Prise2Tete
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Messages : 778

Uen bonne note

alors tu peux donner 10 à ma calculette tongue

 #8 - 09-09-2010 23:26:37

rivas
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1105
Lieu: Jacou

une binne note

J'ai toujours aimé ça smile
En plus ça m'a rememoré un truc très proche mais "bizarre", voir plus bas.
Mais puisqu'il faut en passer par là:
[TeX]n^2=28+10\sqrt{3}+28-10\sqrt{3}+2\sqrt{(28+10\sqrt{3})(28-10\sqrt{3})}[/latex] (on applique [latex](a+b)^2=a^2+b^2+2ab[/latex])

[latex]n^2=56+2\sqrt{28^2-3.100}[/latex] (sous la racine on applique [latex](a-b)(a+b)=a^2-b^2[/latex])

et donc [latex]n^2=100[/latex] et [latex]n=10[/latex].

Bon maintenant que j'ai fait mes devoirs à la maison, voici la version que je connaissais (pas pour les enfants smile):

[latex]\sqrt{3+4\sqrt{-1}}+\sqrt{3-4\sqrt{-1}}=4[/TeX]
que l'on montre de la même façon que ci-dessus en utilisant uniquement les règles algébriques habituelles malgré le manque de "sens" dans cette écriture.

Amusant.

 #9 - 10-09-2010 00:17:46

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
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Messages : 2213

Une bonnne note

[TeX](\sqrt{28+10\sqrt{3}} + \sqrt{28-10\sqrt{3}})^{2} =
(28+10\sqrt{3})+2\sqrt{(28+10\sqrt{3})(28-10\sqrt{3})}+(28-10\sqrt{3}) =
56 + 2\sqrt{784-300} = 56 + 2\sqrt{484}=56+2\time22 = 56+44 =
100[/TeX]
Comme une somme de racines carrées est forcément positive, blablabla :
[TeX]\sqrt{28+10\sqrt{3}} + \sqrt{28-10\sqrt{3}} = sqrt{100} = 10[/TeX]

 #10 - 10-09-2010 04:31:48

Lagaway
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 34
Lieu: Colombie

Une bnone note

Bonjour,

on élève l'expression (qui est positive) au carré, on simplifie en utilisant les identités remarquables pour finalement obtenir l'expression suivante :

n² = 56 + 2V484 = 56 + 2V22² = 56 + 44 = 100

On en déduit n = 10

 #11 - 10-09-2010 06:04:07

emmaenne
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3070
Lieu: Au sud du Nord

Une bonen note

((28 + (10 * (3^(1 / 2))))^(1 / 2)) + ((28 - (10 * (3^(1 / 2))))^(1 / 2)) = 10 me dit google, ce n'est peut être pas la preuve que tu attends big_smile


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #12 - 10-09-2010 08:38:03

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Uen bonne note

10, parce que j'ai essayé 20 et ça ne marchait pas !!!!

pour la justification... on va élever tout ça au carré, et utiliser toutes les inégalités remarquables connues wink et tomber sur 100.

 #13 - 10-09-2010 10:05:21

gdezz
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 8

Une bonne not

En passant par n au carré, on obtient 100 : n = 10 ou -10
mais comme n = somme de 2 racine carrés, n est > 0.
( quoique je ne suis pas sûr que 28-10sqrt(3) soit positif... )

Donc n = 10.

 #14 - 10-09-2010 12:43:14

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3002
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Une bonne noet

si on eleve l'expression n=√(28+10×√3)+√(28−10×√3) au carré, on obtient:
n^2 = 28+10×√3+28−10×√3+2√(28^2-300)
que l'on simplifie:
n^2 = 28+28+2×√(484) = 56+44=100
si n^2 = 100, n = 10 ou n = -10
puis on verifie que l'expression donne 10, et non pas -10

Tres joli.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #15 - 10-09-2010 13:32:48

Papy04
Ricocheur en Chef
Enigmes résolues : 47
Messages : 1244

Ue bonne note

Je pense que pour un vrai matheux ce n'est pas très rigoureux mais je passe par le carré de n pour recalculer n.
J'ai un petit problème avec l'écriture des équations alors je triche un peu:

