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 #1 - 20-01-2012 20:31:26

nodgim
Elite de Prise2Tete
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entiers consécutifq

Bonsoir à tous.
Comme d'hab, une courte question qui ne préjuge pas de la longueur de la réponse...

Quels sont les entiers somme d'au moins 2 entiers naturels consécutifs ?

Bon amusement.



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 #2 - 20-01-2012 21:35:43

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Entiers consécutfs

Je dirais tous les entiers strictement positifs sauf les puissances de 2 paires.

 #3 - 20-01-2012 21:58:38

racine
Elite de Prise2Tete
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entiers condécutifs

A vue de nez, il y a un problème sur les puissances de deux...
A voir.

 #4 - 20-01-2012 22:29:14

scrablor
Expert de Prise2Tete
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ebtiers consécutifs

Belle question mais je manque de temps.
Je propose : tous les entiers naturels non nuls sauf les puissances de 2.

Les impairs : 2n+1=n+(n+1)
Les multiples de 3 : 3n=(n-1)+n+(n+1)
Les multiples de 5 : 5n=(n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2)
Etc.

Il reste à éliminer les puissances de 2: 2*SOMME=(Nb de termes)*(1er+dernier) mais (Nb de termes) & (1er+dernier) sont de parité différente ! SOMME n'est donc pas une puissance de 2.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #5 - 20-01-2012 22:46:03

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Lieu: UK

Enters consécutifs

n + n+1 = les impairs sauf 1
n-1 + n + n+1 = les multiples de 3
4n-2=2(2n-1)  les pairs sauf multiples de 4 et pas 2
5(n-1)=les multiples de 5
....
tous sauf 2, 4, 8, 16, ... ce qui laisserait penser que seules les puissances de 2 ne peuvent être la somme d'entiers consécutifs.

Démonstration
Soit N la somme de k entiers consécutifs.

Si k est impair, alors N=k m, m étant la valeur centrale.
ex: la somme de  5 6 7 8 9 est 5*7=35
Donc tous les nombres ayant pour diviseur un impair k>2, peuvent s’écrire comme une somme consécutive de k entiers, k étant impair.

Si k est pair,
Si k=2, nous retrouvons tous les impairs à partir de 3
Tous nombres impairs 2n+1 avec n>0 peut s’écrire comme la somme de n et n+1

Si k>2, la valeur centrale de la somme est impaire et des binomes dans notre somme d'entier peuvent etre formés pour faire cette somme. La somme de k entiers, k etant impair, nous donne 2^(k/2-1) * valeur centrale [impair!]

Bilan
Tous les entiers ayant au moins un impair >1 comme diviseur, en incluant l'entier lui-même, peut s’écrire sous la forme d'une somme d'entiers consécutifs. Les entiers qui ne correspondent pas à cette définition sont les puissances de 2.


The proof of the pudding is in the eating.

 #6 - 20-01-2012 23:38:15

titoufred
Elite de Prise2Tete
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entierq consécutifs

Je tente une démonstration :

1)Tout entier x strictement positif qui n'est pas une puissance de 2 paire peut s'écrire comme somme d'au moins 2 entiers naturels consécutifs :

Si x=1 alors:
    x = 0 + 1
Sinon (x <> 1):
    x = pq avec p un entier impair (p>=3) et q un entier (q>=1).
    On note k l'entier tel que p=2k+1. On a k>=1.
    Si q>=k alors:
        la somme des p termes (q-k)+...+(q+k) de moyenne q vaut pq, soit x.
    Sinon (q<k):
        la somme des 2q termes (k-q)+...+(k+q+1) de moyenne p/2 vaut pq = x.
    Fin Si
Fin Si

2)Toute somme d'au moins 2 entiers naturels consécutifs est un entier strictement positif qui n'est pas une puissance de 2 paire :

Soit S la somme de n entiers naturels consécutifs commençant par a
(avec n>=2 et a>=0) :
S = a+ ... +(a+n-1) = n(2a+n-1)/2

Si n est impair alors:
    2a+n-1 est pair et donc (2a+n-1)/2 est un entier.
    Par conséquent, n est un diviseur impair non trivial de S, et donc S
    n'est pas une puissance de 2 paire.
Sinon (n est pair):
    S = (2a+n-1)n/2
    n/2 est un entier
    2a+n-1 est un diviseur impair de S
    Si a=0 et n=2 alors:
        S=1 donc S n'est pas une puissance de 2 paire.
    Sinon (a>=1 ou n>=4)
        2a+n-1>=3 et donc c'est un diviseur impair non trivial de S, et donc S
        n'est pas une puissance de 2 paire.
    Fin Si
Fin Si

 #7 - 20-01-2012 23:56:55

titoufred
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entiers conséxutifs

Je reprends le 2), en beaucoup plus court :

2)Toute somme d'au moins 2 entiers naturels consécutifs est un entier strictement positif qui n'est pas une puissance de 2 paire :

Soit S la somme de n entiers naturels consécutifs commençant par a
(avec n>=2 et a>=0) :
S = a+ ... +(a+n-1) = n(2a+n-1)/2
et donc 2S = n(2a+n-1)
Supposons que S est une puissance de 2 paire.
Alors n est pair.
On ne peut avoir n=2 et a=0 car sinon, on aurait S=1.
Par conséquent 2a+n-1 est un diviseur impair non trivial de S.
C'est absurde.

 #8 - 21-01-2012 01:20:02

dhrm77
L'exilé
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entiers consécutufs

avec 2 nombres consecutifs: tous les nombres impairs.
avec 3 nombres consecutifs: tous les multiples de 3 a partir de 3
avec 4 nombres consecutifs: 6, 10, 14, 18, 22, etc...
avec 5 nombres consecutifs: 10,15,20,25,30,35, etc...
avec 6 nombres consecutifs: 15, 21, 27, 33, 39, etc...
avec 7 nombres consecutifs: 21, 28, 35, 42, 49, etc...
avec 8 nombres consecutifs: 28, 36, 44, 52, etc...

donc en résumé on peut faire tous les nombres sauf 0, 2, 4, 8, 16, 32, etc....
Soit 0 et les puissances de 2 a partir de 2.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #9 - 21-01-2012 08:13:54

nodgim
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Entieers consécutifs

Beaucoup de réponses qui convergent vers la solution, mais peu de démo, seul Titoufred s'y est collé.

