Enigmes

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 #1 - 16-04-2011 20:04:28

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Probabilités famliiales

Après toutes ces énigmes qui personnellement m'ont bien fait chauffer les neurones, en voici une pour se détendre un peu.

Un couple a deux enfants. Tout le monde est à la maison. Le facteur sonne. L'un des deux enfants, désigné au hasard par le père, va lui ouvrir la porte. C'est une fille. Quelle est la probabilité que l'autre enfant soit une fille ?

L'autre enfant est une fille. La mère est enceinte. Quelle est la probabilité que le futur bébé soit une fille ?



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 #2 - 16-04-2011 20:12:08

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Probabilités famiiliales

1/2 et toujours 1/2 smile

Vasimolo

 #3 - 16-04-2011 20:15:06

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

probabilotés familiales

1 : 1/3 vu les probabilités si on ne sait pas si c'est l'ainée
GG
GF
FG
FF

2 : 1/2 vu qu'une naissance future est équiprobable

(On considère Fille Garçon équiprobable même si c'est inexact, non ?)

 #4 - 16-04-2011 20:27:56

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Probabilités famliiales

1/3 ; 1/2

Mais l'énoncé est limite !


http://enigmusique.blogspot.com/

 #5 - 16-04-2011 20:30:33

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 808
Lieu: Seahaven island

Pobabilités familiales

Salut,

Pour la première question je me demande sil n'y a pas ambiguïté.
Lorsqu'on dit "j'ai deux enfants dont une fille quelle est la probabilité pour que l'autre soit une fille" la réponse est 1/3 car il y a 3 événements équiprobables qui vérifient "dont une fille" FF FG GF et un seul pour lequel l'autre est une fille.
Dans ta première question tu dis "l'un des deux va lui ouvrir la porte c'est une fille"' et pour moi c'est différent de "dont" car ca veut dire qu'il y a eu tirage au sort équiprobable parmi les enfants et dans ce cas pour moi c'est 1/2 car le coupe FF va compter double et donc pas le miracle contre intuitif du 1/3 (si je dis cela c'est parce que je pense que l'énoncé est posé pour qu'on se trompe en disant 1/2 et qu'en fait ca soit 1/3 mais ici en fait c'est quand même 1/2 :p)

La seconde question:
Les tirages aléatoire n'ont pas de mémoire la réponse est 1/2.
Et même sil ont déjà 10 enfants et que ce sont 10filles la 11eme aura 1/2chance d'être une fille :p. Et au loto rejouer la combinaison gagnante de la semaine d'avant
donnera autant de chance que si on avait changer :p même si on a l'impression du contraire. ^^

 #6 - 16-04-2011 20:37:34

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Probabilités familials

OK. Déjà quelques réponses. Tout le monde a bon sur la deuxième question.

Pour la première question, c'est plus compliqué que je ne le pensais. Pour être honnête, je pensais comme Kosmogol et Gwen, mais effectivement l'énoncé peut prêter à confusion et les bonnes réponses vont plutôt à Vasimolo et Clydevil.

Je vais rectifier l'énoncé pour lever l'ambiguïté.

A Gwen: oui.

A Kosmogol: oui en effet, l'énoncé était limite.

 #7 - 16-04-2011 22:34:28

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

probabiliyés familiales

A lire tes commentaires, je ne suis pas sûr que tu connaisses toi-même la réponse ...
Au préalable il faudrait peut-être faire l'hypothèse qu'il y a rigoureusement une chance sur 2 pour qu'il naisse à chaque fois un garçon ou une fille (ce qui n'est pas tout à fait vrai en France, et devient notablement faux dans certains pays du monde, et si en plus, il faut tenir compte de la différence de mortalité entre les sexes wink  ).

Dans ce cas, la réponse à la 2ème question devient évidente, 1/2.

Par contre, la 1ère question mérite plus ample réflexion ...

 #8 - 16-04-2011 22:38:38

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

probzbilités familiales

A Jackv: J'ai la réponse, ainsi que l'explication de la réponse (merci Vasimolo et Clydevil).

Pour tout le monde: bien entendu, on modélise par l'équiprobabilité les naissances de fille ou de garçon. Je ne demande à personne d'aller me chercher les vraies statistiques sur Google. On est sur Prise2Tête, mais quand même lol

 #9 - 17-04-2011 01:15:05

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

Probabiités familiales

On a ici affaire à des probabilités conditionnelles.

