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 #1 - 20-01-2012 20:31:26

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Entiers conséuctifs

Bonsoir à tous.
Comme d'hab, une courte question qui ne préjuge pas de la longueur de la réponse...

Quels sont les entiers somme d'au moins 2 entiers naturels consécutifs ?

Bon amusement.



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 #2 - 20-01-2012 21:35:43

titoufred
Elite de Prise2Tete
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entiers xonsécutifs

Je dirais tous les entiers strictement positifs sauf les puissances de 2 paires.

 #3 - 20-01-2012 21:58:38

racine
Elite de Prise2Tete
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Entiesr consécutifs

A vue de nez, il y a un problème sur les puissances de deux...
A voir.

 #4 - 20-01-2012 22:29:14

scrablor
Expert de Prise2Tete
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entiers cinsécutifs

Belle question mais je manque de temps.
Je propose : tous les entiers naturels non nuls sauf les puissances de 2.

Les impairs : 2n+1=n+(n+1)
Les multiples de 3 : 3n=(n-1)+n+(n+1)
Les multiples de 5 : 5n=(n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2)
Etc.

Il reste à éliminer les puissances de 2: 2*SOMME=(Nb de termes)*(1er+dernier) mais (Nb de termes) & (1er+dernier) sont de parité différente ! SOMME n'est donc pas une puissance de 2.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #5 - 20-01-2012 22:46:03

franck9525
Elite de Prise2Tete
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entiers consécutofs

n + n+1 = les impairs sauf 1
n-1 + n + n+1 = les multiples de 3
4n-2=2(2n-1)  les pairs sauf multiples de 4 et pas 2
5(n-1)=les multiples de 5
....
tous sauf 2, 4, 8, 16, ... ce qui laisserait penser que seules les puissances de 2 ne peuvent être la somme d'entiers consécutifs.

Démonstration
Soit N la somme de k entiers consécutifs.

Si k est impair, alors N=k m, m étant la valeur centrale.
ex: la somme de  5 6 7 8 9 est 5*7=35
Donc tous les nombres ayant pour diviseur un impair k>2, peuvent s’écrire comme une somme consécutive de k entiers, k étant impair.

Si k est pair,
Si k=2, nous retrouvons tous les impairs à partir de 3
Tous nombres impairs 2n+1 avec n>0 peut s’écrire comme la somme de n et n+1

Si k>2, la valeur centrale de la somme est impaire et des binomes dans notre somme d'entier peuvent etre formés pour faire cette somme. La somme de k entiers, k etant impair, nous donne 2^(k/2-1) * valeur centrale [impair!]

Bilan
Tous les entiers ayant au moins un impair >1 comme diviseur, en incluant l'entier lui-même, peut s’écrire sous la forme d'une somme d'entiers consécutifs. Les entiers qui ne correspondent pas à cette définition sont les puissances de 2.


The proof of the pudding is in the eating.

 #6 - 20-01-2012 23:38:15

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Entiers consécuifs

Je tente une démonstration :

1)Tout entier x strictement positif qui n'est pas une puissance de 2 paire peut s'écrire comme somme d'au moins 2 entiers naturels consécutifs :

Si x=1 alors:
    x = 0 + 1
Sinon (x <> 1):
    x = pq avec p un entier impair (p>=3) et q un entier (q>=1).
    On note k l'entier tel que p=2k+1. On a k>=1.
    Si q>=k alors:
        la somme des p termes (q-k)+...+(q+k) de moyenne q vaut pq, soit x.
    Sinon (q<k):
        la somme des 2q termes (k-q)+...+(k+q+1) de moyenne p/2 vaut pq = x.
    Fin Si
Fin Si

2)Toute somme d'au moins 2 entiers naturels consécutifs est un entier strictement positif qui n'est pas une puissance de 2 paire :

Soit S la somme de n entiers naturels consécutifs commençant par a
(avec n>=2 et a>=0) :
S = a+ ... +(a+n-1) = n(2a+n-1)/2

Si n est impair alors:
    2a+n-1 est pair et donc (2a+n-1)/2 est un entier.
    Par conséquent, n est un diviseur impair non trivial de S, et donc S
    n'est pas une puissance de 2 paire.
Sinon (n est pair):
    S = (2a+n-1)n/2
    n/2 est un entier
    2a+n-1 est un diviseur impair de S
    Si a=0 et n=2 alors:
        S=1 donc S n'est pas une puissance de 2 paire.
    Sinon (a>=1 ou n>=4)
        2a+n-1>=3 et donc c'est un diviseur impair non trivial de S, et donc S
        n'est pas une puissance de 2 paire.
    Fin Si
Fin Si

 #7 - 20-01-2012 23:56:55

titoufred
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Enntiers consécutifs

Je reprends le 2), en beaucoup plus court :

2)Toute somme d'au moins 2 entiers naturels consécutifs est un entier strictement positif qui n'est pas une puissance de 2 paire :

Soit S la somme de n entiers naturels consécutifs commençant par a
(avec n>=2 et a>=0) :
S = a+ ... +(a+n-1) = n(2a+n-1)/2
et donc 2S = n(2a+n-1)
Supposons que S est une puissance de 2 paire.
Alors n est pair.
On ne peut avoir n=2 et a=0 car sinon, on aurait S=1.
Par conséquent 2a+n-1 est un diviseur impair non trivial de S.
C'est absurde.

