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 #1 - 20-01-2012 20:31:26

nodgim
Elite de Prise2Tete
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entiers consécuyifs

Bonsoir à tous.
Comme d'hab, une courte question qui ne préjuge pas de la longueur de la réponse...

Quels sont les entiers somme d'au moins 2 entiers naturels consécutifs ?

Bon amusement.



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 #2 - 20-01-2012 21:35:43

titoufred
Elite de Prise2Tete
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entiers consécutids

Je dirais tous les entiers strictement positifs sauf les puissances de 2 paires.

 #3 - 20-01-2012 21:58:38

racine
Elite de Prise2Tete
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entiers consécutifq

A vue de nez, il y a un problème sur les puissances de deux...
A voir.

 #4 - 20-01-2012 22:29:14

scrablor
Expert de Prise2Tete
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Entiers consécuttifs

Belle question mais je manque de temps.
Je propose : tous les entiers naturels non nuls sauf les puissances de 2.

Les impairs : 2n+1=n+(n+1)
Les multiples de 3 : 3n=(n-1)+n+(n+1)
Les multiples de 5 : 5n=(n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2)
Etc.

Il reste à éliminer les puissances de 2: 2*SOMME=(Nb de termes)*(1er+dernier) mais (Nb de termes) & (1er+dernier) sont de parité différente ! SOMME n'est donc pas une puissance de 2.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #5 - 20-01-2012 22:46:03

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Lieu: UK

entirrs consécutifs

n + n+1 = les impairs sauf 1
n-1 + n + n+1 = les multiples de 3
4n-2=2(2n-1)  les pairs sauf multiples de 4 et pas 2
5(n-1)=les multiples de 5
....
tous sauf 2, 4, 8, 16, ... ce qui laisserait penser que seules les puissances de 2 ne peuvent être la somme d'entiers consécutifs.

Démonstration
Soit N la somme de k entiers consécutifs.

Si k est impair, alors N=k m, m étant la valeur centrale.
ex: la somme de  5 6 7 8 9 est 5*7=35
Donc tous les nombres ayant pour diviseur un impair k>2, peuvent s’écrire comme une somme consécutive de k entiers, k étant impair.

Si k est pair,
Si k=2, nous retrouvons tous les impairs à partir de 3
Tous nombres impairs 2n+1 avec n>0 peut s’écrire comme la somme de n et n+1

Si k>2, la valeur centrale de la somme est impaire et des binomes dans notre somme d'entier peuvent etre formés pour faire cette somme. La somme de k entiers, k etant impair, nous donne 2^(k/2-1) * valeur centrale [impair!]

Bilan
Tous les entiers ayant au moins un impair >1 comme diviseur, en incluant l'entier lui-même, peut s’écrire sous la forme d'une somme d'entiers consécutifs. Les entiers qui ne correspondent pas à cette définition sont les puissances de 2.


The proof of the pudding is in the eating.

 #6 - 20-01-2012 23:38:15

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Enteirs consécutifs

Je tente une démonstration :

1)Tout entier x strictement positif qui n'est pas une puissance de 2 paire peut s'écrire comme somme d'au moins 2 entiers naturels consécutifs :

Si x=1 alors:
    x = 0 + 1
Sinon (x <> 1):
    x = pq avec p un entier impair (p>=3) et q un entier (q>=1).
    On note k l'entier tel que p=2k+1. On a k>=1.
    Si q>=k alors:
        la somme des p termes (q-k)+...+(q+k) de moyenne q vaut pq, soit x.
    Sinon (q<k):
        la somme des 2q termes (k-q)+...+(k+q+1) de moyenne p/2 vaut pq = x.
    Fin Si
Fin Si

2)Toute somme d'au moins 2 entiers naturels consécutifs est un entier strictement positif qui n'est pas une puissance de 2 paire :

Soit S la somme de n entiers naturels consécutifs commençant par a
(avec n>=2 et a>=0) :
S = a+ ... +(a+n-1) = n(2a+n-1)/2

Si n est impair alors:
    2a+n-1 est pair et donc (2a+n-1)/2 est un entier.
    Par conséquent, n est un diviseur impair non trivial de S, et donc S
    n'est pas une puissance de 2 paire.
Sinon (n est pair):
    S = (2a+n-1)n/2
    n/2 est un entier
    2a+n-1 est un diviseur impair de S
    Si a=0 et n=2 alors:
        S=1 donc S n'est pas une puissance de 2 paire.
    Sinon (a>=1 ou n>=4)
        2a+n-1>=3 et donc c'est un diviseur impair non trivial de S, et donc S
        n'est pas une puissance de 2 paire.
    Fin Si
Fin Si

 #7 - 20-01-2012 23:56:55

titoufred
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entiers consécuyifs

Je reprends le 2), en beaucoup plus court :

2)Toute somme d'au moins 2 entiers naturels consécutifs est un entier strictement positif qui n'est pas une puissance de 2 paire :

Soit S la somme de n entiers naturels consécutifs commençant par a
(avec n>=2 et a>=0) :
S = a+ ... +(a+n-1) = n(2a+n-1)/2
et donc 2S = n(2a+n-1)
Supposons que S est une puissance de 2 paire.
Alors n est pair.
On ne peut avoir n=2 et a=0 car sinon, on aurait S=1.
Par conséquent 2a+n-1 est un diviseur impair non trivial de S.
C'est absurde.