Indice:
Comment trouver une solution pour un nombre quelconque ?

 #10 - 21-01-2012 09:26:45

gwen27
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Entiers cosécutifs

Si N est impair, il est décomposable en 2 facteurs (2n+1)

Si n est pair :
La somme de n entiers consécutifs x étant le premier est  nx + n(n-1)/2

Dans le cas d'un nombre n impair, on a donc :  n (x+(n-1)/2) avec n-1/2 entier

ce qui revient à dire qu'on obtient un multiple de n.

Si le nombre N que l'on cherche est multiple de n, il pourra être exprimé sous la forme

N=nX

On pose X = x + (n-1)/2 soit x = X-(n-1)/2

Un multiple de n impair est donc décomposable en somme d'entiers consécutifs.
En prenant la décomposition du nombre en facteurs premiers, on trouve la plus petite décomposition en n facteurs, n étant le plus petit facteur premier.

Si N est lui même premier, il est impair et donc décomposable en 2 facteurs (2n+1) D'ailleurs, on est dans le cas "pair" Mais cela amène à se pencher sur le cas du nombre 2

Si N est une puissance de 2 , il n'est pas exprimable comme somme d'entiers consécutifs.

Exemple : 43 impair : 21+22

36 = 3^2 x 2^3  donc 3 termes    avec donc 12 au milieu 11 12 13

60 = 3 x 4 x 5  donc 3 termes  avec 4x5 = 20 au milieu 19 20 21

728 = 2^3 * 7 * 13 donc 7 termes  101 à 107

13542484242 = 2 * 3 * 7 * 43 * 863 * 8689 donc 3 termes :
4514161413     4514161414     4514161415

 #11 - 21-01-2012 09:50:58

franck9525
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entuers consécutifs

Je viens de m'y coller egalement smile Un bien beau problème.


The proof of the pudding is in the eating.

 #12 - 21-01-2012 10:35:58

nodgim
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nEtiers consécutifs

Dans ta démo Gwen, il me semble que tu ne tiens pas vraiment compte du plus petit multiple de n. Si ce multiple est plus grand que le nombre décomposé ?

 #13 - 21-01-2012 11:06:27

gwen27
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Entiers consécuttifs

Je crois avoir compris ce que tu veux dire :

Pour 14=2x7 par exemple, j'aboutis à une décomposition en 7 facteurs :

-1  0  1  2  3  4  5  mais le centre étant positif (2) je peux toujours annuler les termes négatifs avec les premiers termes positifs.
Reste donc  : 2 3 4 5

26 = 13x2

-4  -3  -2  -1  0  1  2  3  4  5  6  7  8

...etc

 #14 - 21-01-2012 12:14:35

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
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Entiers conssécutifs

Bonjour

J'ai pris le problème à l'envers :

Somme de deux entiers consécutifs : k+k+1 = 2k+1
ce sont les nombres impairs

Somme de trois entiers consécutifs : k+k+1+k+2 = 3k+3
ce sont les multiples de 3

Somme de quatre entiers consécutifs : k+k+1+k+2+k+3 = 4k +1+2+3 = 4k+6

Somme de cinq entiers consécutifs : k+k+1+k+2+k+3+k+4= 5k +1+2+3+4 = k+10

Somme de n entiers consécutifs à partir de l'entier k = nk + n(n-1)/2

donc, à suivre pour caractériser les entiers sommes d'au moins deux entiers consécutifs ...
Je suppose qu'il faut trouver un raisonnement de type "crible"


Merci, bon WE


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #15 - 21-01-2012 12:27:17

Vasimolo
Le pâtissier
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Entiers onsécutifs

C'est possible pour tous les entiers positifs qui ne sont pas des puissances de 2 et seulement pour eux .

soit [latex]x=p2^a[/latex] un entier non nul et [latex]p[/latex] impair et supposons : [latex]x=(y+1)+(y+2)+(y+3)+...+(y+n)[/latex] alors [latex]x=n(y+\frac{n+1}2)[/latex] .

Si [latex]p=1[/latex] alors [latex]2x=2^{a+1}=n(2y+n+1)[/latex] ce qui est impossible .

Si [latex]1<p\leq 2^{a+1}[/latex] alors [latex]\frac{p+1}2 \leq 2^a[/latex] . En posant [latex]y=2^a-\frac{p+1}2[/latex] et [latex]n=p[/latex] on a [latex](y+1)+(y+2)+...+(y+n)=x
[/latex]
Si [latex]2^{a+1}<p[/latex] alors [latex]p=2r+1[/latex] avec [latex]2^a\leq r[/latex] . En posant [latex]y=r-2^a[/latex] et [latex]n=2^{a+1}[/latex] on a : [latex](y+1)+(y+2)+...+(y+n)=x[/latex]

Vasimolo

 #16 - 21-01-2012 12:45:52

nodgim
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Eniters consécutifs

Une réponse complète pour Vasimolo.
Même démarche que la mienne, à la présentation près.

 #17 - 21-01-2012 19:26:58

L00ping007
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entiers condécutifs

La réponse est : seules les puissances de 2 ne sont pas la somme d'au moins 2 nombres consécutifs.

J'arrive à montrer aisément que les puissances de 2 ne le sont pas.
Pour montrer que ce sont les seuls nombres, j'ai un peu du mal à mettre mon intuition en démo.
Les nombres impairs, pas de souci, les 4n+2 aussi, seuls les 4n sont à regarder d'un peu plus près.

