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 #1 - 15-01-2011 23:13:14

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Pour les "Géo Trouvettout" ?

Soit ABC un triangle avec AC = 1 et M le milieu du côté AB. Supposons
que la bissectrice en A coupe le côté BC en un point D et que le quadrilatère
CAMD admette à la fois un cercle inscrit et un cercle circonscrit. Calculer la
longueur des côtés AB et BC.



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 #2 - 16-01-2011 09:08:24

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 116

pour les &quor;géo trouvetout" ?

AB=2

BC=racine 3

D est sur la bissectrice , M et C sont symétriques, et le centre du cercle circonscrit est sur la bissectrice, donc angle C est droit

 #3 - 16-01-2011 11:33:29

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Pour les "Géo Trouetout" ?

Bonjour

Le centre du cercle inscrit dans ACDM est sur la droite [AD] qui est donc aussi la bissectrice de l'angle D alors les triangles ACD et AMD sont égaux . Comme ACDM admet un cercle circonscrit , les angles AMD et ACD sont supplémentaires donc droits . Mais M est le milieu de [AB] alors les trois triangles AMD , ACD et BMD sont identiques AB=2 et BC=R(3) .

http://img831.imageshack.us/img831/4281/quadrilatre.jpg

Vasimolo

 #4 - 16-01-2011 11:40:48

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Pour les "Géo Trouevtout" ?

Bravo à Vasimolo et à Debutant1.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #5 - 16-01-2011 14:09:15

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Pour les &uot;Géo Trouvetout" ?

AD étant bissectrice de A, le centre du cercle inscrit à CAMD est sur AD.
Ce cercle étant tangent à MD et à CD, MD et CD sont symétriques.
Donc AC = AM et AB = 2

Le cercle circonscrit à CAMD a son centre au milieu de AD donc les angles C et M sont droits.
ABC est un triangle rectangle de coté BC = SQR (AC² + AB²).

BC = SQR (3) = 1.732   tongue

 #6 - 16-01-2011 14:12:09

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Pour les ";Géo Trouvetout" ?

Bravo à Jackv.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #7 - 16-01-2011 15:37:53

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Pour les "Géo Trouvetotu" ?

CAMD est un quadrilatère dont il existe un cercle circonscrit alors O est le mileu de [AD] car (AD) est la bissectrice de l'angle donc les trianges ACD et AMD sont rectangles d'où le triangle ABC est rectangle en C. De plus M est le mileu de [AB] donc [DM] est la médiatice du segment [AB] donc le triangle ABD est isocèle en D
donc l'angle DBA=l'angle BAD et BAD=BAC car AD est la bissectrice d'où dans le triangle ABC rectangle en C les angles A=60° et B=30° d'où AB=1/cos 60°=2 et BC=2cos 30°= [latex]\sqrt 3[/latex]

 #8 - 16-01-2011 15:47:19

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Pour les "Géo Trouetout" ?

Bravo également à Gabriel. La géométrie, c'est votre truc! Essayons autre chose quelque temps. wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #9 - 17-01-2011 06:22:02

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

Pour les "Géo Troouvetout" ?

Le quadrilatère CAMD admet un cercle inscrit de centre O.
Forcément O appartient à la bissectrice (AD) et donc (AD) bissectrice de l'angle MDC.
Donc M est image de C par la symétrie d'axe (AD).
Donc AM=AC=1 et donc AB=2*AM=2.

Le quadrilatère CAMD admet un cercle circonscrit de centre P.
Le symétrique de P par la droite (AD) est aussi centre du cercle circonscrit.
Par unicité, P est sur la droite (AD). Donc ADC est rectangle en C.
Par Pythagore, BC=racine²(2²-1²)=racine²(3). (corrigé)

 #10 - 17-01-2011 15:48:58

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

piur les "géo trouvetout" ?

Le triangle ABC est un demi-triangle équilatéral de hauteur BC.
AD est à la fois bissectrice de l'angle BAC et médiatrice de CM.

AB = 2 ; BC = rac(3) = 1.7320508...

Désolé, je ne sais pas encore coller une image...

 #11 - 17-01-2011 18:46:47

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Pour les "Géo Trouetout" ?

Halloduda, oui. wink

Irmo322, la valeur de B est fausse.


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