 #8 - 21-01-2012 01:20:02

dhrm77
L'exilé
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Entiers conséutifs

avec 2 nombres consecutifs: tous les nombres impairs.
avec 3 nombres consecutifs: tous les multiples de 3 a partir de 3
avec 4 nombres consecutifs: 6, 10, 14, 18, 22, etc...
avec 5 nombres consecutifs: 10,15,20,25,30,35, etc...
avec 6 nombres consecutifs: 15, 21, 27, 33, 39, etc...
avec 7 nombres consecutifs: 21, 28, 35, 42, 49, etc...
avec 8 nombres consecutifs: 28, 36, 44, 52, etc...

donc en résumé on peut faire tous les nombres sauf 0, 2, 4, 8, 16, 32, etc....
Soit 0 et les puissances de 2 a partir de 2.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #9 - 21-01-2012 08:13:54

nodgim
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Entiers connsécutifs

Beaucoup de réponses qui convergent vers la solution, mais peu de démo, seul Titoufred s'y est collé.

Indice:
Comment trouver une solution pour un nombre quelconque ?

 #10 - 21-01-2012 09:26:45

gwen27
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entiers consécutufs

Si N est impair, il est décomposable en 2 facteurs (2n+1)

Si n est pair :
La somme de n entiers consécutifs x étant le premier est  nx + n(n-1)/2

Dans le cas d'un nombre n impair, on a donc :  n (x+(n-1)/2) avec n-1/2 entier

ce qui revient à dire qu'on obtient un multiple de n.

Si le nombre N que l'on cherche est multiple de n, il pourra être exprimé sous la forme

N=nX

On pose X = x + (n-1)/2 soit x = X-(n-1)/2

Un multiple de n impair est donc décomposable en somme d'entiers consécutifs.
En prenant la décomposition du nombre en facteurs premiers, on trouve la plus petite décomposition en n facteurs, n étant le plus petit facteur premier.

Si N est lui même premier, il est impair et donc décomposable en 2 facteurs (2n+1) D'ailleurs, on est dans le cas "pair" Mais cela amène à se pencher sur le cas du nombre 2

Si N est une puissance de 2 , il n'est pas exprimable comme somme d'entiers consécutifs.

Exemple : 43 impair : 21+22

36 = 3^2 x 2^3  donc 3 termes    avec donc 12 au milieu 11 12 13

60 = 3 x 4 x 5  donc 3 termes  avec 4x5 = 20 au milieu 19 20 21

728 = 2^3 * 7 * 13 donc 7 termes  101 à 107

13542484242 = 2 * 3 * 7 * 43 * 863 * 8689 donc 3 termes :
4514161413     4514161414     4514161415

 #11 - 21-01-2012 09:50:58

franck9525
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rntiers consécutifs

Je viens de m'y coller egalement smile Un bien beau problème.


The proof of the pudding is in the eating.

 #12 - 21-01-2012 10:35:58

nodgim
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entiers consécutofs

Dans ta démo Gwen, il me semble que tu ne tiens pas vraiment compte du plus petit multiple de n. Si ce multiple est plus grand que le nombre décomposé ?

 #13 - 21-01-2012 11:06:27

gwen27
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Entiers conséccutifs

Je crois avoir compris ce que tu veux dire :

Pour 14=2x7 par exemple, j'aboutis à une décomposition en 7 facteurs :

-1  0  1  2  3  4  5  mais le centre étant positif (2) je peux toujours annuler les termes négatifs avec les premiers termes positifs.
Reste donc  : 2 3 4 5

26 = 13x2

-4  -3  -2  -1  0  1  2  3  4  5  6  7  8

...etc

 #14 - 21-01-2012 12:14:35

NickoGecko
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entiers consécutigs

Bonjour

J'ai pris le problème à l'envers :

Somme de deux entiers consécutifs : k+k+1 = 2k+1
ce sont les nombres impairs

Somme de trois entiers consécutifs : k+k+1+k+2 = 3k+3
ce sont les multiples de 3

Somme de quatre entiers consécutifs : k+k+1+k+2+k+3 = 4k +1+2+3 = 4k+6

Somme de cinq entiers consécutifs : k+k+1+k+2+k+3+k+4= 5k +1+2+3+4 = k+10

Somme de n entiers consécutifs à partir de l'entier k = nk + n(n-1)/2

donc, à suivre pour caractériser les entiers sommes d'au moins deux entiers consécutifs ...
Je suppose qu'il faut trouver un raisonnement de type "crible"


Merci, bon WE


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #15 - 21-01-2012 12:27:17

Vasimolo
Le pâtissier
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entierq consécutifs

C'est possible pour tous les entiers positifs qui ne sont pas des puissances de 2 et seulement pour eux .

soit [latex]x=p2^a[/latex] un entier non nul et [latex]p[/latex] impair et supposons : [latex]x=(y+1)+(y+2)+(y+3)+...+(y+n)[/latex] alors [latex]x=n(y+\frac{n+1}2)[/latex] .

Si [latex]p=1[/latex] alors [latex]2x=2^{a+1}=n(2y+n+1)[/latex] ce qui est impossible .

Si [latex]1<p\leq 2^{a+1}[/latex] alors [latex]\frac{p+1}2 \leq 2^a[/latex] . En posant [latex]y=2^a-\frac{p+1}2[/latex] et [latex]n=p[/latex] on a [latex](y+1)+(y+2)+...+(y+n)=x
[/latex]
Si [latex]2^{a+1}<p[/latex] alors [latex]p=2r+1[/latex] avec [latex]2^a\leq r[/latex] . En posant [latex]y=r-2^a[/latex] et [latex]n=2^{a+1}[/latex] on a : [latex](y+1)+(y+2)+...+(y+n)=x[/latex]

Vasimolo

 #16 - 21-01-2012 12:45:52

nodgim
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Entiers cosécutifs

Une réponse complète pour Vasimolo.
Même démarche que la mienne, à la présentation près.

 #17 - 21-01-2012 19:26:58

L00ping007
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entiers consécutids

La réponse est : seules les puissances de 2 ne sont pas la somme d'au moins 2 nombres consécutifs.

J'arrive à montrer aisément que les puissances de 2 ne le sont pas.
Pour montrer que ce sont les seuls nombres, j'ai un peu du mal à mettre mon intuition en démo.
Les nombres impairs, pas de souci, les 4n+2 aussi, seuls les 4n sont à regarder d'un peu plus près.

