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 #1 - 20-01-2012 20:31:26

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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entiers consévutifs

Bonsoir à tous.
Comme d'hab, une courte question qui ne préjuge pas de la longueur de la réponse...

Quels sont les entiers somme d'au moins 2 entiers naturels consécutifs ?

Bon amusement.



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#0 Pub

 #2 - 20-01-2012 21:35:43

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Entiers consécutif

Je dirais tous les entiers strictement positifs sauf les puissances de 2 paires.

 #3 - 20-01-2012 21:58:38

racine
Elite de Prise2Tete
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ntiers consécutifs

A vue de nez, il y a un problème sur les puissances de deux...
A voir.

 #4 - 20-01-2012 22:29:14

scrablor
Expert de Prise2Tete
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entiers conséxutifs

Belle question mais je manque de temps.
Je propose : tous les entiers naturels non nuls sauf les puissances de 2.

Les impairs : 2n+1=n+(n+1)
Les multiples de 3 : 3n=(n-1)+n+(n+1)
Les multiples de 5 : 5n=(n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2)
Etc.

Il reste à éliminer les puissances de 2: 2*SOMME=(Nb de termes)*(1er+dernier) mais (Nb de termes) & (1er+dernier) sont de parité différente ! SOMME n'est donc pas une puissance de 2.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #5 - 20-01-2012 22:46:03

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Lieu: UK

zntiers consécutifs

n + n+1 = les impairs sauf 1
n-1 + n + n+1 = les multiples de 3
4n-2=2(2n-1)  les pairs sauf multiples de 4 et pas 2
5(n-1)=les multiples de 5
....
tous sauf 2, 4, 8, 16, ... ce qui laisserait penser que seules les puissances de 2 ne peuvent être la somme d'entiers consécutifs.

Démonstration
Soit N la somme de k entiers consécutifs.

Si k est impair, alors N=k m, m étant la valeur centrale.
ex: la somme de  5 6 7 8 9 est 5*7=35
Donc tous les nombres ayant pour diviseur un impair k>2, peuvent s’écrire comme une somme consécutive de k entiers, k étant impair.

Si k est pair,
Si k=2, nous retrouvons tous les impairs à partir de 3
Tous nombres impairs 2n+1 avec n>0 peut s’écrire comme la somme de n et n+1

Si k>2, la valeur centrale de la somme est impaire et des binomes dans notre somme d'entier peuvent etre formés pour faire cette somme. La somme de k entiers, k etant impair, nous donne 2^(k/2-1) * valeur centrale [impair!]

Bilan
Tous les entiers ayant au moins un impair >1 comme diviseur, en incluant l'entier lui-même, peut s’écrire sous la forme d'une somme d'entiers consécutifs. Les entiers qui ne correspondent pas à cette définition sont les puissances de 2.


The proof of the pudding is in the eating.

 #6 - 20-01-2012 23:38:15

titoufred
Elite de Prise2Tete
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ebtiers consécutifs

Je tente une démonstration :

1)Tout entier x strictement positif qui n'est pas une puissance de 2 paire peut s'écrire comme somme d'au moins 2 entiers naturels consécutifs :

Si x=1 alors:
    x = 0 + 1
Sinon (x <> 1):
    x = pq avec p un entier impair (p>=3) et q un entier (q>=1).
    On note k l'entier tel que p=2k+1. On a k>=1.
    Si q>=k alors:
        la somme des p termes (q-k)+...+(q+k) de moyenne q vaut pq, soit x.
    Sinon (q<k):
        la somme des 2q termes (k-q)+...+(k+q+1) de moyenne p/2 vaut pq = x.
    Fin Si
Fin Si

2)Toute somme d'au moins 2 entiers naturels consécutifs est un entier strictement positif qui n'est pas une puissance de 2 paire :

Soit S la somme de n entiers naturels consécutifs commençant par a
(avec n>=2 et a>=0) :
S = a+ ... +(a+n-1) = n(2a+n-1)/2

Si n est impair alors:
    2a+n-1 est pair et donc (2a+n-1)/2 est un entier.
    Par conséquent, n est un diviseur impair non trivial de S, et donc S
    n'est pas une puissance de 2 paire.
Sinon (n est pair):
    S = (2a+n-1)n/2
    n/2 est un entier
    2a+n-1 est un diviseur impair de S
    Si a=0 et n=2 alors:
        S=1 donc S n'est pas une puissance de 2 paire.
    Sinon (a>=1 ou n>=4)
        2a+n-1>=3 et donc c'est un diviseur impair non trivial de S, et donc S
        n'est pas une puissance de 2 paire.
    Fin Si
Fin Si

 #7 - 20-01-2012 23:56:55

titoufred
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Etniers consécutifs

Je reprends le 2), en beaucoup plus court :

2)Toute somme d'au moins 2 entiers naturels consécutifs est un entier strictement positif qui n'est pas une puissance de 2 paire :

Soit S la somme de n entiers naturels consécutifs commençant par a
(avec n>=2 et a>=0) :
S = a+ ... +(a+n-1) = n(2a+n-1)/2
et donc 2S = n(2a+n-1)
Supposons que S est une puissance de 2 paire.
Alors n est pair.
On ne peut avoir n=2 et a=0 car sinon, on aurait S=1.
Par conséquent 2a+n-1 est un diviseur impair non trivial de S.
C'est absurde.

