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 #1 - 17-06-2011 15:35:10

fabb54
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 37

Probabilités et imbledon

Une enigme très abordable, avec un petit calcul de probabilités. Elle porte sur le tirage au sort du tournoi de tennis de Wimbledon.  Sur un forum de quotidien sportif, la majorité des personnes se trompe, tout en affirmant avoir raison, car elles ont étudié les probabilités en terminale !

Serez vous plus avisés que nos amis tennisman ? roll

En 2010, Andy  et Wayne, deux jeunes fans de tennis, assistèrent à une rencontre du premier tour de Wimbledon, opposant Mahut et Isner, qui offrirent au public, médusé, un match d'anthologie de plus de 11h, remporté au 5ème set par Isner sur le score ahurissant de 70 jeux à 68, faisant de cette rencontre la plus longue jamais disputée.

Andy et Wayne, en ce vendredi 17 juin 2011, assistèrent en direct au tirage au sort du premier tour de Wimbledon.

Lorsque en face du nom d'Isner s'insrit celui de Mahut, Andy s'exclama, candide :
"C'est truqué !"
"Mais non, c'était tout à fait probable" répondit Wayne.

Wayne proposa à Andy de parier sur le fait que ces deux joueurs se rencontreront à nouveau en 2012.

Après quelques minutes de reflexion, Andy s'exclama :
"D'accord, je  suis près à parier 1£ sur le fait que les deux joueurs se rencontrent à nouveau, et, s'ils se rencontrent, tu me devra 130£ !"
"Marché conclu !" répondit Wayne.


Règles du tirage au sort  :

- 128 joueurs
- 32 têtes de série, qui ne peuvent pas se rencontrer entre elles
- Mahut et Isner sont tous les deux des joueurs honorables, ils se qualifieront à nouveau pour Wimbledon en 2012, mais ne font pas partie des meilleurs mondiaux : on peut considérer qu'il ne seront pas tête de série


En supposant que nos deux amis ne sont absolument pas averses au risque, qui a eu raison de jouer ?

Quelle valeur du gain permettrait d'équilibrer, à terme, les porte-monnaie de Wayne et Andy ?



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 #2 - 17-06-2011 18:56:13

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2872
Lieu: Luxembourg

Probabilités et Wimbledo

Bonjour,
Soit P la probabilité d'un match Isner Mahut au premier tour.

Si on n'avait pas la contrainte des têtes de série, on aurait:
- nombre de tableaux donnant un match Isner Mahut: 125 x 123 x 121 x ... x 3 x 1
- nombre total de tableaux: 127 x 125 x 123 x 121 x ... x 3 x 1
- et donc P = 1 / 127
C'est cohérent car, au premier tour, tout joueur ne peut rencontrer que l'un des 127 restants.

Comme on a la contrainte des têtes de série, on a:
- nombre de tableaux donnant un match Isner Mahut: (96 x 95 x 94 x ... x 66 x 65) pour les têtes de série x (93 x 91 x ... x 3 x 1) pour les autres joueurs
- nombre total de tableaux:  (96 x 95 x 94 x ... x 66 x 65) pour les têtes de série x (95 x 93 x 91 x 89 x ... x 3 x 1) pour les autres joueurs
- et donc P = 1 / 95
Cette probabilité est supérieure à la précédente, ce qui semble logique puisque le nombre de matchs possibles a diminué.

Dans les deux cas, Andy alors aurait raison de jouer.
Bonne soirée.
Frank

Edit:
J'ai revu ma copie en incluant les modifications dans le texte.
Je ne trouve pas logique l'enjeu de 130 livres (pour corser l'énigme, j'aurais pris un nombre compris entre 95 et 127), à moins que je ne me sois planté dans ma solution.