J'ai essayé d'utiliser une récurrence : quand un nombre est somme d'un nombre impair de nombres consécutifs, son double l'est aussi. Il me manque à le montre dans le cas d'un nombre pair de nombres consécutifs.
Ainsi, je pourrai affirmer que les 2^k * (2n+1) vérifient les conditions (n>1), ce sont bien les nombres non puissances de 2.

Peut-on montrer que si un nombre est la somme d'un nombre pair de nombres consécutifs, alors son double l'est aussi ? Je vais réfléchir encore un peu smile

 #18 - 21-01-2012 19:36:56

shadock
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entierq consécutifs

Soit [latex]N \in \mathbb{N}[/latex]
On cherche si il existe un entier x tel que [latex]N=\sum_{i=0}^n (x+i-1)[/latex]
On appel [latex]S_n=\sum_{i=0}^n i = \frac{n(n+1)}{2}[/latex]

Somme :
[TeX]N=x+(x+1)+(x+2)+...+ (x+n-1)[/latex] soit [latex]S_{x+n-1}-S_{x-1}[/latex] donc [latex]N=\frac{(x+n-1)*(x+n)-x*(x-1)}{2}[/TeX]
En multipliant par 2 on obtient : [latex]\fbox{2N=n*(2x+n-1)}[/latex]


Par la suite on montre que [latex]N \neq 2^a[/latex] :
En effet [latex]n[/latex] et [latex]2x+n-1[/latex] sont de parité différente, leur produit étant pair oblige que [latex]N[/latex] est dans sa décomposition en nombre premier au moins un nombre impair. CQFD
D'où [latex]N=a*b[/latex] avec [latex]a[/latex] pair et [latex]b[/latex] impair.


Il reste donc deux choix possibles :
Si [latex]b<a[/latex] avec [latex]n=b[/latex] et [latex]a=2x+n-1[/latex] alors [latex]x=\frac{a-b+1}{2}[/latex] sinon,
Si [latex]b>a[/latex] avec [latex]n=a[/latex] et [latex]b=2x+n-1[/latex] alors [latex]x=\frac{b-a+1}{2}[/latex]


Quod erat demonstrandum ! big_smile

Shadock

PS : Je ne suis pas sur de l'exactitude de mon raisonnement.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #19 - 22-01-2012 09:01:10

nodgim
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entierq consécutifs

C'est bon Shadock, sauf que tu calcules 2N au lieu de N..
Juste une petite correction et ce sera parfait.

 #20 - 22-01-2012 11:21:02

rivas
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Enteirs consécutifs

Un grand classique et un résultat à connaître pour les amateurs d'éngmes.

Les puissances de 2 sont les seuls entiers ne pouvant s'écrire comme une somme d'entiers consécutifs (entiers trapézoïdaux). La démo est disponible un peu partout sur le Web et ne présente pas de difficulté particulière.
Par exemple:
http://educmath.ens-lyon.fr/Educmath/re … synotr.pdf

Ce résultat est assez souvent utilisé dans des énigmes mathématiques.
Par exemple dans l'armée du général Déployé, exercice de l'un des championnat FFJM.

 #21 - 22-01-2012 11:37:33

nodgim
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Entiiers consécutifs

Merci pour le lien Rivas.

 #22 - 22-01-2012 18:28:50

fix33
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entiets consécutifs

1, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19...

Tous les entiers impairs car 2n+1 = n + (n+1).
Tous les multiples de 3 car 3n = (n-1) + n + (n+1).
Tous les entiers 4n+6 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3).
Tous les multiples de 5 car 5(n+2) = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4).
Tous les multiples de 7 car 7n = (n-3) + (n-2) + (n-1) + n + (n+1) + (n+2) + (n+3).
Tous les multiples de 8 car 8n+28 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) + (n+5) + (n+6) + (n+7).
...

Donc tous les entiers impairs n et tous leurs multiples (partir de (n-1)/2).
Et puis aussi tous les nombres M[n+(M-1)/2] avec M pair... Mais cela semble intégralement contenu dans l'ensemble précédent... Ou compléter la liste pour les multiples inférieurs à (n-1)/2, comme 38=19*2 : on ne peut pas prétexter que 19 est impair, car 2 est inférieur à (19-1)/2. Il faut passer par 4n+6...

Les seuls entiers pairs non multiples de nombres impairs sont les puissances de 2 !!

Donc, il s'agit de l'ensemble des entiers naturels non nuls et non puissances de 2 ! lol

Bon OK, il y a un trou dans ma démonstration... yikes


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #23 - 24-01-2012 17:25:51

nodgim
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entoers consécutifs

Merci à tous pour votre participation.
La réponse a été donnée de manière exhaustive par Vasimomo et Titoufred a donné un lien qui en parle très bien, il n'y a rien à ajouter...rien sauf peut être qu'on pourrait étendre la question: Si j'avais demandé qu'il fallait faire la somme de 3 nombres consécutifs minimum, comment aurait évolué le résultat ?

 #24 - 24-01-2012 17:45:12

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

entiers cobsécutifs

Spoiler : On aurait quand même gardé tous les pairs qui sont multiples d'autre chose que de 2 (vu que tous les multiples de 3 sont sommes de 3 nombres consécutifs, tous les multiples de 5 sommes de 5 entiers consécutifs, et ainsi de suite pour tous les impairs, en particulier pour tous les premiers différents de 2), donc la réponse finale n'aurait pas changé en excluant les sommes de deux entiers consécutifs.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #25 - 24-01-2012 18:19:08

nodgim
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Entirs consécutifs

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(2) — Il etait une fois 4 nombre consecutifs dont le produit faisait 24024 quel etait le double de sa somme (2) — Pourquoi la somme des entiers paires =impair (2) — Soit la somme des entiers consecutifs (2) — 2 nombres entiers multiples consecutifs de 2 (2) — 3 entier consecutif 51 (2) — Qu est ce qu un nombre naturel multiple de 5 consecutif (2) — Deux naturel pairs consecutif dont la somme est 2012 (2) — Puissance de 2 multiplie par nombre impair ecriture d un entier (2) — Somme de deux nombre entiers consecutifs est elle un nombre entier (2) — Somme de quatre nombres impairs consecutifs (2) — Entier consecutif definition (2) — Un est le entier impair a partir de 7. (2) — La somme de deux nombres entiers consecutifs quelconques est un nombrre pair (2) — Somme nombre entier consecutif multiple (2) — Somme des n premier entier de puissance p (2) — Quesque la somme des entiers successif (2) — Somme d entier consecutif (2) — Produit de somme consecutive (2) — La somme des n premier facteur de 1 (2) — Trois nombres consecutifs dont la somme est egal au carre du dernier (2) — Quels qu un nombre consecutif entier (2) — La solution de la somme de 2 puissance n/n puissance n (2) — Il existe k?0 et un entier impair m tel que n=2^k m (2) — Il existe un entier tel que la somme entiere (2) — La somme de deux nombres entiers consecutifs quelconques est-elle un nombre impair (2) — Enigme des nombre consecutif (2) — 2 nombres cons?cutif (2) — Peut on ecrire 2012 comme somme de 3 entiers consecutifs ? (2) — Demontrer que la somme de deux nombres entiers pairs est paire (2) — Definition de deux entier consecutif (2) — Les sommes sont de 22. trouvez ces nombres. (2) — Demontrer que la somme de 5 nombres entiers consecutifs naturels est un multiple de 5 (2) — Somme des n premiers entiers consecutifs (2) — (2) — Soit p un entier impair demontrer que la somme de p nombres consecutifs est toujours un multiple de p (2) — Comment caracteriser les entiers naturel qui sont la somme des 3 entiers consecutif (2) — Expliquez la somme de deux nombre entier naturels consecutifs (2) — La somme de drux nombres entier naturels consecutifs (2) — Somme entiers consecutifs (2) — Puissance nombres consecutifs multiple de 3 (2) — Pourquoi la somme de cinq nombres entiers consecutifs est un multiple de 5 (2) — Somme des n nombres entiers (2) — Quel est le nombre entier consecutif de 382 (2) — La somme de trois nombres consecutifs est 24 trouver ces trois nombres (2) — Produit de 4 entiers consecutifs (2) — Demontrer la somme 2 entiers consecutifs (2) — Multiple de 16 consecutif (2) — La somme de k 3 entier consecutif (2) — Comment trouver 2 entiers consecutifs (2) — Calcul de la somme d un entier consecutif (2) — Somme de n entiers naturels consecutifs (2) — Multiple de 8 consecutif (2) — Les sommes d entiers consecutif etude de cas ou x est pair mais n est pas de puissance 2 (2) — Existe t il 2 entier naturel consecutif ou le produit est egale a leur somme (2) — Pourquoi le produit de deux entier consecutif est toujours pair (2) — Entiers consecutifs (2) — Pourquoi le produit de 2 entiers consecutifs est toujours pair (2) — Puissance de 3 consecutive (2) — Peut on repondre a la question si l on cherche trois entiers dont la somme est 2011 (2) — Je pense a 3 nombres entiers consecutifs. je les aditionne et je trouve 342 (2) — Le produit de deux entiers consecutifs est toujours pair (2) — La somme de 2011 nombres entiers relatifs negatifs tous differents de zero (2) — Ecriture de 3 nombres consecutif (2) — La somme de 5 entiers consecutifs est un multiple de 5 (2) — Somme de 5 nombre entiers consecutifs egal multiple de 5 (2) — Entier(n-1)/2+1(pour tout membre multiple de 3) (2) — De quel nombre entier la somme de cinq entiers consecutifs est elle toujours un multiple (2) — Somme de cinq entiers consecutifs et de six entiers consecutifs (2) — Nous sommes cinq entiers consecutifs (2) — Soit la somme des entiers consecutifs suivante : s = 2011 + (2) — Exemple de probleme pour trouver nombre entier consecutif (2) — Somme de 5 nombres entiers multiple de 5 (2) — Formule somme d entier pairs non nuls (2) — On veut montrer que la somme de quatre entier consecutif est toujour paire (2) — Additionner 5 nombres consecutifs le resultat est un multiple de 5 (2) — Probleme de 3eme 2entiers consecutifs puissance dun entier (2) — Puissance consecutive (2) — Enigme :la somme de 2011 entiers relatifs negatifs: reponse (2) — Complete avec deux entiers consecutifs p (2) — Exemple de multiple consecutif (2) — Somme entiers consecutifs egale a 2014 (2) — Quel sont les deux entiers pairs consecutifs de somme 82 (2) — Somme nombre entier consecutif (2) — 2 nombres consecutifs sous la forme dune puissance (2) — Je pense a quatre nombres entiers relatifs consecutif. je les additionne et je trouve -42. (2) — Donne une ecriture de 25 