Bonjour

Le centre du cercle inscrit dans ACDM est sur la droite [AD] qui est donc aussi la bissectrice de l'angle D alors les triangles ACD et AMD sont égaux . Comme ACDM admet un cercle circonscrit , les angles AMD et ACD sont supplémentaires donc droits . Mais M est le milieu de [AB] alors les trois triangles AMD , ACD et BMD sont identiques AB=2 et BC=R(3) .



Vasimolo

AD étant bissectrice de A, le centre du cercle inscrit à CAMD est sur AD.
Ce cercle étant tangent à MD et à CD, MD et CD sont symétriques.
Donc AC = AM et AB = 2

Le cercle circonscrit à CAMD a son centre au milieu de AD donc les angles C et M sont droits.
ABC est un triangle rectangle de coté BC = SQR (AC² + AB²).

BC = SQR (3) = 1.732   

CAMD est un quadrilatère dont il existe un cercle circonscrit alors O est le mileu de [AD] car (AD) est la bissectrice de l'angle donc les trianges ACD et AMD sont rectangles d'où le triangle ABC est rectangle en C. De plus M est le mileu de [AB] donc [DM] est la médiatice du segment [AB] donc le triangle ABD est isocèle en D
donc l'angle DBA=l'angle BAD et BAD=BAC car AD est la bissectrice d'où dans le triangle ABC rectangle en C les angles A=60° et B=30° d'où AB=1/cos 60°=2 et BC=2cos 30°= [latex]\sqrt 3[/latex]

Le quadrilatère CAMD admet un cercle inscrit de centre O.
Forcément O appartient à la bissectrice (AD) et donc (AD) bissectrice de l'angle MDC.
Donc M est image de C par la symétrie d'axe (AD).
Donc AM=AC=1 et donc AB=2*AM=2.

Le quadrilatère CAMD admet un cercle circonscrit de centre P.
Le symétrique de P par la droite (AD) est aussi centre du cercle circonscrit.
Par unicité, P est sur la droite (AD). Donc ADC est rectangle en C.
Par Pythagore, BC=racine²(2²-1²)=racine²(3). (corrigé)

Halloduda, oui.

Irmo322, la valeur de B est fausse.