Aucun, un exemple suffit : 2 2 4 2 1 => sommes = 8 8 7 5 5

Maintenant, il faut peut-être regarder s'il ne peut pas y en avoir 1 2 3 4 ou 5

Pour 4 et 5 c'est réglé puisque 3 multiples de 3 seraient consécutifs. donc impossible

Si il y en a 1 : appelons le "x"

abcdx : 
c+d est non multiple de 3
a+b est non multiple de 3
a+d est non multiple de 3

maintenant , modulo 3 : il ne faut pas que la somme de 3 des ces nombres modulo3 soit multiple de 3

x mod3= 0
si a mod 3 = 1  alors, b mod3=1 , donc c mod3=2
Mais si a mod = 1 , et x mod 3= 0 on a aussi d mod3=1 donc cmod 3 =1

si a mod 3 = 2  alors, b mod3=2 , donc c mod3=1
Mais si a mod = 2 , et x mod 3= 0 on a aussi d mod3=2 donc cmod 3 =2

Un seul multiple de 3 aboutit donc à un cas impossible

S'il y en a 2 : appelons les x et y


abcxy :  a b et c ne peuvent pas avoir tous le même modulo  car leur somme serait divisible par 3, conséquence: a+b ou b+c sera multiple de 3
donc y+a+b ou b+c+x le sera aussi  Cas impossible

abxcy : 22323 ça marche, donc il peut y en avoir 2 dans cette configuration et ses variantes. On voit facilement que a b et c doivent être de même modulo3 non nul mais ça marche


Dernier cas : 3 multiples de 3 x y et z

ils sont non consécutifs bien sûr :

axybz :  même raisonnement que le cas précedent 13313, ça marche a et b doivent juste être de même modulo 3 non nul


Donc, il peut y avoir 0, 2 ou 3 multiples de 3 autour de ce cercle.

C'est amusant.
On peut remplacer un nombre par son reste dans la division par 3 qui sera 0, 1 ou 2.
Un 0 n'a jamais un 0 pour voisin, ni deux voisins 1 et 2.
Un 1 n'a jamais un 2 pour voisin, ni deux 1 pour voisins.
Un 2 n'a jamais un 1 pour voisin, ni deux 2 pour voisins.
Il ne reste que deux configurations à une rotation près :

             1   1                   2   2

           0        0              0        0

               1                       2

Il y a donc deux multiples de 3.

On peut raisonner modulo 3, il n'y alors sur le cercle que des 0, des 1 et/ou des 2.

Deux 0 ne peuvent pas être côte à côte, il y a donc au maximum deux 0 sur le cercle.

Un 1 ne peut pas être mis à côté d'un 2, donc si il y a un 1 sur le cercle, il est entouré soit de deux 0, soit d'un 1 et d'un 0 (raisonnement symétrique s'il y a un 2).

Enfin la succession 1--0--2 est interdite.

Cela ne laisse que deux possibilités
-1--0--1--0--1-  ou -2--0--2--0--2-


Il y a donc deux nombres divisibles par 3

J'ai la séquence

1 - 1 - 3 - 1 - 3

La somme de deux nombres adjacents donne 2 ou 4.
La somme de trois nombres adjacents donne 5 ou 7.

Il y a forcément 2 nombres multiples de 3.

Ceci vient du fait que les chiffres peuvent être classés comme ceci:
Les 3n-1, les 3n et les 3n+1.

Il en découle trois règles:
- Un 3n-1 et un 3n+1 ne peuvent pas être adjacents ni de part et d'autre d'un multiple de 3 puisque leur somme est multiple de 3.
- Il ne peut pas y avoir plus de 2 nombres adjacents du même type puisque leur somme serait multiple de 3.
- Deux multiples de 3 ne peuvent pas être adjacents puisque leur somme est également multiple de 3.

Il faut donc obligatoirement un multiple de 3 puis un ou deux non multiples de 3 de même type (soit deux 3n-1 soit deux 3n+1) puis un nouveau multiple de 3, etc.

La séquence est donc composée de 3n et soit toujours des 3n+1 soit toujours des 3n-1, seul ou par paire, qui séparent les multiples de 3.

