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 #1 - 20-01-2012 20:31:26

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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entiers consécutids

Bonsoir à tous.
Comme d'hab, une courte question qui ne préjuge pas de la longueur de la réponse...

Quels sont les entiers somme d'au moins 2 entiers naturels consécutifs ?

Bon amusement.



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 #2 - 20-01-2012 21:35:43

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Entiers consécutfs

Je dirais tous les entiers strictement positifs sauf les puissances de 2 paires.

 #3 - 20-01-2012 21:58:38

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

Etiers consécutifs

A vue de nez, il y a un problème sur les puissances de deux...
A voir.

 #4 - 20-01-2012 22:29:14

scrablor
Expert de Prise2Tete
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Messages : 931

Entier consécutifs

Belle question mais je manque de temps.
Je propose : tous les entiers naturels non nuls sauf les puissances de 2.

Les impairs : 2n+1=n+(n+1)
Les multiples de 3 : 3n=(n-1)+n+(n+1)
Les multiples de 5 : 5n=(n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2)
Etc.

Il reste à éliminer les puissances de 2: 2*SOMME=(Nb de termes)*(1er+dernier) mais (Nb de termes) & (1er+dernier) sont de parité différente ! SOMME n'est donc pas une puissance de 2.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #5 - 20-01-2012 22:46:03

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Lieu: UK

entiers condécutifs

n + n+1 = les impairs sauf 1
n-1 + n + n+1 = les multiples de 3
4n-2=2(2n-1)  les pairs sauf multiples de 4 et pas 2
5(n-1)=les multiples de 5
....
tous sauf 2, 4, 8, 16, ... ce qui laisserait penser que seules les puissances de 2 ne peuvent être la somme d'entiers consécutifs.

Démonstration
Soit N la somme de k entiers consécutifs.

Si k est impair, alors N=k m, m étant la valeur centrale.
ex: la somme de  5 6 7 8 9 est 5*7=35
Donc tous les nombres ayant pour diviseur un impair k>2, peuvent s’écrire comme une somme consécutive de k entiers, k étant impair.

Si k est pair,
Si k=2, nous retrouvons tous les impairs à partir de 3
Tous nombres impairs 2n+1 avec n>0 peut s’écrire comme la somme de n et n+1

Si k>2, la valeur centrale de la somme est impaire et des binomes dans notre somme d'entier peuvent etre formés pour faire cette somme. La somme de k entiers, k etant impair, nous donne 2^(k/2-1) * valeur centrale [impair!]

Bilan
Tous les entiers ayant au moins un impair >1 comme diviseur, en incluant l'entier lui-même, peut s’écrire sous la forme d'une somme d'entiers consécutifs. Les entiers qui ne correspondent pas à cette définition sont les puissances de 2.


The proof of the pudding is in the eating.

 #6 - 20-01-2012 23:38:15

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Enters consécutifs

Je tente une démonstration :

1)Tout entier x strictement positif qui n'est pas une puissance de 2 paire peut s'écrire comme somme d'au moins 2 entiers naturels consécutifs :

Si x=1 alors:
    x = 0 + 1
Sinon (x <> 1):
    x = pq avec p un entier impair (p>=3) et q un entier (q>=1).
    On note k l'entier tel que p=2k+1. On a k>=1.
    Si q>=k alors:
        la somme des p termes (q-k)+...+(q+k) de moyenne q vaut pq, soit x.
    Sinon (q<k):
        la somme des 2q termes (k-q)+...+(k+q+1) de moyenne p/2 vaut pq = x.
    Fin Si
Fin Si

2)Toute somme d'au moins 2 entiers naturels consécutifs est un entier strictement positif qui n'est pas une puissance de 2 paire :

Soit S la somme de n entiers naturels consécutifs commençant par a
(avec n>=2 et a>=0) :
S = a+ ... +(a+n-1) = n(2a+n-1)/2

Si n est impair alors:
    2a+n-1 est pair et donc (2a+n-1)/2 est un entier.
    Par conséquent, n est un diviseur impair non trivial de S, et donc S
    n'est pas une puissance de 2 paire.
Sinon (n est pair):
    S = (2a+n-1)n/2
    n/2 est un entier
    2a+n-1 est un diviseur impair de S
    Si a=0 et n=2 alors:
        S=1 donc S n'est pas une puissance de 2 paire.
    Sinon (a>=1 ou n>=4)
        2a+n-1>=3 et donc c'est un diviseur impair non trivial de S, et donc S
        n'est pas une puissance de 2 paire.
    Fin Si
Fin Si

 #7 - 20-01-2012 23:56:55

titoufred
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Entiers conéscutifs

Je reprends le 2), en beaucoup plus court :

2)Toute somme d'au moins 2 entiers naturels consécutifs est un entier strictement positif qui n'est pas une puissance de 2 paire :

Soit S la somme de n entiers naturels consécutifs commençant par a
(avec n>=2 et a>=0) :
S = a+ ... +(a+n-1) = n(2a+n-1)/2
et donc 2S = n(2a+n-1)
Supposons que S est une puissance de 2 paire.
Alors n est pair.
On ne peut avoir n=2 et a=0 car sinon, on aurait S=1.
Par conséquent 2a+n-1 est un diviseur impair non trivial de S.
C'est absurde.

 #8 - 21-01-2012 01:20:02

dhrm77
L'exilé
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Entiers conséctifs

avec 2 nombres consecutifs: tous les nombres impairs.
avec 3 nombres consecutifs: tous les multiples de 3 a partir de 3
avec 4 nombres consecutifs: 6, 10, 14, 18, 22, etc...
avec 5 nombres consecutifs: 10,15,20,25,30,35, etc...
avec 6 nombres consecutifs: 15, 21, 27, 33, 39, etc...
avec 7 nombres consecutifs: 21, 28, 35, 42, 49, etc...
avec 8 nombres consecutifs: 28, 36, 44, 52, etc...

donc en résumé on peut faire tous les nombres sauf 0, 2, 4, 8, 16, 32, etc....
Soit 0 et les puissances de 2 a partir de 2.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #9 - 21-01-2012 08:13:54

nodgim
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Entiers cosnécutifs

Beaucoup de réponses qui convergent vers la solution, mais peu de démo, seul Titoufred s'y est collé.

