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 #1 - 14-09-2009 23:07:38

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,382E+3

Divisile par 7

Mon voisin a une curieuse façon de tester la divisibilité d'un entier par 7 roll

Il supprime le dernier chiffre de l'entier et l'enlève deux fois au nouveau nombre obtenu . Il renouvelle l'opération jusqu'à obtenir un entier dont il peut dire sans problème s'il est multiple de 7 ce qui sera alors le cas de l'entier initial .

Un petit exemple :

31585 -> 3158-2X5=3148
3148   -> 314-2X8=298
298     -> 29-2X8=13

13 n'est pas multiple de 7 donc 31585 non plus !

D'où sort-il cette recette miracle ???

Vasimolo

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 #2 - 15-09-2009 00:46:31

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

Divisible pr 7

travaillons modulo 7 :

10a + b           est congru a divise 7
10a +b (-21b) = 10a-20b        qui est donc congru à divise 7 aussi
a-2b  aussi (par gauss)


cqfd ,)

oula, au temps pour moi, ca ne marche que si il y a divisibilité (modulo=0, sinon pas de division par 10)

 #3 - 15-09-2009 02:02:46

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1934

diviqible par 7

Soit un nombre n = 10x + y (on prendra 0 <= y <= 9, mais c'est pas obligé hein)

n = 10x+y = 10x - 20y + 20y + y = 10 (x-2y) + 21y

Si n%7 = 0, alors (x-2y) % 7 = 0 aussi (car 21%7 = 0 et 10 et 7 sont premiers entre eux).
Si n%7 <> 0, alors (x-2)%7 <> 0 aussi, pour les memes raisons.
Conclusion: 7|n <=> 7|x-2y

Attention, ça ne veut pas dire que 10x+y = x-2y [7], c'est seulement vrai pour des multiples de 7.

 #4 - 15-09-2009 02:58:56

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Divisible parr 7

bien c'est simple...
Si A est le nombre de depart, B est son dernier chiffre, et C est le nombre que l'on obtient apres une operation, alors on peut ecrire:
A = 10* C + 2*10*B + B ou encore A = 10C+21B
Si C est un multiple de 7, alors 10C l'est aussi, 21B est bien sur aussi un multiple de 7, donc A est un multiple de 7.
Reciproquement, Si A n'est pas un multiple de 7, C ne l'est pas.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #5 - 15-09-2009 12:37:12

HAMEL
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2405
Lieu: Paris

Divisibl par 7

D'où sort-il cette recette miracle ???

D'Internet lol


-C'est curieux chez les marins ce besoin de faire des phrases !

 #6 - 15-09-2009 14:16:45

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

Divisible par 77


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #7 - 15-09-2009 14:21:01

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

divisiblz par 7

Soit a un nombre alors a=10d+u
Montrons que si a=0 mod(7) alors d - 2u=0 mod(7)
et donc d-2u mod(7)=d+5u mod(7)=10d+50u mod(7)=10d+u mod(7)=a mod (7)
donc si a=0mod(7) alors d-2u=0mod(7)

De la même manière
a mod 7=100c+d mod 7= (7*14+2)c+d mod 7=2c + d mod 7
Donc si a est divisible par 7 alors 2 fois le nb de centaines + le nombre de dizaines sera divible par 7

a mod 7=1000 m + c mod 7=(7*143 - 1)m + c mod 7=c-m mod 7
Donc Si a est divisible par 7 alors le nombre de centaines - le nombre de milliers est divisible par 7

etc....

 #8 - 16-09-2009 07:50:25

Golfc
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 803

Divissible par 7


Le temps est sage, il révèle tout. (Θαλής)

 #9 - 16-09-2009 10:12:01

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Divisible pa r7

D'après la méthode si je ne sais pas directement dire si x est un multiple de 7 je découpe x après le chiffre des unités : x=10n+d. Puis je m'intéresse au nombre x'=n-2d. On a donc x = 10x'+21d=10x'+7*3d. Comme 10 et 7 sont premiers entre eux alors effectivement x est divisible par 7 ssi x' l'est aussi.

Joli comme critère big_smile.

Je connaissais un autre basé sur le même principe que le critère pour 9 et 11.
On constate que 1000=-1 modulo 7. On découpe le nombre par paquet de 3 chiffres et on ajoute ou retranche alternativement les paquets en commence par ajouter celui le plus a droite.

x = n0*1000^0 + n1*1000^1 + n2*1000^2 ...
  = n0*1+n1*-1+n2*(-1)^2 ... modulo 7


9823749573958 = 9 823 749 573 958

958 - 573 + 749 - 823 + 9 = 320

320 est pas multiple de 7 donc 9823749573958 non plus.

Remarquez que 1000=-1 modulo 13 aussi. Donc une fois le nombre réduit on peut rapidement tester la divisibilité par 7 et 13.

320 n'est pas multiple de 13 donc 9823749573958 non plus

 #10 - 18-09-2009 12:34:40

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,382E+3

divusible par 7

Bon celle-ci était trop facile . Je ne savais pas qu'elle était connue et figurait sur "wiki" big_smile

Attention tout de même 10A+B et A-2B ne sont pas toujours égaux modulo 7 mais si l'un est nul l'autre aussi .

Vasimolo

PS : Bamby2 , attention : 2 divise 10 et non le contraire wink

J'éponge et j'essuie

 

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(2) — Nombre de 15 chiffres divisible par 7 (2) — Ques qui est divisible par 7 et 9 (2) — Php chiffre divisible par 10 (2) — Trouve tous les nombres de trois chiffres divisibles a la fois par 3 et par 5 et dont le chiffre des centaines et 7. (2) — (2) — 2^3n-1 (2) — Etablir que si 3^n-1 est divisible par 7 alors un est divisible par 7 (2) — 9^n - 2^n est un multiple de 7 (2) — Demontrer un nombre est divisible par 37 (2) — 16*7^2n-28*3^2n+3 est divisible par 5 (2) — Regle de divisibilite par 11 (2) — Criteres divisibilite par 13 (2) — Montrer que si l entier a divise n+2 et 3n-1 alors a divise 7 (2) — Caractere divisibilite par 7 (2) — Fonction verifi divisibilite par 7 (2) — Comment prouver qu un chiffre est divisible par 11 (2) — Si l entier a divise n+2 et 3n-1 alors a divise 7 (2) — 7 divise 3^2n+1 + 2^n+2 (2) — Divisibilite+3 divise 2n-1 (2) — 5^(6n+1)+2^(3n+1) divisible par 7 (2) — Cherche un nombre entier divisible par 2 et par 3 mais nom par 4 (2) — 3^(2n+1)+2^(n+2) est un multiple de 7 (2) — La+divisibilite+par+7+11+13 (2) — N divisible par 7 (2) — Critere de divisilite (2) — 16*7^2n-28*3^2n+3 divisible par 5 (2) — (2) — 2 puissance (3n+3) divisible par 7 (2) — Php divisible par 5 (2) — Divisibilite puissance (2) — 5^(6n+1)+2^(3n+1) est divisible par 7 ? 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