J'appelle a et b les deux termes qui constituent n
n au carré = a au carré + b au carré + 2ab
a au carré + b au carré donne 56
2ab = 2 fois (racine de 28 au carré -(10 racine de 3) au carré) soit  2*(784 - 300), soit encore 44
On a donc n au carré = 56 + 44 = 100
Et n = 10


Nous les souiris nous avons un défaut, nous sommes prétentieux. Mais nous nous sommes corrigés. Maintenant nous sommes parfaits

 #16 - 10-09-2010 17:52:26

san1016
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1

Une bone note

N=2\sqrt{23}
n2=(a+b)2 avec a=\sqrt{28+10\sqrt{3}}
et b=\sqrt{28-10\sqrt{3}}
donc n2=a2+2ab+b2
et a2=28+10\sqrt{3}   b2=28-10\sqrt{3}
soit a2+b2=56
2ab=2\sqrt{28+10\sqrt{3}}\sqrt{28-10\sqrt{3}}
2ab=2\sqrt{(28+10\sqrt{3})*{28-10\sqrt{3}}}
2ab=2\sqrt{784-300}
2ab=44
D’où n2=56+44
          n2=100
Soit n=10

 #17 - 10-09-2010 19:37:23

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4773

yne bonne note

[TeX]n[/latex] est positif et en élevant au carré :

[latex]n^2=(28+10\sqrt{3})+(28-10\sqrt{3})+2\sqrt{(28+10\sqrt{3})(28-10\sqrt{3})}[/TeX][TeX]n^2=56+2\sqrt{784-300}=56+2\sqrt{484}=56+44=100[/TeX]
Donc [latex]n=10[/latex] , plutôt médiocre si c'est noté sur 20 lol

Vasimolo

 #18 - 10-09-2010 21:13:49

HAMEL
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2405
Lieu: Paris

Un bonne note

Il suffit d'élever au carré et de faire le calcul.
n=10


-C'est curieux chez les marins ce besoin de faire des phrases !

 #19 - 11-09-2010 10:20:18

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

UUne bonne note

heu je pense pas reussir


Un promath- actif dans un forum actif

 #20 - 11-09-2010 10:20:30

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Une bonne notee

elle est tres dure


Un promath- actif dans un forum actif

 #21 - 11-09-2010 10:20:37

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Une bnne note

non?


Un promath- actif dans un forum actif

 #22 - 11-09-2010 22:39:37

rom1504
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3

une vonne note

n=sqrt(28+10sqrt(3))+sqrt(28-10sqrt(3))
donc n²=2sqrt((28+10sqrt(3))(28-10sqrt(3)))+2*28
n²=2sqrt(28²-300)+56
n²=2sqrt(484)+56
n²=44+56
n²=100
n=10 ( ou -10 mais exclu car sqrt est positive )

 #23 - 11-09-2010 22:48:54

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1470

UUne bonne note

[TeX]
(sqrt{28 + 10 sqrt{3}} + sqrt{28 - 10 sqrt{3}})^2 = \\
28 + 10.sqrt(3) + 28 - 10.sqrt(3) + 2 sqrt{(28 + 10 sqrt{3}).(28 - 10 sqrt{3})} = \\
56 + 2 sqrt{28^2 - 3.10^2} = \\
100
[/TeX]
Comme la somme de 2 racines est nécessairement positive, la réponse est 10 et pas -10.

 #24 - 12-09-2010 17:09:53

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 564

une bonne nore

On élève au carré (a+b)², suivi d'une simplification (a+b)(a-b) sous la racine formée par 2ab. Et voili voilou. Merci d'avoir posté un problème à la portée du commun des mortels smile

La réponse est 10.

 #25 - 12-09-2010 18:09:46

Diego
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3

Unne bonne note

Tu fais N2 (au carré) et tu développe
Si le premier terme =A et le 2ème=B
tu as n2= A2 +B2 + 2AB
= 56 + 44
= 100
d'ou n = 10

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