J'appelle F_n l'évènement "l'enfant n est une fille"

Question 1
On cherche la probabilité que le second enfant soit une fille sachant que le premier est une fille, c'est-à-dire [latex]P(F_2/F_1)[/latex] (probabilité de [latex]F_2[/latex] sachant [latex]F_1[/latex])
[TeX]P(F_2/F_1)=\frac{P(F_2 \cap F_1)}{P(F_1)}[/TeX]
La probabilité que le premier enfant soit une fille et que le second enfant soit une fille est de une chance sur 4 (on considère que tout le monde sait qu'il n'y a que 2 enfants dans la maison). Pour calculer la probabilité que le premier choisi soit une fille, on regarde les différentes possibilités pour les enfants (dans l'ordre de naissance)
GG : 0 chance que l'enfant choisi soit une fille
FG : 1 chance sur 2
GF : 1 chance sur 2
FF : 1 chance sur 1
On a équiprobabilité de ces 4 possibilités, ce qui fait en moyenne [latex]\frac{0+\frac12+\frac12+1}4=\frac12[/latex]

La probabilité que l'autre enfant soit une fille est donc de [latex]\frac12[/latex]

Question 2
On veut maintenant calculer [latex]P(F_3/F_1\cap F_2)[/latex]
[TeX]P(F_3/F_1\cap F_2)=\frac{P(F_3\cap F_1\cap F_2)}{P(F_1\cap F_2)}[/TeX]
La probabilité du numérateur vaut 1/8
Celle du dénominateur vaut 1/4

La probabilité que le troisième enfant soit une fille est donc de [latex]\frac12[/latex]

 #10 - 17-04-2011 11:30:04

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Probabilités familales

Bonnes réponses de Looping ! Toujours aussi précis smile

 #11 - 17-04-2011 13:18:02

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1745

Probabilités faimliales

Bonjour !

Je n'ai pas vu de subtilités dans l'énoncé, aussi dans une hypothèse de naissances équiprobabilistes, je dirais une probabilité de 1/2 pour chacune des questions ....

OK noté que c'était la bonne réponse ... un édit de tentative d'argumentation :
Dit autrement, la probabilité qu'un enfant soit un garçon ou une fille ne dépend aucunement du genre de ses aînés, mais uniquement du hasard de la rencontre des gamètes XY avec XX !

A bientôt,


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #12 - 17-04-2011 16:18:11

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Probabilités familialess

Pour quelqu’un qui ne voulait pas que l’on ne s’échauffe trop les neurones, c’est raté.
Avec les hypothèses adéquates, la réponse à la première question (comme à la deuxième) paraît évidente : 1/2.

C’est quand on veut commencer à réfléchir que cela se gâte : on remarque qu’il y a une chance sur quatre que l’on ait deux garçons, une sur deux d’avoir un garçon et une fille, une sur quatre d’avoir deux filles et l’on se dit que si on tire au hasard une fille, cela élimine la possibilité d’avoir deux garçons, donc qu’il reste deux chances sur trois d’avoir un garçon et une fille et une sur trois d’avoir deux filles.
Je pense que l’on commet alors une grossière erreur !

En même temps que le fait de tirer une fille élimine la possibilité des deux garçons, cela maximise les chances d’avoir deux filles !

Plutôt que de répondre à la question : « Quelle est la probabilité que se soit une fille ? », il aurait été plus simple de répondre à la question : « Quelle est la probabilité que le deuxième enfant soit du même sexe que le premier ? »

Et là la réponse (re)devient évidente, quelque soit le premier tirage :

                       Une sur deux !

 #13 - 17-04-2011 16:25:02

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

probanilités familiales

Bonne réponse argumentée de Jackv. Et bon résultat de Nicko.

 #14 - 18-04-2011 01:37:17

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

probabilités familiames

Les fratries de 2 enfants se composent ainsi :
25% 2 garçons, 50% garçon et fille et 25% 2 filles.

Parmi toutes les fratries contenant au moins une fille (ce qui est le cas pour nous), il y a donc 2/3 de garçon-fille et 1/3 de double fille.

La réponse est donc 1/3.

Pour la question subsidiaire, c'est évidemment 1/2 puisque le sexe de l'enfant suivant est indépendant des enfants déjà là.

 #15 - 18-04-2011 02:04:04

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2990
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Probabilités familialess

1/2 pour la premiere question
1/2 pour la 2eme.
Mais j'ai fait le probleme avec le laitier qui sonne a la porte au lieu du facteur. Donc ca change peut-etre...lol


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #16 - 18-04-2011 08:11:28

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 479
Lieu: Ardèche

PProbabilités familiales

A priori, les probabilités d'avoir GG, GF, FG, FF étaient égales.
Si le père envoie une fille, c'est que l'hypothèse GG ne devait pas être retenue.
Il reste 2 cas FG et 1 cas FF.
La probabilité FF est 1/3

Deuxième question : Il y a indépendance, donc 1/2.