 #3 - 17-06-2011 19:09:27

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,801E+3

probabilités et wilbledon

sur 64 matchs, il leur reste 96 places possibles

soit 96x95/2 combinaisons possibles dont 32 amènent à leur confrontation au premier tour

Soit 1 chance sur 142,5 , selon moi, pour un gain de 130 livres, ça ne vaut pas le coup, quoique, il ne vont pas parier 130 ans de suite donc pour une fois ça vaut le coup.

 #4 - 17-06-2011 19:50:30

Kikuchi
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 91

Probabilits et Wimbledon

D'abord et avant tout, désolé pour le parpaing... tongue

Imaginons que tout les matchs du premier tour auront lieu sur 64 terrains distincts.
Il y a sur chacun de ces terrains, deux places.
Par exemple, sur le terrain n° 14, il y aura les places [latex]14_a[/latex] et [latex]14_b[/latex].


I) Combien de façons de ranger les 128 joueurs sur ces 128 places?
Il faut d'abord placer les têtes de séries sur un terrain différent pour qu'il ne tombent pas l'un contre l'autre.
Combien de façons de ranger 32 joueurs sur 64 terrains: [latex]\dfrac{n!}{(n-k)!}=\dfrac{64!}{32!}[/latex]
Combien de façons de répartir les 96 joueurs restants sur les 96 places restantes: [latex]96![/latex]

Au final, combien de façons de répartir ces 128 joueurs: [latex]\dfrac{64! \times 96!}{32!}[/latex]



II) Maintenant regardons combien de façons de ranger ces joueurs pour que Mahut et Isner tombent l'un contre l'autre.

Soit Mahut est sur le premier terrain à la place [latex]1_a[/latex] et Isner à la place [latex]1_b[/latex] et les 126 autres doivent maintenant être rangés sur 63 terrains/126 places.
De la même manière que précédemment, on trouve: [latex]\dfrac{63! \times 94!}{31!}[/latex]

Si maintenant Mahut est sur la place [latex]1_b[/latex] et Isner sur la place [latex]1_a[/latex], on aura encore [latex]\dfrac{63! \times 94!}{31!}[/latex] manières de ranger le reste.

Donc pour chaque terrain, il y a [latex]2 \times \dfrac{63! \times 94!}{31!}[/latex] de ranger les joueurs pour que les deux  lurons tombent l'un contre l'autre sur ce même terrain.

Il y a 64 terrains, donc:
[TeX]64\times 2 \times \dfrac{63! \times 94!}{31!}=2 \times \dfrac{64! \times 94!}{31!}[/latex] manières au total de ranger les joueurs pour que nos deux joueurs tombent l'un contre l'autre.


III) La probabilité qu'ils se rencontrent est maintenant facile à calculer:
[latex]P_{\text{rencontre}}=2\times \dfrac{64!\times 94!}{31!}\times \dfrac{32!}{64!\times 96!}=2\times \dfrac{32}{95*96}=\dfrac{2}{285}[/TeX]
IV) Maintenant, car c'est pas fini, pour ce qui est de l'espérance de gain:
Andy a [latex]\dfrac{2}{285}[/latex] chances de gagner 129£ (130 moins les 1 parié) et [latex]\dfrac{283}{285}[/latex] chances de perdre les 1£ qu'il a parié.

Donc: [latex]E=129\times \dfrac{2}{285}\; -\; \dfrac{283}{285}=-\dfrac{5}{57}\approx -0,09[/latex]

C'est donc Wayne qui a eu raison d'accepter le pari.

Maintenant, en imaginant qu'Andy ait parié [latex]a[/latex]£, pour que le pari soit équilibré, il aurait fallu que [latex]E=0 \;\Rightarrow\; (x-a)\times \dfrac{2}{285}\; -\; a\times \dfrac{283}{285}=0\;\Rightarrow\; 2(x-a)-283a=0 \\ \Rightarrow\; 2x-285a=0 \; \Rightarrow\; x=\dfrac{285}{2}\times a \;\Rightarrow\; x=142,5 \times a[/latex]

Pour que le pari soit équilibré, le gain doit être de 142,5 fois la mise.