 #8 - 21-01-2012 01:20:02

dhrm77
L'exilé
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zntiers consécutifs

avec 2 nombres consecutifs: tous les nombres impairs.
avec 3 nombres consecutifs: tous les multiples de 3 a partir de 3
avec 4 nombres consecutifs: 6, 10, 14, 18, 22, etc...
avec 5 nombres consecutifs: 10,15,20,25,30,35, etc...
avec 6 nombres consecutifs: 15, 21, 27, 33, 39, etc...
avec 7 nombres consecutifs: 21, 28, 35, 42, 49, etc...
avec 8 nombres consecutifs: 28, 36, 44, 52, etc...

donc en résumé on peut faire tous les nombres sauf 0, 2, 4, 8, 16, 32, etc....
Soit 0 et les puissances de 2 a partir de 2.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #9 - 21-01-2012 08:13:54

nodgim
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entiers conqécutifs

Beaucoup de réponses qui convergent vers la solution, mais peu de démo, seul Titoufred s'y est collé.

Indice:
Comment trouver une solution pour un nombre quelconque ?

 #10 - 21-01-2012 09:26:45

gwen27
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Entiesr consécutifs

Si N est impair, il est décomposable en 2 facteurs (2n+1)

Si n est pair :
La somme de n entiers consécutifs x étant le premier est  nx + n(n-1)/2

Dans le cas d'un nombre n impair, on a donc :  n (x+(n-1)/2) avec n-1/2 entier

ce qui revient à dire qu'on obtient un multiple de n.

Si le nombre N que l'on cherche est multiple de n, il pourra être exprimé sous la forme

N=nX

On pose X = x + (n-1)/2 soit x = X-(n-1)/2

Un multiple de n impair est donc décomposable en somme d'entiers consécutifs.
En prenant la décomposition du nombre en facteurs premiers, on trouve la plus petite décomposition en n facteurs, n étant le plus petit facteur premier.

Si N est lui même premier, il est impair et donc décomposable en 2 facteurs (2n+1) D'ailleurs, on est dans le cas "pair" Mais cela amène à se pencher sur le cas du nombre 2

Si N est une puissance de 2 , il n'est pas exprimable comme somme d'entiers consécutifs.

Exemple : 43 impair : 21+22

36 = 3^2 x 2^3  donc 3 termes    avec donc 12 au milieu 11 12 13

60 = 3 x 4 x 5  donc 3 termes  avec 4x5 = 20 au milieu 19 20 21

728 = 2^3 * 7 * 13 donc 7 termes  101 à 107

13542484242 = 2 * 3 * 7 * 43 * 863 * 8689 donc 3 termes :
4514161413     4514161414     4514161415

 #11 - 21-01-2012 09:50:58

franck9525
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entiers condécutifs

Je viens de m'y coller egalement smile Un bien beau problème.


The proof of the pudding is in the eating.

 #12 - 21-01-2012 10:35:58

nodgim
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Entiers conséécutifs

Dans ta démo Gwen, il me semble que tu ne tiens pas vraiment compte du plus petit multiple de n. Si ce multiple est plus grand que le nombre décomposé ?

 #13 - 21-01-2012 11:06:27

gwen27
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entiers consécutids

Je crois avoir compris ce que tu veux dire :

Pour 14=2x7 par exemple, j'aboutis à une décomposition en 7 facteurs :

-1  0  1  2  3  4  5  mais le centre étant positif (2) je peux toujours annuler les termes négatifs avec les premiers termes positifs.
Reste donc  : 2 3 4 5

26 = 13x2

-4  -3  -2  -1  0  1  2  3  4  5  6  7  8

...etc

 #14 - 21-01-2012 12:14:35

NickoGecko
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entiers consécuyifs

Bonjour

J'ai pris le problème à l'envers :

Somme de deux entiers consécutifs : k+k+1 = 2k+1
ce sont les nombres impairs

Somme de trois entiers consécutifs : k+k+1+k+2 = 3k+3
ce sont les multiples de 3

Somme de quatre entiers consécutifs : k+k+1+k+2+k+3 = 4k +1+2+3 = 4k+6

Somme de cinq entiers consécutifs : k+k+1+k+2+k+3+k+4= 5k +1+2+3+4 = k+10

Somme de n entiers consécutifs à partir de l'entier k = nk + n(n-1)/2

donc, à suivre pour caractériser les entiers sommes d'au moins deux entiers consécutifs ...
Je suppose qu'il faut trouver un raisonnement de type "crible"


Merci, bon WE


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #15 - 21-01-2012 12:27:17

Vasimolo
Le pâtissier
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Entierrs consécutifs

C'est possible pour tous les entiers positifs qui ne sont pas des puissances de 2 et seulement pour eux .

soit [latex]x=p2^a[/latex] un entier non nul et [latex]p[/latex] impair et supposons : [latex]x=(y+1)+(y+2)+(y+3)+...+(y+n)[/latex] alors [latex]x=n(y+\frac{n+1}2)[/latex] .

Si [latex]p=1[/latex] alors [latex]2x=2^{a+1}=n(2y+n+1)[/latex] ce qui est impossible .

Si [latex]1<p\leq 2^{a+1}[/latex] alors [latex]\frac{p+1}2 \leq 2^a[/latex] . En posant [latex]y=2^a-\frac{p+1}2[/latex] et [latex]n=p[/latex] on a [latex](y+1)+(y+2)+...+(y+n)=x
[/latex]
Si [latex]2^{a+1}<p[/latex] alors [latex]p=2r+1[/latex] avec [latex]2^a\leq r[/latex] . En posant [latex]y=r-2^a[/latex] et [latex]n=2^{a+1}[/latex] on a : [latex](y+1)+(y+2)+...+(y+n)=x[/latex]

Vasimolo

 #16 - 21-01-2012 12:45:52

nodgim
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Entiers cosécutifs

Une réponse complète pour Vasimolo.
Même démarche que la mienne, à la présentation près.

 #17 - 21-01-2012 19:26:58

L00ping007
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Entiers onsécutifs

La réponse est : seules les puissances de 2 ne sont pas la somme d'au moins 2 nombres consécutifs.