Indice:
Comment trouver une solution pour un nombre quelconque ?

 #10 - 21-01-2012 09:26:45

gwen27
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Etniers consécutifs

Si N est impair, il est décomposable en 2 facteurs (2n+1)

Si n est pair :
La somme de n entiers consécutifs x étant le premier est  nx + n(n-1)/2

Dans le cas d'un nombre n impair, on a donc :  n (x+(n-1)/2) avec n-1/2 entier

ce qui revient à dire qu'on obtient un multiple de n.

Si le nombre N que l'on cherche est multiple de n, il pourra être exprimé sous la forme

N=nX

On pose X = x + (n-1)/2 soit x = X-(n-1)/2

Un multiple de n impair est donc décomposable en somme d'entiers consécutifs.
En prenant la décomposition du nombre en facteurs premiers, on trouve la plus petite décomposition en n facteurs, n étant le plus petit facteur premier.

Si N est lui même premier, il est impair et donc décomposable en 2 facteurs (2n+1) D'ailleurs, on est dans le cas "pair" Mais cela amène à se pencher sur le cas du nombre 2

Si N est une puissance de 2 , il n'est pas exprimable comme somme d'entiers consécutifs.

Exemple : 43 impair : 21+22

36 = 3^2 x 2^3  donc 3 termes    avec donc 12 au milieu 11 12 13

60 = 3 x 4 x 5  donc 3 termes  avec 4x5 = 20 au milieu 19 20 21

728 = 2^3 * 7 * 13 donc 7 termes  101 à 107

13542484242 = 2 * 3 * 7 * 43 * 863 * 8689 donc 3 termes :
4514161413     4514161414     4514161415

 #11 - 21-01-2012 09:50:58

franck9525
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Entiers cnsécutifs

Je viens de m'y coller egalement smile Un bien beau problème.


The proof of the pudding is in the eating.

 #12 - 21-01-2012 10:35:58

nodgim
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entoers consécutifs

Dans ta démo Gwen, il me semble que tu ne tiens pas vraiment compte du plus petit multiple de n. Si ce multiple est plus grand que le nombre décomposé ?

 #13 - 21-01-2012 11:06:27

gwen27
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Enters consécutifs

Je crois avoir compris ce que tu veux dire :

Pour 14=2x7 par exemple, j'aboutis à une décomposition en 7 facteurs :

-1  0  1  2  3  4  5  mais le centre étant positif (2) je peux toujours annuler les termes négatifs avec les premiers termes positifs.
Reste donc  : 2 3 4 5

26 = 13x2

-4  -3  -2  -1  0  1  2  3  4  5  6  7  8

...etc

 #14 - 21-01-2012 12:14:35

NickoGecko
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Entiers cnosécutifs

Bonjour

J'ai pris le problème à l'envers :

Somme de deux entiers consécutifs : k+k+1 = 2k+1
ce sont les nombres impairs

Somme de trois entiers consécutifs : k+k+1+k+2 = 3k+3
ce sont les multiples de 3

Somme de quatre entiers consécutifs : k+k+1+k+2+k+3 = 4k +1+2+3 = 4k+6

Somme de cinq entiers consécutifs : k+k+1+k+2+k+3+k+4= 5k +1+2+3+4 = k+10

Somme de n entiers consécutifs à partir de l'entier k = nk + n(n-1)/2

donc, à suivre pour caractériser les entiers sommes d'au moins deux entiers consécutifs ...
Je suppose qu'il faut trouver un raisonnement de type "crible"


Merci, bon WE


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #15 - 21-01-2012 12:27:17

Vasimolo
Le pâtissier
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Entirs consécutifs

C'est possible pour tous les entiers positifs qui ne sont pas des puissances de 2 et seulement pour eux .

soit [latex]x=p2^a[/latex] un entier non nul et [latex]p[/latex] impair et supposons : [latex]x=(y+1)+(y+2)+(y+3)+...+(y+n)[/latex] alors [latex]x=n(y+\frac{n+1}2)[/latex] .

Si [latex]p=1[/latex] alors [latex]2x=2^{a+1}=n(2y+n+1)[/latex] ce qui est impossible .

Si [latex]1<p\leq 2^{a+1}[/latex] alors [latex]\frac{p+1}2 \leq 2^a[/latex] . En posant [latex]y=2^a-\frac{p+1}2[/latex] et [latex]n=p[/latex] on a [latex](y+1)+(y+2)+...+(y+n)=x
[/latex]
Si [latex]2^{a+1}<p[/latex] alors [latex]p=2r+1[/latex] avec [latex]2^a\leq r[/latex] . En posant [latex]y=r-2^a[/latex] et [latex]n=2^{a+1}[/latex] on a : [latex](y+1)+(y+2)+...+(y+n)=x[/latex]

Vasimolo

 #16 - 21-01-2012 12:45:52

nodgim
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Entiers onsécutifs

Une réponse complète pour Vasimolo.
Même démarche que la mienne, à la présentation près.

 #17 - 21-01-2012 19:26:58

L00ping007
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entiers consécuyifs

La réponse est : seules les puissances de 2 ne sont pas la somme d'au moins 2 nombres consécutifs.

J'arrive à montrer aisément que les puissances de 2 ne le sont pas.
Pour montrer que ce sont les seuls nombres, j'ai un peu du mal à mettre mon intuition en démo.
Les nombres impairs, pas de souci, les 4n+2 aussi, seuls les 4n sont à regarder d'un peu plus près.

J'ai essayé d'utiliser une récurrence : quand un nombre est somme d'un nombre impair de nombres consécutifs, son double l'est aussi. Il me manque à le montre dans le cas d'un nombre pair de nombres consécutifs.
Ainsi, je pourrai affirmer que les 2^k * (2n+1) vérifient les conditions (n>1), ce sont bien les nombres non puissances de 2.

