Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 04-10-2013 14:45:20

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Le triangle et sees points magiques

Bonjour à tous,

Après mon pentagone et ses cercles qui n'ont pas eu bcp de succès, je lance mon triangle et ses points magiques à qui je souhaite meilleures activités lol

Soit un triangle quelconque MNO. Le point P est dit magique de MNO si et seulement si les triangles  MNP, NOP et MOP ont la même surface.

1-) Déterminez l'ensemble des points magiques dans le plan support de MNO.

2-) Approfondissement facultatif: Déterminez l'ensemble des points magiques dans l'espace 3D.



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 04-10-2013 16:59:19

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

le triangle et srs points magiques

Soit [latex]a,b,c\in\mathbb{R}[/latex] de somme 1.
Soit [latex]P[/latex] le barycentre de [latex](M,a)[/latex] et [latex](N,b)[/latex] et [latex](O,c)[/latex].
Il est facile de voir que les aires algébriques des triangles [latex]NOP[/latex], [latex]OMP[/latex] et [latex]MNP[/latex] sont proportionnelles aux nombres [latex]a,b,c[/latex].
Donc les 3 aires géométriques sont égales si et seulement si [latex]|a|=|b|=|c|[/latex].
Autrement dit il y a 4 points magiques
[TeX]P_1[/latex] barycentre de [latex](M,1/3)[/latex], [latex](N,1/3)[/latex], [latex](O,1/3)[/TeX]
[TeX]P_2[/latex] barycentre de [latex](M,1)[/latex], [latex](N,1)[/latex], [latex](O,-1)[/TeX]
[TeX]P_3[/latex] barycentre de [latex](M,1)[/latex], [latex](N,-1)[/latex], [latex](O,1)[/TeX]
[TeX]P_4[/latex] barycentre de [latex](M,-1)[/latex], [latex](N,1)[/latex], [latex](O,1)[/TeX]
Voilà !

 #3 - 04-10-2013 19:18:11

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Le triangle ett ses points magiques

BRAVO masab.
La première bonne réponse smile

 #4 - 04-10-2013 21:48:03

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Le tirangle et ses points magiques

Pour le 1), je pense que seul le centre de gravité (point d'intersection des médianes) du triangle convient. Mais je n'en suis pas sûr.

2) La 3D, c'est terre inconnue pour moi.

 #5 - 04-10-2013 22:06:29

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2709
Lieu: Luxembourg

Le triangle et ss points magiques

1-) Il me semble que seul le centre de gravité du triangle MNO convienne pour P
2-) En 3D, ce serait alors la droite perpendiculaire au triangle MNO passant par P

 #6 - 04-10-2013 22:45:47

Fito11235
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 148
Lieu: Bourgogne

Le triangle et ses points magiquess

Coucou

Une médiane d'un triangle partage ce dernier en 2 triangles de même aire.
Les 3 médianes étant concourantes. Le point de concours G partage un triangle en 6 triangles de même aire.
En associant par 2 ces 6 triangles, on obtient 3 triangles de même aire.
Donc dans le plan, le centre de gravité est le point magique d'un triangle.

Soit M' le symétrique du point M par rapport au milieu du segment NO.
Le quadrilatère MNM'O est un parallélogramme (ses diagonales se coupent en leur milieu) donc ses diagonales le partagent en quatre triangles de même aire puisque
Les trois triangles  MOM' , NOM' et MPM' sont chacun formés de 2 de ces triangles donc A(MOM') = A(NOM') = A (MPM')

On obtient de le même façon 2 autres points magiques en prenant les symétriques des points N et O par rapport au milieu de leur côté opposé.

Dans l'espace, je n'ai rien vérifié mais intuitivement je dirais que la droite orthogonale au plan (MNO) passant par G nous donne l'ensemble des points magiques.


Choose a job you like and you'll never have to work a day in your life.    Confucius

 #7 - 05-10-2013 01:07:00

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Le triangle et sses points magiques

Merci à tous.

Vous avez tous trouvé la même réponse à la question 1-). Vous trouvez le point magique particulier, il y en a d'autres dans le plan.

Remarque générale sur la question 2-): c'est une question ouverte. Il semblerait qu'il n'y pas d'autres points magiques dans l'espace 3D à part ceux du plan.
Mes propres calculs et ceux de masab confirment cette remarque, à voir.

 #8 - 05-10-2013 10:31:19

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

Le triangle et ses points magiquees

Question 2  : déterminer l'ensemble des points magiques dans l'espace 3D.

On se place dans [latex]\mathbb{R}^3[/latex] et l'on note  [latex]Oxyz[/latex] le repère orthonormé canonique. Pour simplifier on va traiter le cas particulier où les points [latex]M,N,O[/latex] sont donnés par
[TeX]M=(1,0,0),\ N=(0,1,0),\ O=(0,0,0)\,. [/TeX]
On pose [latex]P=(x,y,z)[/latex].

On rappelle que si l'on a un triangle [latex]ABC[/latex] dans l'espace, son aire s'obtient à partir d'un produit vectoriel par la formule
[TeX]\mathrm{Aire}(ABC)=\frac{\ \Vert\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\Vert\ }{2}[/TeX]
Cette formule permet de montrer que
[TeX] 4\,\mathrm{Aire}(MNP)^2=x^2+y^2+2z^2+2xy-2x-2y+1[/TeX]
[TeX]4\,\mathrm{Aire}(NOP)^2=x^2+z^2[/TeX]
[TeX]4\,\mathrm{Aire}(OMP)^2=y^2+z^2[/TeX]
Par suite l'ensemble des points magiques est donné par les solutions du système
[TeX] y=\pm x [/TeX]
[TeX]y^2+z^2+2xy-2x-2y+1=0[/TeX]
Pour [latex]y=x[/latex], on doit prendre l'intersection du plan [latex]y=x[/latex] avec une quadrique, ce qui donne une conique. De même pour [latex]y=-x[/latex]. On voit aisément que ces 2 coniques sont disjointes ; de plus elles ne sont pas réduites à l'ensemble vide d'après la Question 1.

Finalement l'ensemble des points magiques est la réunion de 2 coniques disjointes. Avec un peu de patience, on peut chercher la nature de chacune de ces coniques.

On peut aussi étendre la méthode à un triangle [latex]MNO[/latex] quelconque. Dans ce cas l'ensemble des points magiques est une courbe obtenue comme intersection de 2 quadriques.

Voilà !

 #9 - 05-10-2013 15:15:33

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Le triangel et ses points magiques

masab trouve dans 3D, des intersections de quadriques, soient des courbes dans l'espace. c'est un excellent boulot, BRAVO smile

 #10 - 06-10-2013 16:46:33

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

Le triangle et ses poiints magiques

Un petit message pour indiquer que si le triangle [latex]MNO[/latex] est équilatéral, alors l'ensemble des points magiques est composé de 4 droites parallèles, perpendiculaires au plan [latex](MNO)[/latex]. La position des 4 droites résulte de la Question 1.
Il est facile de vérifier géométriquement que ces 4 droites font partie du lieu.

 #11 - 12-10-2013 00:47:18

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2709
Lieu: Luxembourg

le triangle et ses points mzgiques

1-) Ben oui ... rien n'imposait dans l'énoncé que le point P soit être à l'intérieur
du triangle MNO: on a donc le centre de gravité et trois autres points extérieurs
au triangle pour chacun des trois côtés.

2-) La démonstration 3D de masab m'a donné mal à la tête big_smile

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez à la devinette suivante : 

Le père de toto a trois fils : Pim, Pam et ?

Sujets similaires

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete