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 #1 - 03-08-2010 00:58:16

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Gâeau 20

Bonsoir smile

Depuis mon dernier défi mon pâtissier ne me quitte plus , il a même invité toute la famille à goûter : un beau gâteau aux couleurs choisies pour les enfants , les maris et les femmes . 
http://img192.imageshack.us/img192/1722/gteau20perspective.jpg
Nous avons parlé de tout et de rien ( surtout de rien ) mais au moment de nous quitter le pâtissier m’a glissé à l’oreille :

« Tu as bien sûr remarqué que le gâteau rendait hommage à nos familles à travers le chiffre 7 : 7 parts identiques + 7 cm d'épaisseur = 14 gâteaux qui font un cube . »

Je n'ai pas trop su quoi répondre , les marques d'affections me mettent toujours mal à l'aise et l’ésotérisme m'emmer… bref j'ai rien compris .

Arrivé à la maison , je me suis remémoré le gâteau avec ses parts identiques , les arêtes , nombres entiers de centimètres , certainement que l'arête du  cube évoqué par mon hôte avait la même particularité .

… et j’ai réussi à retrouver les tailles des parts de gâteau que nous avions dégustées .

A votre tour de les retrouver ( rester raisonnables ) .

Vasimolo

Pour vous aider , je mets en réponse le volume des parts en cm3



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 #2 - 03-08-2010 11:37:06

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Gâtteau 20

Soient :
- a l'arête du cube (formé par 14 gâteaux)
- Vp le volume d'une part (d'un gâteau)

On a :  14x7xVp  = a^3

a est entier. Vp doit être entier, car les parts sont des parallélépipèdes de longueur, largeur et hauteur entières.

Les plus petites possibilités sont :
a = 14 ; Vp = 28 = 2^2 x 7
a = 28 ; Vp = 224 = 2^5 x 7
a = 42 ; Vp = 756 = 2^2 x 3^3 x 7

Or, les parts sont de hauteur 7, et leurs largeur (l) et longueur (L) doivent respecter l'égalité 4.l = 3.L (vu l'agencement des parts sur l'image).
Les deux premières possibilités ne nous donnent pas l et L entiers.
La troisième possibilité nous donne des parts de taille h=7, L=12 et l=9 !
http://www.prise2tete.fr/upload/LeSingeMalicieux-gateau20-1.PNG
...et donc un gâteau de 36x21x7cm.


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #3 - 03-08-2010 12:47:07

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 933

âteau 20

Une part mesure a*b*7 où a>b.
D'après le dessin 3*a=4*b.
3 et 4 étant premiers entre eux, a=4k et b=3k.
Mais 14*7*7ab est un cube.
Donc 14*7*4k*3k est un cube.
La valeur entière minimale est k=3 .

Chaque part mesure donc 12 cm de long, 9 cm de large et 7 cm de haut soit 756 cm³.
Vous avez un bon appétit !

Épilogue : Le pâtissier ne pourra cependant pas mettre 14 gâteaux dans un carton cubique de 42 cm de côté bien qu'il dispose des 74088 cm³ nécessaires. Le grand côté de 36 cm ne laisse que 6 cm... Question à résoudre : un cube de 43 cm de côté suffit-il ?

(épi)²-logue : ... à moins de découper ces gâteaux en parts big_smile


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #4 - 03-08-2010 15:30:00

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Gâteau 02

7 parts identiques forment un gâteau  qui est fait 7 cm d’épaisseur. Le volume total de la grosse gourmandise est donc de 7x7xAxB avec A et B étant les arêtes d’une part. Une fois arrangés, les 7 parts de 14 gâteaux peuvent former un cube de cote C. Ainsi 14x7×7AB=C^3

Le volume d’une seule part de gâteau est donc 7AB ou encore C^3/98. A, B et C sont des valeurs entières. AB est donc entier ce qui implique C^3/98 aussi.
Pour qu’il soit possible de découper un gâteau en 7 parts identiques, comme le montre le Vasimolo’s schéma, 4A=3B

Ceci donne, A=3B/4 et 7AB=C^3/98 => B^2=4C^3/2058. La première solution est B=12 ce qui est déjà une sérieuse part de gâteau. Le volume d’une part est donc 7x9x12=756cm3 ou 2814 kcal pour une recette légère. cool

Le gâteau entier mesure 21x36x7, une belle pièce !

Nous voilà maintenant avec 98 parallélépipèdes de 7x9x12cm pour arranger en un cube de 42cm de côté. Moi qui n'aimais déjà pas les gâteaux… mad


The proof of the pudding is in the eating.