J'ai essayé d'utiliser une récurrence : quand un nombre est somme d'un nombre impair de nombres consécutifs, son double l'est aussi. Il me manque à le montre dans le cas d'un nombre pair de nombres consécutifs.
Ainsi, je pourrai affirmer que les 2^k * (2n+1) vérifient les conditions (n>1), ce sont bien les nombres non puissances de 2.

Peut-on montrer que si un nombre est la somme d'un nombre pair de nombres consécutifs, alors son double l'est aussi ? Je vais réfléchir encore un peu smile

 #18 - 21-01-2012 19:36:56

shadock
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Entires consécutifs

Soit [latex]N \in \mathbb{N}[/latex]
On cherche si il existe un entier x tel que [latex]N=\sum_{i=0}^n (x+i-1)[/latex]
On appel [latex]S_n=\sum_{i=0}^n i = \frac{n(n+1)}{2}[/latex]

Somme :
[TeX]N=x+(x+1)+(x+2)+...+ (x+n-1)[/latex] soit [latex]S_{x+n-1}-S_{x-1}[/latex] donc [latex]N=\frac{(x+n-1)*(x+n)-x*(x-1)}{2}[/TeX]
En multipliant par 2 on obtient : [latex]\fbox{2N=n*(2x+n-1)}[/latex]


Par la suite on montre que [latex]N \neq 2^a[/latex] :
En effet [latex]n[/latex] et [latex]2x+n-1[/latex] sont de parité différente, leur produit étant pair oblige que [latex]N[/latex] est dans sa décomposition en nombre premier au moins un nombre impair. CQFD
D'où [latex]N=a*b[/latex] avec [latex]a[/latex] pair et [latex]b[/latex] impair.


Il reste donc deux choix possibles :
Si [latex]b<a[/latex] avec [latex]n=b[/latex] et [latex]a=2x+n-1[/latex] alors [latex]x=\frac{a-b+1}{2}[/latex] sinon,
Si [latex]b>a[/latex] avec [latex]n=a[/latex] et [latex]b=2x+n-1[/latex] alors [latex]x=\frac{b-a+1}{2}[/latex]


Quod erat demonstrandum ! big_smile

Shadock

PS : Je ne suis pas sur de l'exactitude de mon raisonnement.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #19 - 22-01-2012 09:01:10

nodgim
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nEtiers consécutifs

C'est bon Shadock, sauf que tu calcules 2N au lieu de N..
Juste une petite correction et ce sera parfait.

 #20 - 22-01-2012 11:21:02

rivas
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entiers conséxutifs

Un grand classique et un résultat à connaître pour les amateurs d'éngmes.

Les puissances de 2 sont les seuls entiers ne pouvant s'écrire comme une somme d'entiers consécutifs (entiers trapézoïdaux). La démo est disponible un peu partout sur le Web et ne présente pas de difficulté particulière.
Par exemple:
http://educmath.ens-lyon.fr/Educmath/re … synotr.pdf

Ce résultat est assez souvent utilisé dans des énigmes mathématiques.
Par exemple dans l'armée du général Déployé, exercice de l'un des championnat FFJM.

 #21 - 22-01-2012 11:37:33

nodgim
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Entiers coonsécutifs

Merci pour le lien Rivas.

 #22 - 22-01-2012 18:28:50

fix33
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Entierrs consécutifs

1, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19...

Tous les entiers impairs car 2n+1 = n + (n+1).
Tous les multiples de 3 car 3n = (n-1) + n + (n+1).
Tous les entiers 4n+6 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3).
Tous les multiples de 5 car 5(n+2) = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4).
Tous les multiples de 7 car 7n = (n-3) + (n-2) + (n-1) + n + (n+1) + (n+2) + (n+3).
Tous les multiples de 8 car 8n+28 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) + (n+5) + (n+6) + (n+7).
...

Donc tous les entiers impairs n et tous leurs multiples (partir de (n-1)/2).
Et puis aussi tous les nombres M[n+(M-1)/2] avec M pair... Mais cela semble intégralement contenu dans l'ensemble précédent... Ou compléter la liste pour les multiples inférieurs à (n-1)/2, comme 38=19*2 : on ne peut pas prétexter que 19 est impair, car 2 est inférieur à (19-1)/2. Il faut passer par 4n+6...

Les seuls entiers pairs non multiples de nombres impairs sont les puissances de 2 !!

Donc, il s'agit de l'ensemble des entiers naturels non nuls et non puissances de 2 ! lol

Bon OK, il y a un trou dans ma démonstration... yikes


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #23 - 24-01-2012 17:25:51

nodgim
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enyiers consécutifs

Merci à tous pour votre participation.
La réponse a été donnée de manière exhaustive par Vasimomo et Titoufred a donné un lien qui en parle très bien, il n'y a rien à ajouter...rien sauf peut être qu'on pourrait étendre la question: Si j'avais demandé qu'il fallait faire la somme de 3 nombres consécutifs minimum, comment aurait évolué le résultat ?