 #8 - 21-01-2012 01:20:02

dhrm77
L'exilé
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Entiers consécutisf

avec 2 nombres consecutifs: tous les nombres impairs.
avec 3 nombres consecutifs: tous les multiples de 3 a partir de 3
avec 4 nombres consecutifs: 6, 10, 14, 18, 22, etc...
avec 5 nombres consecutifs: 10,15,20,25,30,35, etc...
avec 6 nombres consecutifs: 15, 21, 27, 33, 39, etc...
avec 7 nombres consecutifs: 21, 28, 35, 42, 49, etc...
avec 8 nombres consecutifs: 28, 36, 44, 52, etc...

donc en résumé on peut faire tous les nombres sauf 0, 2, 4, 8, 16, 32, etc....
Soit 0 et les puissances de 2 a partir de 2.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #9 - 21-01-2012 08:13:54

nodgim
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Entieers consécutifs

Beaucoup de réponses qui convergent vers la solution, mais peu de démo, seul Titoufred s'y est collé.

Indice:
Comment trouver une solution pour un nombre quelconque ?

 #10 - 21-01-2012 09:26:45

gwen27
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entiers consévutifs

Si N est impair, il est décomposable en 2 facteurs (2n+1)

Si n est pair :
La somme de n entiers consécutifs x étant le premier est  nx + n(n-1)/2

Dans le cas d'un nombre n impair, on a donc :  n (x+(n-1)/2) avec n-1/2 entier

ce qui revient à dire qu'on obtient un multiple de n.

Si le nombre N que l'on cherche est multiple de n, il pourra être exprimé sous la forme

N=nX

On pose X = x + (n-1)/2 soit x = X-(n-1)/2

Un multiple de n impair est donc décomposable en somme d'entiers consécutifs.
En prenant la décomposition du nombre en facteurs premiers, on trouve la plus petite décomposition en n facteurs, n étant le plus petit facteur premier.

Si N est lui même premier, il est impair et donc décomposable en 2 facteurs (2n+1) D'ailleurs, on est dans le cas "pair" Mais cela amène à se pencher sur le cas du nombre 2

Si N est une puissance de 2 , il n'est pas exprimable comme somme d'entiers consécutifs.

Exemple : 43 impair : 21+22

36 = 3^2 x 2^3  donc 3 termes    avec donc 12 au milieu 11 12 13

60 = 3 x 4 x 5  donc 3 termes  avec 4x5 = 20 au milieu 19 20 21

728 = 2^3 * 7 * 13 donc 7 termes  101 à 107

13542484242 = 2 * 3 * 7 * 43 * 863 * 8689 donc 3 termes :
4514161413     4514161414     4514161415

 #11 - 21-01-2012 09:50:58

franck9525
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entuers consécutifs

Je viens de m'y coller egalement smile Un bien beau problème.


The proof of the pudding is in the eating.

 #12 - 21-01-2012 10:35:58

nodgim
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entizrs consécutifs

Dans ta démo Gwen, il me semble que tu ne tiens pas vraiment compte du plus petit multiple de n. Si ce multiple est plus grand que le nombre décomposé ?

 #13 - 21-01-2012 11:06:27

gwen27
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Entiers conséccutifs

Je crois avoir compris ce que tu veux dire :

Pour 14=2x7 par exemple, j'aboutis à une décomposition en 7 facteurs :

-1  0  1  2  3  4  5  mais le centre étant positif (2) je peux toujours annuler les termes négatifs avec les premiers termes positifs.
Reste donc  : 2 3 4 5

26 = 13x2

-4  -3  -2  -1  0  1  2  3  4  5  6  7  8

...etc

 #14 - 21-01-2012 12:14:35

NickoGecko
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entiets consécutifs

Bonjour

J'ai pris le problème à l'envers :

Somme de deux entiers consécutifs : k+k+1 = 2k+1
ce sont les nombres impairs

Somme de trois entiers consécutifs : k+k+1+k+2 = 3k+3
ce sont les multiples de 3

Somme de quatre entiers consécutifs : k+k+1+k+2+k+3 = 4k +1+2+3 = 4k+6

Somme de cinq entiers consécutifs : k+k+1+k+2+k+3+k+4= 5k +1+2+3+4 = k+10

Somme de n entiers consécutifs à partir de l'entier k = nk + n(n-1)/2

donc, à suivre pour caractériser les entiers sommes d'au moins deux entiers consécutifs ...
Je suppose qu'il faut trouver un raisonnement de type "crible"


Merci, bon WE


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #15 - 21-01-2012 12:27:17

Vasimolo
Le pâtissier
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Entiers cnsécutifs

C'est possible pour tous les entiers positifs qui ne sont pas des puissances de 2 et seulement pour eux .

soit [latex]x=p2^a[/latex] un entier non nul et [latex]p[/latex] impair et supposons : [latex]x=(y+1)+(y+2)+(y+3)+...+(y+n)[/latex] alors [latex]x=n(y+\frac{n+1}2)[/latex] .

Si [latex]p=1[/latex] alors [latex]2x=2^{a+1}=n(2y+n+1)[/latex] ce qui est impossible .

Si [latex]1<p\leq 2^{a+1}[/latex] alors [latex]\frac{p+1}2 \leq 2^a[/latex] . En posant [latex]y=2^a-\frac{p+1}2[/latex] et [latex]n=p[/latex] on a [latex](y+1)+(y+2)+...+(y+n)=x
[/latex]
Si [latex]2^{a+1}<p[/latex] alors [latex]p=2r+1[/latex] avec [latex]2^a\leq r[/latex] . En posant [latex]y=r-2^a[/latex] et [latex]n=2^{a+1}[/latex] on a : [latex](y+1)+(y+2)+...+(y+n)=x[/latex]

Vasimolo

 #16 - 21-01-2012 12:45:52

nodgim
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Entiers conscéutifs

Une réponse complète pour Vasimolo.
Même démarche que la mienne, à la présentation près.

 #17 - 21-01-2012 19:26:58

L00ping007
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entiers cobsécutifs

La réponse est : seules les puissances de 2 ne sont pas la somme d'au moins 2 nombres consécutifs.

