Merci de m'aider a réviser mon cours de maths de demain

Alors:
soit [latex]S_{2011}[/latex] la somme des 2011 premiers termes de la suite arithmétique de raison r=1 et [latex]U_1=1[/latex]
Et:
Spoiler : [Afficher le message] [latex]S_{2011}=2011*(U_1+U_{2011})/2[/latex]
[TeX]S_{2011}=2011*(1+2011)/2[/TeX]
[TeX]S_{2011}=2011*006[/TeX]
[latex]S_{2011}=2023066[/latex]

j'espère t'avoir bien aidé pour ton Dm

Ah ben oui, comme tu l'as dit j'ai mal lu l'énoncé ... mais j'ai révisé mon cours -__-"
je n'ai plus qu'a réfléchir

J'ai failli répondre : 45, mais j'ai relu l'énoncé, et je me suis dit qu'il allait falloir réfléchir un peu plus

Donc, j'ai raisonné selon le nombre de chiffres des nombres de 1 à 2011.

J'appelle S(n) la somme des chiffres des nombres à n chiffres.

Nombres à 1 chiffres (de 1 à 9)
[TeX]S(1)=\sum_{k=1}^{9} k [/TeX]
Nombres à 2 chiffres (de 10 à 999)
On compte les unités: 9 fois (pour chaque dizaine) la somme de 1 à 9
On compte les dizaines : 10 fois 1 + 10 fois 2 + ... 10 fois 9 = 10 fois la somme de 1 à 9.
[TeX]S(2)=19\sum_{k=1}^{9} k = 19S(1)[/TeX]
Nombres à 3 chiffres (de 100 à 999)
On sépare les centaines du reste du nombre
centaines : 100 fois 1 + 100 fois 2 + ... + 100 fois 9 = 100 fois la somme de 1 à 9
Pour les reste (dizaines/unités), on a 9 fois la somme des chiffres des nombres à 2 chiffres au plus, c'est-à-dire 9 fois S(1)+S(2).
[TeX]S(3)=9(S(1)+S(2))+100S(1)[/TeX]
[TeX]S(3)=280S(1)[/TeX]
Nombres à 4 chiffres (de 1000 à 2011)
milliers : 1000 fois 1 + 12 fois 2
le reste : 1 fois la somme des chiffres des nombres à 3 chiffres au plus, c'est-à-dire S(3)+S(2)+S(1), plus la somme des chiffres des nombres de 1 à 11 (S(1) + 1 + 2)
[TeX]S(4)=1000 + 24 + S(3) + S(2) + S(1) + S(1) + 3[/TeX]
[TeX]S(4)=1027 + 301S(1)[/TeX]
Au total, on a donc S = S(1)+S(2)+S(3)+S(4) = 601S(1) + 1027

Avec S(1) = 45, on trouve S=28072

Pour l'histoire de Dm c'est bien sur une petite blague( ou taquinerie) , parce que l'énoncé m'a paru simple, parce que j'ai mal lu et que c'est le gros problème des gens de notre époque: trop pressés )

Oui ,
remplaçons les chiffres par des nombres
a=0 b=1 c=2 d=3 e=4 f=5 g=5 h=7 i=8 j=9

aa+ab+ac+ad+ae+af+ag+ah+ai+aj+ba+bb+bc+bd+be+bf+bg+bh+bi+bj+ca+cb+cc+cd+ce+cf+cg+ch+ci+cj+... ...+caaa+caab+caac+caad+caae+caaf+caag+caah+caai+caaj+caba+cabb

si on précise que b=a+1 c=a+2 ...j=a+9
a+a+a+a+1+a+a+2+a+3...a+2+a+a+1+a+a+2+a+2+a+a+1+a+1
comme a=0
1+2+3...2+1+2+2+1+1
et ben enfaite j'ai pas avancé