 #24 - 24-01-2012 17:45:12

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Entiers consécuitfs

Spoiler : On aurait quand même gardé tous les pairs qui sont multiples d'autre chose que de 2 (vu que tous les multiples de 3 sont sommes de 3 nombres consécutifs, tous les multiples de 5 sommes de 5 entiers consécutifs, et ainsi de suite pour tous les impairs, en particulier pour tous les premiers différents de 2), donc la réponse finale n'aurait pas changé en excluant les sommes de deux entiers consécutifs.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #25 - 24-01-2012 18:19:08

nodgim
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Entiesr consécutifs

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(2) — Entier consecutif definition (2) — Somme nombre entier consecutif multiple (2) — Pourquoi la somme des entiers paires =impair (2) — 3 entier consecutif 51 (2) — Deux entier naturels consecutifs tels que la somme de leurs carre soit egale a 4705 (2) — La somme de cinq nombres entiers consectifs est un multiple de 5 (2) — Deux naturel pairs consecutif dont la somme est 2012 (2) — Soit trois nombre entier consecutif on appelle n le premier des trois nombre (2) — Qu est ce qu un nombre naturel multiple de 5 consecutif (2) — 2 nombres entiers multiples consecutifs de 2 (2) — Trois nombres consecutifs dont la somme est egal au carre du dernier (2) — La somme des n premier facteur de 1 (2) — Somme des n premier entier de puissance p (2) — La solution de la somme de 2 puissance n/n puissance n (2) — La somme de deux nombres entiers consecutifs quelconques est-elle un nombre impair (2) — Somme de deux nombre entiers consecutifs est elle un nombre entier (2) — Comment caracteriser les entiers naturel qui sont la somme des 3 entiers consecutif (2) — Quels qu un nombre consecutif entier (2) — Somme d entier consecutif (2) — La somme de deux nombres entiers consecutifs quelconques est un nombrre pair (2) — Un est le entier impair a partir de 7. (2) — Il existe k?0 et un entier impair m tel que n=2^k m (2) — Produit de somme consecutive (2) — Puissance de 2 multiplie par nombre impair ecriture d un entier (2) — Somme de quatre nombres impairs consecutifs (2) — Soit la somme des entiers consecutifs (2) — Comment trouver 2 entiers consecutifs (2) — Demontrer que la somme de deux nombres entiers pairs est paire (2) — Pourquoi le produit de deux entier consecutif est toujours pair (2) — Puissance nombres consecutifs multiple de 3 (2) — Peut on ecrire 2012 comme somme de 3 entiers consecutifs ? (2) — Definition de deux entier consecutif (2) — Quel est le nombre entier consecutif de 382 (2) — Les sommes sont de 22. trouvez ces nombres. (2) — Soit p un entier impair demontrer que la somme de p nombres consecutifs est toujours un multiple de p (2) — Il existe un entier tel que la somme entiere (2) — La somme de drux nombres entier naturels consecutifs (2) — Somme des n premiers entiers consecutifs (2) — Les sommes d entiers consecutif etude de cas ou x est pair mais n est pas de puissance 2 (2) — Expliquez la somme de deux nombre entier naturels consecutifs (2) — Existe t il 2 entier naturel consecutif ou le produit est egale a leur somme (2) — 2 nombres cons?cutif (2) — Somme des n nombres entiers (2) — La somme de trois entiers consecutifs est toujours impaire (2) — Pourquoi le produit de 2 entiers consecutifs est toujours pair (2) — Multiple de 16 consecutif (2) — Cins nombres entiers consecutifs est multiple de 5 (2) — Somme de n entiers naturels consecutifs (2) — Soient 3 nombres entiers consecutifs la somme des carres (2) — Comment prouver que le resultat de 4 nombres consecutifs est 4 (2) — Produit de 4 entiers consecutifs (2) — Donner quatre exemples d une somme de trois naturels pairs consecutifs et calcules-les (2) — Calcul de la somme d un entier consecutif (2) — La somme de k 3 entier consecutif (2) — Pourquoi la somme de cinq nombres entiers consecutifs est un multiple de 5 (2) — La somme de trois nombres consecutifs est 24 trouver ces trois nombres (2) — Demontrer la somme 2 entiers consecutifs (2) — Multiple de 8 consecutif (2) — La somme de n entiers consecutifs est-elle un multiple de n ? (2) — Nombre naturel consecutif (2) — La somme de 5 entiers consecutifs est un multiple de 5 (2) — Ecrir 21 comme 2 nombre entier consequtif (2) — Somme de cinq entiers consecutifs et de six entiers consecutifs (2) — Somme de 5 nombre entiers consecutifs egal multiple de 5 (2) — Nous sommes cinq entiers consecutifs (2) — Soit la somme des entiers consecutifs suivante : s = 2011 + (2) — De quel nombre entier la somme de cinq entiers consecutifs est elle toujours un multiple (2) — Exemple de probleme pour trouver nombre entier consecutif (2) — Ecriture de 3 nombres consecutif (2) — La somme de 2011 nombres entiers relatifs negatifs tous differents de zero (2) — Somme de 5 nombres entiers multiple de 5 (2) — Comment ecrire un nombre sous la forme de la somme de deux entiers consecutifs (2) — Peut on repondre a la question si l on cherche trois entiers dont la somme est 2011 (2) — Puissance de 3 consecutive (2) — Somme nombre entier consecutif (2) — On veut montrer que la somme de quatre entier consecutif est toujour paire (2) — Additionner 5 nombres consecutifs le resultat est un multiple de 5 (2) — Exemple de multiple consecutif (2) — Trouver deux multiples consecutifs de 8 (2) — Somme de nombres entiers consecutifs (2) — Somme de 5 entiers consecutifs (2) — Puissance consecutive (2) — Le produit de deux entiers consecutifs est toujours pair (2) — Je pense a 3 nombres entiers consecutifs. je les