 #5 - 03-08-2010 15:31:17

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Gâtea u20

Un petit bonus inspiré par scrablor :

Les 14 gâteaux en l'état ne peuvent pas constituer le cube , il faut donc les découper pour y parvenir . On suppose que les découpes se font en nombres entiers de centimètres .

Questions :

1°) Si on découpe les 14 gâteaux en parts toutes identiques , quel est le nombre minimal de parts nécessaire pour former le cube ?

2°) Si on découpe les gâteaux indépendemment les uns des autres quel le nombre minimal de parts nécessaire pour former le cube ?

Vasimolo

 #6 - 03-08-2010 18:53:44

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

Gâteau 2

J'avoue ne rien comprendre à l'énoncé... Je ne suis pas à l'aise non plus avec l'ésotérisme wink

Il y a 1 gâteau ou 14 gâteaux? En quoi peut-on se fier au dessin? Je nage complètement hmm

 #7 - 03-08-2010 21:02:17

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

GGâteau 20

Vasimolo ne laisse jamais apprenti dans le pétrin!

Après quelques explications de sa part roll et si j'ai bien compris :

Volume du gâteau = 7ab (a et b étant la longueur et la largeur)

Volume de 14 gâteaux = 14 x 7ab

Comme 2 x 7 x 7ab devant être un cube, ab = 2² x 7 x n³ (n est un naturel)

Donc ab = 28n³ ce qui donne comme possibilités :

ab = 28 x 1 = 28
ab = 28 x 8 = 224
ab = 28 x 27 = 756 (bonne réponse!)
ab = 28 x 64 = 1792
ab = ...

Le gâteau a donc un volume de 756 x 7 = 5292
Le cube formé par 14 gâteau a un volume de 5292 x 14 = 74088 = 42³

L'aire de la face supérieure d'une part (si on ne fait que des coupes verticales) vaut donc 756 : 7 = 108.

En imaginant que les parts sont rectangulaires, on peut avoir comme dimensions (par 7cm de haut) :

1 x 108
2 x 54
3 x 36
4 x 27
6 x 18
9 x 12

 #8 - 03-08-2010 21:39:37

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Gâteau 200

Pour les deux questions super-top-bonus inspirées par mon bon voisin Vôôgien, je vais, comme j'en avais l'habitude lorsqu'une énigme me plaisait beaucoup, répondre en image.

http://www.prise2tete.fr/upload/LeSingeMalicieux-gateau20-2.PNG

PS : A noter que j'ai fait cela de façon intuitive, et que je n'ai pas cherché de démonstration mathématique (et que donc je peux me tromper).

PPS : A noter que je viens de me rendre compte (en relisant mon post avant de l'envoyer), que je me suis planté sur la compréhension de la première question ultra-supra-bonus de scrablor. Mais vu qu'il reste encore une cinquante d'heures pour la résoudre, cela peut faire l'objet d'une nouvelle question maxi-top-bonus ! A toi de voir Vasimolo smile
Celle-ci pourrait commencer par "Si on coupe les quatorze gâteaux de façon identique..."

PPPS : A noter que vivent les gâteaux, et vive P2T !!! smile

PPPPS : A noter que le matheux du site (non MthS je ne te dénonce pas), boude les gâteaux. Faudrait ajouter du rhum dedans pour qu'il s'y intéresse je pense tongue

PPPPPS : A noter que je vais continuer de réfléchir à la question 1 de scrablor smile

PPPPPPS : T'as vu kosmo ? Moi je ne floode pas, je rajoute tout ce que j'ai à dire dans le même post big_smile

PPPPPPPS : Cette dernière remarque vaut également pour MthS lol


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #9 - 03-08-2010 21:41:23

schaff60
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 175

Gâtaeu 20

Si x et y sont les côtés de chaque part on doit avoir:

4x = 3y
x+y doit être entier, et donc x+y est multiple de 7
4x(x+y) =a^3, avec a entier

un petit coup d'excel et on trouve vite x=6, y=8 et le gâteau fait 36 x 21 cm ce qui donne un volume de 2352 cm3 et 756 pour chaque part. Et on peut faire un cube de 42 cm de coté avec 15 gâteaux.

Pour le découpage du cube on peut le faire avec des parts de 6 x 21 ce qui fait 84 parts. Et pour les parts non identiques j'ai une solution en 24 parts (12 gâteaux entiers et 12 parts de 6x21).

Mais je ne sais pas si c'est minimal dans les 2 cas.sad


Un truisme inepte, chamarré d'une phraséologie spécieuse, se diapre subséquemment des apparats d'un apophtegme

 #10 - 03-08-2010 22:27:55

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Gâteau 220

96 parts peuvent être arrangées telles quelles en 6 tranches de 7cm d’épaisseur. Ceci laisse deux parts à découper pour insérer dans le trou de 6x6 au milieu. Le 7x9x12 devient deux 7x6x6 et deux 7x3x6 qui se glissent au centre du monument.

http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-gato20.png

Alternativement, le gâteau pourrait être découpé en 6 parts égales, tant pis pour la symbolique, de 21x6cm sur toujours 7cm d’épaisseur. Ces parts s’arrangent facilement pour former le cube demandé.