Autre solution avec que des 1 :

1 - 111 - 1111 - 111111 - 1111111

On peut ainsi toujours garnir un cercle d'une quantité arbitraire de nombres. Ca marche pour 5, mais pour plus aussi et moins bien sûr.

Assez atypique...

Je raisonne modulo 3. Je ne considère donc que 0, 1 et 2.
La question devient: combien y a-t-il de 0?

Il est évident que 3 nombres identiques ne peuvent se suivre, que deux 0 ne peuvent se suivre, que 1 et 2 ne peuvent se suivre, que 0 1 2 ne peuvent se suivre d'après l'hypothèse.

Tout d'abord, il faut noter qu'il y a au moins un 0. En effet sinon il n'y a que des 2 et des 1. Comme il ne peut pas y avoir de 1 à côté d'un 2 (1+2=3), il n'y a que des 1 ou que des 2 mais alors la somme de 3 nombres adjacents est divisible par 3. Il y a donc forcément au moins un 0. Comme hormis ce 0, il reste 4 cases adjacentes, le même raisonnement nous dit qu'il en faut même au moins un second (sinon quatre 1 ou quatre 2 se suivent). Il y a donc au moins deux 0. Or comme deux 0 ne peuvent se suivre, il ne peut pas y en avoir trois ou plus sinon deux d'entre eux seraient adjacents. Donc si une telle configuration existe, elle a exactement deux 0 donc deux nombres multiples de 3.

Vérifions si une telle solution existe (et voire même quelles sont-elles).
Que peut-on mettre à côté d'un 0? Pas un 0. On peut mettre un 1 mais alors dans ce cas, de l'autre coté du 0, on ne peut mettre ni 0 (0+0=0 divisible par 3) ni un 2 (0+1+2=3), donc la combinaison est: 1 0 1. Si on met un 2, on doit en mettre un de l'autre côté aussi pour la même raison et la combinaison est 2 0 2.

Comme il y a deux 0, il y a deux fois: 1 0 1 ou 2 0 2 (il ne peut pas y avoir 1 0 1 et 2 0 2 sur la même solution car cela fait 6 nombres).
Il n'y a donc que deux solutions modulo 3:
1 0 1 0 1 aux rotations près
2 0 2 0 2 aux rotations près.

En voici 2 exemples concrets:
4 3 7 6 10
5 9 8 6 2

Merci pour cette énigmette.

Ma réponse ne respire clairement pas la rigueur mathématique, mais comme je ne me souviens plus comment je devrais démontrer/rédiger cela...

Soient a,b,c,d,e entiers naturels.
Pour mettre en évidence la divisibilité par 3 de ces entiers naturels, on considère que pour chacun de ces nombres, il existe un k, entier naturel, tel que ces nombres soient égaux à 3k, à 3k+1 ou à 3k+2.

Les nombres étant placés sur un cercle, je prends a=3k.
En appliquant la consigne de somme 2 à 2 et 3 à 3 non divisibles par 3, on trouve les 4 séries suivantes :
a=3k, b=3k+1, c=3k, d=3k+1, e=3k+1
a=3k, b=3k+1, c=3k+1, d=3k, e=3k+1
a=3k, b=3k+2, c=3k, d=3k+2, e=3k+2
a=3k, b=3k+2, c=3k+2, d=3k, e=3k+2

Dans tous les cas, on a donc 2 des 5 entiers naturels qui sont multiples de 3.

Réciproquement, on avait nécessairement au moins un des entiers égal à 3k, car :
Supposons qu'aucun des entiers ne soit multiple de 3.
Hyp 1: a=3k+1 => b=3k+1 (car si b=3k+2, alors a+b est multiple de 3)
=> c pas de solution. (si c=3k+1, alors a+b+c multiple de 3, et si c=3k+2, alors b+c multiple de 3).
Hyp 2: a=3k+2 => b=3k+2 (car si b=3k+1, alors a+b est multiple de 3)
=> c pas de solution. (si c=3k+2, alors a+b+c multiple de 3, et si c=3k+1, alors b+c multiple de 3).


Tout ca pour dire que la réponse est 2.