1/2 et toujours 1/2

Vasimolo

1/3 ; 1/2

Mais l'énoncé est limite !

OK. Déjà quelques réponses. Tout le monde a bon sur la deuxième question.

Pour la première question, c'est plus compliqué que je ne le pensais. Pour être honnête, je pensais comme Kosmogol et Gwen, mais effectivement l'énoncé peut prêter à confusion et les bonnes réponses vont plutôt à Vasimolo et Clydevil.

Je vais rectifier l'énoncé pour lever l'ambiguïté.

A Gwen: oui.

A Kosmogol: oui en effet, l'énoncé était limite.

A Jackv: J'ai la réponse, ainsi que l'explication de la réponse (merci Vasimolo et Clydevil).

Pour tout le monde: bien entendu, on modélise par l'équiprobabilité les naissances de fille ou de garçon. Je ne demande à personne d'aller me chercher les vraies statistiques sur Google. On est sur Prise2Tête, mais quand même

Bonnes réponses de Looping ! Toujours aussi précis

Pour quelqu’un qui ne voulait pas que l’on ne s’échauffe trop les neurones, c’est raté.
Avec les hypothèses adéquates, la réponse à la première question (comme à la deuxième) paraît évidente : 1/2.

C’est quand on veut commencer à réfléchir que cela se gâte : on remarque qu’il y a une chance sur quatre que l’on ait deux garçons, une sur deux d’avoir un garçon et une fille, une sur quatre d’avoir deux filles et l’on se dit que si on tire au hasard une fille, cela élimine la possibilité d’avoir deux garçons, donc qu’il reste deux chances sur trois d’avoir un garçon et une fille et une sur trois d’avoir deux filles.
Je pense que l’on commet alors une grossière erreur !

En même temps que le fait de tirer une fille élimine la possibilité des deux garçons, cela maximise les chances d’avoir deux filles !

Plutôt que de répondre à la question : « Quelle est la probabilité que se soit une fille ? », il aurait été plus simple de répondre à la question : « Quelle est la probabilité que le deuxième enfant soit du même sexe que le premier ? »

Et là la réponse (re)devient évidente, quelque soit le premier tirage :

                       Une sur deux !

Les fratries de 2 enfants se composent ainsi :
25% 2 garçons, 50% garçon et fille et 25% 2 filles.

Parmi toutes les fratries contenant au moins une fille (ce qui est le cas pour nous), il y a donc 2/3 de garçon-fille et 1/3 de double fille.

La réponse est donc 1/3.

Pour la question subsidiaire, c'est évidemment 1/2 puisque le sexe de l'enfant suivant est indépendant des enfants déjà là.

A priori, les probabilités d'avoir GG, GF, FG, FF étaient égales.
Si le père envoie une fille, c'est que l'hypothèse GG ne devait pas être retenue.
Il reste 2 cas FG et 1 cas FF.
La probabilité FF est 1/3

Deuxième question : Il y a indépendance, donc 1/2.

C'est un grand classique des probabilités connu sous le nom "Paradoxe des deux enfants"

Il y est clairement expliqué que la façon dont l'information "un des deux enfants est une fille" est acquise est déterminante dans le calcul des probabilités en jeu (et dans un premier jet je me suis justement foutu dedans). 

Soit F l'événement "C'est une fille qui est désignée pour ouvrir la porte", FF l'événement "Les deux enfants sont deux filles"

alors la probabilité recherchée est la probabilité de l'événement "Les deux enfants sont des filles sachant que c'est une fille qui a ouvert la porte", soit [latex]P(FF|F)[/latex] qui se détermine en utilisant la loi de Bayes:
[TeX]P(FF | F) = \frac{P(F|FF).P(FF)}{P(F)}=\frac{1\times \frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}[/TeX]
Pour le fœtus, qui ne risquait pas de devoir aller ouvrir la porte, ça ne change rien : une chance sur deux qu'il soit une fille. D'ailleurs, les parents ne savent peut être même pas eux-mêmes s'il s'agit d'une fille ou d'un garçon !

Tout ça en supposant bien sûr que tout est équiprobable (sexe à la naissance, désignation de l'enfant qui va ouvrir la porte).

Gasole: bonne réponse à la deuxième question, mais mauvaise réponse à la première.

Bamby: bonnes réponses. Peux-tu préciser ta pensée pour la première question ?

Bonjour,

Deuxième question : étant donné que les évènements "naissance d'un bébé" sont indépendants, il y a une chance sur deux que le futur bébé soit une fille.

Première question : sachant qu'une fille a été désignée par le père et que l'on veut savoir si le 2ème enfant est une fille, on a envie de répondre qu'il y a deux cas possibles, fille-fille et fille-garçon, donc probabilité que le deuxième enfant soit une fille = un demi.
Mais ce raisonnement n'est pas correct. Au bridge on appelle ça le principe du moindre choix. Si les deux adversaires ont la Dame et le Valet d'une même couleur et qu'un adversaire montre la Dame, quelle est la probabilité qu'il ait le Valet ou quelle est la probabilité que son partenaire ait le Valet ? Ce n'est pas une chance sur deux, car l'adversaire qui a montré la Dame aurait tout aussi bien pu montrer le Valet, puisque ces cartes sont équivalentes.
Dans notre problème ici, il faut personnaliser les enfants et l'on voit qu'il y a en réalité trois cas possibles :
- fille1 nommée par le père et fille2,
- fille2 nommée par le père et fille1,
- fille nommée par le père et garçon.
Il y a donc deux chances sur trois que le deuxième enfant soit une fille.

Klim.

Ouh, de la belle proba a posteriori...

Alors :
- une famille avec deux enfants dont une fille est soit une famille avec deux filles, soit avec un garçon et une fille
- en considérant qu'un enfant a une chance sur deux d'être un garçon et une chance sur deux d'être une fille, il y a deux chances sur trois a priori qu'il y ait un garçon et une fille, et une chance sur trois qu'il y ait deux filles
- ...sauf que s'il y a un garçon et une fille, la proba de tirer au sort la fille est deux fois plus petite, ce qui laisse au final une chance sur deux pour chaque hypothèse.

La proba que l'autre enfant soit une fille est 1/2.

Deuxième question : le sexe du futur enfant est indépendant de celui des précédents, proba 1/2 pour chaque sexe.