The proof of the pudding is in the eating.

 #11 - 04-08-2010 00:37:49

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Gtâeau 20

J'avoue tout de suite que je n'ai pas tout lu ( il vous inspire ce gâteau tongue ) , on verra ça demain .

En attendant , un 3me Bonus proposé par notre SingeMalicieux smile

3°) Les 14 gâteaux sont découpés de la même façon mais pas forcément en parts égales . Quel est le minimum de parts pour reconstituer le cube avec les différents morceaux .

Vasimolo

 #12 - 04-08-2010 01:07:04

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

âteau 20

Allez pour un bonus 4°)

4°) On part des 14 gâteaux déjà découpés en 7 parts égales comme sur le modèle . Quel est le nombre minimal de coupes à pratiquer pour reconstituer le cube ?

Les meilleures réponses déjà fournies .

Bonus 1 : schaff avec 84 parts ( on doit pouvoir faire mieux ) .
Bonus 2 : LeSinge et schaff 24 parts ( on doit pouvoir faire mieux ) .
Bonus 3 : LeSinge 28 parts ( on ne peut pas faire mieux ) .
Bonus 4 : franck 104 ( seulement deux parts coupées , difficile à battre ) .

Avis aux amateurs big_smile

Vasimolo

 #13 - 04-08-2010 15:12:48

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 933

Gâtau 20

Vous avez oublié les 14 sachets de sucre vanillé !
Le carton sera donc de 43*42*42, on peut faire deux empilements de 6 gâteaux chacun, placer verticalement les deux derniers gâteaux, sans rien couper.
Dans la partie restante, de 7*42*6, on pourra disposer aisément les sachets de sucre.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #14 - 04-08-2010 18:57:03

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Gâteua 20

Pour le bonus 1, je ne fais pas mieux que schaff avec 84 parts.
Pour cela, je découpe mes gâteaux comme dans ma démonstration du bonus 2 (voir mon précédent post).

Pour le bonus 4, je suis sur le problème ! Les coupes doivent-elles être entières ?


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #15 - 05-08-2010 00:47:55

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

gâteai 20

Scrablor est disqualifié pour introduction de sachets de produits stupéfiants big_smile

Vasimolo

 #16 - 05-08-2010 19:52:44

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

âGteau 20

Vasimolo a écrit:

Bonus 4 : franck 100 ( seulement deux parts coupées en deux , difficile à battre )

Superbe résultat yikes
J'ai hâte de le voir !

De mon côté, je ne fais pas mieux que 104 parts...


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #17 - 05-08-2010 20:24:39

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Gtâeau 20

J'avais lu et répondu trop vite sad

Bonus 4 : 104 parts franck et LeSinge ... smile

Il reste peu de temps , s'il y a des amateurs pour du rab n'hésitez pas à sonner le cuisinier pâtissier smile

Vasimolo

 #18 - 05-08-2010 22:26:34

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

âGteau 20

Ah bon ?
Alors je vous présente ma démo pour le bonus 4. Je pensais vraiment être hors course.

Désolé de vous obliger à chausser des lunettes, mais je tâche à ne pas faire un post de 15km de haut. (déjà qu'il en fait 10...)
http://www.prise2tete.fr/upload/LeSingeMalicieux-gateau20-4.PNG


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #19 - 06-08-2010 06:20:33

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Gâtea 20

LeSingeMalicieux a écrit:

PPPPPPS : T'as vu kosmo ? Moi je ne floode pas, je rajoute tout ce que j'ai à dire dans le même post big_smile

Avec 5 posts dans le même fil lollollol

WII : en tout cas cela fait plaisir de te revoir ici.


http://enigmusique.blogspot.com/

 #20 - 06-08-2010 09:29:35

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Gâteauu 20

Un sujet qui vous a bien inspiré smile

Il fallait voir que la largeur d'une part était les 3/4 de la longueur et le reste venait tout seul .

Peut-on améliorer les résultats des bonus ???

Merci pour la participation et les jolis dessins smile

Vasimolo

 #21 - 06-08-2010 09:57:47

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

Gâteau 02

Joli problème sur lequel j'ai totalement ramé pour comprendre l'énoncé roll

Voilà seulement que je me rend compte que le dessin du gâteau de Vasimolo était contraignant. Je vais me reposer un peu avant le prochain gâteau lol

 

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