J'arrive à montrer aisément que les puissances de 2 ne le sont pas.
Pour montrer que ce sont les seuls nombres, j'ai un peu du mal à mettre mon intuition en démo.
Les nombres impairs, pas de souci, les 4n+2 aussi, seuls les 4n sont à regarder d'un peu plus près.

J'ai essayé d'utiliser une récurrence : quand un nombre est somme d'un nombre impair de nombres consécutifs, son double l'est aussi. Il me manque à le montre dans le cas d'un nombre pair de nombres consécutifs.
Ainsi, je pourrai affirmer que les 2^k * (2n+1) vérifient les conditions (n>1), ce sont bien les nombres non puissances de 2.

Peut-on montrer que si un nombre est la somme d'un nombre pair de nombres consécutifs, alors son double l'est aussi ? Je vais réfléchir encore un peu smile

 #18 - 21-01-2012 19:36:56

shadock
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Enteirs consécutifs

Soit [latex]N \in \mathbb{N}[/latex]
On cherche si il existe un entier x tel que [latex]N=\sum_{i=0}^n (x+i-1)[/latex]
On appel [latex]S_n=\sum_{i=0}^n i = \frac{n(n+1)}{2}[/latex]

Somme :
[TeX]N=x+(x+1)+(x+2)+...+ (x+n-1)[/latex] soit [latex]S_{x+n-1}-S_{x-1}[/latex] donc [latex]N=\frac{(x+n-1)*(x+n)-x*(x-1)}{2}[/TeX]
En multipliant par 2 on obtient : [latex]\fbox{2N=n*(2x+n-1)}[/latex]


Par la suite on montre que [latex]N \neq 2^a[/latex] :
En effet [latex]n[/latex] et [latex]2x+n-1[/latex] sont de parité différente, leur produit étant pair oblige que [latex]N[/latex] est dans sa décomposition en nombre premier au moins un nombre impair. CQFD
D'où [latex]N=a*b[/latex] avec [latex]a[/latex] pair et [latex]b[/latex] impair.


Il reste donc deux choix possibles :
Si [latex]b<a[/latex] avec [latex]n=b[/latex] et [latex]a=2x+n-1[/latex] alors [latex]x=\frac{a-b+1}{2}[/latex] sinon,
Si [latex]b>a[/latex] avec [latex]n=a[/latex] et [latex]b=2x+n-1[/latex] alors [latex]x=\frac{b-a+1}{2}[/latex]


Quod erat demonstrandum ! big_smile

Shadock

PS : Je ne suis pas sur de l'exactitude de mon raisonnement.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #19 - 22-01-2012 09:01:10

nodgim
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entiers consécutifq

C'est bon Shadock, sauf que tu calcules 2N au lieu de N..
Juste une petite correction et ce sera parfait.

 #20 - 22-01-2012 11:21:02

rivas
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entoers consécutifs

Un grand classique et un résultat à connaître pour les amateurs d'éngmes.

Les puissances de 2 sont les seuls entiers ne pouvant s'écrire comme une somme d'entiers consécutifs (entiers trapézoïdaux). La démo est disponible un peu partout sur le Web et ne présente pas de difficulté particulière.
Par exemple:
http://educmath.ens-lyon.fr/Educmath/re … synotr.pdf

Ce résultat est assez souvent utilisé dans des énigmes mathématiques.
Par exemple dans l'armée du général Déployé, exercice de l'un des championnat FFJM.

 #21 - 22-01-2012 11:37:33

nodgim
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Entiers cnosécutifs

Merci pour le lien Rivas.

 #22 - 22-01-2012 18:28:50

fix33
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entiers consévutifs

1, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19...

Tous les entiers impairs car 2n+1 = n + (n+1).
Tous les multiples de 3 car 3n = (n-1) + n + (n+1).
Tous les entiers 4n+6 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3).
Tous les multiples de 5 car 5(n+2) = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4).
Tous les multiples de 7 car 7n = (n-3) + (n-2) + (n-1) + n + (n+1) + (n+2) + (n+3).
Tous les multiples de 8 car 8n+28 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) + (n+5) + (n+6) + (n+7).
...

Donc tous les entiers impairs n et tous leurs multiples (partir de (n-1)/2).
Et puis aussi tous les nombres M[n+(M-1)/2] avec M pair... Mais cela semble intégralement contenu dans l'ensemble précédent... Ou compléter la liste pour les multiples inférieurs à (n-1)/2, comme 38=19*2 : on ne peut pas prétexter que 19 est impair, car 2 est inférieur à (19-1)/2. Il faut passer par 4n+6...

Les seuls entiers pairs non multiples de nombres impairs sont les puissances de 2 !!

Donc, il s'agit de l'ensemble des entiers naturels non nuls et non puissances de 2 ! lol

Bon OK, il y a un trou dans ma démonstration... yikes


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #23 - 24-01-2012 17:25:51

nodgim
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entiees consécutifs

Merci à tous pour votre participation.
La réponse a été donnée de manière exhaustive par Vasimomo et Titoufred a donné un lien qui en parle très bien, il n'y a rien à ajouter...rien sauf peut être qu'on pourrait étendre la question: Si j'avais demandé qu'il fallait faire la somme de 3 nombres consécutifs minimum, comment aurait évolué le résultat ?

