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 #1 - 13-06-2011 15:00:02

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

On tourne uatour...

Un polygone convexe a neuf côtés tous tangents extérieurement à un cercle. Les huit premiers côtés mesurent dans cet ordre: 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm, 7 cm, 8 cm. Quelle est à 1 cm près la longueur du neuvième côté ?



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 #2 - 13-06-2011 18:45:32

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 490
Lieu: Ardèche

On tourne autor...

Problème difficile...

A vue de nez, je dirais 5 cm ? A 1 cm près, ça doit être ça.

Connaissant un peu SaintPierre, je suppose que ça doit être un nombre entier ?
Là, je ne sais pas démontrer, ça fait trop de calculs.

 #3 - 13-06-2011 20:39:02

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3176

On tourne utour...

L9=5+-1cm.
Propriété des cotés voisins: un sommet est à égale distance des 2 points tangents au cercle....

 #4 - 13-06-2011 21:42:10

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

On tourne autourr...

@halloduda: c'est la bonne réponse et il est vrai que c'est un peu fastidieux, mais rien d'insurmontable, surtout pour... nodgim ---> 
@nodgim: bonne réponse, bonne explication.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #5 - 14-06-2011 03:22:00

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

On tourne autour....

Quand tu dis tangents extérieurement à un cercle. Tu veux dire qu'il s'agit d'un seul cercle à l'intérieur du polygone, donc chaque côté est tangent à ce cercle? ou bien que les 9 côtés sont tangents à 9 cercles différents se trouvant à l'extérieur du polygone ? La 1ere proposition me parait plus censée.

 #6 - 14-06-2011 08:21:26

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

On toourne autour...

Oui, la 1ère.


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 #7 - 14-06-2011 08:59:14

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3823
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

on tourne auyour...

Appelons r le rayon du cercle et L la longueur du 9ème segment.

Alors :
[TeX]2 \pi = Arctg(\frac{1/2}{r}) + Arctg(\frac{2/2}{r}) + Arctg(\frac{3/2}{r}) + Arctg(\frac{4/2}{r}) + Arctg(\frac{5/2}{r}) + Arctg(\frac{6/2}{r}) + Arctg(\frac{7/2}{r}) + Arctg(\frac{8/2}{r}) + Arctg(\frac{L/2}{r})[/TeX]
[TeX]2 \pi = Arctg(\frac{1}{2r}) + Arctg(\frac{2}{2r}) + Arctg(\frac{3}{2r}) + Arctg(\frac{4}{2r}) + Arctg(\frac{5}{2r}) + Arctg(\frac{6}{2r}) + Arctg(\frac{7}{2r}) + Arctg(\frac{8}{2r}) + Arctg(\frac{L}{2r})[/TeX]
On peut utiliser la formule [latex]Arctg(1/x) = \pi /2 - Arctg(x)[/latex]
Ce qui nous amène à :
[TeX]2 \pi = Arctg(2r) + Arctg(\frac{2r}{2}) + Arctg (\frac{2r}{3})+ Arctg (\frac{2r}{4}) + Arctg(\frac{2r}{5}) + Arctg(\frac{2r}{6}) + Arctg(\frac{2r}{7}) + Arctg(\frac{2r}{8}) + Arctg(\frac{2r}{L})[/TeX]
Reste à résoudre cette équation en se débarrassant du rayon r. Et c'est trop compliqué pour moi... roll
Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #8 - 14-06-2011 09:55:39

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

on tourne zutour...

Oh lala, ce n'est pas si compliqué...
Il y a une propriété géométrique à connaître sur les tangentes qui vous dépatouillera, je pense.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #9 - 14-06-2011 12:43:11

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

on toirne autour...

Bon j'ai fais le calcul grâce à un dessin approximatif, et j'ai simplement compté en partant d'une propriété "Les longueurs des segments tangents"

Et je trouve que le 9eme côté a pour longueur : 5cm.

 #10 - 14-06-2011 12:50:48

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

On turne autour...

C'est la bonne réponse, Mitsu. wink


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 #11 - 14-06-2011 15:40:38

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2174
Lieu: 94110

On tourne utour...

Le problème ne me paraît pas complètement contraint, et on peut obtenir à peu près ce que l'on veut.

Par exemple sur l'exemple suivant, où les 7 premiers segments dont la somme des longueurs est 28 sont tous tangents au cercle en un même point et où le neuvième peut faire par exemple 28 cm.
                     http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-Polygone.gif
Tu voulais peut-être dire que les points de tangence doivent appartenir à chacun des segments ?

Alors, je pense que le neuvième pourrait faire à peu près 5 cm ...

 #12 - 14-06-2011 17:53:50

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,697E+3

on tourne aurour...

Comme ça, sans trop de calcul, je dirais 4, 5 ou 6cm.

La première tangence laisse a d'un côté du point de tangence et b de l'autre (avec a+b = 1)

La seconde ne peut donc que laisser b au début (symétrie des tangentes ) et c=2-b de l'autre

...
1 : a et 1-a
2 : 1-a et 2-(1-a) = 1+a
3 : 1+a et 2-a
4 : 2-a et 2+a
5 : 2+a et 3-a
6 : 3-a et 3+a
7 : 3+a et 4-a
8 : 4-a et 4+a
9 ( de longueur x ) : 4+a et x- (4+a)

D'où x- (4+a) = a  soit x=2a+4

Après, on doit pouvoir raisonner avec les tangentes en fonction du rayon et le fait que la sommes des angles fasse 360°

EDIT : Mais bon , je n'y arrive pas alors je ruse.. ."a" ne pouvant être ni 0 ni 1 , j'augmente mes chances en répondant  5

 #13 - 16-06-2011 20:33:33

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4959

on tiurne autour...

J'avais bien l'encadrement 4<x<6  mais j'avais essayé de trouver la valeur exacte de x alors que ça n'était pas demandé smile

Y'a-t-il un moyen simple de l'obtenir ???

Vasimolo

 #14 - 16-06-2011 20:43:37

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,697E+3

O ntourne autour...

Oui, 5 OK, mais pourquoi le premier segment doit-il être obligatoirement tangent en son milieu ? Je reste comme Vasimolo sur 4<x<6...

 #15 - 16-06-2011 20:54:23

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4959

On tourne autuor...

En fait la question ne demande qu'une valeur approchée à 1 près donc 5 convient parfaitement ( c'est même la seule valeur que l'on peut donner avec certitude sans autre calcul ) . Mais bon la bonne réponse est peut-être 4,1 et alors la réponse 5 est un peu décevante big_smile

Vasimolo

 #16 - 16-06-2011 22:31:40

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,697E+3

On tourne autour..

Pas faux, j'avais "lu" arrondi à l'entier le plus proche.

 

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