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 #1 - 06-09-2013 16:06:17

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

le vieux dossier de grand-pète : n°4

Le 4 n'est jamais loin du trois smile
Voici la série 4; relativement prenable comme la 3 donc je mets 48h; ca devrait largement suffire big_smile

Soient A, B et C des entiers naturels non nuls.

Si ABC+AB+AC+BC+A+B+C=1000 alors quelles est la valeur du rapport ABC/(A+B+C)? (le produit sur la somme).

Réponse à valider sous la forme la plus simplifiée X/Y où X et Y sont des entiers naturels. Exemple: rapport = 4 alors je valide 4/1; rapport=3/6 alors je valide 1/2.

Comme proposé par un participant, j'ajoute ceci: JUSTIFIEZ VOS REPONSES wink

Bonne chance et merci pour la participation lol



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 #2 - 06-09-2013 16:23:39

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2708
Lieu: Luxembourg

Le vieux dossier de Grand-èPre : N°4

On a: (A+1)(B+1)(C+1) = ABC+AB+BC+AC+A+B+C+1
d'où: (A+1)(B+1)(C+1) = 1001 = 7 x 11 x 13
Soit A ou B ou C = 0 et ABC/(A+B+C) = 0 = 0/1
Soit A ou B ou C = 6 ou 10 ou 12, donc ABC/(A+B+C) = 720/28 = 180/7
180/7 est validé par la case réponse, mais 0/1 ne devrait pas être faux

 #3 - 06-09-2013 16:32:06

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3761
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

le vieux dossier dz grand-père : n°4

Salut,

Le triplet (A, B, C) vaut (6, 10, 12).
En conséquence, P/S vaut 180/7.

Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #4 - 06-09-2013 16:53:31

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Le vieux dossier de Gand-Père : N°4

BRAVO Franky1103 et klimrod

Franky1103, tu as raison pour l'autre possibilité. Je vais ajouter une petite contrainte supplémentaire dans l’énoncé pour avoir l'unicité du résultat. Merci smile

 #5 - 06-09-2013 18:17:28

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

le vieux dossirr de grand-père : n°4

[mode fainéant on] Si ce rapport est fixe, il suffit de trouver un exemple :

6 10 12

on a , dans ce cas : abc/(a+b+c)= 720 / 28 = 180/7 Validé par la case réponse.

 #6 - 06-09-2013 18:18:15

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Le vieux dossier de Grand-Père : NN°4

(a+1)(b+1)(c+1)=abc+ab+ac+bc+a+b+c+1=1001=7*11*13

donc {a,b,c}={6,10,12} et [latex]\frac{abc}{a+b+c}=\frac{180}{7}[/latex]

 #7 - 06-09-2013 18:48:41

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Le vieux dossier de rGand-Père : N°4

180/7.
Il n'y a qu'une solution avec le triplet (6,10,12).

 #8 - 06-09-2013 19:24:30

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

Le vieux dosssier de Grand-Père : N°4

[mode un peu de réflexion ouvert]

(avec tableur)

a<=b<=c

donc a<=10

a= 1 b<=31   on déduit c (non entier)
a=2 1<b<=22 ...
a=3  2<b<= 18
a=4 3<b<=15
a=5 4<b<=14
a=6 5<b<= 12
a=7 6<b<=11
a=8 7<b<=11
a=9 8<b<=10
a=10 ça ne marche pas

108 solutions potentielles, il semble qu'elle soit unique...

 #9 - 06-09-2013 19:32:14

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 301
Lieu: Montargis

le vieux dossier de frand-père : n°4

gwen27: oui, la solution est unique. Dans ta déduction de c en fonction de a et b connus, note quand même qu'il te faut des entiers naturels non nuls et donc, il y a des divisibilités à ne pas négliger wink

 #10 - 06-09-2013 19:41:53

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

Le vieux dossier ed Grand-Père : N°4

C'est vrai ! smile Même dans mon choix de a et b d'ailleurs...

Avec trois nombres impairs, par exemple, la somme ne risque pas de faire 1000 vu que l'on sommera 7 nombres impairs.

Avec deux impairs, idem.

Avec 1 nombre impair : idem...

Ils doivent donc tous être pairs, c'est sûr que ça limite la recherche, même si elle reste empirique. (Je ne tiens pas à résoudre les équations.)

Plus que 29 cas à tester.

 #11 - 06-09-2013 20:28:43

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

le voeux dossier de grand-père : n°4

Que de bonnes réponses pour le moment, bravo à tous!
Courage gwen27 si tu trouves d'autres triplets, logiquement non mais bon...peu de vérités sont acquises wink

 #12 - 06-09-2013 20:40:16

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

le vieux dossizr de grand-père : n°4

A part 0 0 1000 qui est une évidence avec pour réponse 0/1 , mais il me semble que c'est l'objet de l'édition que tu as faite ... il me reste juste à tester avec a= 0  et b et c strictement positifs.

 #13 - 06-09-2013 20:58:15

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Le vieux doossier de Grand-Père : N°4

Ok, gwen27. Mais comme indiqué a, b et c sont non nuls. c'est cette condition de non nullité qui rend unique la solution wink

 #14 - 06-09-2013 20:58:56

lol37
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 68

Le vieu xdossier de Grand-Père : N°4

ce problème ne pose pas de challenge car il est solvable instantanément par un logiciel de calcul formel du style Maple ou Mathematica.
en plus de la réponse tu devrais demander comment arriver au résultat !

 #15 - 06-09-2013 21:32:33

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

le vieux dossoer de grand-père : n°4

lol37 a écrit:
ce problème ne pose pas de challenge car il est solvable instantanément par un logiciel de calcul formel du style Maple ou Mathematica.
en plus de la réponse tu devrais demander comment arriver au résultat !