 #24 - 24-01-2012 17:45:12

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Eniers consécutifs

Spoiler : On aurait quand même gardé tous les pairs qui sont multiples d'autre chose que de 2 (vu que tous les multiples de 3 sont sommes de 3 nombres consécutifs, tous les multiples de 5 sommes de 5 entiers consécutifs, et ainsi de suite pour tous les impairs, en particulier pour tous les premiers différents de 2), donc la réponse finale n'aurait pas changé en excluant les sommes de deux entiers consécutifs.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #25 - 24-01-2012 18:19:08

nodgim
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Entierss consécutifs

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(2) — Il existe k?0 et un entier impair m tel que n=2^k m (2) — Produit de somme consecutive (2) — La somme de deux nombres entiers consecutifs quelconques est un nombrre pair (2) — Quels qu un nombre consecutif entier (2) — Entier consecutif definition (2) — Trois nombres consecutifs dont la somme est egal au carre du dernier (2) — La somme des n premier facteur de 1 (2) — La solution de la somme de 2 puissance n/n puissance n (2) — Quesque la somme des entiers successif (2) — Puissance de 2 multiplie par nombre impair ecriture d un entier (2) — Somme de deux nombre entiers consecutifs est elle un nombre entier (2) — Somme d entier consecutif (2) — Somme entiers consecutifs (2) — La somme de deux nombres entiers consecutifs quelconques est-elle un nombre impair (2) — Demontrer que la somme de 5 nombres entiers consecutifs naturels est un multiple de 5 (2) — Definition de deux entier consecutif (2) — Les sommes sont de 22. trouvez ces nombres. (2) — 2 nombres cons?cutif (2) — Peut on ecrire 2012 comme somme de 3 entiers consecutifs ? (2) — Demontrer que la somme de deux nombres entiers pairs est paire (2) — Demontrez que dehors de 357 on ne peut pas trouver trois nompres impaires consecutifs premiers tous les trois (2) — La somme de drux nombres entier naturels consecutifs (2) — Comment caracteriser les entiers naturel qui sont la somme des 3 entiers consecutif (2) — Somme des n premiers entiers consecutifs (2) — Expliquez la somme de deux nombre entier naturels consecutifs (2) — (2) — Soit p un entier impair demontrer que la somme de p nombres consecutifs est toujours un multiple de p (2) — Devinette entiers consecutifs (2) — Pourquoi le produit de deux entier consecutif est toujours pair (2) — Somme de n entiers naturels consecutifs (2) — Puissance nombres consecutifs multiple de 3 (2) — Pourquoi la somme de cinq nombres entiers consecutifs est un multiple de 5 (2) — Somme des n nombres entiers (2) — Quel est le nombre entier consecutif de 382 (2) — La somme de trois nombres consecutifs est 24 trouver ces trois nombres (2) — Produit de 4 entiers consecutifs (2) — La somme de k 3 entier consecutif (2) — Comment trouver 2 entiers consecutifs (2) — Calcul de la somme d un entier consecutif (2) — Existe t il 2 entier naturel consecutif ou le produit est egale a leur somme (2) — Multiple de 8 consecutif (2) — Les sommes d entiers consecutif etude de cas ou x est pair mais n est pas de puissance 2 (2) — Enigme des nombre consecutif (2) — Il existe un entier tel que la somme entiere (2) — Entiers consecutifs (2) — Multiple de 16 consecutif (2) — Comment ecrire un nombre sous la forme de la somme de deux entiers consecutifs (2) — Somme de 5 nombres entiers multiple de 5 (2) — Peut on repondre a la question si l on cherche trois entiers dont la somme est 2011 (2) — Puissance de 3 consecutive (2) — La somme de 2011 nombres entiers relatifs negatifs tous differents de zero (2) — Somme de 5 nombre entiers consecutifs egal multiple de 5 (2) — Je pense a 3 nombres entiers consecutifs. je les aditionne et je trouve 342 (2) — De quel nombre entier la somme de cinq entiers consecutifs est elle toujours un multiple (2) — Le produit de deux entiers consecutifs est toujours pair (2) — Ecriture de 3 nombres consecutif (2) — La somme de 5 entiers consecutifs est un multiple de 5 (2) — Entier(n-1)/2+1(pour tout membre multiple de 3) (2) — Somme de cinq entiers consecutifs et de six entiers consecutifs (2) — Nous sommes cinq entiers consecutifs (2) — Soit la somme des entiers consecutifs suivante : s = 2011 + (2) — Probleme de 3eme 2entiers consecutifs puissance dun entier (2) — 2 nombres consecutifs sous la forme dune puissance (2) — Additionner 5 nombres consecutifs le resultat est un multiple de 5 (2) — Somme nombre entier consecutif (2) — Puissance consecutive (2) — Enigme :la somme de 2011 entiers relatifs negatifs: reponse (2) — Complete avec deux entiers consecutifs p (2) — Exemple de multiple consecutif (2) — On veut montrer que la somme de quatre entier consecutif est toujour paire (2) — Somme de nombres entiers consecutifs (2) — Quel sont les deux entiers pairs consecutifs de somme 82 (2) — Donne une ecriture de 25 comme la suite de deux nombres consecutifs 5eme (2) — Je pense a quatre nombres entiers relatifs consecutif. je les additionne et je trouve -42. (2) — Trouver deux multiples consecutifs de 8 (2) — Somme entiers consecutifs egale a 2014 (2) — Formule somme d entier pairs non nuls (2) — Exemple de probleme pour trouver nombre entier consecutif (2) — Somme de 5 entiers consecutifs (2) — Decomposition d un entier en somme des premiers entiers (2) — La somme de 3 nombres naturels cons??cutifs donne 366 quels sont les nombres (2) — Donner moi de j ai demande de nombre