There's no scientific consensus that life is important

 #5 - 18-06-2011 09:00:55

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 378

Pobabilités et Wimbledon

Etude du tirage 2012 :

Nous appellerons A le premier joueur (parmi le couple Isner / Mahut) sorti du sac et B le second.
A peut être placé sur 96 positions (128 - 32 têtes de séries), 32 de ces positions sont des matchs justement contre une tête de série, les 64 restantes sont des matchs contre un joueur non-tête de série.
Nous avons donc déjà 1 chance sur 3 (32/96) que le joueur A tombe contre une tête de série et donc certainement pas contre B.

Dans le cas (2 chances sur 3) où A tombe sur un match sans tête de série, il y a un tirage favorable pour qu'il rencontre B sur les 95 (96 - 1 prise par A).

Au final la probabilité d'une rencontre entre A et B est donc p = 2/3*1/95 = 0,7018%=1 chance sue 142,5.

Soit m la mise de W pour une mise de 1 de Andy, l'espérance de gain de Wayne est :
Esp (A) = m x p - 1 x (1-p).

Pour m = 130, Esp(A) = -0,08, donc Andy a eu tort de jouer

Pour un jeu équitable, Esp(W) = Esp(A) = 0, donc m = 1/p - 1=141,5.

Remarque au sujet du tirage 2011 :

L'énoncé précise

Lorsque en face du nom d'Isner s'insrit celui de Mahut ...

La discussion de Wayne et Andy démarre donc après que Isner a été placé sur le tableau et donc, de toute évidence, Isner n'a pas été placé face à une tête de série, Isner n'a pas été placé face à un adversaire déjà choisi et Isner a été tiré avant Mahut. Dans ces conditions initiales là, le nombre de chances de voir Mahut en face de Isner est bien plus grand, puisqu'il est de 1 sur R, où R est le nombre de joueurs restant à mettre dans le tableau (que l'énoncé ne précise pas mais qui est dans tous les cas inférieur ou égal à 95).

 #6 - 19-06-2011 22:42:07

cedricz
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 1

Probabilités eet Wimbledon

Wayne a fait une bonne affaire.
Le pari serait équilibré à 1 contre 142,5.

 #7 - 20-06-2011 09:17:26

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 950

Probabilitéés et Wimbledon

Je place Mahut : probabilité 1/3 pour qu'il affronte une tête de série et 2/3 pour le contraire.
Il reste 95 places pour Isner : si Mahut n'est pas face à une tête de série,  1 chance sur 95 d'avoir ce match.
Avec la règle des probabilités conditionnelles : p=(2/3)*(1/95)=2/285
Wayne a raison d'accepter, c'est la valeur 141,50 € contre un qui annule l'espérance.

NB : "équilibrer à terme" va demander aux joueurs de vivre très longtemps et de rester au top tout ce temps car il n'y a qu'un Wimbledon par an big_smile


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #8 - 20-06-2011 11:36:40

fabb54
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 37

Probabbilités et Wimbledon

Féliciation à Scrablor et Dylasse pour leurs réponses parfaites.

Cedircz et Kikuchi, vos calculs sont bons, seule est erronnée la valeur du gain qui égaliserait les espérances, qui n'est pas exactement égale à la probabilité. Bonne réponse de Gwen également

Francky, ton calcul est erroné, tu surrestimes la probabilité finale en comptant trop de tableaux possible pour la rencontre Mahut-Isner.

 #9 - 20-06-2011 17:56:55

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2872
Lieu: Luxembourg

Prbabilités et Wimbledon

Bon sang, mais c'est bien sur !!!
Je n'ai pas multiplié 1/95 par 2/3
Et tout s'explique: 127 < 130 < 142,5
Je me suis toujours planté en proba.
Merci en tous cas pour ce sympa exo.
Bonne soirée.
Frank

 

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