J'arrive à montrer aisément que les puissances de 2 ne le sont pas.
Pour montrer que ce sont les seuls nombres, j'ai un peu du mal à mettre mon intuition en démo.
Les nombres impairs, pas de souci, les 4n+2 aussi, seuls les 4n sont à regarder d'un peu plus près.

J'ai essayé d'utiliser une récurrence : quand un nombre est somme d'un nombre impair de nombres consécutifs, son double l'est aussi. Il me manque à le montre dans le cas d'un nombre pair de nombres consécutifs.
Ainsi, je pourrai affirmer que les 2^k * (2n+1) vérifient les conditions (n>1), ce sont bien les nombres non puissances de 2.

Peut-on montrer que si un nombre est la somme d'un nombre pair de nombres consécutifs, alors son double l'est aussi ? Je vais réfléchir encore un peu smile

 #18 - 21-01-2012 19:36:56

shadock
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ntiers consécutifs

Soit [latex]N \in \mathbb{N}[/latex]
On cherche si il existe un entier x tel que [latex]N=\sum_{i=0}^n (x+i-1)[/latex]
On appel [latex]S_n=\sum_{i=0}^n i = \frac{n(n+1)}{2}[/latex]

Somme :
[TeX]N=x+(x+1)+(x+2)+...+ (x+n-1)[/latex] soit [latex]S_{x+n-1}-S_{x-1}[/latex] donc [latex]N=\frac{(x+n-1)*(x+n)-x*(x-1)}{2}[/TeX]
En multipliant par 2 on obtient : [latex]\fbox{2N=n*(2x+n-1)}[/latex]


Par la suite on montre que [latex]N \neq 2^a[/latex] :
En effet [latex]n[/latex] et [latex]2x+n-1[/latex] sont de parité différente, leur produit étant pair oblige que [latex]N[/latex] est dans sa décomposition en nombre premier au moins un nombre impair. CQFD
D'où [latex]N=a*b[/latex] avec [latex]a[/latex] pair et [latex]b[/latex] impair.


Il reste donc deux choix possibles :
Si [latex]b<a[/latex] avec [latex]n=b[/latex] et [latex]a=2x+n-1[/latex] alors [latex]x=\frac{a-b+1}{2}[/latex] sinon,
Si [latex]b>a[/latex] avec [latex]n=a[/latex] et [latex]b=2x+n-1[/latex] alors [latex]x=\frac{b-a+1}{2}[/latex]


Quod erat demonstrandum ! big_smile

Shadock

PS : Je ne suis pas sur de l'exactitude de mon raisonnement.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #19 - 22-01-2012 09:01:10

nodgim
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nEtiers consécutifs

C'est bon Shadock, sauf que tu calcules 2N au lieu de N..
Juste une petite correction et ce sera parfait.

 #20 - 22-01-2012 11:21:02

rivas
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rntiers consécutifs

Un grand classique et un résultat à connaître pour les amateurs d'éngmes.

Les puissances de 2 sont les seuls entiers ne pouvant s'écrire comme une somme d'entiers consécutifs (entiers trapézoïdaux). La démo est disponible un peu partout sur le Web et ne présente pas de difficulté particulière.
Par exemple:
http://educmath.ens-lyon.fr/Educmath/re … synotr.pdf

Ce résultat est assez souvent utilisé dans des énigmes mathématiques.
Par exemple dans l'armée du général Déployé, exercice de l'un des championnat FFJM.

 #21 - 22-01-2012 11:37:33

nodgim
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Entiers consécutiffs

Merci pour le lien Rivas.

 #22 - 22-01-2012 18:28:50

fix33
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entiers consécutufs

1, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19...

Tous les entiers impairs car 2n+1 = n + (n+1).
Tous les multiples de 3 car 3n = (n-1) + n + (n+1).
Tous les entiers 4n+6 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3).
Tous les multiples de 5 car 5(n+2) = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4).
Tous les multiples de 7 car 7n = (n-3) + (n-2) + (n-1) + n + (n+1) + (n+2) + (n+3).
Tous les multiples de 8 car 8n+28 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) + (n+5) + (n+6) + (n+7).
...

Donc tous les entiers impairs n et tous leurs multiples (partir de (n-1)/2).
Et puis aussi tous les nombres M[n+(M-1)/2] avec M pair... Mais cela semble intégralement contenu dans l'ensemble précédent... Ou compléter la liste pour les multiples inférieurs à (n-1)/2, comme 38=19*2 : on ne peut pas prétexter que 19 est impair, car 2 est inférieur à (19-1)/2. Il faut passer par 4n+6...

Les seuls entiers pairs non multiples de nombres impairs sont les puissances de 2 !!

Donc, il s'agit de l'ensemble des entiers naturels non nuls et non puissances de 2 ! lol

Bon OK, il y a un trou dans ma démonstration... yikes


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #23 - 24-01-2012 17:25:51

nodgim
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entiers consécytifs

Merci à tous pour votre participation.
La réponse a été donnée de manière exhaustive par Vasimomo et Titoufred a donné un lien qui en parle très bien, il n'y a rien à ajouter...rien sauf peut être qu'on pourrait étendre la question: Si j'avais demandé qu'il fallait faire la somme de 3 nombres consécutifs minimum, comment aurait évolué le résultat ?

 #24 - 24-01-2012 17:45:12

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

entiers consécutids

Spoiler : On aurait quand même gardé tous les pairs qui sont multiples d'autre chose que de 2 (vu que tous les multiples de 3 sont sommes de 3 nombres consécutifs, tous les multiples de 5 sommes de 5 entiers consécutifs, et ainsi de suite pour tous les impairs, en particulier pour tous les premiers différents de 2), donc la réponse finale n'aurait pas changé en excluant les sommes de deux entiers consécutifs.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #25 - 24-01-2012 18:19:08

nodgim
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ntiers consécutifs

Sûr ?