comme la suite de deux nombres consecutifs 5eme (2) — Trouver deux multiples consecutifs de 8 (2) — Somme de nombres entiers consecutifs (2) — Comment ecrire un nombre sous la forme de la somme de deux entiers consecutifs (2) — Somme de 5 entiers consecutifs (2) — Demontrez que dehors de 357 on ne peut pas trouver trois nompres impaires consecutifs premiers tous les trois (2) — Devinette entiers consecutifs (2) — Donner moi de j ai demande de nombre entier consecutif qui sont 1er entre (2) — La somme de 3 nombres naturels cons??cutifs donne 366 quels sont les nombres (2) — Decomposition d un entier en somme des premiers entiers (2) — On cherche un nombre p tel que la somme de p nombres entiers impairs consecutifs soit toujours un multiple de 5 (2) — La somme de deux nombres entiers consecutifs quelconques est-elle un nombre impair ? (2) — La somme de quatre entiers consecutifs (2) — Existe t-il 3 nombre entiers consecutif dont la valeur vaut 437 (2) — Tout entier consecutif multiple de 3 (2) — Determiner sept nombres impairs consecutifs dont la somme est 7 exposant 3 (2) — Somme d entiers naturels successifs (2) — Ecrir 21 comme 2 nombre entier consequtif (2) — La somme de cinq nombres impairs consecutifs vaut 105.quels sont ces nombres ? (2) — Somme de cinq entiers naturels consecutifs (2) — La somme de deux nombres entiers consecutif (2) — Demonstration de la somme d entiers impairs (2) — Somme de p entiers consecutifs (2) — Solution enigme nombre consecutifs (2) — Nombre naturel consecutif (2) — La somme de deux nombres entiers naturels consecutifs (2) — Nombres concecutifs (2) — La somme de deux nombres entiers consecutifs (2) — La somme de 3 multiple de 5 consecutif (2) — Enigme deux nombres consecutifs dans la tete (2) — Donner quatre exemples d une somme de trois naturels pairs consecutifs et calcules-les (2) — Cins nombres entiers consecutifs est multiple de 5 (2) — Si l on retranche 1805 au produit de deux entiers consecutifs on trouve la somme de ces deux entiers. quels sont ces deux nombres entiers ? (2) — La somme de trois entiers consecutifs est toujours impaire (2) — Etant donne un entier n rend la somme des n premiers multiples de 3. (2) — Est t il vrai que si on ajoute trois nombre entier consecutifs on obtient toujours un multiple de trois pk (2) — Deux entiers relatifs consecutifs dont la somme de leurs carres (2) — Comment on fait 2 multiple de 5 consecutifs (1) — Somme de k entiers consecutif plus petit notee n (1) — Montrer que la somme de 3 entiers consecutifs est multiple de 3 (1) — Comment trouver la somme de deux carres dont le resultat final est 48 (1) — Montrer que la somme de cinq entiers consecutifs est un multiple de 5 (1) — Nombre par deux entiers consecutifs (1) — Nombre a la puissance 3 est multiple de 3 (1) — Demonstration de la somme de 3 entiers consecutifs est un multiple de 3 (1) — Quesque c est 2 entiers consecutifs definition (1) — Demontrr que la somme des n premiers entiers naturels non nuls multiples de 3 est (1) — Somme de grands nombres consecutifs (1) — X est la somme de nombre entier consecutif (1) — Somme de cinq entiers consecutifs est toujours 5 (1) — Les entiers naturels consecutifs (1) — Trois nombres consecutifs dont la somme vaut 863 (1) — 5 entier consecutif somme vaut 35 (1) — La somme des puissances de 2 est-elle un multiple de 7? (1) — Calcule la somme des quatre entiers consecutifs (1) — Demontre que la somme de deux nombres impairs est toujours paire. (1) — Produit de 3 entier consecutif (1) — Calcule sur plusieurs exemples la somme de quatre entiers consecutifs. (1) — Pour trouver la somme avec 3 entiers consecutifs (1) — Quatre multiples de trois consecutifs (1) — Addition d entier consecutif (1) — N entiers naturels impairs consecutifs (1) — Sur l ensemble des entiers naturels (1) — Multiple de 3 entiers consecutifs multiple de 3 (1) — Deux nombres naturels multiples consecutifs de deux (1) — La somme de deux entiers impairs est multiple de 2 (1) — La somme de cinq entier consecutif est elle multiple de 5 (1) — De quels entiers naturels le 2012 est un multiple? (1) — La somme de 2 entiers consecutifs est toujours un nombre pair (1) — Demontrer que si n est la somme des nombres impairs consecutifs alors n ?p (1) — La somme des 2014 premiers nombres entiers (1) — Un est ajoute au produit de quatre nombres entiers positifs consecutifs. montrer que le resultat n est jamais un nombre premier nombre. (1) — Trouver trois nombres entiers consecutifs dont la somme est 16 (1) — Somme des cubes des n premiers entiers naturels consecutifs impairs (1) — Somme de 3 entiers consecutifs (1) — Ecrire a sous la forme d un produit de cinq entiers naturels consecutifs (1) — Nombre consecutifs entier et positif puissance (1) — La somme de deux nombres multiples de 7 est elle un multiple de 7 (1) — 2 entiers paires consecutif (1) — Somme de 6 entiers consecutifs (1) — Trouver 2 chiffres consecutifs dont la somme est un chiffre pair (1) — Demonstration de la somme de n premier nombre entier (1) — Produit de deux nombres consecutifs toujours pair (1) — Corrige soit p un entier impair. de?montrer que la somme de p nombres conse?cutifs est toujours un multiple de p. le re?sultat est-il encore valable pour un entier pair ? (1) — Nombre entier consecutif multiple de 3 (1) — Comment peut-on caracteriser 2 entiers consecutifs? (1) — Somme des n premiers naturels impairs (1) — Soit s la somme de 5 nombre entier consecutif (1) — Corrige 2) montrer que la somme de trois entiers consecutifs est un multiple de 3. (1) — Demontrer que la somme de deux nombres