entier consecutif qui sont 1er entre (2) — La somme de deux nombres entiers consecutifs quelconques est-elle un nombre impair ? (2) — On cherche un nombre p tel que la somme de p nombres entiers impairs consecutifs soit toujours un multiple de 5 (2) — Demonstration de la somme d entiers impairs (2) — La somme de deux nombres entiers consecutif (2) — La somme de quatre entiers consecutifs (2) — Existe t-il 3 nombre entiers consecutif dont la valeur vaut 437 (2) — La somme de 3 multiple de 5 consecutif (2) — Tout entier consecutif multiple de 3 (2) — Enigme deux nombres consecutifs dans la tete (2) — Determiner sept nombres impairs consecutifs dont la somme est 7 exposant 3 (2) — La somme de cinq nombres impairs consecutifs vaut 105.quels sont ces nombres ? (2) — Somme de cinq entiers naturels consecutifs (2) — Ecrir 21 comme 2 nombre entier consequtif (2) — Somme d entiers naturels successifs (2) — La somme de deux nombres entiers naturels consecutifs (2) — Nombre naturel consecutif (2) — Nombres concecutifs (2) — Solution enigme nombre consecutifs (2) — Etant donne un entier n rend la somme des n premiers multiples de 3. (2) — La somme de deux nombres entiers consecutifs (2) — Somme de p entiers consecutifs (2) — Si l on retranche 1805 au produit de deux entiers consecutifs on trouve la somme de ces deux entiers. quels sont ces deux nombres entiers ? (2) — Deux entiers relatifs consecutifs dont la somme de leurs carres (2) — Pourquoi le produit de 2 entiers consecutifs est toujours pair (2) — Demontrer la somme 2 entiers consecutifs (2) — Est t il vrai que si on ajoute trois nombre entier consecutifs on obtient toujours un multiple de trois pk (2) — La somme de trois entiers consecutifs est toujours impaire (2) — Donner quatre exemples d une somme de trois naturels pairs consecutifs et calcules-les (2) — Cins nombres entiers consecutifs est multiple de 5 (2) — Somme de grands nombres consecutifs (1) — Somme de k entiers consecutif plus petit notee n (1) — Montrer que la somme de 3 entiers consecutifs est multiple de 3 (1) — Comment trouver la somme de deux carres dont le resultat final est 48 (1) — Somme de cinq entiers consecutifs est toujours 5 (1) — Nombre par deux entiers consecutifs (1) — Nombre a la puissance 3 est multiple de 3 (1) — Montrer que la somme de cinq entiers consecutifs est un multiple de 5 (1) — Comment on fait 2 multiple de 5 consecutifs (1) — Les entiers naturels consecutifs (1) — Produit de 3 entier consecutif (1) — Quesque c est 2 entiers consecutifs definition (1) — Demonstration de la somme de 3 entiers consecutifs est un multiple de 3 (1) — Demontrr que la somme des n premiers entiers naturels non nuls multiples de 3 est (1) — Sur l ensemble des entiers naturels (1) — La somme de deux entiers impairs est multiple de 2 (1) — Pour trouver la somme avec 3 entiers consecutifs (1) — Calcule sur plusieurs exemples la somme de quatre entiers consecutifs. (1) — La somme des puissances de 2 est-elle un multiple de 7? (1) — Calcule la somme des quatre entiers consecutifs (1) — 5 entier consecutif somme vaut 35 (1) — N entiers naturels impairs consecutifs (1) — Quatre multiples de trois consecutifs (1) — Deux nombres naturels multiples consecutifs de deux (1) — X est la somme de nombre entier consecutif (1) — Addition d entier consecutif (1) — Multiple de 3 entiers consecutifs multiple de 3 (1) — Trois nombres consecutifs dont la somme vaut 863 (1) — Demontre que la somme de deux nombres impairs est toujours paire. (1) — Somme de 2 multiples de 7 est toujours un multiple de 7 (1) — La somme des 2014 premiers nombres entiers (1) — Somme des cubes des n premiers entiers naturels consecutifs impairs (1) — Trouver trois nombres entiers consecutifs dont la somme est 16 (1) — La somme de 2 entiers consecutifs est toujours un nombre pair (1) — Demontrer que si n est la somme des nombres impairs consecutifs alors n ?p (1) — De quels entiers naturels le 2012 est un multiple? (1) — La somme de deux nombres multiples de 7 est elle un multiple de 7 (1) — Somme de 6 entiers consecutifs (1) — Somme de nombres impairs (1) — Somme de n impair multiple de n (1) — 2 entiers paires consecutif (1) — Somme de 3 entiers consecutifs (1) — Nombre consecutifs entier et positif puissance (1) — Un est ajoute au produit de quatre nombres entiers positifs consecutifs. montrer que le resultat n est jamais un nombre premier nombre. (1) — Trouver 2 chiffres consecutifs dont la somme est un chiffre pair (1) — Corrige soit p un entier impair. de?montrer que la somme de p nombres conse?cutifs est toujours un multiple de p. le re?sultat est-il encore valable pour un entier pair ? (1) — Soit s la somme de 5 nombre entier consecutif (1) — Produit de deux nombres consecutifs toujours pair (1) — Nombre entier consecutif multiple de 3 (1) — Somme des n premiers naturels impairs (1) — Comment peut-on caracteriser 2 entiers consecutifs? (1) — Corrige 2) montrer que la somme de trois entiers consecutifs est un multiple de 3. (1) — Somme dentier consecutifs (1) — Calculer la somme des entiers multiples de 7 qui sont (1) — Demontrer que la somme de deux nombres entiers impaire et pair (1) — Somme 3 entier consecutif (1) — Que peut on dire de la somme de 6 entiers consecutifs (1) — La somme de cinq entier consecutif est elle multiple de 5 (1) — Demonstration de la somme de n premier nombre entier (1) — Trouver toutes les suites de cinq nombres entiers consecutifs (1) — Trouver deux nombres consecutifs qui sont