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(2) — On veut montrer que la somme de quatre entier consecutif est toujour paire (2) — 2 nombres consecutifs sous la forme dune puissance (2) — Probleme de 3eme 2entiers consecutifs puissance dun entier (2) — Somme nombre entier consecutif (2) — Formule somme d entier pairs non nuls (2) — Donne une ecriture de 25 comme la suite de deux nombres consecutifs 5eme (2) — Quel sont les deux entiers pairs consecutifs de somme 82 (2) — Additionner 5 nombres consecutifs le resultat est un multiple de 5 (2) — Je pense a 3 nombres entiers consecutifs. je les aditionne et je trouve 342 (2) — Exemple de probleme pour trouver nombre entier consecutif (2) — Ecriture de 3 nombres consecutif (2) — Soit la somme des entiers consecutifs suivante : s = 2011 + (2) — De quel nombre entier la somme de cinq entiers consecutifs est elle toujours un multiple (2) — Nombre naturel consecutif (2) — Somme de p entiers consecutifs (2) — Somme de cinq entiers consecutifs et de six entiers consecutifs (2) — La somme de 2011 nombres entiers relatifs negatifs tous differents de zero (2) — Nous sommes cinq entiers consecutifs (2) — Puissance de 3 consecutive (2) — Somme entiers consecutifs egale a 2014 (2) — Peut on repondre a la question si l on cherche trois entiers dont la somme est 2011 (2) — Comment ecrire un nombre sous la forme de la somme de deux entiers consecutifs (2) — Somme de 5 nombre entiers consecutifs egal multiple de 5 (2) — Somme de 5 nombres entiers multiple de 5 (2) — Ecrir 21 comme 2 nombre entier consequtif (2) — La somme de cinq nombres impairs consecutifs vaut 105.quels sont ces nombres ? (2) — La somme de quatre entiers consecutifs (2) — Enigme deux nombres consecutifs dans la tete (2) — Deux entiers relatifs consecutifs dont la somme de leurs carres (2) — Solution enigme nombre consecutifs (2) — Demonstration de la somme d entiers impairs (2) — La somme de 3 multiple de 5 consecutif (2) — Demontrez que dehors de 357 on ne peut pas trouver trois nompres impaires consecutifs premiers tous les trois (2) — Somme d entiers naturels successifs (2) — Etant donne un entier n rend la somme des n premiers multiples de 3. (2) — Nombres concecutifs (2) — La somme de deux nombres entiers consecutifs (2) — La somme de deux nombres entiers naturels consecutifs (2) — Si l on retranche 1805 au produit de deux entiers consecutifs on trouve la somme de ces deux entiers. quels sont ces deux nombres entiers ? (2) — Determiner sept nombres impairs consecutifs dont la somme est 7 exposant 3 (2) — Enigme des nombre consecutif (2) — Demontrer que la somme de 5 nombres entiers consecutifs naturels est un multiple de 5 (2) — Complete avec deux entiers consecutifs p (2) — Enigme :la somme de 2011 entiers relatifs negatifs: reponse (2) — Somme de cinq entiers naturels consecutifs (2) — Puissance consecutive (2) — Pourquoi le produit de deux entier consecutif est toujours pair (2) — Tout entier consecutif multiple de 3 (2) — Devinette entiers consecutifs (2) — La somme de deux nombres entiers consecutif (2) — Donner moi de j ai demande de nombre entier consecutif qui sont 1er entre (2) — Somme entiers consecutifs (2) — Existe t-il 3 nombre entiers consecutif dont la valeur vaut 437 (2) — La somme de deux nombres entiers consecutifs quelconques est-elle un nombre impair ? (2) — La somme de 3 nombres naturels cons??cutifs donne 366 quels sont les nombres (2) — Decomposition d un entier en somme des premiers entiers (2) — La somme de 5 entiers consecutifs est un multiple de 5 (2) — Pourquoi la somme de cinq nombres entiers consecutifs est un multiple de 5 (2) — La solution de la somme de 2 puissance n/n puissance n (2) — La somme de deux nombres entiers consecutifs quelconques est-elle un nombre impair (2) — Quels qu un nombre consecutif entier (2) — Puissance de 2 multiplie par nombre impair ecriture d un entier (2) — La somme des n premier facteur de 1 (2) — Somme de quatre nombres impairs consecutifs (2) — Trois nombres consecutifs dont la somme est egal au carre du dernier (2) — Somme des n premier entier de puissance p (2) — Produit de somme consecutive (2) — Somme d entier consecutif (2) — Il existe k?0 et un entier impair m tel que n=2^k m (2) — La somme de deux nombres entiers consecutifs quelconques est un nombrre pair (2) — Un est le entier impair a partir de 7. (2) — Deux entier naturels consecutifs tels que la somme de leurs carre soit egale a 4705 (2) — Comment caracteriser les entiers naturel qui sont la somme des 3 entiers consecutif (2) — 3 entier consecutif 51 (2) — Quesque la somme des entiers successif (2) — Que vaut la somme des 30 premiers naturels multiples de 7? (2) — Soit la somme des entiers consecutifs (2) — Entier consecutif definition (2) — Maths regles des entiers consecutif (2) — Il etait une fois 4 nombre consecutifs dont le produit faisait 24024 quel etait le double de sa somme (2) — Demontrer la somme 2 entiers consecutifs (2) — Somme nombre entier consecutif multiple (2) — Soit trois nombre entier consecutif on appelle n le premier des trois nombre (2) — Somme de deux nombre entiers consecutifs est elle un nombre entier (2) — Pourquoi la somme des entiers paires =impair (2) — Deux naturel pairs consecutif dont la