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#1 - 13-06-2011 15:00:02
- SaintPierre
- Banni
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on tournz autour...
Un polygone convexe a neuf côtés tous tangents extérieurement à un cercle. Les huit premiers côtés mesurent dans cet ordre: 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm, 7 cm, 8 cm. Quelle est à 1 cm près la longueur du neuvième côté ?
C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
#2 - 13-06-2011 18:45:32
- halloduda
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On torne autour...
Problème difficile...
A vue de nez, je dirais 5 cm ? A 1 cm près, ça doit être ça.
Connaissant un peu SaintPierre, je suppose que ça doit être un nombre entier ? Là, je ne sais pas démontrer, ça fait trop de calculs.
#3 - 13-06-2011 20:39:02
- nodgim
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On tourn autour...
L9=5+-1cm. Propriété des cotés voisins: un sommet est à égale distance des 2 points tangents au cercle....
#4 - 13-06-2011 21:42:10
- SaintPierre
- Banni
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On tourne autoour...
@halloduda: c'est la bonne réponse et il est vrai que c'est un peu fastidieux, mais rien d'insurmontable, surtout pour... nodgim ---> @nodgim: bonne réponse, bonne explication.
C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
#5 - 14-06-2011 03:22:00
- mitsuidewi
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on tourne zutour...
Quand tu dis tangents extérieurement à un cercle. Tu veux dire qu'il s'agit d'un seul cercle à l'intérieur du polygone, donc chaque côté est tangent à ce cercle? ou bien que les 9 côtés sont tangents à 9 cercles différents se trouvant à l'extérieur du polygone ? La 1ere proposition me parait plus censée.
#6 - 14-06-2011 08:21:26
- SaintPierre
- Banni
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on toyrne autour...
C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
#7 - 14-06-2011 08:59:14
- Klimrod
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On tourne autouur...
Appelons r le rayon du cercle et L la longueur du 9ème segment.
Alors : [TeX]2 \pi = Arctg(\frac{1/2}{r}) + Arctg(\frac{2/2}{r}) + Arctg(\frac{3/2}{r}) + Arctg(\frac{4/2}{r}) + Arctg(\frac{5/2}{r}) + Arctg(\frac{6/2}{r}) + Arctg(\frac{7/2}{r}) + Arctg(\frac{8/2}{r}) + Arctg(\frac{L/2}{r})[/TeX] [TeX]2 \pi = Arctg(\frac{1}{2r}) + Arctg(\frac{2}{2r}) + Arctg(\frac{3}{2r}) + Arctg(\frac{4}{2r}) + Arctg(\frac{5}{2r}) + Arctg(\frac{6}{2r}) + Arctg(\frac{7}{2r}) + Arctg(\frac{8}{2r}) + Arctg(\frac{L}{2r})[/TeX] On peut utiliser la formule [latex]Arctg(1/x) = \pi /2 - Arctg(x)[/latex] Ce qui nous amène à : [TeX]2 \pi = Arctg(2r) + Arctg(\frac{2r}{2}) + Arctg (\frac{2r}{3})+ Arctg (\frac{2r}{4}) + Arctg(\frac{2r}{5}) + Arctg(\frac{2r}{6}) + Arctg(\frac{2r}{7}) + Arctg(\frac{2r}{8}) + Arctg(\frac{2r}{L})[/TeX] Reste à résoudre cette équation en se débarrassant du rayon r. Et c'est trop compliqué pour moi... ![roll](img/smilies/roll.png) Klim.
J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.
#8 - 14-06-2011 09:55:39
- SaintPierre
- Banni
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On tourn eautour...
Oh lala, ce n'est pas si compliqué... Il y a une propriété géométrique à connaître sur les tangentes qui vous dépatouillera, je pense.
C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
#9 - 14-06-2011 12:43:11
- mitsuidewi
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- Lieu: dans une chambre universitaire
on tourne autout...
Bon j'ai fais le calcul grâce à un dessin approximatif, et j'ai simplement compté en partant d'une propriété "Les longueurs des segments tangents"
Et je trouve que le 9eme côté a pour longueur : 5cm.
#10 - 14-06-2011 12:50:48
- SaintPierre
- Banni
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On tuorne autour...
C'est la bonne réponse, Mitsu. ![wink](img/smilies/wink.png)
C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
#11 - 14-06-2011 15:40:38
- Jackv
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on yourne autour...
Le problème ne me paraît pas complètement contraint, et on peut obtenir à peu près ce que l'on veut.
Par exemple sur l'exemple suivant, où les 7 premiers segments dont la somme des longueurs est 28 sont tous tangents au cercle en un même point et où le neuvième peut faire par exemple 28 cm. ![http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-Polygone.gif](http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-Polygone.gif) Tu voulais peut-être dire que les points de tangence doivent appartenir à chacun des segments ?
Alors, je pense que le neuvième pourrait faire à peu près 5 cm ...
#12 - 14-06-2011 17:53:50
- gwen27
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on yourne autour...
Comme ça, sans trop de calcul, je dirais 4, 5 ou 6cm.
La première tangence laisse a d'un côté du point de tangence et b de l'autre (avec a+b = 1)
La seconde ne peut donc que laisser b au début (symétrie des tangentes ) et c=2-b de l'autre
... 1 : a et 1-a 2 : 1-a et 2-(1-a) = 1+a 3 : 1+a et 2-a 4 : 2-a et 2+a 5 : 2+a et 3-a 6 : 3-a et 3+a 7 : 3+a et 4-a 8 : 4-a et 4+a 9 ( de longueur x ) : 4+a et x- (4+a)
D'où x- (4+a) = a soit x=2a+4
Après, on doit pouvoir raisonner avec les tangentes en fonction du rayon et le fait que la sommes des angles fasse 360°
EDIT : Mais bon , je n'y arrive pas alors je ruse.. ."a" ne pouvant être ni 0 ni 1 , j'augmente mes chances en répondant 5
#13 - 16-06-2011 20:33:33
- Vasimolo
- Le pâtissier
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On touren autour...
J'avais bien l'encadrement 4<x<6 mais j'avais essayé de trouver la valeur exacte de x alors que ça n'était pas demandé ![smile](img/smilies/smile.png)
Y'a-t-il un moyen simple de l'obtenir ???
Vasimolo
#14 - 16-06-2011 20:43:37
- gwen27
- Elite de Prise2Tete
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On oturne autour...
Oui, 5 OK, mais pourquoi le premier segment doit-il être obligatoirement tangent en son milieu ? Je reste comme Vasimolo sur 4<x<6...
#15 - 16-06-2011 20:54:23
- Vasimolo
- Le pâtissier
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on tournr autour...
En fait la question ne demande qu'une valeur approchée à 1 près donc 5 convient parfaitement ( c'est même la seule valeur que l'on peut donner avec certitude sans autre calcul ) . Mais bon la bonne réponse est peut-être 4,1 et alors la réponse 5 est un peu décevante ![big_smile](img/smilies/big_smile.png)
Vasimolo
#16 - 16-06-2011 22:31:40
- gwen27
- Elite de Prise2Tete
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On tourne auttour...
Pas faux, j'avais "lu" arrondi à l'entier le plus proche.
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