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 #1 - 06-01-2011 20:59:45

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

Koh Lnta

Un petit problème mathématique qui ne me paraît pas si difficile que ça, à condition de pas s'emmêler les noix de coco smile

Cinq participants à Koh Lanta, accompagnés d'un cameraman, ramassent un certain nombre de noix de coco. Pendant la nuit, un candidat se lève et partage le tout en cinq piles ayant la même quantité. Comme il reste une noix de coco, il la donne au cameraman. Puis il cache sa part et se rendort. Un deuxième candidat fait exactement la même chose avec les noix qui restent. Successivement, le troisième, le quatrième, et le cinquième candidat font de même. A chaque fois, chacun fait cinq piles égales et donne la noix restante au cameraman. Après leur réveil, ils partagent les noix qui restent en cinq parts égales sans qu'il reste une noix.

1. Déterminer le nombre minimum de noix de coco qui ont été ramassées, ainsi que le nombre de noix de chacun des candidats.
2. Donnez une formule générale du nombre de noix de coco de départ, en fonction du nombre de noix de coco des cinq dernières parts, ainsi que du nombre de noix de chacun des candidats.



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 #2 - 06-01-2011 23:40:33

docbabar
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 75

Koh Lanat

Impossible de trouver la réponse !!!
S'il s'agit de Koh Lanta, c'est que le jeu est truqué, donc peu importe le nombre de noix de coco qui ont été ramassées, on sait tous que c'est la Prod qui les a mises là !!!

 #3 - 07-01-2011 00:01:54

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 163
Lieu: devant mon écran

Koh Latna

Bon je poste ma réponse même si elle n'a pas beaucoup de sens...

Pour moi, la formule donnant le nombre de noix de coco au départ en fonction du nombre n de noix de coco par personne à la fin est : (15625 n +8404)/1024

Le problème est que cela ne fonctionne que pour n = 204 au minimum. (les valeurs suivantes étant 289, 432, ...)

Ce qui fait qu'au départ, ils auraient ramassé : 3121 noix de coco...

Le premier aurait donc fait 5 parts de 624 noix de coco, soit 3120 + 1 pour le caméraman.

Le deuxième aurait donc récupérer 624*4 noix de coco donc 2496, qu'il aurait partagé en 5 parts de 499 soit 2495 + 1 pour le caméraman.

Le troisième aurait donc récupérer 499*4 noix de coco donc 1996, qu'il aurait partagé en 5 parts de 399 soit 1995 + 1 pour le caméraman.

Le quatrième aurait donc récupérer 399*4 noix de coco donc 1596, qu'il aurait partagé en 5 parts de 319 soit 1595 + 1 pour le caméraman.

Le cinquième aurait donc récupérer 319*4 noix de coco donc 1276, qu'il aurait partagé en 5 parts de 255 soit 1275 + 1 pour le caméraman.

Le lendemain, il ne resterait donc que 255*4 noix de coco donc 1020, que l'on partagerait en 5 parts de 204...

J'ai volontairement utilisé le conditionnel car je trouve cette réponse pour le moins... irréaliste...

J'allais oublié...

Le premier aurait donc 624 + 204 = 828 noix de coco.

Le deuxième aurait donc 499 + 204 = 703 noix de coco.

Le troisième aurait donc 399 + 204 = 603 noix de coco.

Le quatrième aurait donc 319 + 204 = 523 noix de coco.

Le cinquième aurait donc 255 + 204 = 459 noix de coco.

Le caméraman , lui, en aurait 5... Il pourrait donc en rendre 1 à chacun...


On n’est jamais très fort pour ce calcul...

 #4 - 07-01-2011 00:59:03

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

Koh Lantta

@fred : le choix de grains de riz aurait été plus judicieux que des noix de coco, effectivement, vu le nombre smile

 #5 - 07-01-2011 09:53:48

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

loh lanta

Euh... J'en trouve beaucoup.

J'ai 1020 noix de coco au final.