entiers impaire et pair (1) — Somme de 2 multiples de 7 est toujours un multiple de 7 (1) — Calculer la somme des entiers multiples de 7 qui sont (1) — Somme 3 entier consecutif (1) — Somme dentier consecutifs (1) — Que peut on dire de la somme de 6 entiers consecutifs (1) — Somme de n impair multiple de n (1) — Comment montrer que la somme des carres de deux entiers consecutifs est toujours un entier impairs (1) — Montrer que la somme de 4 nombres consecutifs est multiple de 4 (1) — Trouver deux nombres consecutifs qui sont une puissance d un entiers (1) — Soit la somme des entiers consecutifs suivante : s = 7+13 (1) — Quel est le produit de deux entier consecutif dont la somme donne 11 (1) — Consecutif de 45 (1) — Spiral d entier naturels consecutif de centre 17 (1) — Ecrire 360 sous la forme de produit de 2 de3 et de5 (1) — Somme de nombres impairs (1) — Demontrer que la somme de 3 nombres consecutifs quelconque est un multiple de 3 (1) — Trouver toutes les suites de cinq nombres entiers consecutifs (1) — Devinette par quel chiffre se termine 3 puissance 577 (1) — Resultat d une ecriture de 25 montrent que ses la somme de deux nombre entier consecutif (1) — Entier relatif consecutif (1) — 5 nombres pairs consecutifs qui donne 160 (1) — Somme des suite (1) — Definition entiers consecutifs (1) — Comment trouver la somme de deux nombres consecutifs d un produit (1) — Que veut dire sous la forme de deux entiers consecutifs (1) — Un entier sous forme de somme d entier consecutif (1) — Nombre consecutif impair multiple de 8 (1) — La somme de 3 nombres multiples de 7 consecutifs (1) — Produit de 3 nombres entiers consecutifs (1) — La somme des huit premier nombre impaire consecutifs (1) — Premier des trois nombres pairs consecutifs dont la somme est 4 (1) — Determiner nombres entiers consecutifs non premiers (1) — Un entier n et calculant la somme des n premiers entiers impairs. php (1) — Peut-on affirmer que la somme de quatre nombres entiers consecutifs est toujours un multiple de 4 ? justifier (1) — La somme de quatre nombres entiers consecutifs est elle un multiple de 4 (1) — Somme entier puissance 3/2 (1) — La somme de quatre entiers consecutifs exemples (1) — La somme de trois nombres impairs qui donne un nombre pair (1) — Pour tout nombre entier impaire n>ou=1 n+(n+2)+n(n+2) (1) — Deux nombres entiers consecutifs sont toujours premiers entre eux (1) — Quels sont les entiers consecutifs qui donnent 2010 (1) — Produit de 2 nombres pairs et entier est toujours multiple de 4 (1) — Formule somme n premiers nombres naturels impairs (1) — 2013 trouve ces deux nombrres consecutif (1) — Suite de 5 nombres entiers consecutifs tels (1) — La somme des carres des premiers entiers consecutif (1) — Demontrer qu si n est impair alors n+n+1)+n(n+2) est premier (1) — Somme d un nombre pair et impair (1) — Quelle est le multiple consecutif de 6 (1) — Prouver que la somme de deux entiers est consecutif (1) — Sommes d entiers consecutifs (1) — Lasomme de deux nombres consecutifs est elle pair ou impaire (1) — Multiples consecutif de 5 (1) — Nombre entier 2n est il pair (1) — Nombre impair somme d entiers consecutifs (1) — Produit des n entiers impairs (1) — K entiers consecutifs (1) — 2012 en 3 nombres entiers consecutifs (1) — Soit p un entier naturel impair.montrer que la somme de p entiers naturels consecutifs est un multiple de p (1) — Formule de la somme de 3 nombres concecutifs multiple de 3 (1) — Demontrer que la sommes de 4 nombres entiers n est pas un multiple de 4 (1) — Trouver deux entiers consecutifs qui sont une puissance d un entier (1) — Comment trouver un nombre consecutif multiple de 7 (1) — Demonstration de la somme de deux entiers pairs consecutif est multiple de 4 (1) — Montrer que si la somme de 3 entiers naturels consecutifs est un multiple de 3 (1) — Somme multiples de 8 consecutifs formule (1) — Formules somme produit entiers successifs (1) — Quel sont les multiples consecutif (1) — Comment demontrer la somme des n premiers entiers consecutifs (1) — Formule n de la somme des entiers consecutifs (1) — Equivalent de somme de n entiers consecutifs (1) — Si n est pair la somme de n nombres consecutifs n est jamais multiple de n (1) — La somme de trois entiers naturels consecutifs est comprise strictement entre 12 et 27 (1) — Nombre multiple de 5 entiers consecutifs (1) — Exposant somme consecutifs (1) — Nombre entier consecutif (1) — Trouver le raisonnement d un resultat 4 nombre entier consecutif (1) — Entiers consecutifs calcule sur plusieurs exemples la somme de quatre entiers consecutifs (1) — Montrer que si n est la somme des carres de 2 entiers consecutifs alors 2n-1 est le carre d un entier (1) — Demonstration somme des entiers consecutifs (1) — Probleme 2 nombre entier consecutif dont le produit augmente de 48 si l on augmente chacun de 3 3 (1) — N entier impair n n est pas premier si et seulement si il existe d entiers consecutifs de somme n (1) — Demontrer que la somme de deux carres de deux nombres pairs consecutifs quelconques est un nombre pair (1) — Nombre entier positifs consecutifs (1) — Trois nombres pairs consecutifs (1) — Trouver un chiffre qui est une puissance de trois et un multiple de deux (1) — Il existe 5 entiers naturels consecutifs tels que la somme des carres des trois premiers nombres (1) — Trouver toute les suites de 5 entiers consecutifs tels que la somme des carres (1) — Puissance de 2 somme entiers consecutifs (1) — Enigme somme de 4 nombres consecutifs (1) — Produit de n entiers consecu (1) — N impair somme de n entiers consecutif (1) — La somme de