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#1 - 06-09-2013 16:06:17
- kossi_tg
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le vieux dossier de grand-pèrr : n°4
#2 - 06-09-2013 16:23:39
- Franky1103
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Le vieux dossier de Grand-Pèrre : N°4
On a: (A+1)(B+1)(C+1) = ABC+AB+BC+AC+A+B+C+1 d'où: (A+1)(B+1)(C+1) = 1001 = 7 x 11 x 13 Soit A ou B ou C = 0 et ABC/(A+B+C) = 0 = 0/1 Soit A ou B ou C = 6 ou 10 ou 12, donc ABC/(A+B+C) = 720/28 = 180/7 180/7 est validé par la case réponse, mais 0/1 ne devrait pas être faux
#3 - 06-09-2013 16:32:06
- Klimrod
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Le vieux dossier de Grand-Père : °4
Salut,
Le triplet (A, B, C) vaut (6, 10, 12). En conséquence, P/S vaut 180/7.
Klim.
J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.
#4 - 06-09-2013 16:53:31
- kossi_tg
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Le vieux dossie de Grand-Père : N°4
BRAVO Franky1103 et klimrod
Franky1103, tu as raison pour l'autre possibilité. Je vais ajouter une petite contrainte supplémentaire dans l’énoncé pour avoir l'unicité du résultat. Merci
#5 - 06-09-2013 18:17:28
- gwen27
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le vieux dosqier de grand-père : n°4
[mode fainéant on] Si ce rapport est fixe, il suffit de trouver un exemple :
6 10 12
on a , dans ce cas : abc/(a+b+c)= 720 / 28 = 180/7 Validé par la case réponse.
#6 - 06-09-2013 18:18:15
- titoufred
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le vieux dissier de grand-père : n°4
(a+1)(b+1)(c+1)=abc+ab+ac+bc+a+b+c+1=1001=7*11*13
donc {a,b,c}={6,10,12} et [latex]\frac{abc}{a+b+c}=\frac{180}{7}[/latex]
#7 - 06-09-2013 18:48:41
- nodgim
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le virux dossier de grand-père : n°4
180/7. Il n'y a qu'une solution avec le triplet (6,10,12).
#8 - 06-09-2013 19:24:30
- gwen27
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Le vieux dosssier de Grand-Père : N°4
[mode un peu de réflexion ouvert]
(avec tableur)
a<=b<=c
donc a<=10
a= 1 b<=31 on déduit c (non entier) a=2 1<b<=22 ... a=3 2<b<= 18 a=4 3<b<=15 a=5 4<b<=14 a=6 5<b<= 12 a=7 6<b<=11 a=8 7<b<=11 a=9 8<b<=10 a=10 ça ne marche pas
108 solutions potentielles, il semble qu'elle soit unique...
#9 - 06-09-2013 19:32:14
- kossi_tg
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Le vieux dossier dee Grand-Père : N°4
gwen27: oui, la solution est unique. Dans ta déduction de c en fonction de a et b connus, note quand même qu'il te faut des entiers naturels non nuls et donc, il y a des divisibilités à ne pas négliger
#10 - 06-09-2013 19:41:53
- gwen27
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Le vieux dossier de Gand-Père : N°4
C'est vrai ! Même dans mon choix de a et b d'ailleurs...
Avec trois nombres impairs, par exemple, la somme ne risque pas de faire 1000 vu que l'on sommera 7 nombres impairs.
Avec deux impairs, idem.
Avec 1 nombre impair : idem...
Ils doivent donc tous être pairs, c'est sûr que ça limite la recherche, même si elle reste empirique. (Je ne tiens pas à résoudre les équations.)
Plus que 29 cas à tester.
#11 - 06-09-2013 20:28:43
- kossi_tg
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Le viuex dossier de Grand-Père : N°4
Que de bonnes réponses pour le moment, bravo à tous! Courage gwen27 si tu trouves d'autres triplets, logiquement non mais bon...peu de vérités sont acquises
#12 - 06-09-2013 20:40:16
- gwen27
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Le vieux dossier de Grand-Pèr : N°4
A part 0 0 1000 qui est une évidence avec pour réponse 0/1 , mais il me semble que c'est l'objet de l'édition que tu as faite ... il me reste juste à tester avec a= 0 et b et c strictement positifs.
#13 - 06-09-2013 20:58:15
- kossi_tg
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le vieux dossirr de grand-père : n°4
Ok, gwen27. Mais comme indiqué a, b et c sont non nuls. c'est cette condition de non nullité qui rend unique la solution
#14 - 06-09-2013 20:58:56
- lol37
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le vieux dossiee de grand-père : n°4
ce problème ne pose pas de challenge car il est solvable instantanément par un logiciel de calcul formel du style Maple ou Mathematica. en plus de la réponse tu devrais demander comment arriver au résultat !
#15 - 06-09-2013 21:32:33
- kossi_tg
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le vieux dossier de grand-oère : n°4
lol37 a écrit: ce problème ne pose pas de challenge car il est solvable instantanément par un logiciel de calcul formel du style Maple ou Mathematica. en plus de la réponse tu devrais demander comment arriver au résultat !
