Enigmes

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 #1 - 09-09-2010 18:09:26

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 933

Une bonne not

Je mets une bonne note à quiconque me calcule cette valeur :
[TeX]n=\sqrt{28+10\sqrt{3}}+\sqrt{28-10\sqrt{3}}[/TeX]
... avec la preuve, bien sûr !



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Réponse :

Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.
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 #2 - 09-09-2010 18:47:13

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 119

ube bonne note

Alors alors,
[TeX]n=\sqrt{28+10\sqrt{3}}+\sqrt{28-10\sqrt{3}}
n^2=(\sqrt{28+10\sqrt{3}}+\sqrt{28-10\sqrt{3}})^2
n^2=(\sqrt{28+10\sqrt{3}})^2+2*\sqrt{28+10\sqrt{3}}*\sqrt{28-10\sqrt{3}} + (\sqrt{28-10\sqrt{3}})^2
n^2=28+10\sqrt{3}+2*\sqrt{(28+10\sqrt{3})(28-10\sqrt{3})}+28-10\sqrt{3}
n^2=56+2*\sqrt{28^2-(10\sqrt{3})^2}
n^2=56+2*\sqrt{784-300}
n^2=56+44
n^2=100
n=10[/TeX]
On ne prend pas [latex]n=-10[/latex], car [latex]n[/latex] est la somme de deux racines carrés de l'ensemble des réels, [latex]n[/latex] est donc positif.

Enigme... enfin... exercice très sympa ! wink

 #3 - 09-09-2010 18:54:18

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Ue bonne note

On peut montrer facilement que [latex]28 - 10 \sqrt{3}[/latex] est positif, grâce au fait que [latex]\sqrt{3} < \sqrt{4} = 2[/latex] par exemple, et donc montrer que [latex]n[/latex] existe.
[TeX]n[/latex] est forcément positif, en tant que somme de racines carrées. Calculons [latex]n^2[/latex] :

[latex]\begin{align} n^2 &= \left( \sqrt{28 + 10 \sqrt{3}} + \sqrt{28 - 10 \sqrt{3}} \right) ^2 \\
&= (28 + 10 \sqrt{3}) + (28 - 10 \sqrt{3}) + 2 \sqrt{28 + 10 \sqrt{3}} \sqrt{28 - 10 \sqrt{3}} \\
&= 56 + 2 \sqrt{\left(28 + 10 \sqrt{3}\right) \left(28 - 10 \sqrt{3}\right)} \\
&= 56 + 2 \sqrt{ 28^2 - \left(10 \sqrt{3} \right)^2} \\
&= 56 + 2 \sqrt{484} \\
&= 56 + 44 \\
&= 100 \\
n^2 &= 10^2
\end{align}[/TeX]
Donc [latex]n=10[/latex].


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 09-09-2010 20:12:47

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Une bnne note

On a  [latex](\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b})^2=a+b+a-b+2\sqrt{(a+b)(a-b)}=2(a+\sqrt{a^2-b^2})[/latex].

Ici a= 28, donc a²=784 et b²= 300 et donc a²-b² = 484=4*121=22² et encore donc
[TeX]n^2=2(28+\sqrt 22^2)=100[/TeX]
et comme n est la somme de deux racines carrés alors n est positif et donc n= -10 est exclu
donc n=10.
Bref la rrroutine habituel quoi smile


Il y a sûrement plus simple.

 #5 - 09-09-2010 22:34:26

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

ube bonne note

l'astuce est de retrouver les carrés cachés sous les racines :
[TeX]28=25+3=5^2+sqrt3^2[/TeX]
ce qui donne
[TeX]28 +/- 10\sqrt3 = (5^2+/- 2*5\sqrt3 + sqrt3^2)=(5+/-sqrt3)^2[/TeX]
et donc
[latex]n=5+sqrt3+5-sqrt3=10[/latex] cool


The proof of the pudding is in the eating.

 #6 - 09-09-2010 22:59:15

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

une bonne notr

... avec la preuve, bien sûr !