Peut-on montrer que si un nombre est la somme d'un nombre pair de nombres consécutifs, alors son double l'est aussi ? Je vais réfléchir encore un peu smile

 #18 - 21-01-2012 19:36:56

shadock
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Entiers conséccutifs

Soit [latex]N \in \mathbb{N}[/latex]
On cherche si il existe un entier x tel que [latex]N=\sum_{i=0}^n (x+i-1)[/latex]
On appel [latex]S_n=\sum_{i=0}^n i = \frac{n(n+1)}{2}[/latex]

Somme :
[TeX]N=x+(x+1)+(x+2)+...+ (x+n-1)[/latex] soit [latex]S_{x+n-1}-S_{x-1}[/latex] donc [latex]N=\frac{(x+n-1)*(x+n)-x*(x-1)}{2}[/TeX]
En multipliant par 2 on obtient : [latex]\fbox{2N=n*(2x+n-1)}[/latex]


Par la suite on montre que [latex]N \neq 2^a[/latex] :
En effet [latex]n[/latex] et [latex]2x+n-1[/latex] sont de parité différente, leur produit étant pair oblige que [latex]N[/latex] est dans sa décomposition en nombre premier au moins un nombre impair. CQFD
D'où [latex]N=a*b[/latex] avec [latex]a[/latex] pair et [latex]b[/latex] impair.


Il reste donc deux choix possibles :
Si [latex]b<a[/latex] avec [latex]n=b[/latex] et [latex]a=2x+n-1[/latex] alors [latex]x=\frac{a-b+1}{2}[/latex] sinon,
Si [latex]b>a[/latex] avec [latex]n=a[/latex] et [latex]b=2x+n-1[/latex] alors [latex]x=\frac{b-a+1}{2}[/latex]


Quod erat demonstrandum ! big_smile

Shadock

PS : Je ne suis pas sur de l'exactitude de mon raisonnement.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #19 - 22-01-2012 09:01:10

nodgim
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Entiers connsécutifs

C'est bon Shadock, sauf que tu calcules 2N au lieu de N..
Juste une petite correction et ce sera parfait.

 #20 - 22-01-2012 11:21:02

rivas
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Entiers cnsécutifs

Un grand classique et un résultat à connaître pour les amateurs d'éngmes.

Les puissances de 2 sont les seuls entiers ne pouvant s'écrire comme une somme d'entiers consécutifs (entiers trapézoïdaux). La démo est disponible un peu partout sur le Web et ne présente pas de difficulté particulière.
Par exemple:
http://educmath.ens-lyon.fr/Educmath/re … synotr.pdf

Ce résultat est assez souvent utilisé dans des énigmes mathématiques.
Par exemple dans l'armée du général Déployé, exercice de l'un des championnat FFJM.

 #21 - 22-01-2012 11:37:33

nodgim
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Entiers conéscutifs

Merci pour le lien Rivas.

 #22 - 22-01-2012 18:28:50

fix33
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Entiers conssécutifs

1, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19...

Tous les entiers impairs car 2n+1 = n + (n+1).
Tous les multiples de 3 car 3n = (n-1) + n + (n+1).
Tous les entiers 4n+6 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3).
Tous les multiples de 5 car 5(n+2) = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4).
Tous les multiples de 7 car 7n = (n-3) + (n-2) + (n-1) + n + (n+1) + (n+2) + (n+3).
Tous les multiples de 8 car 8n+28 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) + (n+5) + (n+6) + (n+7).
...

Donc tous les entiers impairs n et tous leurs multiples (partir de (n-1)/2).
Et puis aussi tous les nombres M[n+(M-1)/2] avec M pair... Mais cela semble intégralement contenu dans l'ensemble précédent... Ou compléter la liste pour les multiples inférieurs à (n-1)/2, comme 38=19*2 : on ne peut pas prétexter que 19 est impair, car 2 est inférieur à (19-1)/2. Il faut passer par 4n+6...

Les seuls entiers pairs non multiples de nombres impairs sont les puissances de 2 !!

Donc, il s'agit de l'ensemble des entiers naturels non nuls et non puissances de 2 ! lol

Bon OK, il y a un trou dans ma démonstration... yikes


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #23 - 24-01-2012 17:25:51

nodgim
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entiers consécuyifs

Merci à tous pour votre participation.
La réponse a été donnée de manière exhaustive par Vasimomo et Titoufred a donné un lien qui en parle très bien, il n'y a rien à ajouter...rien sauf peut être qu'on pourrait étendre la question: Si j'avais demandé qu'il fallait faire la somme de 3 nombres consécutifs minimum, comment aurait évolué le résultat ?

 #24 - 24-01-2012 17:45:12

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Entiers conscéutifs

Spoiler : On aurait quand même gardé tous les pairs qui sont multiples d'autre chose que de 2 (vu que tous les multiples de 3 sont sommes de 3 nombres consécutifs, tous les multiples de 5 sommes de 5 entiers consécutifs, et ainsi de suite pour tous les impairs, en particulier pour tous les premiers différents de 2), donc la réponse finale n'aurait pas changé en excluant les sommes de deux entiers consécutifs.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #25 - 24-01-2012 18:19:08