La formule suivante donne le nombre X de noix de coco au départ pour n noix de coco et j joueur :
[TeX]X = \left (\frac{5}{4} \right )^j n + \sum_{i=0}^{j-1}\left ( \frac{5}{4} \right )^j[/TeX]
Ce qui donne 3121 noix de coco au départ.

 #6 - 07-01-2011 12:04:51

spindel
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2

Koh aLnta

Je pense avoir trouvé :

1)
_ Ils ont ramassé 3121 noix de coco (il en reste 1020 à la fin)
_ Chaque candidat en a gardé :
-Candidat 1 : 624
-Candidat 2 : 499
-Candidat 3 : 399
-Candidat 4 : 319
-Candidat 5 : 255

2)
Avec n le nombre de noix de coco à la fin et c le candidat avec entre parenthèses son numéro :
Pour i de 0 à 4
|
  n+1 = n + n/4 +1
  c(5 - i) = n / 4
|

Je sais pas si je suis très clair pour ma formule ^^

 #7 - 07-01-2011 15:38:00

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3766
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Koh anta

Si j'ai bien compris ton énoncé, il y a au départ [latex]15625k + 3121[/latex] noix, avec k quelconque supérieur à 0.
Quel boulot pour les ramasser, pour les ramener au camp, et ensuite pour en faire des tas égaux ! big_smile


Le premier candidat se réveille, trouve les [latex]15625k + 3121[/latex] noix, fait 5 tas de [latex](3125k + 624)[/latex] noix, donne la dernière au cameraman, garde son tas pour lui et se rendort.


Le deuxième candidat se réveille, trouve les [latex]12500k + 2496[/latex] noix, fait 5 tas de [latex](2500k + 499)[/latex] noix, donne la dernière au cameraman, garde son tas pour lui et se rendort.


Le troisième candidat se réveille, trouve les [latex]10000k + 1996[/latex] noix, fait 5 tas de [latex](2000k + 399)[/latex] noix, donne la dernière au cameraman, garde son tas pour lui et se rendort.


Le quatrième candidat se réveille, trouve les [latex]8000k + 1596[/latex] noix, fait 5 tas de [latex](1600k + 319)[/latex] noix, donne la dernière au cameraman, garde son tas pour lui et se rendort.


Le cinquième candidat se réveille, trouve les [latex]6400k + 1276[/latex] noix, fait 5 tas de [latex](1280k + 255)[/latex] noix, donne la dernière au cameraman, garde son tas pour lui et se rendort.


A la fin, tout le monde se réveille, trouve [latex]4 * (1280k + 255) = 5120k + 1020[/latex] noix, partage les 4 tas en 5 tas de [latex](1024k + 204)[/latex] noix, et il ne reste rien pour le pauvre cameraman.

Pour trouver le minimum, on prendra [latex]k=0[/latex].
Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #8 - 07-01-2011 16:48:32

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Ko hLanta

Bonjour,

Amusante référence.
Je note [latex]T_n[/latex] le nombre de noix dans le tas après le passage du n-ième candidat.
On cherche [latex]T_0[/latex] le plus petit possible.
Je note [latex]C_n[/latex] le nombre de noix prises par le n-ième candidat.
[TeX]C_1=\dfrac{T_0-1}5[/latex] et [latex]T_1=\dfrac45(T_0-1)[/TeX]
De même pour n de 2 à 5:
[TeX]C_{n+1}=\dfrac{T_n-1}5[/latex] et [latex]T_{n+1}=\dfrac45(T_n-1)[/TeX]
[TeX](T_n)[/latex] est une suite arithmético-géométrique. Comme d'habitude, on pose [latex]V_n=T_n-c[/latex], on exprime [latex]V_{n+1}[/latex] en fonction de [latex]V_n[/latex] et on choisit c pour que [latex](V_n)[/latex] soit une suite géométrique "pure". On trouve ici c=-4 et [latex]V_{n+1}=\dfrac45V_n[/TeX]
On en déduit donc: [latex]T_n=(\dfrac45)^n(T_0+4)-4[/latex]

On cherche donc le plus petit [latex]T_5[/latex] divisible par 5 (dernier partage sans reste) pour lequel [latex]T_0=(T_5+4).(\dfrac54)^5-4[/latex] soit entier. Cela se produit pour [latex]T_5=k4^5-4[/latex] divisible par 5, vrai pour k=1: [latex]T_5=1020[/latex] pour lequel [latex]T_0=3121[/latex]
En comptant ce qu'ils ont mis de côté et le partage final (1020/5=204), il sont dans l'ordre: 2700, 2200, 1800, 1500 et 1224 noix de coco.