Ah, là c'est tout de suite plus dur lol


http://enigmusique.blogspot.com/

 #7 - 09-09-2010 23:21:27

gelule
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 778

ne bonne note

alors tu peux donner 10 à ma calculette tongue

 #8 - 09-09-2010 23:26:37

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

UUne bonne note

J'ai toujours aimé ça smile
En plus ça m'a rememoré un truc très proche mais "bizarre", voir plus bas.
Mais puisqu'il faut en passer par là:
[TeX]n^2=28+10\sqrt{3}+28-10\sqrt{3}+2\sqrt{(28+10\sqrt{3})(28-10\sqrt{3})}[/latex] (on applique [latex](a+b)^2=a^2+b^2+2ab[/latex])

[latex]n^2=56+2\sqrt{28^2-3.100}[/latex] (sous la racine on applique [latex](a-b)(a+b)=a^2-b^2[/latex])

et donc [latex]n^2=100[/latex] et [latex]n=10[/latex].

Bon maintenant que j'ai fait mes devoirs à la maison, voici la version que je connaissais (pas pour les enfants smile):

[latex]\sqrt{3+4\sqrt{-1}}+\sqrt{3-4\sqrt{-1}}=4[/TeX]
que l'on montre de la même façon que ci-dessus en utilisant uniquement les règles algébriques habituelles malgré le manque de "sens" dans cette écriture.

Amusant.

 #9 - 10-09-2010 00:17:46

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
Enigmes résolues : 49
Messages : 2211

Une bonne nnote

[TeX](\sqrt{28+10\sqrt{3}} + \sqrt{28-10\sqrt{3}})^{2} =
(28+10\sqrt{3})+2\sqrt{(28+10\sqrt{3})(28-10\sqrt{3})}+(28-10\sqrt{3}) =
56 + 2\sqrt{784-300} = 56 + 2\sqrt{484}=56+2\time22 = 56+44 =
100[/TeX]
Comme une somme de racines carrées est forcément positive, blablabla :
[TeX]\sqrt{28+10\sqrt{3}} + \sqrt{28-10\sqrt{3}} = sqrt{100} = 10[/TeX]

 #10 - 10-09-2010 04:31:48

Lagaway
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 34
Lieu: Colombie

Une bonne not

Bonjour,

on élève l'expression (qui est positive) au carré, on simplifie en utilisant les identités remarquables pour finalement obtenir l'expression suivante :

n² = 56 + 2V484 = 56 + 2V22² = 56 + 44 = 100

On en déduit n = 10

 #11 - 10-09-2010 06:04:07

emmaenne
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3058
Lieu: Au sud du Nord

nUe bonne note

((28 + (10 * (3^(1 / 2))))^(1 / 2)) + ((28 - (10 * (3^(1 / 2))))^(1 / 2)) = 10 me dit google, ce n'est peut être pas la preuve que tu attends big_smile


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #12 - 10-09-2010 08:38:03

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

nUe bonne note

10, parce que j'ai essayé 20 et ça ne marchait pas !!!!

pour la justification... on va élever tout ça au carré, et utiliser toutes les inégalités remarquables connues wink et tomber sur 100.

 #13 - 10-09-2010 10:05:21

gdezz
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 8

Une bonnne note

En passant par n au carré, on obtient 100 : n = 10 ou -10
mais comme n = somme de 2 racine carrés, n est > 0.
( quoique je ne suis pas sûr que 28-10sqrt(3) soit positif... )

Donc n = 10.

 #14 - 10-09-2010 12:43:14

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

une bonne bote

si on eleve l'expression n=√(28+10×√3)+√(28−10×√3) au carré, on obtient:
n^2 = 28+10×√3+28−10×√3+2√(28^2-300)
que l'on simplifie:
n^2 = 28+28+2×√(484) = 56+44=100
si n^2 = 100, n = 10 ou n = -10
puis on verifie que l'expression donne 10, et non pas -10

Tres joli.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #15 - 10-09-2010 13:32:48

Papy04
Ricocheur en Chef
Enigmes résolues : 47
Messages : 1234

Une boonne note

Je pense que pour un vrai matheux ce n'est pas très rigoureux mais je passe par le carré de n pour recalculer n.
J'ai un petit problème avec l'écriture des équations alors je triche un peu:

