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 #1 - 17-09-2010 14:40:56

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 792

Probabilités : tirage d''un nombre aléatoire supérieur à un autre

Il est souvent proposé, lorsqu'un jeu commence, de lancer les dés : dans la plupart des jeux le premier joueur est avantagé, et on admet que ce premier lancer est équiprobable.
Pour connaitre qui commence le jeu, le premier joueur réalise donc un score de référence que le second doit battre.

Qu'en est-il de ce premier lancer ? Supposons un cas plus large j'ai un tas de 1000 cartes numérotées de 1 à 1000. Deux joueurs tirent une carte (sans remise) chacun à leur tour et dès que le la carte tirée est inférieure à celle de l'adversaire le jeu se termine, le dernier joueur a perdu.

Quelle est la probabilité de gagner du joueur 1, et celle du joueur 2 ?

(Remarquez que le fait qu'il n'y ai pas de remise élimine le cas d'égalité qui peut apparaître en utilisant un dé, le jeu devient inéquitable).



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 #2 - 17-09-2010 23:35:49

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1932
Lieu: UK

Probabilités : tirage d'un nombre aléatoier supérieur à un autre

Avec simplement 2 cartes, numérotées 1 et 2, les chances sont équitables 50/50. Augmenter le nombre de cartes dans le talon ne change rien au résultat.

Dès lors qu'un premier tirage est statistiquement aléatoire, toute suite d’évènement a une égale chance de se réaliser.


The proof of the pudding is in the eating.

 #3 - 17-09-2010 23:43:42

sterac
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 25
Messages : 9

Probabilités : tirage d'un nombre aléatoire suppérieur à un autre

bonsoir,

après m' etre cassé le tete sur pas mal d'énigme sans y repondre,

et vu qu'il y a quelque domaine que je maitrise moins voir pas du tout,

entre autre les probabilités et la cryptographie.

je vais essayer pour une fois:

je dirais qu'il y a +- (je sais +- c a peu près donc pas très juste) ben 50% de

chance qu'il ait une bonne carte.

 #4 - 19-09-2010 22:19:43

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

probabilités : tirage d'un nombre aléayoire supérieur à un autre

j'ai peut-être mal compris l'énoncé, mais pour moi, le jeu est équitable.
Supposons que A tire la carte n, il y a donc 1 chance sur 1000. Alors, la probabilité pour qu'il gagne est (n-1)/999. La probabilité pour que A tire la carte n et qu'il gagne est donc (n-1)/(999*1000).
Finalement, la probabilité pour que A gagne est la somme sur n de 1 à 1000 de (n-1)/(999*1000), ce qui fait 1/2.
En tout cas, merci pour le site, j'aime beaucoup.

 #5 - 19-09-2010 23:03:10

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4959

probabilités : tirage d'un nombre aléatoire supérieut à un autre

Je trouve un résultat assez surprenant ( sans doute une erreur smile )

La probabilité de gain pour le premier joueur :
[TeX]P=\frac{1}{2!}+\frac{3}{4!}+\frac{5}{6!}+...+\frac{997}{998!}+\frac{999}{1000!}[/TeX]
Surprenant car la probabilité augmente avec le nombre de cartes ( pour un nombre pair de cartes en tout cas ) .

Vasimolo

 #6 - 24-09-2010 19:57:46

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4959

Probabilités : tiragge d'un nombre aléatoire supérieur à un autre

Suis-je le seul à avoir trouvé un intérêt à cette énigme ????

Vasimolo

 #7 - 24-09-2010 20:32:05

falcon
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 106

Porbabilités : tirage d'un nombre aléatoire supérieur à un autre

Nan moi aussi ! Je t'envoie ce que je trouve ce weekend.


Il vaut mieux pomper meme s'il ne se passe rien que risquer qu'il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas

 #8 - 24-09-2010 22:17:11

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 566

Probabilités : tirage d'un nombre aléatoire supérieur àà un autre

J'avais tenté de résoudre, mais je n'ai pas trouvé le raisonnement. Question: vers quelle valeur la série converge-t-elle ? Sur Excel, il semble que ce soit très proche de racine(2/5).

Mais vu qu'on a des factorielles, peut-être que la réponse fait intervenir le nombre e ? Je n'arrive pas résoudre le problème.

 #9 - 25-09-2010 14:38:35

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 566

Probabilités : tirage d'un ombre aléatoire supérieur à un autre

Tu as la solution du problème, Efceba ?

 #10 - 25-09-2010 16:28:27

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 792

Probabilités : tirage d'un nombre aléatoire supérieu à un autre

Je n'ai pas la réponse (je croyais avoir posté sur ce topic un message à ce sujet)

Soient J1 et J2, et [latex]Pn_k[/latex] la probabilité que J2 perde sachant que J1 a fait k dans un tas de n cartes.