nodgim
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entiers consécutofs

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(4) — Formule somme entiers consecutifs (4) — La somme des carr??s de deux nombres entier naturel consecutif (4) — Quels nombres entiers consecutifs donnent 2010 comme somme (4) — Demonstration somme entiers consecutifs (4) — Produit de trois entiers consecutifs (4) — La somme de 49 nombres entiers consecutifs vaut 7 5 (4) — 2 multiples concecutifs de 2 (4) — Trouver toutes les suites de 5 entiers (3) — Montre que la somme de trois entier consecutif est toujours egale a 3 (3) — Somme de k entiers consecutifs (3) — Somme d entier consecutif determiner n (3) — Peut on ecrire 2012 comme somme de quatre entiers consecutifs (3) — Somme de quatre nombres impairs consecutifs multiple de 8 (3) — Soit la somme des entiers consecutifs suivante : (3) — Multiple consecutif de 7 (3) — La somme de trois entiers positifs consecutifs et impairs (3) — Quesque deux entier consecutif de n (3) — La somme des trois nombres consecutifs dont le plus grand est n (3) — Produits de multiples de 7 consecutif (3) — Produit de n entier impair (3) — Deux multiples consecutifs de 8 (3) — Formule somme d entiers consecutifs (3) — Demontrer que la somme de sept entier consecutif est toujours un multiple de 7 (3) — Somme d entiers naturels consecutifs (3) — La somme de n entiers consecutifs est elle un multiple de n? (3) — 4 multiples de 5 consecutifs dont la somme (3) — Trois nombres consecutifs (3) — Decomposition en sommes de plusieurs entiers consecutifs (3) — Qu est ce que 2 nombre entiers consequtifs (3) — Demonstration de la somme de deux entiers impairs consecutif est multiple de 4 (3) — Existe t-il 3 nombre entiers consecutif dont la valeur vaut 437 (2) — La somme de 5 entiers consecutifs est un multiple de 5 (2) — Probleme de 3eme 2entiers consecutifs puissance dun entier (2) — Comment ecrire un nombre sous la forme de la somme de deux entiers consecutifs (2) — Decomposition d un entier en somme des premiers entiers (2) — Exemple de multiple consecutif (2) — Le produit de deux entiers consecutifs est toujours pair (2) — Entier(n-1)/2+1(pour tout membre multiple de 3) (2) — Donne une ecriture de 25 comme la suite de deux nombres consecutifs 5eme (2) — Additionner 5 nombres consecutifs le resultat est un multiple de 5 (2) — Formule somme d entier pairs non nuls (2) — On veut montrer que la somme de quatre entier consecutif est toujour paire (2) — Somme de nombres entiers consecutifs (2) — Quel sont les deux entiers pairs consecutifs de somme 82 (2) — Je pense a 3 nombres entiers consecutifs. je les aditionne et je trouve 342 (2) — Ecrir 21 comme 2 nombre entier consequtif (2) — 2 nombres consecutifs sous la forme dune puissance (2) — De quel nombre entier la somme de cinq entiers consecutifs est elle toujours un multiple (2) — Exemple de probleme pour trouver nombre entier consecutif (2) — La somme de 2011 nombres entiers relatifs negatifs tous differents de zero (2) — La somme de 3 multiple de 5 consecutif (2) — Ecriture de 3 nombres consecutif (2) — Peut on repondre a la question si l on cherche trois entiers dont la somme est 2011 (2) — Nous sommes cinq entiers consecutifs (2) — Somme de 5 nombres entiers multiple de 5 (2) — Puissance de 3 consecutive (2) — Somme de cinq entiers consecutifs et de six entiers consecutifs (2) — Nombre naturel consecutif (2) — Somme entiers consecutifs egale a 2014 (2) — Somme nombre entier consecutif (2) — Somme de 5 nombre entiers consecutifs egal multiple de 5 (2) — Soit la somme des entiers consecutifs suivante : s = 2011 + (2) — Demontrer que la somme de 5 nombres entiers consecutifs naturels est un multiple de 5 (2) — Somme entiers consecutifs (2) — La somme de 3 nombres naturels cons??cutifs donne 366 quels sont les nombres (2) — Demonstration de la somme d entiers impairs (2) — La somme de deux nombres entiers consecutifs quelconques est-elle un nombre impair ? (2) — La somme de cinq nombres impairs consecutifs vaut 105.quels sont ces nombres ? (2) — Enigme deux nombres consecutifs dans la tete (2) — La somme de quatre entiers consecutifs (2) — La somme de deux nombres entiers naturels consecutifs (2) — La somme de deux nombres entiers consecutifs (2) — Determiner sept nombres impairs consecutifs dont la somme est 7 exposant 3 (2) — Si l on retranche 1805 au produit de deux entiers consecutifs on trouve la somme de ces deux entiers. quels sont ces deux nombres entiers ? (2) — Deux entiers relatifs consecutifs dont la somme de leurs carres (2) — Nombres concecutifs (2) — Etant donne un entier n rend la somme des n premiers multiples de 3. (2) — Enigme :la somme de 2011 entiers relatifs negatifs: reponse (2) — Somme de cinq entiers naturels consecutifs (2) — Puissance consecutive (2) — Pourquoi le produit de deux entier consecutif est toujours pair (2) — Pourquoi la somme de cinq nombres entiers consecutifs est un multiple de 5 (2) — Je pense a quatre nombres entiers relatifs consecutif. je les additionne et je trouve -42. (2) — Trouver deux multiples consecutifs de 8 (2) — Quel est le nombre entier consecutif de 382 (2) — Tout entier consecutif multiple de 3 (2) — Produit de 4 entiers consecutifs (2) — Devinette entiers consecutifs (2) — La somme de deux nombres entiers consecutif (2) — Solution enigme nombre consecutifs (2) — Somme d entiers naturels successifs (2) — Donner moi de j ai demande de nombre entier consecutif qui sont 1er entre (2) — Complete avec deux entiers consecutifs p (2) — Somme de 5 entiers consecutifs (2) — Existe t il 2 entier naturel consecutif ou le produit est egale a leur somme (2) — Trois nombres consecutifs dont