une puissance d un entiers (1) — Soit la somme des entiers consecutifs suivante : s = 7+13 (1) — Quel est le produit de deux entier consecutif dont la somme donne 11 (1) — 5 nombres pairs consecutifs qui donne 160 (1) — Premier des trois nombres pairs consecutifs dont la somme est 4 (1) — Consecutif de 45 (1) — Spiral d entier naturels consecutif de centre 17 (1) — Ecrire 360 sous la forme de produit de 2 de3 et de5 (1) — Devinette par quel chiffre se termine 3 puissance 577 (1) — Demontrer que la somme de 3 nombres consecutifs quelconque est un multiple de 3 (1) — Entier relatif consecutif (1) — Somme des suite (1) — Resultat d une ecriture de 25 montrent que ses la somme de deux nombre entier consecutif (1) — Que veut dire sous la forme de deux entiers consecutifs (1) — La somme des huit premier nombre impaire consecutifs (1) — Nombre consecutif impair multiple de 8 (1) — Definition entiers consecutifs (1) — Ecrire a sous la forme d un produit de cinq entiers naturels consecutifs (1) — Donne deux entiers relatifs consecutifs dont la somme est - 45 (1) — Comment montrer que la somme des carres de deux entiers consecutifs est toujours un entier impairs (1) — La somme des 5 premiers entiers naturels consecutif (1) — Un entier sous forme de somme d entier consecutif (1) — Comment trouver la somme de deux nombres consecutifs d un produit (1) — Un entier n et calculant la somme des n premiers entiers impairs. php (1) — Determiner nombres entiers consecutifs non premiers (1) — Peut-on affirmer que la somme de quatre nombres entiers consecutifs est toujours un multiple de 4 ? justifier (1) — Produit de 3 nombres entiers consecutifs (1) — La somme de 3 nombres multiples de 7 consecutifs (1) — La somme de quatre nombres entiers consecutifs est elle un multiple de 4 (1) — Somme entier puissance 3/2 (1) — Produit de 2 nombres pairs et entier est toujours multiple de 4 (1) — Deux nombres entiers consecutifs sont toujours premiers entre eux (1) — La somme de trois nombres impairs qui donne un nombre pair (1) — La somme de quatre entiers consecutifs exemples (1) — Quels sont les entiers consecutifs qui donnent 2010 (1) — Pour tout nombre entier impaire n>ou=1 n+(n+2)+n(n+2) (1) — Formule somme n premiers nombres naturels impairs (1) — Demontrer qu si n est impair alors n+n+1)+n(n+2) est premier (1) — Somme d un nombre pair et impair (1) — 2013 trouve ces deux nombrres consecutif (1) — Suite de 5 nombres entiers consecutifs tels (1) — La somme des carres des premiers entiers consecutif (1) — Quelle est le multiple consecutif de 6 (1) — Prouver que la somme de deux entiers est consecutif (1) — Sommes d entiers consecutifs (1) — K entiers consecutifs (1) — Nombre impair somme d entiers consecutifs (1) — Multiples consecutif de 5 (1) — Lasomme de deux nombres consecutifs est elle pair ou impaire (1) — Produit des n entiers impairs (1) — Nombre entier 2n est il pair (1) — 2012 en 3 nombres entiers consecutifs (1) — Trouver deux entiers consecutifs qui sont une puissance d un entier (1) — Comment trouver un nombre consecutif multiple de 7 (1) — Soit p un entier naturel impair.montrer que la somme de p entiers naturels consecutifs est un multiple de p (1) — Formule de la somme de 3 nombres concecutifs multiple de 3 (1) — Demontrer que la sommes de 4 nombres entiers n est pas un multiple de 4 (1) — Demonstration de la somme de deux entiers pairs consecutif est multiple de 4 (1) — Montrer que la somme de 4 nombres consecutifs est multiple de 4 (1) — Nombre entier consecutif (1) — Formules somme produit entiers successifs (1) — Quel sont les multiples consecutif (1) — Comment demontrer la somme des n premiers entiers consecutifs (1) — Formule n de la somme des entiers consecutifs (1) — Probleme 2 nombre entier consecutif dont le produit augmente de 48 si l on augmente chacun de 3 3 (1) — Demonstration somme des entiers consecutifs (1) — Equivalent de somme de n entiers consecutifs (1) — Si n est pair la somme de n nombres consecutifs n est jamais multiple de n (1) — Nombre multiple de 5 entiers consecutifs (1) — La somme de trois entiers naturels consecutifs est comprise strictement entre 12 et 27 (1) — Trouver le raisonnement d un resultat 4 nombre entier consecutif (1) — Entiers consecutifs calcule sur plusieurs exemples la somme de quatre entiers consecutifs (1) — Montrer que si n est la somme des carres de 2 entiers consecutifs alors 2n-1 est le carre d un entier (1) — Enigme somme de 4 nombres consecutifs (1) — Produit de n entiers consecu (1) — N entier impair n n est pas premier si et seulement si il existe d entiers consecutifs de somme n (1) — Demontrer que la somme de deux carres de deux nombres pairs consecutifs quelconques est un nombre pair (1) — Nombre entier positifs consecutifs (1) — Trois nombres pairs consecutifs (1) — Le produit de 5 entiers naturels consecutifs (1) — Les nombre entier consecutif (1) — Trouver un chiffre qui est une puissance de trois et un multiple de deux (1) — Il existe 5 entiers naturels consecutifs tels que la somme des carres des trois premiers nombres (1) — Puissance de 2 somme entiers consecutifs (1) — Trouver toute les suites de 5 entiers consecutifs tels que la somme des carres (1) — N impair somme de n entiers consecutif (1) — La somme de quatre entiers consecutifs est elle un multiple 4 (1) — Soit la somme des entiers consecutif suivante : s=2011+2012 (1) — Ecrit 3 nombres consecutifs dont x est le plus petit (1) — Probleme contenant 5 nombres entiers