J'ai essayé de calculer en faisant simple :
Avec 2 cartes :
[TeX]P2_1=0[/TeX]
[TeX]P2_2=1[/TeX]
[TeX]P2=1/2[/TeX]
Avec 3 cartes :
[TeX]P3_1=1/2[/TeX]
[TeX]P3_2=1/2[/TeX]
[TeX]P3_3=1[/TeX]
[TeX]P3=2/3[/TeX]
Avec 4 cartes :
[TeX]P4_1=(1-P3)[/TeX]
[TeX]P4_2=2/3*(1-P3)[/TeX]
[TeX]P4_3=2/3[/TeX]
[TeX]P4_4=1[/TeX]
Je n'ai pas trouvé la récurrence correcte.

 #11 - 25-09-2010 17:49:53

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

Probabilités : tirage d'un nombre aléatoirre supérieur à un autre

alors là, je comprends pas...
A trois cartes, si J1 tire la carte 1, alors J2 est sûr de gagner. Puisqu'il n'y a pas remise, J2 ne peut tirer que la carte 2 ou la carte 3, donc P31=0. Sinon, je suis d'accord avec P32 et P33.
J'aimerai savoir ce qui cloche dans mon raisonnement, ça me parait assez simple. Je serai aussi intéressé de connaître le cheminement qui a conduit Vasimolo à sa solution.

 #12 - 25-09-2010 17:55:55

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 792

probabilités : tirage d'un nombte aléatoire supérieur à un autre

On continue de tirer une carte tant que celle ci est supérieure à la précédente.

 #13 - 25-09-2010 19:12:35

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 566

Probabiltés : tirage d'un nombre aléatoire supérieur à un autre

Je ne comprends pas le [latex]P4_2=2/3*(1-P3)[/latex]

Pour moi, si k = 2, alors soit "J2 tire la carte en dessous (1/3)", soit "J2 tire la carte numéro 3 (1/3) et J1 tire la carte numéro 4 (1/2)".

D'où [latex]P4_2=1/3+(1/3)*(1/2)=1/2[/latex]

Et alors [latex]P4=5/8[/latex], ce qui est en accord avec la formule de Vasimolo. Donc, je pense que ce doit être ça lol

 #14 - 25-09-2010 19:30:39

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4959

Proobabilités : tirage d'un nombre aléatoire supérieur à un autre

luthin a écrit:

Je serai aussi intéressé de connaître le cheminement qui a conduit Vasimolo à sa solution.

J'ai jeté mes brouillons mais je trouverai un moment pour te répondre ce soir smile

Vasimolo

 #15 - 25-09-2010 23:25:02

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4959

Probabilités : tirage d'un nombre aléatoire supérrieur à un autre

En fait j'ai compté parmi les 1000! possibilités celles qui arrêtaient le jeu après n tirages .

Après 1 tirage : 0
Après 2 tirages : [latex]C_{1000}^2\times 1\times 998![/latex]
...
Après n tirages : [latex]C_{1000}^n\times (n-1)\times (1000-n)![/latex]
...
Après 1000 tirages : [latex]C_{1000}^{1000}\times 999 \times 0![/latex]

Pour le gain du premier joueur il ne faut garder que les tirages avec n pair soit :
[TeX]C_{1000}^2\times 1 \times 998!+C_{1000}^4\times 3 \times 996!+...+C_{1000}^{998}\times 997 \times 2!+C_{1000}^{1000}\times 999 \times 0![/TeX]
Pour la probabilité de gain il faut diviser par 1000!  :
[TeX]P=\frac{1}{2 !}+\frac{3}{4 !}+ . . . +\frac{997}{998 !}+\frac{999}{1000 !}[/TeX]
La probabilité de gain du 2me joueur est donnée par Q=1-P smile

Le point le plus délicat , pourquoi [latex]C_{1000}^n\times (n-1)\times (1000-n)![/latex] distributions donnent un arrêt à la neme carte ?

Cela revient à choisir n cartes au hasard parmi les 1000 , en placer une qui n'est pas la plus grande en dernière position , ordonner les n-1 restantes en ordre croissant et les 1000-n dernières en ordre quelconque . 

Vasimolo

 #16 - 26-09-2010 10:14:54

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 566

probabilités : tirage d'un nombre aléatoire supérieir à un autre

Merci pour ton développement, Vasimolo. Très clair.

Efceba, que se passe-t-il lorsque la première carte tirée est la plus petite du paquet ? Dans tes exemples, il semble qu'alors, cette première carte tirée ne compte pas ?

Par conséquent, si tel est le cas, il peut y avoir égalité (toutes les cartes sont arrangées dans l'ordre croissant).