aditionne et je trouve 342 (2) — Formule somme d entier pairs non nuls (2) — Quel sont les deux entiers pairs consecutifs de somme 82 (2) — Probleme de 3eme 2entiers consecutifs puissance dun entier (2) — Somme entiers consecutifs egale a 2014 (2) — Donne une ecriture de 25 comme la suite de deux nombres consecutifs 5eme (2) — 2 nombres consecutifs sous la forme dune puissance (2) — Je pense a quatre nombres entiers relatifs consecutif. je les additionne et je trouve -42. (2) — Entier(n-1)/2+1(pour tout membre multiple de 3) (2) — Tout entier consecutif multiple de 3 (2) — Enigme :la somme de 2011 entiers relatifs negatifs: reponse (2) — La somme de deux nombres entiers consecutif (2) — Complete avec deux entiers consecutifs p (2) — Enigme des nombre consecutif (2) — Demontrer que la somme de 5 nombres entiers consecutifs naturels est un multiple de 5 (2) — Devinette entiers consecutifs (2) — La somme de 3 nombres naturels cons??cutifs donne 366 quels sont les nombres (2) — Somme entiers consecutifs (2) — Demontrez que dehors de 357 on ne peut pas trouver trois nompres impaires consecutifs premiers tous les trois (2) — Somme de cinq entiers naturels consecutifs (2) — La somme de quatre entiers consecutifs (2) — Decomposition d un entier en somme des premiers entiers (2) — Existe t-il 3 nombre entiers consecutif dont la valeur vaut 437 (2) — Donner moi de j ai demande de nombre entier consecutif qui sont 1er entre (2) — La somme de deux nombres entiers consecutifs quelconques est-elle un nombre impair ? (2) — La somme de cinq nombres impairs consecutifs vaut 105.quels sont ces nombres ? (2) — La somme de 3 multiple de 5 consecutif (2) — Solution enigme nombre consecutifs (2) — Enigme deux nombres consecutifs dans la tete (2) — Somme d entiers naturels successifs (2) — On cherche un nombre p tel que la somme de p nombres entiers impairs consecutifs soit toujours un multiple de 5 (2) — Demonstration de la somme d entiers impairs (2) — Somme de p entiers consecutifs (2) — Determiner sept nombres impairs consecutifs dont la somme est 7 exposant 3 (2) — La somme de deux nombres entiers naturels consecutifs (2) — Deux entiers relatifs consecutifs dont la somme de leurs carres (2) — Si l on retranche 1805 au produit de deux entiers consecutifs on trouve la somme de ces deux entiers. quels sont ces deux nombres entiers ? (2) — Nombres concecutifs (2) — Etant donne un entier n rend la somme des n premiers multiples de 3. (2) — La somme de deux nombres entiers consecutifs (2) — Est t il vrai que si on ajoute trois nombre entier consecutifs on obtient toujours un multiple de trois pk (2) — N entiers naturels impairs consecutifs (1) — La somme des puissances de 2 est-elle un multiple de 7? (1) — Les entiers naturels consecutifs (1) — X est la somme de nombre entier consecutif (1) — Comment on fait 2 multiple de 5 consecutifs (1) — Calcule sur plusieurs exemples la somme de quatre entiers consecutifs. (1) — Somme de cinq entiers consecutifs est toujours 5 (1) — Nombre par deux entiers consecutifs (1) — Demontrr que la somme des n premiers entiers naturels non nuls multiples de 3 est (1) — Multiple de 3 entiers consecutifs multiple de 3 (1) — Comment trouver la somme de deux carres dont le resultat final est 48 (1) — Sur l ensemble des entiers naturels (1) — Somme de k entiers consecutif plus petit notee n (1) — Nombre a la puissance 3 est multiple de 3 (1) — Quatre multiples de trois consecutifs (1) — Quesque c est 2 entiers consecutifs definition (1) — Demontre que la somme de deux nombres impairs est toujours paire. (1) — Demonstration de la somme de 3 entiers consecutifs est un multiple de 3 (1) — La somme de deux entiers impairs est multiple de 2 (1) — Somme de 6 entiers consecutifs (1) — Produit de 3 entier consecutif (1) — Trois nombres consecutifs dont la somme vaut 863 (1) — Pour trouver la somme avec 3 entiers consecutifs (1) — Addition d entier consecutif (1) — Calcule la somme des quatre entiers consecutifs (1) — Montrer que la somme de 3 entiers consecutifs est multiple de 3 (1) — Somme de grands nombres consecutifs (1) — Deux nombres naturels multiples consecutifs de deux (1) — Somme des suite (1) — La somme de cinq entier consecutif est elle multiple de 5 (1) — De quels entiers naturels le 2012 est un multiple? (1) — Trouver trois nombres entiers consecutifs dont la somme est 16 (1) — Un est ajoute au produit de quatre nombres entiers positifs consecutifs. montrer que le resultat n est jamais un nombre premier nombre. (1) — Trouver 2 chiffres consecutifs dont la somme est un chiffre pair (1) — La somme des 2014 premiers nombres entiers (1) — Que peut on dire de la somme de 6 entiers consecutifs (1) — La somme de deux nombres multiples de 7 est elle un multiple de 7 (1) — La somme de 3 nombres multiples de 7 consecutifs (1) — La somme de 2 entiers consecutifs est toujours un nombre pair (1) — Somme des cubes des n premiers entiers naturels consecutifs impairs (1) — Nombre consecutifs entier et positif puissance (1) — Nombre entier consecutif multiple de 3 (1) — 5 entier consecutif somme vaut 35 (1) — Demontrer que si n est la somme des nombres impairs consecutifs alors n ?p (1) — Somme des n premiers naturels impairs (1) — Corrige soit p un entier impair. de?montrer que la somme de p nombres conse?cutifs est toujours un multiple de p. le re?sultat est-il encore valable pour un entier pair ? (1) — Un entier sous forme de somme d entier consecutif (1) — Somme dentier consecutifs (1) — Produit de deux nombres consecutifs toujours pair (1) — Comment peut-on caracteriser 2 entiers consecutifs? (1) — Demonstration