Tu as raison, les logiciels peuvent faire beaucoup de choses mais le challenge ici n'est pas la réponse mais la capacité de la trouver. si tu utilises Maple ou Mathematica pour donner la réponse, moi je te féliciterai mais en seras-tu vraiment fier? De toute manière, presque toutes les réponses proposées pour le moment sont justifiées.

 #16 - 06-09-2013 22:48:25

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Le ieux dossier de Grand-Père : N°4

Dans la suite, chaque ligne est équivalente à celle du dessus.

ABC + AB + AC + BC + A + B + C = 1000
A(BC + B + C + 1) + BC + B + C = 1000
A(B(C+1) + (C+1)) + B(C+1) + C = 1000
A(B+1)(C+1) + B(C+1) + C = 1000
A(B+1)(C+1) + B(C+1) + C + 1 = 1001
A(B+1)(C+1) + (B+1)(C+1) = 1001
(A+1)(B+1)(C+1) = 7 * 11 * 13.

La décomposition en facteur premier étant unique, nous avons :
ABC = 6 * 10 * 12  et A + B + C = 6 + 10 + 12 = 28 = 7 * 4.

et donc ABC/(A+B+C) = 6 * 10 * 3 * 4 / 7 * 4 = 180/7

Ce problème est tout simplement magnifique, merci smile


Il y a sûrement plus simple.

 #17 - 06-09-2013 23:13:53

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

Le vieu dossier de Grand-Père : N°4

Effectivement, sans nombre nul, la solution est unique.  La preuve "mathématique" sera  donnée (ou pas) par les autres, j'ai juste la preuve au cas par cas à proposer.

 #18 - 06-09-2013 23:16:27

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

Le iveux dossier de Grand-Père : N°4

Ça ressemble à un exercice de sur les racines d'un polynôme sauf que là bas on n'a pas le polynôme lol

Alors on a :
[TeX]\sigma_1=a+b+c[/TeX]
[TeX]\sigma_2=ab+bc+ca[/TeX]
[TeX]\sigma_3=abc[/TeX]
Notre polynôme est donc de la forme [latex]P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)[/latex]

Et ce qu'on cherche c'est [latex]\frac{\sigma_3}{\sigma_1}[/latex]

Et après...


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #19 - 07-09-2013 00:11:08

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Le viux dossier de Grand-Père : N°4

cogito: que du plaisir à lire tes réponses, BRAVO.
gwen27: oui, il y a une démonstration mathématique de l'unicité de la solution wink
shadock: Excellente remarque, il n'y a plus que la réponse qui manque lol

 #20 - 07-09-2013 11:32:22

Eliot
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 2

le vieux sossier de grand-père : n°4

ABC+AB+BC+AC+A+B+C=(A+1)(B+1)(C+1)-1=1000
1001=7x11x13
A=6 B=10 C=12
ABC/(A+B+C)=720/28=180/7

 #21 - 07-09-2013 12:42:56

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Le vieux dossier de Grand-Pèree : N°4

OUI Eliot smile

 #22 - 07-09-2013 14:45:33

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

Le vieux dsosier de Grand-Père : N°4

Avec un programme informatique faisant varier
A de 1 à 1000
B de A à 1000
C de B à 1000
on trouve que la seule solution est
A=6, B=10, C=12 d'où ABC/(A+B+C)=180/7
En attendant une justification "à la main" du résultat...

JUSTIFICATION "à la main".
En développant (A+1)*(B+1)*(C+1), on trouve que
ABC+AB+AC+BC+A+B+C=1000
est équivalent à
(A+1)*(B+1)*(C+1) = 1001

Chaque facteur du 1er membre est >=2.
Or la décomposition en facteurs premiers de 1001 est 1001=7*11*13
D'où (en supposant A<=B<=C) on en déduit
A=6, B=10, C=12
et ABC/(A+B+C) = 720/28 = 180/7

PS Si l'on ne suppose pas A<=B<=C, on trouve 6 solutions [A,B,C] qui donnent toutes la même valeur pour ABC/(A+B+C) car les diverses solutions [A,B,C] se déduisent les unes des autres par permutation.

 #23 - 07-09-2013 16:44:38

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Le vieux dossier de Grad-Père : N°4

masab: BRAVO. Bonne remarque, la réponse cherchée est le rapport et c'est ce rapport qui est unique quel que soit l'ordre de grandeur entre A, B et C; ce que tu as d'ailleurs précisé à la fin wink

 #24 - 08-09-2013 08:46:16

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Le vieux dossier de Grand-Père : N4°

On remarque que
(A+1)(B+1)(C+1)=ABC+AB+AC+BC+A+B+C+1
donc (A+1)(B+1)(C+1)=1001=7*11*13
A, B et C étant non nuls, ils sont égals à (6,10,12)
Le rapport ABC/(A+B+C)=180/7


The proof of the pudding is in the eating.

 #25 - 08-09-2013 09:26:09

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

le vieux sossier de grand-père : n°4

L'unicité de la solution peut se déduire par le fait que la fonction se réécrit:
(a+1)((b+1)c+b)+a.
On prend la précaution d'avoir c>=b>=a, pour éviter les inversions dans le triplet.
Plus simple encore, ça se ramène à kc+k-1 avec k=(a+1)(b+1)
Avec le triplet 6 10 12 =a, b, c, on a a+1=7 et b+1=11
k=7*11=77 et 1000=77*12+76 (ou encore 7*11*13-1)
on ne peut pas décomposer 77 autrement.
La solution est donc unique.

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