somme est 2012 (2) — Qu est ce qu un nombre naturel multiple de 5 consecutif (2) — La somme de cinq nombres entiers consectifs est un multiple de 5 (2) — 2 nombres entiers multiples consecutifs de 2 (2) — Les sommes sont de 22. trouvez ces nombres. (2) — Lea pense qu en multipliant deux nombres impairs corrige (2) — Entiers consecutifs (2) — On cherche un nombre p tel que la somme de p nombres entiers impairs consecutifs soit toujours un multiple de 5 (2) — La somme de n entiers consecutifs est-elle un multiple de n ? (2) — Multiple de 8 consecutif (2) — Soient 3 nombres entiers consecutifs la somme des carres (2) — La somme de trois entiers consecutifs est toujours impaire (2) — Cins nombres entiers consecutifs est multiple de 5 (2) — Somme de n entiers naturels consecutifs (2) — Pourquoi le produit de 2 entiers consecutifs est toujours pair (2) — La somme de trois nombres consecutifs est 24 trouver ces trois nombres (2) — Somme des n nombres entiers (2) — Donner quatre exemples d une somme de trois naturels pairs consecutifs et calcules-les (2) — Peut on ecrire 2012 comme somme de 3 entiers consecutifs ? (2) — Comment prouver que le resultat de 4 nombres consecutifs est 4 (2) — La somme de k 3 entier consecutif (2) — Multiple de 16 consecutif (2) — Calcul de la somme d un entier consecutif (2) — 2 nombres cons?cutif (2) — Definition de deux entier consecutif (2) — Comment trouver 2 entiers consecutifs (2) — Puissance nombres consecutifs multiple de 3 (2) — Quel est le nombre entier consecutif de 382 (2) — Expliquez la somme de deux nombre entier naturels consecutifs (2) — Produit de 4 entiers consecutifs (2) — Existe t il 2 entier naturel consecutif ou le produit est egale a leur somme (2) — La somme de drux nombres entier naturels consecutifs (2) — Demontrer que la somme de deux nombres entiers pairs est paire (2) — Somme des n premiers entiers consecutifs (2) — Il existe un entier tel que la somme entiere (2) — Les sommes d entiers consecutif etude de cas ou x est pair mais n est pas de puissance 2 (2) — Soit p un entier impair demontrer que la somme de p nombres consecutifs est toujours un multiple de p (2) — La somme des nombres entiers impaires negatifs pdf (1) — Calculer la somme des cinq (5) entiers naturels (1) — Produit de trois entiers paires consecutifs multiple de trois (1) — Produit de deux entiers impairs (1) — Somme de puissance paire (1) — 2 nombres naturels multiple de 5 consecutifs (1) — Somme des entiers naturels pairs et impairs (1) — Demontrer que la somme de deux nombre entiers consecutifs (1) — Trouver 7 entiers consecutifs (1) — Entiers consecutifs non premiers demonstration (1) — Decomposition en somme multiple (1) — Somme nombre entier consecutif a la puissance k (1) — Comment calculer la somme de 51 nombres consecutifs (1) — Entier consecutif 5 eme (1) — Formule suite nombre consecutif (1) — Determiner sept nombres impairs consecutifs dont la somme est 7 puissance 3 (1) — Prouver que le somme de 3 entiers consecutifs est un multiple de 5 (1) — Entier naturel consecutif formule (1) — Decomposition d une somme en facteurs multiples de 3 (1) — Est-il possible de trouver 2 entiers naturels pairs consecutifs dont la sommme est 2010 (1) — Choisir 3 entiers naturels consecutifs dont la somme est un multiple de 3 (1) — La somme de deux nombres entiers consecutifs est un nombre pair (1) — Entier positif somme d entiers consecutifs (1) — Quels sont les entiers naturels qui peuvent s ecrire comme une somme d entiers consecutifs (1) — Nombre multiple de 5 commence par 7 (1) — Deux nombres entier consecutif (1) — Les sommes d entiers consecutifs correction (1) — Pourquoi la somme de 7 nombres consecutifs est un multiple de 7 (1) — Math video multiple consecutifentier naturel (1) — Nombre entiers de 3 chiffres multiples de 5 dont la somme des chiffres est 21 (1) — Produit entiers pairs consecutifs multiple de 3 (1) — Nombres naturels multiples de 16 (1) — Soient 3 nombres entiers consecutifs n (1) — Que peut-on dire de la somme de 5 entiers consecutifs? (1) — Definition somme de trois nombres consecutifs (1) — 2 nombre consecutif dont la somme est 2012 (1) — La somme de n termes entiers consecutifs est multiple de n (1) — Il existe 2 multiples consecutifs de 7 et de 5 (1) — Somme de k entiers consecutifs dont n est le plus petit d entre eux (1) — Entiers consecutifs produit 360 (1) — Comment trouver un nombre entier consecutifs dont la somme est 2012 (1) — Preuve que la somme de nombres consecutifs est un multiple (1) — Determiner une liste de 2014 entiers consecutifs tous entiers (1) — Ecrire un nombre avec des entiers pairs (1) — Trouver n entiers consecutifs non premier (1) — La somme de deux entiers consecutifs est impaire (1) — Somme de 3 naturels pairs consecutifs (1) — Enigme 3 pairs consecutifs double du plus grand (1) — 2 nombres entier consecutif (1) — Entiers naturels pairs consecutifs (1) — Comment demontrer que de 2 nombres impairs a pour resultat un nombre pair (1) — La somme d entiers pairs consecutifs est elle un multiple de 4 (1) — Comment ecrire 2012 avec 4 chiffres entier consecutifs (1) — Trouver 5 carres de longueurs avec des entiers consecutifs (1) — La somme de n entier consecutifs est-elle un multiple de n ? (1) — On