de la somme de n premier nombre entier (1) — Calculer la somme des entiers multiples de 7 qui sont (1) — Somme 3 entier consecutif (1) — Demontrer que la somme de deux nombres entiers impaire et pair (1) — Corrige 2) montrer que la somme de trois entiers consecutifs est un multiple de 3. (1) — Somme de 2 multiples de 7 est toujours un multiple de 7 (1) — Soit s la somme de 5 nombre entier consecutif (1) — Montrer que la somme de cinq entiers consecutifs est un multiple de 5 (1) — 2 entiers paires consecutif (1) — Comment montrer que la somme des carres de deux entiers consecutifs est toujours un entier impairs (1) — De quel nombre entier la somme de cinq nombres consecutif est elle toujour un multiple le demontrer (1) — Montrer que la somme de 4 nombres consecutifs est multiple de 4 (1) — Spiral d entier naturels consecutif de centre 17 (1) — Montrer que si la somme de 3 entiers naturels consecutifs est un multiple de 3 (1) — Ecrire 360 sous la forme de produit de 2 de3 et de5 (1) — Donne deux entiers relatifs consecutifs dont la somme est - 45 (1) — Somme de 3 entiers consecutifs (1) — Demontrer que la somme de 3 nombres consecutifs quelconque est un multiple de 3 (1) — Suite de 5 nombres entiers consecutifs tels (1) — Somme de nombres impairs (1) — Trouver toutes les suites de cinq nombres entiers consecutifs (1) — Ecrire a sous la forme d un produit de cinq entiers naturels consecutifs (1) — Trouver deux nombres consecutifs qui sont une puissance d un entiers (1) — Resultat d une ecriture de 25 montrent que ses la somme de deux nombre entier consecutif (1) — Produit de 3 nombres entiers consecutifs (1) — La somme de quatre nombres entiers consecutifs est elle un multiple de 4 (1) — Soit la somme des entiers consecutifs suivante : s = 7+13 (1) — Un entier n et calculant la somme des n premiers entiers impairs. php (1) — Definition entiers consecutifs (1) — Premier des trois nombres pairs consecutifs dont la somme est 4 (1) — Somme de n impair multiple de n (1) — Quel est le produit de deux entier consecutif dont la somme donne 11 (1) — Consecutif de 45 (1) — Devinette par quel chiffre se termine 3 puissance 577 (1) — La somme des huit premier nombre impaire consecutifs (1) — Determiner nombres entiers consecutifs non premiers (1) — Somme entier puissance 3/2 (1) — Formule somme n premiers nombres naturels impairs (1) — Quels sont les entiers consecutifs qui donnent 2010 (1) — Produit de 2 nombres pairs et entier est toujours multiple de 4 (1) — La somme de quatre entiers consecutifs exemples (1) — Sommes d entiers consecutifs (1) — Pour tout nombre entier impaire n>ou=1 n+(n+2)+n(n+2) (1) — Quelle est le multiple consecutif de 6 (1) — 2013 trouve ces deux nombrres consecutif (1) — Prouver que la somme de deux entiers est consecutif (1) — Entier relatif consecutif (1) — Demontrer qu si n est impair alors n+n+1)+n(n+2) est premier (1) — La somme des carres des premiers entiers consecutif (1) — Nombre impair somme d entiers consecutifs (1) — Somme d un nombre pair et impair (1) — La somme de trois nombres impairs qui donne un nombre pair (1) — Formule de la somme de 3 nombres concecutifs multiple de 3 (1) — Produit des n entiers impairs (1) — K entiers consecutifs (1) — Lasomme de deux nombres consecutifs est elle pair ou impaire (1) — Deux nombres entiers consecutifs sont toujours premiers entre eux (1) — Multiples consecutif de 5 (1) — Nombre entier 2n est il pair (1) — Demonstration de la somme de deux entiers pairs consecutif est multiple de 4 (1) — Trouver deux entiers consecutifs qui sont une puissance d un entier (1) — 2012 en 3 nombres entiers consecutifs (1) — Soit p un entier naturel impair.montrer que la somme de p entiers naturels consecutifs est un multiple de p (1) — Comment trouver la somme de deux nombres consecutifs d un produit (1) — Comment trouver un nombre consecutif multiple de 7 (1) — Demontrer que la sommes de 4 nombres entiers n est pas un multiple de 4 (1) — Nombre entiers consecutifs ayant comme somme 2010 (1) — On propose de trouver trois nombres entiers consecutifs (1) — Nombre multiple de 5 entiers consecutifs (1) — Si n est pair la somme de n nombres consecutifs n est jamais multiple de n (1) — Formule n de la somme des entiers consecutifs (1) — Formules somme produit entiers successifs (1) — Quel sont les multiples consecutif (1) — La somme de trois entiers naturels consecutifs est comprise strictement entre 12 et 27 (1) — Somme multiples de 8 consecutifs formule (1) — Que veut dire sous la forme de deux entiers consecutifs (1) — Entiers consecutifs calcule sur plusieurs exemples la somme de quatre entiers consecutifs (1) — Exposant somme consecutifs (1) — Trouver le raisonnement d un resultat 4 nombre entier consecutif (1) — Montrer que si n est la somme des carres de 2 entiers consecutifs alors 2n-1 est le carre d un entier (1) — Equivalent de somme de n entiers consecutifs (1) — Demonstration somme des entiers consecutifs (1) — Nombre entier positifs consecutifs (1) — Il existe 5 entiers naturels consecutifs tels que la somme des carres des trois premiers nombres (1) — Trouver toute les suites de 5 entiers consecutifs tels que la somme des carres (1) — Puissance de 2 somme entiers consecutifs (1) — Trois nombres pairs consecutifs (1) — N entier impair n n est pas premier si et seulement si il existe d entiers consecutifs de somme n (1) — Probleme 2 nombre entier consecutif dont le produit augmente de 48 si l on augmente chacun de 3 3 (1) — Soit la somme des entiers consecutif suivante : s=2011+2012 (1) — Produit de n entiers consecu (1) — La somme de quatre