Alors alors,
[TeX]n=\sqrt{28+10\sqrt{3}}+\sqrt{28-10\sqrt{3}}
n^2=(\sqrt{28+10\sqrt{3}}+\sqrt{28-10\sqrt{3}})^2
n^2=(\sqrt{28+10\sqrt{3}})^2+2*\sqrt{28+10\sqrt{3}}*\sqrt{28-10\sqrt{3}} + (\sqrt{28-10\sqrt{3}})^2
n^2=28+10\sqrt{3}+2*\sqrt{(28+10\sqrt{3})(28-10\sqrt{3})}+28-10\sqrt{3}
n^2=56+2*\sqrt{28^2-(10\sqrt{3})^2}
n^2=56+2*\sqrt{784-300}
n^2=56+44
n^2=100
n=10[/TeX]
On ne prend pas [latex]n=-10[/latex], car [latex]n[/latex] est la somme de deux racines carrés de l'ensemble des réels, [latex]n[/latex] est donc positif.

Enigme... enfin... exercice très sympa !

On a  [latex](\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b})^2=a+b+a-b+2\sqrt{(a+b)(a-b)}=2(a+\sqrt{a^2-b^2})[/latex].

Ici a= 28, donc a²=784 et b²= 300 et donc a²-b² = 484=4*121=22² et encore donc
[TeX]n^2=2(28+\sqrt 22^2)=100[/TeX]
et comme n est la somme de deux racines carrés alors n est positif et donc n= -10 est exclu
donc n=10.
Bref la rrroutine habituel quoi

... avec la preuve, bien sûr !

Ah, là c'est tout de suite plus dur

J'ai toujours aimé ça
En plus ça m'a rememoré un truc très proche mais "bizarre", voir plus bas.
Mais puisqu'il faut en passer par là:
[TeX]n^2=28+10\sqrt{3}+28-10\sqrt{3}+2\sqrt{(28+10\sqrt{3})(28-10\sqrt{3})}[/latex] (on applique [latex](a+b)^2=a^2+b^2+2ab[/latex])

[latex]n^2=56+2\sqrt{28^2-3.100}[/latex] (sous la racine on applique [latex](a-b)(a+b)=a^2-b^2[/latex])

et donc [latex]n^2=100[/latex] et [latex]n=10[/latex].

Bon maintenant que j'ai fait mes devoirs à la maison, voici la version que je connaissais (pas pour les enfants ):

[latex]\sqrt{3+4\sqrt{-1}}+\sqrt{3-4\sqrt{-1}}=4[/TeX]
que l'on montre de la même façon que ci-dessus en utilisant uniquement les règles algébriques habituelles malgré le manque de "sens" dans cette écriture.

Amusant.

Bonjour,

on élève l'expression (qui est positive) au carré, on simplifie en utilisant les identités remarquables pour finalement obtenir l'expression suivante :

n² = 56 + 2V484 = 56 + 2V22² = 56 + 44 = 100

On en déduit n = 10

10, parce que j'ai essayé 20 et ça ne marchait pas !!!!

pour la justification... on va élever tout ça au carré, et utiliser toutes les inégalités remarquables connues et tomber sur 100.

si on eleve l'expression n=√(28+10×√3)+√(28−10×√3) au carré, on obtient:
n^2 = 28+10×√3+28−10×√3+2√(28^2-300)
que l'on simplifie:
n^2 = 28+28+2×√(484) = 56+44=100
si n^2 = 100, n = 10 ou n = -10
puis on verifie que l'expression donne 10, et non pas -10

Tres joli.

N=2\sqrt{23}
n2=(a+b)2 avec a=\sqrt{28+10\sqrt{3}}
et b=\sqrt{28-10\sqrt{3}}
donc n2=a2+2ab+b2
et a2=28+10\sqrt{3}   b2=28-10\sqrt{3}
soit a2+b2=56
2ab=2\sqrt{28+10\sqrt{3}}\sqrt{28-10\sqrt{3}}
2ab=2\sqrt{(28+10\sqrt{3})*{28-10\sqrt{3}}}
2ab=2\sqrt{784-300}
2ab=44
D’où n2=56+44
          n2=100
Soit n=10

Il suffit d'élever au carré et de faire le calcul.
n=10

elle est tres dure

n=sqrt(28+10sqrt(3))+sqrt(28-10sqrt(3))
donc n²=2sqrt((28+10sqrt(3))(28-10sqrt(3)))+2*28
n²=2sqrt(28²-300)+56
n²=2sqrt(484)+56
n²=44+56
n²=100
n=10 ( ou -10 mais exclu car sqrt est positive )

On élève au carré (a+b)², suivi d'une simplification (a+b)(a-b) sous la racine formée par 2ab. Et voili voilou. Merci d'avoir posté un problème à la portée du commun des mortels

La réponse est 10.