a ajoute n entiers naturels pairs consectifs a partir de 0 que vaut n (1) — Definition de la somme de deux nombres entiers consecutifs (1) — 5nombres entiers consecutifs (1) — La somme de deux naturels consecutifs est egale a 22.trouvez ces deux naturels. (1) — Prouver que la somme de trois entiers consecutifs est un multiple de 3 (1) — Somme de n nombres consecutifs (1) — La somme des carres des entiers consecutifs de 1 a n (1) — Soit n un nombre somme de 4 entiers consecutifs (1) — Quel est la somme de deux nombres entier consecutifs de 25 (1) — Entre deux multiple consecutive de 5 (1) — Probleme pour les 2 nombres entiers consecutifs (1) — Calculer la somme des entiers multiples de 3 (1) — La somme de deux entiers naturels consecutifs (1) — Probleme somme d entiers consecutifs (1) — Pourquoi la somme de 5 entiers consecutifs et multiple de 5 (1) — Suite+somme des puissances des nombres entiers+pdf (1) — La somme de la p consecutif est un multiple de p (1) — Somme sur les nombres pairs (1) — La somme des trois nombres consecutifs 2324 et 25 est elle un multiple de 3 (1) — La somme de trois nombres naturels consecutifs est toujours un multiple (1) — Somme de 4 nombres consecutifs (1) — 3 entiers pairs consecutifs (1) — Multiple de 3 pourquoi (1) — Demontrer que trois nombre consecutif est un multiple de 3 (1) — Je pense a trois nombres entiers consecutif. je les additionne et je trouve 141. quels sont les trois nombres (1) — La somme de trois entiers naturels consecutifs (1) — Somme des n termes consecutifs paires et impairs en pdf (1) — Ques que deux entier consecutif (1) — Somme de n entiers carre consecutifs (1) — Demontrer somme de nombre consecutif (1) — Quel est les nombres entier consecutif de 17/5 (1) — Exemple de deux naturels pairs consecutifs dont le premier est un multiple de deux (1) — La somme de trois nombres multiples de 4 (1) — Soit n un nombre consecutif (1) — Comment determiner un nombre consecutif du produit 702 (1) — Probleme la somme de deux nombres naturels pairs consecutifs vaut (1) — Multiple de 5 entiers consecutifs (1) — Determiner toutes les facon d ecrire le nombre n=2013 comme somme d au moins deux entiers consecutifs (1) — Comment calculer trois nombres consecutif a partir de la somme (1) — Le premier entiers consecutifs dont la somme vaut 48 (1) — Trouve 3 entiers consecutifs (1) — Que veux dire en terme de mathematique deux entiers consecutif (1) — La regle pour trouver 5 chiffre impaire suivi si leur somme est connu (1) — Comment trouver un nombres consecutifs (1) — Produit trois nombres consecutifs (1) — 1+3 puissance n pair ou impair (1) — La somme de 3 nombre consecutif impaire dont la sommes est de 51 (1) — Comment trouver 56 par des multiples consecutif de3 (1) — Deux entiers pairs consecutifs (1) — 49 entiers consecutif somme ^5 (1) — La somme des entier naturel consecutif (1) — La somme des carres de 3 entiers consecutifs est (1) — Peut on affirmer que la somme de quatre nombre consecutif est toujours un multiple de 4 (1) — Trouver le multiple de la somme de trois nombres entiers (1) — Pourquoi la somme de n entiers consecutif est toujours un multiple de n (1) — Trouver trois nombres consecutifs dont la somme des carres (1) — Somme des n premieres puissances ke d entiers (1) — Pourquoi la somme de trois entiers consecutifs est toujours multiple de 3 (1) — 5 chiffres paires consecutifs donne 160 (1) — Multiples consecutif de 28 (1) — 4 nombre entier consecutifs = 342 (1) — Entier + entier consecutif la somme sera toujours multiple de 3 (1) — Produit de nombre consecutifs (1) — Somme des puissances paires des nombre de 1 a (1) — La somme des entiers consecutifs de 1 a n (1) — Trouver un multiple de 577 (1) — Probleme de math avec entiers naturels consecutifs (1) — La somme entier consecutif est elle toujours un multiple de n (1) — Somme de multiples de 7 (1) — Lasomme de 7 entiers consecutifs est elle toujours un multiple de 7 (1) — Corriges de math montrer que la somme de 2 nombres entiers consecutifs est impair (1) — Montrer que si n est la somme de n nombre impairs consecutifs alors n n est pas premier (1) — Somme de deun nombre successifs (1) — Somme des entiers consecutifs de 1 a 13 (1) — Enigme le produit de 6 nombres entiers consecutif se termine par deux zeros (1) — Deux entier relatif consecutifs definition (1) — Caracteriser les entiers qui sont la somme de deux entiers consecutifs (1) — De quel nombre entier la somme de sept nombres entiers consecutifs est-elle toujours un multiple ? (1) — Comment prouver que des nombres sont consecutifs (1) — Utiliser ce resultat pour donner 5 entiers consecutifs non premier (1) — Calculer la somme de 5 entiers consecutifs (1) — Exemple de deux nombres entier consecutif (1) — Somme de p entier consecutif (1) — Nombres entiers consecutifs puissance d un entier (1) — Demonstration de somme des n premier k^3 entier (1) — Ecrire 25 comme une somme des carre de deux entier consecutifs (1) — Somme nombres consecutifs (1) — La somme de quatre entiers consecutifs est un multiple 4 (1) — On a ajouter n entiers pairs consecutifs a partir de 0 (1) — Corrige soit p un entier impair. montrer que la somme de p nombres consecutifs est toujours un multiple de p. le resultat est-il encore