Tu as raison, les logiciels peuvent faire beaucoup de choses mais le challenge ici n'est pas la réponse mais la capacité de la trouver. si tu utilises Maple ou Mathematica pour donner la réponse, moi je te féliciterai mais en seras-tu vraiment fier? De toute manière, presque toutes les réponses proposées pour le moment sont justifiées.
#16 - 06-09-2013 22:48:25
- cogito
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le vieux dosdier de grand-père : n°4
Dans la suite, chaque ligne est équivalente à celle du dessus.
ABC + AB + AC + BC + A + B + C = 1000 A(BC + B + C + 1) + BC + B + C = 1000 A(B(C+1) + (C+1)) + B(C+1) + C = 1000 A(B+1)(C+1) + B(C+1) + C = 1000 A(B+1)(C+1) + B(C+1) + C + 1 = 1001 A(B+1)(C+1) + (B+1)(C+1) = 1001 (A+1)(B+1)(C+1) = 7 * 11 * 13.
La décomposition en facteur premier étant unique, nous avons : ABC = 6 * 10 * 12 et A + B + C = 6 + 10 + 12 = 28 = 7 * 4.
et donc ABC/(A+B+C) = 6 * 10 * 3 * 4 / 7 * 4 = 180/7
Ce problème est tout simplement magnifique, merci
Il y a sûrement plus simple.
#17 - 06-09-2013 23:13:53
- gwen27
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Le vieux dossire de Grand-Père : N°4
Effectivement, sans nombre nul, la solution est unique. La preuve "mathématique" sera donnée (ou pas) par les autres, j'ai juste la preuve au cas par cas à proposer.
#18 - 06-09-2013 23:16:27
- shadock
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le vieix dossier de grand-père : n°4
Ça ressemble à un exercice de sur les racines d'un polynôme sauf que là bas on n'a pas le polynôme
Alors on a : [TeX]\sigma_1=a+b+c[/TeX] [TeX]\sigma_2=ab+bc+ca[/TeX] [TeX]\sigma_3=abc[/TeX] Notre polynôme est donc de la forme [latex]P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)[/latex]
Et ce qu'on cherche c'est [latex]\frac{\sigma_3}{\sigma_1}[/latex]
Et après...
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#19 - 07-09-2013 00:11:08
- kossi_tg
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cogito: que du plaisir à lire tes réponses, BRAVO. gwen27: oui, il y a une démonstration mathématique de l'unicité de la solution shadock: Excellente remarque, il n'y a plus que la réponse qui manque
#20 - 07-09-2013 11:32:22
- Eliot
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le vieux dossier de hrand-père : n°4
ABC+AB+BC+AC+A+B+C=(A+1)(B+1)(C+1)-1=1000 1001=7x11x13 A=6 B=10 C=12 ABC/(A+B+C)=720/28=180/7
#21 - 07-09-2013 12:42:56
- kossi_tg
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Le vieux dossier de Grand-Pèère : N°4
OUI Eliot
#22 - 07-09-2013 14:45:33
- masab
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le vieux dossier de grabd-père : n°4
Avec un programme informatique faisant varier A de 1 à 1000 B de A à 1000 C de B à 1000 on trouve que la seule solution est A=6, B=10, C=12 d'où ABC/(A+B+C)=180/7 En attendant une justification "à la main" du résultat...
JUSTIFICATION "à la main". En développant (A+1)*(B+1)*(C+1), on trouve que ABC+AB+AC+BC+A+B+C=1000 est équivalent à (A+1)*(B+1)*(C+1) = 1001
Chaque facteur du 1er membre est >=2. Or la décomposition en facteurs premiers de 1001 est 1001=7*11*13 D'où (en supposant A<=B<=C) on en déduit A=6, B=10, C=12 et ABC/(A+B+C) = 720/28 = 180/7
PS Si l'on ne suppose pas A<=B<=C, on trouve 6 solutions [A,B,C] qui donnent toutes la même valeur pour ABC/(A+B+C) car les diverses solutions [A,B,C] se déduisent les unes des autres par permutation.
#23 - 07-09-2013 16:44:38
- kossi_tg
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masab: BRAVO. Bonne remarque, la réponse cherchée est le rapport et c'est ce rapport qui est unique quel que soit l'ordre de grandeur entre A, B et C; ce que tu as d'ailleurs précisé à la fin
#24 - 08-09-2013 08:46:16
- franck9525
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Le vieux dosssier de Grand-Père : N°4
On remarque que (A+1)(B+1)(C+1)=ABC+AB+AC+BC+A+B+C+1 donc (A+1)(B+1)(C+1)=1001=7*11*13 A, B et C étant non nuls, ils sont égals à (6,10,12) Le rapport ABC/(A+B+C)=180/7
The proof of the pudding is in the eating.
#25 - 08-09-2013 09:26:09
- nodgim
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Le vieux dossire de Grand-Père : N°4
L'unicité de la solution peut se déduire par le fait que la fonction se réécrit: (a+1)((b+1)c+b)+a. On prend la précaution d'avoir c>=b>=a, pour éviter les inversions dans le triplet. Plus simple encore, ça se ramène à kc+k-1 avec k=(a+1)(b+1) Avec le triplet 6 10 12 =a, b, c, on a a+1=7 et b+1=11 k=7*11=77 et 1000=77*12+76 (ou encore 7*11*13-1) on ne peut pas décomposer 77 autrement. La solution est donc unique.
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