la somme est egal au carre du dernier (2) — Somme d entier consecutif (2) — Somme de quatre nombres impairs consecutifs (2) — Produit de somme consecutive (2) — La somme de deux nombres entiers consecutifs quelconques est un nombrre pair (2) — Quels qu un nombre consecutif entier (2) — Somme des n premier entier de puissance p (2) — Deux entier naturels consecutifs tels que la somme de leurs carre soit egale a 4705 (2) — Puissance de 2 multiplie par nombre impair ecriture d un entier (2) — Un est le entier impair a partir de 7. (2) — Comment caracteriser les entiers naturel qui sont la somme des 3 entiers consecutif (2) — Soit trois nombre entier consecutif on appelle n le premier des trois nombre (2) — La somme des n premier facteur de 1 (2) — Les sommes sont de 22. trouvez ces nombres. (2) — Il existe k?0 et un entier impair m tel que n=2^k m (2) — Soit la somme des entiers consecutifs (2) — Somme nombre entier consecutif multiple (2) — Demontrer la somme 2 entiers consecutifs (2) — Il etait une fois 4 nombre consecutifs dont le produit faisait 24024 quel etait le double de sa somme (2) — La somme de deux nombres entiers consecutifs quelconques est-elle un nombre impair (2) — Entier consecutif definition (2) — 3 entier consecutif 51 (2) — La somme de trois nombres consecutifs est 24 trouver ces trois nombres (2) — Qu est ce qu un nombre naturel multiple de 5 consecutif (2) — Somme de deux nombre entiers consecutifs est elle un nombre entier (2) — Que vaut la somme des 30 premiers naturels multiples de 7? (2) — 2 nombres entiers multiples consecutifs de 2 (2) — Quesque la somme des entiers successif (2) — Pourquoi la somme des entiers paires =impair (2) — Deux naturel pairs consecutif dont la somme est 2012 (2) — Somme de n entiers naturels consecutifs (2) — Multiple de 16 consecutif (2) — La solution de la somme de 2 puissance n/n puissance n (2) — Maths regles des entiers consecutif (2) — Somme de p entiers consecutifs (2) — On cherche un nombre p tel que la somme de p nombres entiers impairs consecutifs soit toujours un multiple de 5 (2) — Lea pense qu en multipliant deux nombres impairs corrige (2) — Peut on ecrire 2012 comme somme de 3 entiers consecutifs ? (2) — Entiers consecutifs (2) — Enigme des nombre consecutif (2) — Demontrez que dehors de 357 on ne peut pas trouver trois nompres impaires consecutifs premiers tous les trois (2) — Somme des n nombres entiers (2) — La somme de n entiers consecutifs est-elle un multiple de n ? (2) — Cins nombres entiers consecutifs est multiple de 5 (2) — La somme de k 3 entier consecutif (2) — Soient 3 nombres entiers consecutifs la somme des carres (2) — Comment prouver que le resultat de 4 nombres consecutifs est 4 (2) — Pourquoi le produit de 2 entiers consecutifs est toujours pair (2) — Somme des n premiers entiers consecutifs (2) — 2 nombres cons?cutif (2) — Multiple de 8 consecutif (2) — Calcul de la somme d un entier consecutif (2) — Comment trouver 2 entiers consecutifs (2) — La somme de trois entiers consecutifs est toujours impaire (2) — Definition de deux entier consecutif (2) — La somme de cinq nombres entiers consectifs est un multiple de 5 (2) — Il existe un entier tel que la somme entiere (2) — Donner quatre exemples d une somme de trois naturels pairs consecutifs et calcules-les (2) — Soit p un entier impair demontrer que la somme de p nombres consecutifs est toujours un multiple de p (2) — Puissance nombres consecutifs multiple de 3 (2) — La somme de drux nombres entier naturels consecutifs (2) — Expliquez la somme de deux nombre entier naturels consecutifs (2) — Demontrer que la somme de deux nombres entiers pairs est paire (2) — La somme des nombres entiers impaires negatifs pdf (1) — Entier consecutif 5 eme (1) — Pourquoi la somme de 7 nombres consecutifs est un multiple de 7 (1) — Somme de puissance paire (1) — Quels sont les entiers naturels qui peuvent s ecrire comme une somme d entiers consecutifs (1) — Somme nombre entier consecutif a la puissance k (1) — Somme des entiers naturels pairs et impairs (1) — Demontrer que la somme de deux nombre entiers consecutifs (1) — Les sommes d entiers consecutifs correction (1) — 5nombres entiers consecutifs (1) — 2 nombres naturels multiple de 5 consecutifs (1) — La somme de deux nombres entiers consecutifs est un nombre pair (1) — Produit de trois entiers paires consecutifs multiple de trois (1) — Choisir 3 entiers naturels consecutifs dont la somme est un multiple de 3 (1) — Formule suite nombre consecutif (1) — Entiers consecutifs non premiers demonstration (1) — Deux nombres entier consecutif (1) — Comment trouver un nombre entier consecutifs dont la somme est 2012 (1) — Calculer la somme des cinq (5) entiers naturels (1) — Nombre multiple de 5 commence par 7 (1) — Decomposition en somme multiple (1) — Est-il possible de trouver 2 entiers naturels pairs consecutifs dont la sommme est 2010 (1) — Entier positif somme d entiers consecutifs (1) — Determiner sept nombres impairs consecutifs dont la somme est 7 puissance 3 (1) — Entier naturel consecutif formule (1) — Trouver 7 entiers consecutifs (1) — Decomposition d une somme en facteurs multiples de 3 (1) — Produit de deux entiers impairs (1) — Comment demontrer que de 2 nombres impairs a pour resultat un nombre pair (1) — Somme de 3 naturels pairs consecutifs (1) — Que peut-on dire de la somme de 5 entiers consecutifs? (1) — Produit entiers pairs consecutifs multiple de 3 (1) — Nombre entiers de 3 chiffres multiples de 5 dont la somme des chiffres est 21 (1) — Soient 3 nombres entiers consecutifs n (1) — Math video multiple consecutifentier naturel (1) — Determiner une liste de 2014 entiers consecutifs tous entiers (1) — Entiers