quatre entiers consecutifs est elle un multiple 4 (1) — Soit la somme des entiers consecutif suivante : s=2011+2012 (1) — Combien de maniere pour trouver la sommes d entier consecutif ? (1) — Multiples entier de 7 (1) — La somme des carre nombres entiers naturels (1) — Somme des multiples de 5 et des multiples de 3 est un multiple de 8 (1) — Demontrer que en dehors de 3 5 et 7 on ne peut pas trouver trois entiers naturels impair consecutifs et premiers (1) — Somme des n premiers entiers a la puissance 0 (1) — Prouver que la somme de deux multiples d un nombre entier est-elle meme un multiple de ce nombre (1) — Ecrire 2013 comme somme de deux nombres entiers naturels consecutifs (1) — Somme de 4 entiers consecutifs paire (1) — Somme des entier de k a n (1) — Formule d une somme de k a n (1) — Nombres naturels consecutifs multiple (1) — Definition de la somme de nombre entiers consecutifs est multiple de 5 (1) — Entre deux multiple consecutif de 5 (1) — Nombre consecutif negatifs (1) — Ajouter 5 a un multiple de 5 (1) — Somme de 5 nombre consecutifs (1) — La somme de deux multiples de 7 est toujour un multiple de 7 (1) — 3puissance n+ 1- 3puissance n (1) — Probleme pour trouver 5 nombre entiers consecutifs (1) — Determiner trois nombres entiers consecutifs dont la somme fait 39 (1) — Donne 4 exemples d une somme de trois naturels impaires consecutifs (1) — Pourquoi le produit de 2 consecutif est toujours pairs (1) — Demontre que la somme de 2 entiers ilpairs consecutif est un multiple de 4 (1) — La somme de 7 entiers consecutifs est un multiple de 7 corrige (1) — Faire des nombre consecutif pour une somme (1) — Peut on calculer 2012 comme somme de 4 entier consecutifs (1) — Somme des nombres impairs (1) — Multiple consecutif de 2 et de 5 (1) — Multiples consecutifs de 28 (1) — Les nombre entier consecutif (1) — Le produit de 5 entiers naturels consecutifs (1) — La somme de trois entiers consecutifs est toujours un multiple de 3 (1) — Somme des nombres entiers consecutifs (1) — Demontrez que l somme des n premiers entiers consecutifs non nul ... (1) — Complete avec 2 entiers consecutifs (1) — Somme de nombre entier consecutif (1) — Montrer que la somme de cinq entiers naturels consecutifs est un multiple de cinq (1) — Somme nombre consecutif 4+5+6+7 (1) — Demontrer que la somme de 3 nombres entiers consecutifs quelconques est un multiple de 3 (1) — Somme des premiers entiers puissance donnee (1) — Comment faire rapidement la somme d une suite de nombre entier impaire (1) — Nombre entier consecutif par deux multiples de 8 (1) — Formules d une somme d entiers naturel consecutifs (1) — Pourquoi la somme deux nombres impairs consecutifs multiple de 4 (1) — Combien d ensembles de deux ou plus d entiers positifs consecutifs (1) — (1) — Somme entiers naturels -1/12 (1) — Enigme: la somme de 2012 nombres entiers differents et strictement positifs vaut 2013.que vaut leur produit? (1) — Somme de quatre entier consecutifs est multiple de 4 (1) — On propose de trouver trois nombres entiers consecutifs (1) — Formule de la somme de n entiers consecutifs (1) — La somme de 2 entiers consecutifs impairs est multiple de 4 (1) — La somme de cinq entiers cons?cutifs est-elle un multiple de 3 (1) — La somme de cinq entiers consecutifs est-elle un multiple de 5? (1) — Trouver 2 nombres entiers relatifs consecutifs dont le produit est egal a leur sommes augmentee de1 (1) — Est-il possible de trouver deux naturels pairs consecutifs dont la somme est 2012? (1) — Somme des entiers naturels pairs (1) — Calcul.somme de.nombre consecutif (1) — Definir la somme de deux nombres entier naturels consecutifs? (1) — Puissance paires et impaire n-k (1) — Decomposition en nombre entier consecutifs (1) — Deux multiple consecutif de 5 (1) — Un multiple de 3 et un multiple de 5 sont toujours multiple 8 (1) — S la somme de n entiers naturels consecutifs (1) — Quelle est l ecriture general de deux nombre entier consecutif (1) — Deux nombres entiers consecutifs qui sont une puissance d un entier (1) — De quel nombre entier la somme de cinq entiers consecutifs est-elle toujours un multiple ? (1) — Produit d entier consecutifs (1) — Sommes pairs consecutifs (1) — Prouver que la somme de 3 nombres concecutif et un multiple de 3 (1) — 2012 peut on trouver deux naturels consecutifs? (1) — Naturel paire consecutif def (1) — 5 nombre entier consecutif sont t il multiple de 5 et pourquoi (1) — Trouver des multiples consecutifs (1) — Formules entiers consecutifs non premiers (1) — La somme des entier consecutif (1) — Demontrer que la somme de trois nombre entiers quelconques consecutif est un multiple de 3 (1) — Que se passe t-il si on ajoute 1 a 4 produit d entier consecutif (1) — La somme de deux multiples d un nombre entier naturel k est un multiple de ce nombre k (1) — Soit trois nombres entiers consecutifs on appelle n le premier des troois nombres (1) — Multiple consecutif de 8 (1) — Somme trois entiers naturels consecutifs (1) — Addition de produits pairs naturels (1) — Somme des n premiers entiers naturels (1) — Nombre entiers consecutifs ayant comme somme 2010 (1) — Montrez que la somme des trois nombres consecutifs est non premier (1) — De quel nombre entier la somme de cinq nombres consecutif est elle toujour un multiple le demontrer (1) — Calculer la somme des cinq plus grands entiers negatifs impairs (1) — Donne deux entiers relatifs consecutifs dont la somme est - 45 (1) — Probleme contenant 5 nombres entiers consecutif (1) — Ecrit 3 nombres consecutifs dont x est le plus petit (1) — Montrer qu une somme de n nombre consecutif