 #17 - 18-04-2011 10:14:31

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Probabilités famiiliales

Dylasse, dhrm77, hallodula: bonne réponse à la 2ème, mais mauvaise réponse à la 1ère.

 #18 - 18-04-2011 10:47:38

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Probabilités familailes

C'est un grand classique des probabilités connu sous le nom "Paradoxe des deux enfants"

Il y est clairement expliqué que la façon dont l'information "un des deux enfants est une fille" est acquise est déterminante dans le calcul des probabilités en jeu (et dans un premier jet je me suis justement foutu dedans). 

Soit F l'événement "C'est une fille qui est désignée pour ouvrir la porte", FF l'événement "Les deux enfants sont deux filles"

alors la probabilité recherchée est la probabilité de l'événement "Les deux enfants sont des filles sachant que c'est une fille qui a ouvert la porte", soit [latex]P(FF|F)[/latex] qui se détermine en utilisant la loi de Bayes:
[TeX]P(FF | F) = \frac{P(F|FF).P(FF)}{P(F)}=\frac{1\times \frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}[/TeX]
Pour le fœtus, qui ne risquait pas de devoir aller ouvrir la porte, ça ne change rien : une chance sur deux qu'il soit une fille. D'ailleurs, les parents ne savent peut être même pas eux-mêmes s'il s'agit d'une fille ou d'un garçon !

Tout ça en supposant bien sûr que tout est équiprobable (sexe à la naissance, désignation de l'enfant qui va ouvrir la porte).

 #19 - 18-04-2011 10:50:21

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 152

Probabilités faimliales

les tirages (si je peux me permettre) sont tous indépendants, les deux probabilité sont donc de 1/2 ?

 #20 - 18-04-2011 11:29:13

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
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Probabilités familiiales

Gasole: bonne réponse à la deuxième question, mais mauvaise réponse à la première.

Bamby: bonnes réponses. Peux-tu préciser ta pensée pour la première question ?

 #21 - 18-04-2011 14:11:53

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

probabilités famimiales

Oui, tu as raison, j'ai répondu un peu vite me croyant dans un cas sans biais. J'ai édité ma réponse.

 #22 - 18-04-2011 14:32:35

Klimrod
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3766
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Probbailités familiales

Bonjour,

Deuxième question : étant donné que les évènements "naissance d'un bébé" sont indépendants, il y a une chance sur deux que le futur bébé soit une fille.

Première question : sachant qu'une fille a été désignée par le père et que l'on veut savoir si le 2ème enfant est une fille, on a envie de répondre qu'il y a deux cas possibles, fille-fille et fille-garçon, donc probabilité que le deuxième enfant soit une fille = un demi.
Mais ce raisonnement n'est pas correct. Au bridge on appelle ça le principe du moindre choix. Si les deux adversaires ont la Dame et le Valet d'une même couleur et qu'un adversaire montre la Dame, quelle est la probabilité qu'il ait le Valet ou quelle est la probabilité que son partenaire ait le Valet ? Ce n'est pas une chance sur deux, car l'adversaire qui a montré la Dame aurait tout aussi bien pu montrer le Valet, puisque ces cartes sont équivalentes.
Dans notre problème ici, il faut personnaliser les enfants et l'on voit qu'il y a en réalité trois cas possibles :
- fille1 nommée par le père et fille2,
- fille2 nommée par le père et fille1,
- fille nommée par le père et garçon.
Il y a donc deux chances sur trois que le deuxième enfant soit une fille.

Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #23 - 18-04-2011 15:23:35

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Probabilités familiaels

Gasole: C'est bon smile

Klimrod: OK pour la deuxième question. En revanche, il y a une faille dans ton raisonnement pour répondre à la première question. Ce n'est pas la bonne réponse. wink

 #24 - 18-04-2011 17:28:33

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

probanilités familiales

Ouh, de la belle proba a posteriori...

Alors :
- une famille avec deux enfants dont une fille est soit une famille avec deux filles, soit avec un garçon et une fille
- en considérant qu'un enfant a une chance sur deux d'être un garçon et une chance sur deux d'être une fille, il y a deux chances sur trois a priori qu'il y ait un garçon et une fille, et une chance sur trois qu'il y ait deux filles
- ...sauf que s'il y a un garçon et une fille, la proba de tirer au sort la fille est deux fois plus petite, ce qui laisse au final une chance sur deux pour chaque hypothèse.

La proba que l'autre enfant soit une fille est 1/2.

Deuxième question : le sexe du futur enfant est indépendant de celui des précédents, proba 1/2 pour chaque sexe.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #25 - 18-04-2011 17:55:07

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
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probabilités familoales

Bonnes réponses de Mathias !

 

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