consecutifs produit 360 (1) — Somme de n entiers carre consecutifs (1) — Nombres naturels multiples de 16 (1) — Somme de k entiers consecutifs dont n est le plus petit d entre eux (1) — Definition somme de trois nombres consecutifs (1) — La somme de n termes entiers consecutifs est multiple de n (1) — La somme de n entier consecutifs est-elle un multiple de n ? (1) — Comment ecrire 2012 avec 4 chiffres entier consecutifs (1) — La somme de deux entiers consecutifs est impaire (1) — 2 nombres entier consecutif (1) — Il existe 2 multiples consecutifs de 7 et de 5 (1) — Trouver n entiers consecutifs non premier (1) — Prouver que le somme de 3 entiers consecutifs est un multiple de 5 (1) — Entiers naturels pairs consecutifs (1) — Enigme 3 pairs consecutifs double du plus grand (1) — Comment calculer la somme de 51 nombres consecutifs (1) — La somme de cinq nombres consecutifs est un multiple de 5 (1) — La somme d entiers pairs consecutifs est elle un multiple de 4 (1) — Trouver 5 carres de longueurs avec des entiers consecutifs (1) — On a ajoute n entiers naturels pairs consectifs a partir de 0 que vaut n (1) — Definition de la somme de deux nombres entiers consecutifs (1) — La somme de trois nombres naturels consecutifs est toujours un multiple (1) — Somme de 2 nombres impairs jamais impairs (1) — Somme des n termes consecutifs paires et impairs en pdf (1) — Multiple de 3 pourquoi (1) — La somme des carres des entiers consecutifs de 1 a n (1) — Prouver que la somme de trois entiers consecutifs est un multiple de 3 (1) — Somme de n nombres consecutifs (1) — Calculer la somme des entiers multiples de 3 (1) — Probleme somme d entiers consecutifs (1) — 1+3 puissance n pair ou impair (1) — Pourquoi la somme de 5 entiers consecutifs et multiple de 5 (1) — Ecrire un nombre avec des entiers pairs (1) — 2 nombre consecutif dont la somme est 2012 (1) — Suite+somme des puissances des nombres entiers+pdf (1) — Entier + entier consecutif la somme sera toujours multiple de 3 (1) — Soit n un nombre somme de 4 entiers consecutifs (1) — La somme de la p consecutif est un multiple de p (1) — La somme de trois entiers naturels consecutifs (1) — La somme de deux entiers naturels consecutifs (1) — La somme de deux naturels consecutifs est egale a 22.trouvez ces deux naturels. (1) — La somme des trois nombres consecutifs 2324 et 25 est elle un multiple de 3 (1) — Quel est la somme de deux nombres entier consecutifs de 25 (1) — La somme de trois nombres multiples de 4 (1) — Quel est les nombres entier consecutif de 17/5 (1) — Entre deux multiple consecutive de 5 (1) — Probleme pour les 2 nombres entiers consecutifs (1) — Somme sur les nombres pairs (1) — Demontrer somme de nombre consecutif (1) — Ques que deux entier consecutif (1) — Soit n un nombre consecutif (1) — Comment calculer trois nombres consecutif a partir de la somme (1) — Determiner toutes les facon d ecrire le nombre n=2013 comme somme d au moins deux entiers consecutifs (1) — Deux entiers pairs consecutifs (1) — Trouve 3 entiers consecutifs (1) — Le premier entiers consecutifs dont la somme vaut 48 (1) — Comment determiner un nombre consecutif du produit 702 (1) — Probleme la somme de deux nombres naturels pairs consecutifs vaut (1) — Que veux dire en terme de mathematique deux entiers consecutif (1) — La regle pour trouver 5 chiffre impaire suivi si leur somme est connu (1) — Comment trouver un nombres consecutifs (1) — Produit trois nombres consecutifs (1) — La somme de 3 nombre consecutif impaire dont la sommes est de 51 (1) — Comment trouver 56 par des multiples consecutif de3 (1) — 49 entiers consecutif somme ^5 (1) — 5 chiffres paires consecutifs donne 160 (1) — Peut on affirmer que la somme de quatre nombre consecutif est toujours un multiple de 4 (1) — La somme des entier naturel consecutif (1) — Trouver le multiple de la somme de trois nombres entiers (1) — Pourquoi la somme de n entiers consecutif est toujours un multiple de n (1) — Multiple de 5 entiers consecutifs (1) — La somme des carres de 3 entiers consecutifs est (1) — Trouver trois nombres consecutifs dont la somme des carres (1) — Multiples consecutif de 28 (1) — Pourquoi la somme de trois entiers consecutifs est toujours multiple de 3 (1) — 4 nombre entier consecutifs = 342 (1) — Demontrer que trois nombre consecutif est un multiple de 3 (1) — Somme des n premieres puissances ke d entiers (1) — Preuve que la somme de nombres consecutifs est un multiple (1) — 3 entiers pairs consecutifs (1) — Je pense a trois nombres entiers consecutif. je les additionne et je trouve 141. quels sont les trois nombres (1) — Probleme de math avec entiers naturels consecutifs (1) — De quel nombre entier la somme de sept nombres entiers consecutifs est-elle toujours un multiple ? (1) — Lasomme de 7 entiers consecutifs est elle toujours un multiple de 7 (1) — Somme de multiples de 7 (1) — Somme des puissances paires des nombre de 1 a (1) — La somme des entiers consecutifs de 1 a n (1) — Corriges de math montrer que la somme de 2 nombres entiers consecutifs est impair (1) — Montrer que si n est la somme de n nombre impairs consecutifs alors n n est pas premier (1) — Entiers consecutifs somme (1) — Somme des entiers consecutifs de 1 a 13 (1) — Deux entier relatif consecutifs definition (1) — La somme entier consecutif est elle toujours un multiple de n (1) — Comment prouver que des nombres sont consecutifs (1) — Corrige soit p un entier impair. montrer que la somme de p nombres consecutifs est toujours un multiple de p. le resultat est-il encore valable pour un entier pair ? (1) — Exemple de deux nombres entier consecutif (1) — Utiliser ce resultat pour donner 5 entiers consecutifs non premier (1) — Nombres