est impaire exemple (1) — Nombre entier consecutif de 20 (1) — Somme de k entiers consecutifs ne le lus petit (1) — Pourquoi 3 nombres entiers consecutifs sont toujours multiples de 3 (1) — Quels sont tous les nombres qui sont la somme de 10 nombres entiers naturels consecutifs? (1) — Somme puissances de 3 (1) — 5 entiers consecutifs dont la somme de 3 = la somme des 2 autres (1) — Somme des entiers pairs consecutifs (1) — Nombre multiple de 2 est toujours un multiple de 4 (1) — Probleme : cinq entiers strictement positifs consecutifs ont la propriete suivante : trois d entre eux (1) — Entiers naturels qui peuvent s ecrire comme une somme d entiers consecutifs (1) — Quelle est la plus grande somme possible de cinq entier pairs consecutifs incluant les entiers 10 et 12? (1) — Calculer le produit de 5 entiers consecutifs est un multiple de 5 (1) — Soit n un nombre entier le nombre entier 2n (1) — Existet il deux nombres entier consecutif dont la somme est egale a 2012 (1) — Les carres d entiers (clara) (1) — Existe il trois nombre entier consecutifs dont la somme vaut 437 (1) — Demontrer que la somme de deux entiers naturels succesifs est un nombre paire (1) — Corrige la somme de deux nombre entier naturels consecutif est egale a 21 (1) — Suite de n entiers consecutifs multiples (1) — En ajoutant trois nombres entiers consecutif on trouve un multiple de 3 (1) — 2 entier moinsr et 1entier et1/5 egale... (1) — La somme de deux entiers est multiple de 7 alors ces deux entiers sont des multiples de 7 (1) — Somme de sept nombres successifs (1) — La somme de 3 nbrs entier consecutif et egal a 30 (1) — Forum entiers consecutifs (1) — Es que la somme de 4 nombres entiers consecutifs et toujour paires (1) — Le produit de mes deux nombres est 48 = (1) — Ecrire l entier consecutif a x (1) — De quel nombre entier la somme de cinqnombre entier consecutif est elle toujours un multiple (1) — Puissance de deux ne peut pas s ecrire comme somme eniers consecutifs (1) — Le produit de trois naturel consecutif multiple de 6 (1) — Quelles sont les 2 puissance de 10 consecutif du nombre 15 (1) — Demonstration somme des premiers entiers pairs (1) — La somme de deux nombres entiers consecutifs est-elle paire ou impaire (1) — (1) — Somme de cinq nombre entier consecutif avec n-1 (1) — Somme de deux nombres entiers consecutifs (1) — Si on liste tous les entiers naturels inferieurs a 20 qui sont multiples de 5 ou de 7 on obtient 5 7 10 14 et 15. la somme de ces nombres est 51. trouver la somme de tous les multiples de 5 ou de 7 inferieurs a 2013. (1) — Les nombres naturels consecutifs (1) — Si la somme de deux carres d entiers (m^2 + n^2) est un multiple de 8 alors les deux entiers m et n sont pairs (1) — Multiples consecutifs de 8 (1) — 25 est la somme de nombres entier consecutifs (1) — Facteur de puissanceaddition de puissance4 eme (1) — Peut on ecrire le nombre 36 sous la forme de la somme de 3 entiers consecutifs (1) — Trois multiples de 5 consecutif (1) — La somme de trois entiers consecutifs est comprise strictement (1) — Couples d entiers naturels dont la somme est un multiple du produit (1) — Montrer que la somme de 5 entiers pairs consecutifs est un multiple de 10 (1) — Calculer la somme des 5 plus grands entiers negatifs impairs (1) — Demontrer que cinq nombres entiers consecutifs (1) — Multiple entier consecutif (1) — Montrer que le produit (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) est multiple de cinq (1) — Demontrerque la somme de 7 nombres entiers consecutifs est un multiple de 7 (1) — Nombre naturel pair consecutifs (1) — La somme de deux nombres entiers consecutifs est un nombre pair (1) — Que peux t on dire de la somme de cinq entiers consecutifs ? (1) — Demonstration somme cinq entiers consecutifs (1) — Si l on retranche 1805 au produit de entier consecutif la (1) — Prouver qu au moins deux de ces entiers sont des nombres pairs 2012 (1) — Le produit de deux entiers consecutifs est pair (1) — Montrer que la somme de p entiers naturels consecutifs est un multiple de p (1) — Trouver deux entiers naturels pairs consecutifs dont la somme est 2010 ? (1) — Efinition de la somme de deux nombres entier consecutifs (1) — Quels sont les entiers (naturels) qui peuvent s ecrire comme somme de deux entiers consecutifs (1) — Soit la somme des entiers consecutifs suivante s= (1) — Determiner trois entiers consecutifs dont la somme s est 2010 (1) — Quels sont nombres peut s ?crire comme la somme de quatre entiers consecutifs (1) — Pourquoi le produit de deux entier consecutif est toujours pair et multiple de 8 (1) — Trouve trois nombre pairs consicutifs dont la somme des deux plus petits est egals au double du plus grand (1) — La somme de deux nombres entiers naturel consecutifs (1) — Comment d??montrer que trois nombres entiers cons??cutifs son premiers ? (1) — D??monter que la somme de 4 entier cons??cutifs augmenter de 1est un carr?? parfait (1) — Num?rique (1) — 7 nombres consecutifs dont la somme est 23 (1) — Quel est le plus petit nombre entier de 7 chiffres dont la somme des chiffres est 35 (1) — Pourquoi 2 entier consecutifs sont pairs (1) — Montrer que puissance de 2 ne peut.pas etre la somme de k entiers consecutifs (1) — Soolmme 4 entier consecutif n est pas toujours un multiple de 4 (1) — Quelle est la somme de deux entiers consecutifs (1) — La somme des trois entier consecutif est-elle un miltiple de3 (1) — 2014 peut il s ecrire comme somme d entiers naturels consecutif non nuls (1) — Exercice de maths de 3eme somme d entiers (1) —

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