il faut trouver un moyen de savoir combien il y a de fois chaque chiffre

j'ai une autre idée
[TeX]S_a[/latex]=0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=(9+1)+(8+2)+(7+3)+(6+4)+5=45
donc de 10 à 19 la somme des chiffres est égale à 45+1*10
on obtient : [latex]U_n=45+n*10[/TeX]
et de 0 à 100
[TeX]S_b[/latex]=U_0+U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+U_6+U_7+U_8+U_9+1+0+0
[latex]S_b[/latex]=45+(45+10)+(45+2*10)+(45+3*10)+(45+4*10)+(45+5*10)+(45+6*10)+(45+7*10)+(45+8*10)+(45+9*10)+1
[latex]S_b[/latex]=45+9*45+(10+20+30+40+50+60+70+80+90)+1=45+9*45+450+1
[latex]S_b[/latex]=45+405+451=901

de 0 à 99 [latex]S_b'[/latex]=900
de 0 a 999 [latex]S_b'+S_b'[/latex]*10+100(1+2+3+4+5+6+7+8+9)
=900+9000+4500=[latex]S_c[/latex]=14400
de 0 à 1998  [latex]S_c[/latex]+[latex]S_c[/TeX]
de 0 à 2000  [latex]S_c[/latex]+[latex]S_c[/latex]+2=14400*2+2=28800+2=[latex]S_d[/latex]=28802
de 0 à 2011   [latex]S_d[/latex]+[latex]S_a[/latex](-0)+(1+1)=28802+45+2=28849


(de 0 à 9999 =[latex]S_c+S_c[/latex]*100+1000(1+2+3+4+5+6+7+8+9)
=14400+1440000+45000=199400

on va denombrer le nombre de chaque chiffre

de 0 à 999: il y a 300 chiffres de chaque donc la somme est égale à 300*45=13500
de 1000 à 1999 il y a 1000 chiffres égaux à 1 et la somme de 0 à 999  donc la somme est de 14500
de 2000 à 2011: il y a quatre 1; treize 2 et 1 chiffre de chaque donc la somme est égale à 4+26+3+4+5+6+7+8+9=72

donc au total la somme est égale à 13500+15400+72=28972 si je ne me suis pas trompé.

au fait moi aussi je suis prof de maths tu es d'où?

@gabrielduflot je suis prof à Gosselies (Belgique). Ta réponse est fausse, malheureusement... de 10 à 99 par exemple, tu t'es trompé.

@langelotdulac il faut réellement faire la somme des chiffres de tous les nombres... donc pour 1974 par exemple, on a 1 + 9 + 7 + 4 = 21, que l'on ajoutera aux autres sommes... 21 étant une somme, je ne vois pas pourquoi on ferait pour 21 : 2 + 1 = 3...

Bravo à franck9525

@alexein41 ta démarche est longue et répétitive mais très claire. Bravo.

@CLAIRE68 c'est malheureusement faux. Recompte...

Bravo gasole.

Je considère tous les nombres de 0 à 999 écrits avec exactement 3 chiffres, quitte à écrire des 0 devant, ce qui ne change pas la somme de tous les chiffres. En les écrivant tous les uns sous les autres on obtient 3 colonnes de (1000) chiffres dans lesquelles chaque chiffre apparait 100 fois. La somme de chaque colonne fait donc: 100(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=4500.
La somme de tous les chiffres de tous les nombres de 1 à 999 vaut donc 3*4500=13500.
La somme de tous les chiffres de 1000 à 1999 vaut la même chose pour les 3 derniers chiffres plus 1000x1=14500.
Reste ensuite 2000+...+2011: 12*2 (les chiffres 2) + 2*1 les dizaines de 10 et 11+ 45+1 (les unités)=72

Le total vaut donc 13500+14500+72=28072 validé par la case réponse.
J'ai essayé une démo pas trop bourrine

Merci pour l'exercice.

De 1 à 9 : 45
de 10 à 19 : 10x1+45=55
de 20 à 29 : 10x2+45=65
...
de 90 à 99 : 10x9+45=135

Soit de 1 à 99 : 45+55+...+135=10x(45+135)/2=900

De 100 à 199 : 100x1+900=1000
de 200 à 299 : 100x2+900=1100
...
de 900 à 999 : 100x9+900=1800

Soit de 1 à 999 : 900+1000+1100+...+1800=10x(900+1800)/2=13500

de 1000 à 1999 : 1000x1+13500=14500

Soit de 1 à 1999 : 13500+14500=28000

De 2000 à 2011 : 12x2+(1+2...+9)+1+0+1+1=24+(45)+3=72

Soit au total 28072 sauf erreur de calcul. Est-ce bon?