entiers consecutifs puissance d un entier (1) — Ecrire 25 comme une somme des carre de deux entier consecutifs (1) — Demonstration de somme des n premier k^3 entier (1) — On a ajouter n entiers pairs consecutifs a partir de 0 (1) — Produit de nombre consecutifs (1) — La somme de 5 nombres impairs consecutifs est toujours un multiple de 5. (1) — La somme de quatre entiers consecutifs est un multiple 4 (1) — Enigme le produit de 6 nombres entiers consecutif se termine par deux zeros (1) — Trouver un multiple de 577 (1) — Somme des puissances d entiers consecutifs (1) — Deux chiffres consecutif multiples (1) — Quelle est la somme de 2013 nombres entiers negatifs non nuls est egale a -2014 calculer leur produit? (1) — La somme de 3 entiers impairs consecutifs est (1) — Produit de 3 entiers consecutifs ne peut etre une puissance (1) — La somme de 3 nombres pairs consecutifs est 54 (1) — La somme de cinq entier consecutif qui et toujours un multiple (1) — Deux nombres naturels multiples de 5 consecutifs? (1) — Somme de nombres consecutifs puissance de 2 (1) — Demontrer que le produit de 2 nombres entiers consecutifs est toujours pair (1) — Produit de nombre entier successif (1) — Qu est ce que s est un multiple de 3 (1) — Exemple de deux naturels pairs consecutifs dont le premier est un multiple de deux (1) — Somme des nombres consecutif en puissances (1) — Montrer que la somme des carres de deux impairs consecutifs quelconques est un entier pair (1) — Somme minimum de trois carre consecutifs (1) — Comment une somme de n entier (1) — La somme de quatre entiers consecutifs strictement (1) — Produit de 3 nombres entiers consecutifs que peut on dire (1) — Somme n entier naturel (1) — Formule de la somme des entiers consecutifs (1) — Recherche de 5 consecutifs de 17 (1) — Suite de trois entier rlatif egale a 0 (1) — Demontrer que le produit de deux nombres entiers consecutifs est un nombre pair (1) — Sommes de nombres entiers consecutifs negatifs (1) — Sommation 10^k/k! (1) — Ecriture generale de 3 nombres entiers naturels impairs consecutifs (1) — Montrer que la somme de deux nombres entiers consecutifs est un nombre impair (1) — Trouver deux entiers naturels pairs consecutifs (1) — La somme des 2014 nombres entiers (1) — La somme de deux nombre de 7 est-elle un multiple de 7 (1) — Somme de p entier consecutif (1) — Formule somme entier consecuti (1) — Somme nombres consecutifs (1) — Somme de deux entiers consecutifs (1) — Produit des n premiers entiers naturels (1) — Trouver trois nombres entiers consecutifs tels que la somme du premier et du troisieme (1) — Somme de 4 nombres entiers impairs consecutifs est un multiple de 4 (1) — Caracteriser les entiers naturels qui sont la somme de trois entiers consecutifs (1) — Trouver 3 carre d entier naturel consecutif dont la somme du plus grand et un multiple de la somme des 2 autre (1) — Decomposition d un entier en une somme des entiers consecutifs (1) — Somme de 3 nombres entiers consecutifs est un multiple de 3 (1) — Somme des 30 premiers entiers naturelsmultiples (1) — 3 nombres consecutif (1) — Regle pour trouver entiers consecutifs (1) — 36 sous la forme d une somme de trois entiers consecutifs (1) — Somme d entier consecutif trouver le dernier terme (1) — Le produit de deux nombre impairs consecutifs additionne au double du plus grand nombre (1) — Pourquoi la somme de 3 nombres premiers a comme multiple 3 (1) — La somme de 2 nombres multiples de 3 consecutifs (1) — Defi la somme de 2011 nombres entiers relatifs negatifs (1) — Entier consecutif preuve (1) — C est la somme de deux nombres consecutif (1) — Pourquoi la somme de 2 nombre pair et impaire est paire (1) — Ensemble des entier consecutifs (1) — Ecrire 25 = somme des carres de deux entiers consecutifs (1) — Addition de puissance d entier positif (1) — La somme de trois entiers pairs consecutifs est elle un multiple de 3 (1) — Sommes de puissances d entiers preuve (1) — Trouver deux multiples consecutifs de 17 (1) — La somme de 2 multiple de 3 consecutifs vaut 27 (1) — Montrer que la somme de n entiers consecutifs impairs est multiples de p (1) — La somme de trois nombres entiers consecutifs quelconques est un multiple de 3 (1) — Un entier x est somme d au moins deux entiers consecutifs (1) — P un entier naturel impair et s la sommle de p nb entier consecutif (1) — P un entier naturel impair et s la somme de p nb entier consecutif (1) — Somme de produits d entiers consecutifs (1) — Et-il logique que le resultat de 2 nombres pairs consecutifs sois pairs (1) — 4 nombres consecutifs (1) — Somme des nombres paire de n-1 termes (1) — Suite formule somme puissance entier consecutif (1) — Calculer la somme de 5 entiers consecutifs (1) — Somme des entiers consecutifs (1) — Problemes entiers relatifs (1) — Nombre multiple de 5 consecutive (1) — Somme d entier consecutif 9+10+11+12 (1) — Somme de deux entiers positifs (1) — Soit trois nombres entiers consecutifs (1) — 3 entiers consecutifs dont la somme est egale au produit (1) — Pourquoi la somme de 3 entiers consecutifs est toujours un multiple de 3 (1) — Quesqu un entier positifs consecutifs (1) — Definition des nombres pairs consecutifs (1) — Nombre entier consecutif de 1 que vaut cette somme (1) — Calcul de la somme des carres des n premiers entiers naturels strictement positifs (1) — Multiples consecutifs de 7 (1) — N>=1 alors n+(n+2)+n(n+2) est premier (1) — Comment ecrire deux nombres entiers consecutifs (1) — Deux ensembles meme somme pairs impairs (1) — Soit n un nombre entier (1) — Produit de trois nombres consecutifs (1) — Somme de 4 nombres consecutifs (1) — Somme de deun nombre successifs (1) — Trouver 4 nombres consequtifs (1) — Ecrivez 