entiers consecutifs est elle un multiple 4 (1) — Enigme somme de 4 nombres consecutifs (1) — N impair somme de n entiers consecutif (1) — Formule de la somme de n entiers consecutifs (1) — Calculer la somme des cinq plus grands entiers negatifs impairs (1) — La somme des carre nombres entiers naturels (1) — Somme des multiples de 5 et des multiples de 3 est un multiple de 8 (1) — Demontrer que en dehors de 3 5 et 7 on ne peut pas trouver trois entiers naturels impair consecutifs et premiers (1) — Somme des n premiers entiers a la puissance 0 (1) — Somme de 4 entiers consecutifs paire (1) — La somme des 5 premiers entiers naturels consecutif (1) — Definition de la somme de nombre entiers consecutifs est multiple de 5 (1) — Somme de deux nombres a puissance (1) — Nombre consecutif impair multiple de 8 (1) — Formule de la somme de toit les pairs consecutif (1) — Multiples entier de 7 (1) — Entre deux multiple consecutif de 5 (1) — Ecrire 2013 comme somme de deux nombres entiers naturels consecutifs (1) — Nombre consecutif negatifs (1) — Formule d une somme de k a n (1) — Nombres naturels consecutifs multiple (1) — 3puissance n+ 1- 3puissance n (1) — Probleme pour trouver 5 nombre entiers consecutifs (1) — Determiner trois nombres entiers consecutifs dont la somme fait 39 (1) — Pourquoi le produit de 2 consecutif est toujours pairs (1) — Demontre que la somme de 2 entiers ilpairs consecutif est un multiple de 4 (1) — La somme de 7 entiers consecutifs est un multiple de 7 corrige (1) — Somme de 5 nombre consecutifs (1) — Prouver que la somme de deux multiples d un nombre entier est-elle meme un multiple de ce nombre (1) — Somme des entier de k a n (1) — La somme de deux multiples de 7 est toujour un multiple de 7 (1) — Peut on calculer 2012 comme somme de 4 entier consecutifs (1) — Somme des nombres impairs (1) — Ajouter 5 a un multiple de 5 (1) — Demontrer que la somme de deux carres de deux nombres pairs consecutifs quelconques est un nombre pair (1) — Faire des nombre consecutif pour une somme (1) — Somme de nombre entier consecutif (1) — Multiple consecutif de 2 et de 5 (1) — Combien d ensembles de deux ou plus d entiers positifs consecutifs (1) — Nombre entier consecutif par deux multiples de 8 (1) — Pourquoi la somme deux nombres impairs consecutifs multiple de 4 (1) — Les nombre entier consecutif (1) — Trouver un chiffre qui est une puissance de trois et un multiple de deux (1) — Somme des nombres entiers consecutifs (1) — Demontrer que la somme de 3 nombres entiers consecutifs quelconques est un multiple de 3 (1) — Somme nombre consecutif 4+5+6+7 (1) — Demontrez que l somme des n premiers entiers consecutifs non nul ... (1) — Montrer que la somme de cinq entiers naturels consecutifs est un multiple de cinq (1) — Complete avec 2 entiers consecutifs (1) — La somme de trois entiers consecutifs est toujours un multiple de 3 (1) — Est-il possible de trouver deux naturels pairs consecutifs dont la somme est 2012? (1) — Trouver 2 nombres entiers relatifs consecutifs dont le produit est egal a leur sommes augmentee de1 (1) — Enigme: la somme de 2012 nombres entiers differents et strictement positifs vaut 2013.que vaut leur produit? (1) — Calcul.somme de.nombre consecutif (1) — La somme de 2 entiers consecutifs impairs est multiple de 4 (1) — Somme entiers naturels -1/12 (1) — Somme de quatre entier consecutifs est multiple de 4 (1) — (1) — La somme de cinq entiers consecutifs est-elle un multiple de 5? (1) — Definir la somme de deux nombres entier naturels consecutifs? (1) — Comment faire rapidement la somme d une suite de nombre entier impaire (1) — Somme des entiers naturels pairs (1) — La somme de cinq entiers cons?cutifs est-elle un multiple de 3 (1) — Somme des premiers entiers puissance donnee (1) — Formules d une somme d entiers naturel consecutifs (1) — De quel nombre entier la somme de cinq entiers consecutifs est-elle toujours un multiple ? (1) — Produit d entier consecutifs (1) — Sommes pairs consecutifs (1) — Quelle est l ecriture general de deux nombre entier consecutif (1) — Deux multiple consecutif de 5 (1) — Le produit de 5 entiers naturels consecutifs (1) — Trouver des multiples consecutifs (1) — 5 nombre entier consecutif sont t il multiple de 5 et pourquoi (1) — Multiples consecutifs de 28 (1) — 2012 peut on trouver deux naturels consecutifs? (1) — Prouver que la somme de 3 nombres concecutif et un multiple de 3 (1) — Deux nombres entiers consecutifs qui sont une puissance d un entier (1) — Naturel paire consecutif def (1) — Un multiple de 3 et un multiple de 5 sont toujours multiple 8 (1) — Formules entiers consecutifs non premiers (1) — Decomposition en nombre entier consecutifs (1) — Multiple consecutif de 8 (1) — Que se passe t-il si on ajoute 1 a 4 produit d entier consecutif (1) — S la somme de n entiers naturels consecutifs (1) — Puissance paires et impaire n-k (1) — Demontrer que la somme de trois nombre entiers quelconques consecutif est un multiple de 3 (1) — Soit trois nombres entiers consecutifs on appelle n le premier des troois nombres (1) — Somme des n premiers entiers naturels (1) — La somme de deux multiples d un nombre entier naturel k est un multiple de ce nombre k (1) — La somme des entier consecutif (1) — Montrez que la somme des trois nombres consecutifs est non premier (1) — Somme trois entiers naturels consecutifs (1) — Addition de produits pairs naturels (1) — 5 nombres pairs consecutifs qui donne 160 (1) — Comment demontrer la somme des n premiers entiers consecutifs (1) — En deduire la somme des n premiers nombres entier pairs non nuls (1) — Ecrit 3 nombres