valable pour un entier pair ? (1) — Formule somme entier consecuti (1) — La somme de n entiers consecutifs est toujours un multiple de n (1) — La somme de 5 nombres impairs consecutifs est toujours un multiple de 5. (1) — Deux chiffres consecutif multiples (1) — Somme n entier naturel (1) — 2 nombres pairs concecutifs (1) — La somme de 3 nombres pairs consecutifs est 54 (1) — Somme des nombres consecutif en puissances (1) — Somme des puissances d entiers consecutifs (1) — Quelle est la somme de 2013 nombres entiers negatifs non nuls est egale a -2014 calculer leur produit? (1) — Produit de 3 entiers consecutifs ne peut etre une puissance (1) — La somme de quatre entiers consecutifs strictement (1) — La somme de 3 entiers impairs consecutifs est (1) — La somme de cinq entier consecutif qui et toujours un multiple (1) — Deux nombres naturels multiples de 5 consecutifs? (1) — Somme minimum de trois carre consecutifs (1) — Demontrer que le produit de 2 nombres entiers consecutifs est toujours pair (1) — La somme des 2014 nombres entiers (1) — Comment une somme de n entier (1) — Qu est ce que s est un multiple de 3 (1) — Ecriture generale de 3 nombres entiers naturels impairs consecutifs (1) — Formule de la somme des entiers consecutifs (1) — Produit de 3 nombres entiers consecutifs que peut on dire (1) — Trouver deux entiers naturels pairs consecutifs (1) — Montrer que la somme de deux nombres entiers consecutifs est un nombre impair (1) — Suite de trois entier rlatif egale a 0 (1) — Recherche de 5 consecutifs de 17 (1) — Demontrer que le produit de deux nombres entiers consecutifs est un nombre pair (1) — Sommes de nombres entiers consecutifs negatifs (1) — Sommation 10^k/k! (1) — La somme de deux nombre de 7 est-elle un multiple de 7 (1) — Problemes entiers relatifs (1) — Pourquoi la somme de 3 nombres premiers a comme multiple 3 (1) — Somme de deux entiers consecutifs (1) — Somme des entiers consecutifs (1) — Somme de 4 nombres entiers impairs consecutifs est un multiple de 4 (1) — Suite formule somme puissance entier consecutif (1) — Produit des n premiers entiers naturels (1) — Le produit de deux nombre impairs consecutifs additionne au double du plus grand nombre (1) — Caracteriser les entiers naturels qui sont la somme de trois entiers consecutifs (1) — Decomposition d un entier en une somme des entiers consecutifs (1) — Regle pour trouver entiers consecutifs (1) — 36 sous la forme d une somme de trois entiers consecutifs (1) — Ensemble des entier consecutifs (1) — Trouver 3 carre d entier naturel consecutif dont la somme du plus grand et un multiple de la somme des 2 autre (1) — Somme de 3 nombres entiers consecutifs est un multiple de 3 (1) — Trouver trois nombres entiers consecutifs tels que la somme du premier et du troisieme (1) — Somme d entier consecutif trouver le dernier terme (1) — C est la somme de deux nombres consecutif (1) — Entiers consecutifs somme (1) — Addition de puissance d entier positif (1) — Entier consecutif preuve (1) — Pourquoi la somme de 2 nombre pair et impaire est paire (1) — La somme de 2 nombres multiples de 3 consecutifs (1) — Ecrire 25 = somme des carres de deux entiers consecutifs (1) — Trouver deux multiples consecutifs de 17 (1) — La somme de trois entiers pairs consecutifs est elle un multiple de 3 (1) — Defi la somme de 2011 nombres entiers relatifs negatifs (1) — Sommes de puissances d entiers preuve (1) — La somme de 2 multiple de 3 consecutifs vaut 27 (1) — 3 nombres consecutif (1) — La somme de trois nombres entiers consecutifs quelconques est un multiple de 3 (1) — Un entier x est somme d au moins deux entiers consecutifs (1) — Comment ecrire deux nombres entiers consecutifs (1) — Somme des 30 premiers entiers naturelsmultiples (1) — Somme d entier consecutif 9+10+11+12 (1) — P un entier naturel impair et s la sommle de p nb entier consecutif (1) — Somme de produits d entiers consecutifs (1) — P un entier naturel impair et s la somme de p nb entier consecutif (1) — Somme de deux entiers positifs (1) — Soit trois nombres entiers consecutifs (1) — Et-il logique que le resultat de 2 nombres pairs consecutifs sois pairs (1) — 4 nombres consecutifs (1) — Somme des nombres paire de n-1 termes (1) — Nombre multiple de 5 consecutive (1) — Pourquoi la somme de 3 entiers consecutifs est toujours un multiple de 3 (1) — N>=1 alors n+(n+2)+n(n+2) est premier (1) — Definition des nombres pairs consecutifs (1) — Montrer que la somme de n entiers consecutifs impairs est multiples de p (1) — Deux ensembles meme somme pairs impairs (1) — Quesqu un entier positifs consecutifs (1) — Nombre entier consecutif de 1 que vaut cette somme (1) — 3 entiers consecutifs dont la somme est egale au produit (1) — Produit de trois nombres consecutifs (1) — Somme de 2 nombres impairs jamais impairs (1) — Soit n un nombre entier (1) — Calcul de la somme des carres des n premiers entiers naturels strictement positifs (1) — Multiples consecutifs de 7 (1) — La somme de cinq nombres consecutifs est un multiple de 5 (1) — Somme de nombres consecutifs puissance de 2 (1) — Lea pense qu en multipliant deux nombres impairs (1) — Entier consecutif de 20 (1) — Trouver toutes les suites de 5 entiers consecutifs tels que la somme (1) — Demontrer que la