2entiers consecutif entre 36 (1) — La somme de n entiers consecutifs est-elle un multiple de n? (1) — Entier consecutif de 20 (1) — Trouver toutes les suites de 5 entiers consecutifs tels que la somme (1) — Caracteriser les entiers qui sont la somme de deux entiers consecutifs (1) — Demontrer que la somme de deux nombres pairs quelconques est un nombre pair (1) — Prouver que 4 chiffre consecutifs son multiples de 4 (1) — Somme k entiers consecutifs (1) — Trouver quatres nombres naturels pairs consecutifs (1) — Lea pense qu en multipliant deux nombres impairs (1) — Calculer combien d entiers multiple et non multiple (1) — La somme de trois nombre entiers consecutifs est 39. on appelle x le plus petit des trois. calcule le (1) — Comment montrer que la somme de trois entiers naturels consect (1) — Expliquer qu un nombre impair multiplie par un nombre impair + 1 est toujours un multiple de 4 (1) — Je voudrais connaitre le resultat de la somme de tous les nombres entiers de 1 a 2014 (1) — Somme de quatre entiers consecutifs (1) — Justifier la somme de deux nombres entiers consecutifs est un nombre impaire (1) — Quels sont les trois entiers pairs consecutifsdont la somme vaut ? (1) — Quesqu un diviseur de 12 (1) — Vn+1=vn +n (1) — Solution le produit de deux entiers qui sont sommes de deux carres d entiers est-il encore une somme de deux carres d entiers ? (1) — Somme n entier (1) — Enigme de math la somme de 5 nombres entier consecutifs est 2000 quel et le plus grand (1) — L produit de deux nombre consecutif moin (1) — Demontre que la somme de deux entiers impairs consecutifs est un multiple de 4 (1) — Exercice corrig?? sur le carr?? de deux nombres cons??cutifs (1) — Comment montrer que dans toute suite de nombres entiers positifs successifs se trouve un multiple de 7? (1) — Deux nombres naturels multiples de 5 consecutifs (1) — On veut montrez la somme de quatre entiers consecutifs est toujours pairs (1) — Montrer que la somme de deux entiers naturels impairs consecutifs n est pas un entier pair (1) — Somme des n entiere consecutifs (1) — 28 entre 2 multiples consecutif de 3 ? (1) — Demontrer que le produit de deux entiers consecutifs est pair (1) — Choisir nombre entiers consecutifs a partir de x (1) — Demontrer que la somme de cinq entiers positifs et consecutifs est un multiple de cinq. on notera x l un de ces entiers (1) — La somme de trois cinq entiers consecutifs multiple (1) — Somme des carres de deux nombres entiers naturels consecutifs (1) — Formule somme n entiers impairs (1) — Programme c somme des n premiers termes positifs pairs non multiples de trois (1) — Calculer la somme des cubes d entiers consecutifs (1) — Sommes d entier successif (1) — Somme des premiers entier pairs consecutifs (1) — Formules sommes (-1) puissance n (1) — Demontrer que la somme de deux nombres entier consecutif est un nombre pairs (1) — Demontrer que la somme des septs entiers consecutifs est toujours un multiple de septs (1) — Somme entiers consecutifs p (1) — La solution de la somme de deux nombres consecutifs au carree egale a 1513 (1) — Demontrer que la some de trois entiers naturels successifs est multiple de trois (1) — Les entier consecutif (1) — Definition de nombres consecutifs (1) — Quelle est le formule pour un multiple de 5 (1) — Produit de trois nombres entiers consecutifs de 2 (1) — Determiner 18 nombres multiples de 5 consecutifs (1) — La somme de 2 multiples consecutifs (1) — Montrer que la somme de 3 entiers consecutifs n est pas premier (1) — Trouver 3 nombres consecutifs dont la somme est egale au produit demonstration (1) — Somme de deux puissances (1) — Somme 4 nombres entiers consecutifs egal multiple 4 (1) — X entiers consecutifs multiple de x (1) — Deux entiers consecutifs dont la somme 7 (1) — Qu est ce sont des entiers consecutif (1) — La somme des n entiers successifs (1) — Produit de multiples de 7 (1) — Demontrer que la somme de deux entiers pairs consecutifs est un multiple de 4 (1) — Somme de n entier a puissance consecutives (1) — La somme de trois nombres entiers naturel consecutifs est 60 quel sont ces nombres (1) — Somme de 5 nombres consecutifs multiple de 5 (1) — 2 nombres pairs consecutifs tels que leur produit est ?gal ? leur somme augment? de 2 (1) — Somme multiples de 8 consecutifs regle (1) — Une ecriture generale de 3 nombre impaire consecutifs (1) — Produit deux entiers consecutifs et carres parfait (1) — 3 multiples de 9 consecutifs avec n (1) — Sommededeuxnombreentiernaturelconsecutif (1) — Multiple consecutif de 2 (1) — Somme d entiers consecutifs ne commencant pas a 1 (1) — On veut prouver que la somme de deux nombres entiers consecutifs quelconques (1) — La somme de trois nombres entier naturel consecutif (1) — Soit la somme des entiers consecutifs suivante : s = 2011 (1) — La somme de deux nombres etiers naturels consecutifs (1) — Somme des entiers naturels consecutifs (1) — La somme de 2 de 3 consecutifs est 27 (1) — 272 nombre entier consecutif (1) — En multipliant deux nombres impair consecutifs et en ajoutant 1 on obtient un multiple de 4 (1) — Determiner une somme de puissances consecutives d un meme nombre (1) — Que peut-on dire de 5 entiers consecutifs (1) — Peut-on egalement affirmer que la somme de quatre nombres entiers consecutifs est toujours un multiple de 4 (1) — Preuve sommation puissances dentiers consecutif (1) — Quels entier peuvent s ecrire comme la somme de deux entiers consecutifs (1) — Enigme lyon nombre pair impair (1) — Quels sont les nombres qui peuvent s ecrire comme somme de quatres entier consecutifs (1) — Peut on ecrire 21 comme somme de deux entiers consecutifs (1) —

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