consecutifs dont x est le plus petit (1) — Donne 4 exemples d une somme de trois naturels impaires consecutifs (1) — Montrer qu une somme de n nombre consecutif est impaire exemple (1) — Nombre entier consecutif de 20 (1) — Combien de maniere pour trouver la sommes d entier consecutif ? (1) — 5 entiers consecutifs dont la somme de 3 = la somme des 2 autres (1) — Calculer la somme des 5 plus grands entiers negatifs impairs (1) — De quel nombre entier la somme de cinqnombre entier consecutif est elle toujours un multiple (1) — Nombre multiple de 2 est toujours un multiple de 4 (1) — Ecrire l entier consecutif a x (1) — Le produit de mes deux nombres est 48 = (1) — Somme des entiers pairs consecutifs (1) — Somme puissances de 3 (1) — Probleme : cinq entiers strictement positifs consecutifs ont la propriete suivante : trois d entre eux (1) — Somme de k entiers consecutifs ne le lus petit (1) — Soit n un nombre entier le nombre entier 2n (1) — Quels sont tous les nombres qui sont la somme de 10 nombres entiers naturels consecutifs? (1) — 2 entier moinsr et 1entier et1/5 egale... (1) — Forum entiers consecutifs (1) — Montrer que la somme de 5 entiers pairs consecutifs est un multiple de 10 (1) — La somme de 3 nbrs entier consecutif et egal a 30 (1) — Entiers naturels qui peuvent s ecrire comme une somme d entiers consecutifs (1) — Quelle est la plus grande somme possible de cinq entier pairs consecutifs incluant les entiers 10 et 12? (1) — Somme de sept nombres successifs (1) — Pourquoi 3 nombres entiers consecutifs sont toujours multiples de 3 (1) — La somme de deux entiers est multiple de 7 alors ces deux entiers sont des multiples de 7 (1) — Multiple entier consecutif (1) — Demontrerque la somme de 7 nombres entiers consecutifs est un multiple de 7 (1) — Quelles sont les 2 puissance de 10 consecutif du nombre 15 (1) — Puissance de deux ne peut pas s ecrire comme somme eniers consecutifs (1) — (1) — Somme de deux nombres entiers consecutifs (1) — Le produit de trois naturel consecutif multiple de 6 (1) — Demontrer que la somme de 7 nombres entiers consecutifs est un multiple de 7 (1) — Trouver n consecutifs non premiers (1) — Si la somme de deux carres d entiers (m^2 + n^2) est un multiple de 8 alors les deux entiers m et n sont pairs (1) — L ecriture generale de trois nombres entiers naturels impairs consecutifs (1) — Trouver une somme consecutive pour 21 (1) — La somme de deux nombres entiers consecutifs est-elle paire ou impaire (1) — Multiples consecutifs de 8 (1) — Les nombres naturels consecutifs (1) — Si on liste tous les entiers naturels inferieurs a 20 qui sont multiples de 5 ou de 7 on obtient 5 7 10 14 et 15. la somme de ces nombres est 51. trouver la somme de tous les multiples de 5 ou de 7 inferieurs a 2013. (1) — Somme de cinq nombre entier consecutif avec n-1 (1) — Couples d entiers naturels dont la somme est un multiple du produit (1) — Trois multiples de 5 consecutif (1) — Demontrer que cinq nombres entiers consecutifs (1) — Montrer que le produit (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) est multiple de cinq (1) — La somme de trois entiers consecutifs est comprise strictement (1) — 25 est la somme de nombres entier consecutifs (1) — Peut on ecrire le nombre 36 sous la forme de la somme de 3 entiers consecutifs (1) — La somme de deux nombres entiers consecutifs est un nombre pair (1) — Demonstration somme des premiers entiers pairs (1) — Facteur de puissanceaddition de puissance4 eme (1) — Demontrer que la somme de deux entiers naturels succesifs est un nombre paire (1) — Que peux t on dire de la somme de cinq entiers consecutifs ? (1) — Nombre naturel pair consecutifs (1) — En ajoutant trois nombres entiers consecutif on trouve un multiple de 3 (1) — Les carres d entiers (clara) (1) — Trouver deux entiers naturels pairs consecutifs dont la somme est 2010 ? (1) — Le produit de deux entiers consecutifs est pair (1) — Soit la somme des entiers consecutifs suivante s= (1) — Quels sont nombres peut s ?crire comme la somme de quatre entiers consecutifs (1) — Montrer que la somme de p entiers naturels consecutifs est un multiple de p (1) — Nombre par 2 multiples de 5 consecutifs (1) — La somme d deux nombres entier cons?cutif (1) — La somme de deux nombres entiers naturel consecutifs (1) — Comment ecrire cinq multiples de sept (1) — Somme de 3 nombres pairs consecutif (1) — Quels sont les entiers (naturels) qui peuvent s ecrire comme somme de deux entiers consecutifs (1) — Comment d??montrer que trois nombres entiers cons??cutifs son premiers ? (1) — Trouve trois nombre pairs consicutifs dont la somme des deux plus petits est egals au double du plus grand (1) — Pourquoi le produit de deux entier consecutif est toujours pair et multiple de 8 (1) — Determiner trois entiers consecutifs dont la somme s est 2010 (1) — Exercice de maths de 3eme somme d entiers (1) — Cherche le multipe de 6 consecutif (1) — Quel est le plus petit nombre entier de 7 chiffres dont la somme des chiffres est 35 (1) — Qu est ce que le produit de 2 nombre consecutif (1) — 7 nombres consecutifs dont la somme est 23 (1) — La somme des trois entier consecutif est-elle un miltiple de3 (1) — Somme de deux nombres entiers consecutifs exemple (1) — Quelle est la demonstration pour la somme de nombres entiers consecutifs (1) — Efinition de la somme de deux nombres entier consecutifs (1) — Num?rique (1) — Sommes d entiers consecutifs quelconques (1) — Si l on retranche 1805 au produit de entier consecutif la (1) — Suite de n entiers consecutifs multiples (1) —

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