J'appelle a et b les deux termes qui constituent n
n au carré = a au carré + b au carré + 2ab
a au carré + b au carré donne 56
2ab = 2 fois (racine de 28 au carré -(10 racine de 3) au carré) soit  2*(784 - 300), soit encore 44
On a donc n au carré = 56 + 44 = 100
Et n = 10


Nous les souiris nous avons un défaut, nous sommes prétentieux. Mais nous nous sommes corrigés. Maintenant nous sommes parfaits

 #16 - 10-09-2010 17:52:26

san1016
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1

ube bonne note

N=2\sqrt{23}
n2=(a+b)2 avec a=\sqrt{28+10\sqrt{3}}
et b=\sqrt{28-10\sqrt{3}}
donc n2=a2+2ab+b2
et a2=28+10\sqrt{3}   b2=28-10\sqrt{3}
soit a2+b2=56
2ab=2\sqrt{28+10\sqrt{3}}\sqrt{28-10\sqrt{3}}
2ab=2\sqrt{(28+10\sqrt{3})*{28-10\sqrt{3}}}
2ab=2\sqrt{784-300}
2ab=44
D’où n2=56+44
          n2=100
Soit n=10

 #17 - 10-09-2010 19:37:23

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

une bonne notr

[TeX]n[/latex] est positif et en élevant au carré :

[latex]n^2=(28+10\sqrt{3})+(28-10\sqrt{3})+2\sqrt{(28+10\sqrt{3})(28-10\sqrt{3})}[/TeX][TeX]n^2=56+2\sqrt{784-300}=56+2\sqrt{484}=56+44=100[/TeX]
Donc [latex]n=10[/latex] , plutôt médiocre si c'est noté sur 20 lol

Vasimolo

 #18 - 10-09-2010 21:13:49

HAMEL
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2405
Lieu: Paris

une binne note

Il suffit d'élever au carré et de faire le calcul.
n=10


-C'est curieux chez les marins ce besoin de faire des phrases !

 #19 - 11-09-2010 10:20:18

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Une bonen note

heu je pense pas reussir


Un promath- actif dans un forum actif

 #20 - 11-09-2010 10:20:30

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

une bobne note

elle est tres dure


Un promath- actif dans un forum actif

 #21 - 11-09-2010 10:20:37

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Une bonn note

non?


Un promath- actif dans un forum actif

 #22 - 11-09-2010 22:39:37

rom1504
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3

unr bonne note

n=sqrt(28+10sqrt(3))+sqrt(28-10sqrt(3))
donc n²=2sqrt((28+10sqrt(3))(28-10sqrt(3)))+2*28
n²=2sqrt(28²-300)+56
n²=2sqrt(484)+56
n²=44+56
n²=100
n=10 ( ou -10 mais exclu car sqrt est positive )

 #23 - 11-09-2010 22:48:54

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1434

une bonne bote

[TeX]
(sqrt{28 + 10 sqrt{3}} + sqrt{28 - 10 sqrt{3}})^2 = \\
28 + 10.sqrt(3) + 28 - 10.sqrt(3) + 2 sqrt{(28 + 10 sqrt{3}).(28 - 10 sqrt{3})} = \\
56 + 2 sqrt{28^2 - 3.10^2} = \\
100
[/TeX]
Comme la somme de 2 racines est nécessairement positive, la réponse est 10 et pas -10.

 #24 - 12-09-2010 17:09:53

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Une boonne note

On élève au carré (a+b)², suivi d'une simplification (a+b)(a-b) sous la racine formée par 2ab. Et voili voilou. Merci d'avoir posté un problème à la portée du commun des mortels smile

La réponse est 10.

 #25 - 12-09-2010 18:09:46

Diego
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3

UUne bonne note

Tu fais N2 (au carré) et tu développe
Si le premier terme =A et le 2ème=B
tu as n2= A2 +B2 + 2AB
= 56 + 44
= 100
d'ou n = 10

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