Ce qui donne une probabilité Q à J1 de perdre égale à Q = 1-P-1/1000!

Mais le jeu est quand même inéquitable.

Et il semble qu'en ces conditions, la formule de Vasimolo soit également valable pour n impair:

P2n+1 = P2n.

 #17 - 26-09-2010 12:19:06

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 792

Probabilités : tirage d'un nombre aléaatoire supérieur à un autre

@Nombrilist J'ai pu faire une erreur dans mes proba ce qui explique que je ne trouvais pas de récurrence.
[latex]P4_2 = 1/3+1/3*P2[/latex] je suis d'accord.
Pour ce qui est du fait de tirer la carte la plus petite, cela revient à inverser les joueurs et à calculer la probabilité avec une carte de moins.

@Vasimolo, ton approche étant différente de la mienne, en allant au bout de la mienne on pourrait confirmer tes résultats.

@Promath+MthS+Nombrilist, je supprime vos chamailleries.

 #18 - 26-09-2010 12:35:59

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

Probabiliés : tirage d'un nombre aléatoire supérieur à un autre

Nombrilist, si la première carte tirée est la 1, le jeu continu, et tout ce passe comme si les joueurs échangeaient leur rôle avec n-1 cartes, i.e:
[TeX]
P_{n1}=1-P_{n-1}
[/TeX]
Après, je  ne comprends pas ce que tu veux dire, mais on est d' accord, ce jeu est une pure arnaque!
Vasimolo, merci pour tes explications.  J'ai mis un moment à comprendre. Ce qui me dérangeait, c'est qu'à n cartes, il n'y a pas n! réelles configurations. Par exemple, à 4 cartes, il y en a 18 réelles, et non 6!=24. Seulement,  elles n'ont pas toutes le même poids...
Bref, je suis à présent d'accord avec toi, et j'ajouterai que si n est impair, P1 peut gagner aussi au bout de n tirages, et il n'y a qu'une seule façon, celle où toutes les cartes sont tirées dans l'ordre croissant. Finallement:
[TeX]

P_n=
\begin{cases}
\frac{1}{2!}+\frac{3}{4!}+...+\frac{n-1}{n!} & \text{, si $n$ est pair} \\
P_{n-1}+\frac{1}{n!} & \text{, si $n$ est impair}
\end{cases}

[/TeX]

 #19 - 26-09-2010 12:37:20

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4959

Probabilités : tirage d'un nombre alétaoire supérieur à un autre

La formule que j'ai donnée marche aussi pour n impairs mais il y a en effet un petit problème si toutes les cartes sont tirées sans que personne ne perde : 1;2;3;...n-1;n . Doit-on alors considérer que celui qui a tiré la dernière carte à gagné ( c'est ce ce que j'ai fait ) ?

Vasimolo

 #20 - 26-09-2010 12:59:11

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 566

Probabilités : tirage d'un nombre aléatoire upérieur à un autre

Ah oui pardon, j'avais omis le fait que "le dernier joueur a perdu". En ce cas, je suis d'accord avec toi Luthin.

Je serais curieux de connaître la valeur simplifiée de Pn. J'ai beau chercher, je ne pense pas avoir le niveau pour trouver.

Vasimolo, tu as bien considéré smile

 #21 - 26-09-2010 13:07:22

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

Probabilités : tirage d'un nombre aléatoire supérieur à n autre

Vasimolo, pourtant, j'ai l'impression que tu n'as pas tenu compte de la configuration 1;2;...;n pour n impair. C'est donc que tu considères que J1 a perdu pour ce cas particulier. Moi, je me suis dis que J1 gagnait dans ce cas.
Nombrilist, à l'aide des séries entières, je trouve:
[TeX]
\sum_{p=1}^{+\infty}\frac{2p-1}{(2p)!}=1-1/e
[/TeX]

 #22 - 26-09-2010 15:28:56

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 566

Probabilités : tirage d'un nombre aléatoiire supérieur à un autre

Magnifique Luthin ! C'est bien cela que je trouve sur Excel ! Je savais bien que "e" serait de la partie !

Merci.

 #23 - 26-09-2010 16:32:01

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4959

Probabilités : tirage d'un nombre alétaoire supérieur à un autre

Nous sommes d'accord , il me semblait bien que le cas ou l'on tire l'ensemble des cartes devait être rajouté dans certains cas .

En tout cas le résultat est curieux : plus le nombre de carte est grand et plus les chances du premier joueur sont grandes , ce qui est pas complètement intuitif !!!

Vasimolo

 #24 - 26-09-2010 21:26:07

falcon
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 106

Probabilités : tirage d'un nombre aléatoire supérieur à un autrre

Plus besoin de moi big_smile bravo à tous !


Il vaut mieux pomper meme s'il ne se passe rien que risquer qu'il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas
 

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