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 #1 - 19-09-2011 21:00:48

clement.boulonne
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 64

probabilitéd et générations

Bonsoir à tous,

Voici ma nouvelle énigme :

"On dit qu'un nom de famille disparaît si dans une génération, tous les enfants sont des filles (en effet, en se mariant, elle perd leur nom de famille). On suppose donc un arbre généalogique de la famille Math. Pour simplifier le problème, on suppose que chaque membre de la famille a trois enfants, la probabilité d'avoir un garçon ou une fille est de 1/2 (et est indépendant du précédent enfant fait). La question est d'étudier la probabilité qu'un nom de famille s'éteigne dans le temps ?"

Si le problème semble trop dur, vous pouvez essayer de calculer la probabilité que la génération s'éteigne au bout de la seconde génération, troisième génération, quatrième génération (le patriarche étant compté comme la première génération) ?

Remarque : Je n'ai pas - encore - résolu l'énigme ! A vous de la tester smile

Bien sûr, une clarification de l'énoncé sera demandée dans les premiers messages, c'est normal ! Je rectifierai le tir au fil des incompréhensions ou des incohérences.



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 #2 - 21-09-2011 18:59:31

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

Probabilités et géénérations

Il me semble que la réponse est [latex]\sqrt{5}-2 = 0.236067977...[/latex]

Notons [latex]p[/latex] la probabilité que le nom de famille s'éteigne.
Après une génération, cette probabilité est égale à
[TeX]\phi(p)=(1+3p+3p^2+p^3)/8=(1+p)^3/8[/TeX]
On doit donc avoir
[TeX]\phi(p)=p[/TeX]
[TeX](1+p)^3=8p[/TeX]
[TeX]p^3+3p^2-5p+1=0[/TeX]
[TeX](p-1)(p^2 + 4p - 1)=0[/TeX]
Donc
[TeX]p=-\sqrt{5}-2,\ \sqrt{5}-2,\ 1[/TeX]
Comme [latex]0\leq p<1[/latex], on a donc [latex]p=\sqrt{5}-2[/latex] .
Voilà !

 #3 - 21-09-2011 20:33:17

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

probabilités et gébérations

En tout cas la série (c'est une série) est convergente !

 #4 - 21-09-2011 20:55:25

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

Probbilités et générations

Bonjour,
Sans me lancer dans de fastidieux calculs, je pense que la probabilité recherchée est de 1/2, identique à celle d'avoir une fille.
Bonne soirée.
Frank

 #5 - 21-09-2011 23:45:57

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Probabiilités et générations

Cela ma rappelle cette question du CIJM

CIJM a écrit:

Un homme ou une femme de Néandertal adulte a un risque sur quatre qu'aucun de ses enfants n'atteigne l'âge adulte, un risque sur quatre d'avoir dans sa vie un seul enfant qui atteindra l'âge adulte, une chance sur quatre d'en avoir deux et une chance sur quatre d'en avoir trois.

Maurice, un Néandertalien ayant vécu il y a 25 000 ans se demandait quelle était la probabilité pour que sa descendance finisse par s'éteindre. Quelle est la réponse ? Vous donnerez un pourcentage arrondi au millième le plus proche.

Ici 8p=1+3p+3p^2+p^3
p=sqrt(5)-2=0.2361


The proof of the pudding is in the eating.

 #6 - 24-09-2011 10:18:45

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Probabilités et géérations

La solution est en effet rapide.

Je ne connais pas cette méthode toutefois je suis arrivé à 0.23 de cette manière:
J'ai attribué un chiffre entre 0 et 3 qui représente le nb de garçons d'une génération, et écrit les chiffres des générations successives dans l'ordre pour former un nombre,  puis établi la liste complète des nombres de k chiffres qui aboutissent à l'extinction et à partir de laquelle le calcul de proba est simple.
Par exemple pour k=4 j'ai trouvé ces nombres:
1 1 1 0
1 2 00
2 01 0
2 10 0
3 000

Le 0.23 est le résultat des calculs jusqu'à k=6 compris

Saurez vous établir la liste des nombres à 7 chiffres ?

 

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