Quelque chose me gêne dans ce que j'ai écrit mais je n'arrive pas à trouver l'erreur. Tant pis.

Edit: J'ai recopié la mauvais colonne de mon brouillon: la taille des tas restants après chaque vol plutot que le nombre pris smile Merci de me l'avoir fait remarqué.
Ils ont donc chacun: 828, 703, 603, 523 et 459 dont la somme donne bien: 3116 et les 5 noix données au cameraman.

Merci en tout cas, c'était divertissant.

 #9 - 07-01-2011 16:51:49

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

koh lanya

@rivas: tu as du oublier de diviser par 5 pour compter la part de chacun à chaque "vol"

 #10 - 07-01-2011 17:15:42

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Koh Lana

J'ai trouvé l'erreur et mis à jour mon post initial. Merci de me l'avoir pointée.

 #11 - 07-01-2011 17:50:48

Moulik
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 12
Messages : 1

kog lanta

bon je croi que yora 5 noix de coco plus le que de ta mer qui les rond 7 haha

 #12 - 08-01-2011 01:11:02

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

KKoh Lanta

version courte
3121 noix de cocos reparties
5 pour le cameraman
624 cachées par candidat 1
499 cachées par candidat 2
399 cachées par candidat 3
319 cachées par candidat 4
255 cachées par candidat 5
laissant 1020 noix de cocos reparties en 5 parts égales de 204 noix.


The proof of the pudding is in the eating.

 #13 - 08-01-2011 09:02:21

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,471E+3

Koh Lana

Il en reste N chacun à la fin.

il en reste donc n=5N .

Avant que le 5ème candidat passe, il y en avait : n' tel que (n'-1)x 4/5=n

n'=5n/4  +1

Avant que le 4ème passe, il y en avait n''=5/4(5n/4 +1)+1

...


le nombre de noix de coco au début est donc de 

((((1,25 x 5N +1)x1,25+1)*1,25+1)x1,25+1)x1,25+1

Si N=1, il n'y avait pas un nombre entier de noix de coco pour le candidat d'avant donc impossible
Idem pour N=2....

en fait, le premier nombre correct que je trouve est  119 mais ça ne marche pas pour le troisième candidat

On arrive à 204.

3121 noix de coco au début soit 5 tas de 624 noix de coco +1 ; 624 sont cachées
2496 noix de coco restent soit 5 tas de 499 noix de coco +1 ; 499 sont cachées
1996 noix de coco restent soit 5 tas de 399 noix de coco +1 ; 399 sont cachées
1596 noix de coco restent soit 5 tas de 319 noix de coco +1 ; 319 sont cachées
1276 noix de coco restent soit 5 tas de 255 noix de coco +1 ; 255 sont cachées

1020 Noix de coco restent le matin soit 204 chacun.

Les candidats ont donc, au bout du compte 828, 703, 603, 523 et 459 noix de coco plus 5 pour le caméraman.

Si je n'ai pas fait d'erreur, ils ont drôlement bien ramassé.  Au delà, ils auraient ramassé 18746 noix de coco, on a du mal à y croire.

 #14 - 09-01-2011 22:47:15

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

kph lanta

Beaucoup de bonnes réponses, il y avait bien 3121 noix de cocos au départ.
Toutes les solutions sont de cette forme, où k entier naturel :

Nombre total de noix : 3121 + 15625k
1er candidat : 828 + 4149k
2ème candidat : 703 + 3524k
3ème candidat : 603 + 3024k
4ème candidat : 523 + 2624k
5ème candidat : 459 + 2304k
Cameraman : 5

 

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