consecutif (1) — La somme des carre nombres entiers naturels (1) — Somme des multiples de 5 et des multiples de 3 est un multiple de 8 (1) — Demontrer que en dehors de 3 5 et 7 on ne peut pas trouver trois entiers naturels impair consecutifs et premiers (1) — Somme des n premiers entiers a la puissance 0 (1) — Somme de 5 nombre consecutifs (1) — Ajouter 5 a un multiple de 5 (1) — Prouver que la somme de deux multiples d un nombre entier est-elle meme un multiple de ce nombre (1) — Ecrire 2013 comme somme de deux nombres entiers naturels consecutifs (1) — Somme des entier de k a n (1) — Somme de 4 entiers consecutifs paire (1) — Definition de la somme de nombre entiers consecutifs est multiple de 5 (1) — Entre deux multiple consecutif de 5 (1) — Nombre consecutif negatifs (1) — Faire des nombre consecutif pour une somme (1) — Peut on calculer 2012 comme somme de 4 entier consecutifs (1) — La somme de deux multiples de 7 est toujour un multiple de 7 (1) — 3puissance n+ 1- 3puissance n (1) — Probleme pour trouver 5 nombre entiers consecutifs (1) — Determiner trois nombres entiers consecutifs dont la somme fait 39 (1) — Combien de maniere pour trouver la sommes d entier consecutif ? (1) — Multiples entier de 7 (1) — Donne 4 exemples d une somme de trois naturels impaires consecutifs (1) — Pourquoi le produit de 2 consecutif est toujours pairs (1) — La somme de 7 entiers consecutifs est un multiple de 7 corrige (1) — Demontre que la somme de 2 entiers ilpairs consecutif est un multiple de 4 (1) — Somme des nombres impairs (1) — Multiple consecutif de 2 et de 5 (1) — Multiples consecutifs de 28 (1) — Sommes pairs consecutifs (1) — Prouver que la somme de 3 nombres concecutif et un multiple de 3 (1) — Montrer que la somme de cinq entiers naturels consecutifs est un multiple de cinq (1) — Complete avec 2 entiers consecutifs (1) — Somme des nombres entiers consecutifs (1) — La somme de trois entiers consecutifs est toujours un multiple de 3 (1) — Somme de nombre entier consecutif (1) — Demontrez que l somme des n premiers entiers consecutifs non nul ... (1) — Somme nombre consecutif 4+5+6+7 (1) — Nombre entier consecutif par deux multiples de 8 (1) — Formules d une somme d entiers naturel consecutifs (1) — Demontrer que la somme de 3 nombres entiers consecutifs quelconques est un multiple de 3 (1) — Somme des premiers entiers puissance donnee (1) — Comment faire rapidement la somme d une suite de nombre entier impaire (1) — Pourquoi la somme deux nombres impairs consecutifs multiple de 4 (1) — Combien d ensembles de deux ou plus d entiers positifs consecutifs (1) — (1) — Enigme: la somme de 2012 nombres entiers differents et strictement positifs vaut 2013.que vaut leur produit? (1) — Formule de la somme de n entiers consecutifs (1) — Somme entiers naturels -1/12 (1) — Somme de quatre entier consecutifs est multiple de 4 (1) — Somme multiples de 8 consecutifs formule (1) — On propose de trouver trois nombres entiers consecutifs (1) — La somme de 2 entiers consecutifs impairs est multiple de 4 (1) — Somme des entiers naturels pairs (1) — La somme de cinq entiers cons?cutifs est-elle un multiple de 3 (1) — La somme de cinq entiers consecutifs est-elle un multiple de 5? (1) — Trouver 2 nombres entiers relatifs consecutifs dont le produit est egal a leur sommes augmentee de1 (1) — Est-il possible de trouver deux naturels pairs consecutifs dont la somme est 2012? (1) — Calcul.somme de.nombre consecutif (1) — Definir la somme de deux nombres entier naturels consecutifs? (1) — Puissance paires et impaire n-k (1) — Decomposition en nombre entier consecutifs (1) — Deux multiple consecutif de 5 (1) — Un multiple de 3 et un multiple de 5 sont toujours multiple 8 (1) — S la somme de n entiers naturels consecutifs (1) — Formules entiers consecutifs non premiers (1) — Trouver des multiples consecutifs (1) — Quelle est l ecriture general de deux nombre entier consecutif (1) — Deux nombres entiers consecutifs qui sont une puissance d un entier (1) — Produit d entier consecutifs (1) — De quel nombre entier la somme de cinq entiers consecutifs est-elle toujours un multiple ? (1) — 2012 peut on trouver deux naturels consecutifs? (1) — Naturel paire consecutif def (1) — 5 nombre entier consecutif sont t il multiple de 5 et pourquoi (1) — Somme des n premiers entiers naturels (1) — Addition de produits pairs naturels (1) — La somme des entier consecutif (1) — Demontrer que la somme de trois nombre entiers quelconques consecutif est un multiple de 3 (1) — Que se passe t-il si on ajoute 1 a 4 produit d entier consecutif (1) — La somme de deux multiples d un nombre entier naturel k est un multiple de ce nombre k (1) — Soit trois nombres entiers consecutifs on appelle n le premier des troois nombres (1) — Multiple consecutif de 8 (1) — Somme trois entiers naturels consecutifs (1) — Montrez que la somme des trois nombres consecutifs est non premier (1) — Nombre entiers consecutifs ayant comme somme 2010 (1) — Calculer la somme des cinq plus grands entiers negatifs impairs (1) — Montrer que si la somme de 3 entiers naturels consecutifs est un multiple de 3 (1) — De quel nombre entier la somme de cinq nombres consecutif est elle toujour un multiple le demontrer (1) — Exposant somme consecutifs (1) — Somme de deux nombres a puissance (1) — Montrer qu une somme de n nombre consecutif est impaire exemple (1) — Nombre entier consecutif de 20 (1) — Somme de k entiers consecutifs ne le lus petit (1) — Calculer le produit de 