somme de deux nombres pairs quelconques est un nombre pair (1) — Trouver 4 nombres consequtifs (1) — Ecrivez 2entiers consecutif entre 36 (1) — Trouver quatres nombres naturels pairs consecutifs (1) — Prouver que 4 chiffre consecutifs son multiples de 4 (1) — Comment montrer que la somme de trois entiers naturels consect (1) — Calculer combien d entiers multiple et non multiple (1) — Demontre que la somme de deux entiers impairs consecutifs est un multiple de 4 (1) — La somme de trois nombre entiers consecutifs est 39. on appelle x le plus petit des trois. calcule le (1) — Somme k entiers consecutifs (1) — La somme de n entiers consecutifs est-elle un multiple de n? (1) — Expliquer qu un nombre impair multiplie par un nombre impair + 1 est toujours un multiple de 4 (1) — Justifier la somme de deux nombres entiers consecutifs est un nombre impaire (1) — Somme de deux puissances (1) — Somme de quatre entiers consecutifs (1) — Quels sont les trois entiers pairs consecutifsdont la somme vaut ? (1) — X entiers consecutifs multiple de x (1) — Combien de facon on peut ecrire 105 comme somme d entiers strictement positive (1) — Somme 4 nombres entiers consecutifs egal multiple 4 (1) — Quesqu un diviseur de 12 (1) — L produit de deux nombre consecutif moin (1) — Solution le produit de deux entiers qui sont sommes de deux carres d entiers est-il encore une somme de deux carres d entiers ? (1) — Je voudrais connaitre le resultat de la somme de tous les nombres entiers de 1 a 2014 (1) — Vn+1=vn +n (1) — Somme n entier (1) — Enigme de math la somme de 5 nombres entier consecutifs est 2000 quel et le plus grand (1) — Exercice corrig?? sur le carr?? de deux nombres cons??cutifs (1) — Somme entiers consecutifs p (1) — Deux nombres naturels multiples de 5 consecutifs (1) — Formules sommes (-1) puissance n (1) — Comment montrer que dans toute suite de nombres entiers positifs successifs se trouve un multiple de 7? (1) — Programme c somme des n premiers termes positifs pairs non multiples de trois (1) — On veut montrez la somme de quatre entiers consecutifs est toujours pairs (1) — Somme des n entiere consecutifs (1) — Montrer que la somme de deux entiers naturels impairs consecutifs n est pas un entier pair (1) — 28 entre 2 multiples consecutif de 3 ? (1) — Calculer la somme des cubes d entiers consecutifs (1) — Somme des premiers entier pairs consecutifs (1) — Demontrer que le produit de deux entiers consecutifs est pair (1) — Choisir nombre entiers consecutifs a partir de x (1) — Sommes d entier successif (1) — Les entier consecutif (1) — Determiner 18 nombres multiples de 5 consecutifs (1) — Produit de trois nombres entiers consecutifs de 2 (1) — La solution de la somme de deux nombres consecutifs au carree egale a 1513 (1) — Definition de nombres consecutifs (1) — Demontrer que la somme de deux nombres entier consecutif est un nombre pairs (1) — Demontrer que la somme des septs entiers consecutifs est toujours un multiple de septs (1) — Demontrer que la some de trois entiers naturels successifs est multiple de trois (1) — La somme de 2 multiples consecutifs (1) — La somme de n entiers consecutifs est elle multiple de n si n est un entier nzturel (1) — Quelle est le formule pour un multiple de 5 (1) — Trouver 3 nombres consecutifs dont la somme est egale au produit demonstration (1) — Montrer que la somme de 3 entiers consecutifs n est pas premier (1) — Les multiples cons?cutifs (1) — Qu est ce qu un nombre entier relatif consecutif (1) — Qu est ce sont des entiers consecutif (1) — 3 multiples de 9 consecutifs avec n (1) — Deux entiers consecutifs dont la somme 7 (1) — La somme des n entiers successifs (1) — La somme de trois nombres entier naturel consecutif (1) — La somme de 2 de 3 consecutifs est 27 (1) — Sommededeuxnombreentiernaturelconsecutif (1) — Produit de multiples de 7 (1) — Somme multiples de 8 consecutifs regle (1) — 272 nombre entier consecutif (1) — La somme de trois nombres entiers naturel consecutifs est 60 quel sont ces nombres (1) — Produit deux entiers consecutifs et carres parfait (1) — Une ecriture generale de 3 nombre impaire consecutifs (1) — En multipliant deux nombres impair consecutifs et en ajoutant 1 on obtient un multiple de 4 (1) — Que peut-on dire de 5 entiers consecutifs (1) — Quels sont les entiers naturels qui peuvent s ecrire comme une somme d entier consecutif? (1) — Trois entier consecutif de 20 (1) — Comment prouver que 3 .ombre consecutif sont un multiple de 3 (1) — La somme de 3 entiers consecutifs est un multiple de 5 (1) — Somme de 5 nombres entiers consecutifs egale au quintiuple du troisieme (1) — Produit de nombre entier successif (1) — On veut prouver que la somme de deux nombres entiers consecutifs quelconques (1) — 4 nombres pairs consecutifs dont la somme vaut 30 (1) — Determiner une somme de puissances consecutives d un meme nombre (1) — Multiple consecutif de 2 (1) — Somme des entiers naturels consecutifs (1) — La somme de deux nombres etiers naturels consecutifs (1) — Soit la somme des entiers consecutifs suivante : s = 2011 (1) — Demontrer que la somme de deux entiers pairs consecutifs est un multiple de 4 (1) — Somme d entiers consecutifs ne commencant pas a 1 (1) —

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