5 entiers consecutifs est un multiple de 5 (1) — La somme de deux entiers est multiple de 7 alors ces deux entiers sont des multiples de 7 (1) — Pourquoi 3 nombres entiers consecutifs sont toujours multiples de 3 (1) — Quels sont tous les nombres qui sont la somme de 10 nombres entiers naturels consecutifs? (1) — Somme puissances de 3 (1) — Probleme : cinq entiers strictement positifs consecutifs ont la propriete suivante : trois d entre eux (1) — Nombre multiple de 2 est toujours un multiple de 4 (1) — Quelle est la plus grande somme possible de cinq entier pairs consecutifs incluant les entiers 10 et 12? (1) — Soit n un nombre entier le nombre entier 2n (1) — Entiers naturels qui peuvent s ecrire comme une somme d entiers consecutifs (1) — Existet il deux nombres entier consecutif dont la somme est egale a 2012 (1) — 2 entier moinsr et 1entier et1/5 egale... (1) — Les carres d entiers (clara) (1) — Existe il trois nombre entier consecutifs dont la somme vaut 437 (1) — Demontrer que la somme de deux entiers naturels succesifs est un nombre paire (1) — Demonstration somme cinq entiers consecutifs (1) — De combien de maniere differentes peut on ecrire le nombre 447 comme somme d au moins deux entiers positifs impairs et consecutifs (1) — Corrige la somme de deux nombre entier naturels consecutif est egale a 21 (1) — Suite de n entiers consecutifs multiples (1) — En ajoutant trois nombres entiers consecutif on trouve un multiple de 3 (1) — La somme de 3 nbrs entier consecutif et egal a 30 (1) — Somme de sept nombres successifs (1) — Es que la somme de 4 nombres entiers consecutifs et toujour paires (1) — Somme des entiers pairs consecutifs (1) — Forum entiers consecutifs (1) — 5 entiers consecutifs dont la somme de 3 = la somme des 2 autres (1) — Le produit de mes deux nombres est 48 = (1) — Puissance de deux ne peut pas s ecrire comme somme eniers consecutifs (1) — Le produit de trois naturel consecutif multiple de 6 (1) — Quelles sont les 2 puissance de 10 consecutif du nombre 15 (1) — 25 est la somme de nombres entier consecutifs (1) — Montrer que le produit (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) est multiple de cinq (1) — Demonstration somme des premiers entiers pairs (1) — La somme de deux nombres entiers consecutifs est-elle paire ou impaire (1) — (1) — Les nombres naturels consecutifs (1) — Si on liste tous les entiers naturels inferieurs a 20 qui sont multiples de 5 ou de 7 on obtient 5 7 10 14 et 15. la somme de ces nombres est 51. trouver la somme de tous les multiples de 5 ou de 7 inferieurs a 2013. (1) — Multiples consecutifs de 8 (1) — Facteur de puissanceaddition de puissance4 eme (1) — Si la somme de deux carres d entiers (m^2 + n^2) est un multiple de 8 alors les deux entiers m et n sont pairs (1) — Peut on ecrire le nombre 36 sous la forme de la somme de 3 entiers consecutifs (1) — Multiple entier consecutif (1) — Trois multiples de 5 consecutif (1) — La somme de trois entiers consecutifs est comprise strictement (1) — Couples d entiers naturels dont la somme est un multiple du produit (1) — Ecrire l entier consecutif a x (1) — De quel nombre entier la somme de cinqnombre entier consecutif est elle toujours un multiple (1) — Montrer que la somme de 5 entiers pairs consecutifs est un multiple de 10 (1) — Calculer la somme des 5 plus grands entiers negatifs impairs (1) — Demontrer que cinq nombres entiers consecutifs (1) — Nombre naturel pair consecutifs (1) — Demontrerque la somme de 7 nombres entiers consecutifs est un multiple de 7 (1) — Que peux t on dire de la somme de cinq entiers consecutifs ? (1) — Si l on retranche 1805 au produit de entier consecutif la (1) — La somme de deux nombres entiers consecutifs est un nombre pair (1) — Prouver qu au moins deux de ces entiers sont des nombres pairs 2012 (1) — Sommes des suites des multiples de 7 (1) — Le produit de deux entiers consecutifs est pair (1) — Montrer que la somme de p entiers naturels consecutifs est un multiple de p (1) — Trouver deux entiers naturels pairs consecutifs dont la somme est 2010 ? (1) — D??monter que la somme de 4 entier cons??cutifs augmenter de 1est un carr?? parfait (1) — Exercice de maths de 3eme somme d entiers (1) — Efinition de la somme de deux nombres entier consecutifs (1) — Quels sont les entiers (naturels) qui peuvent s ecrire comme somme de deux entiers consecutifs (1) — Soit la somme des entiers consecutifs suivante s= (1) — Trouve trois nombre pairs consicutifs dont la somme des deux plus petits est egals au double du plus grand (1) — Pourquoi le produit de deux entier consecutif est toujours pair et multiple de 8 (1) — Comment d??montrer que trois nombres entiers cons??cutifs son premiers ? (1) — Num?rique (1) — La somme de deux nombres entiers naturel consecutifs (1) — Pourquoi 2 entier consecutifs sont pairs (1) — 2014 peut il s ecrire comme somme d entiers naturels consecutif non nuls (1) — Soolmme 4 entier consecutif n est pas toujours un multiple de 4 (1) — 7 nombres consecutifs dont la somme est 23 (1) — Probleme nombre consecutifs carre parfaits (1) — Decomposer 2013 en somme d entiers consecutifs (1) — Caree pouvant s ecrire comme la:somme de n entier consecutif (1) — Demonstration somme des n premiers nombres entiers (1) — Montrer que puissance de 2 ne peut.pas etre la somme de k entiers consecutifs (1) — Quel est le plus petit nombre entier de 7 chiffres dont la somme des chiffres est 35 (1) —

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