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 #1 - 24-01-2011 22:00:51

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 119

passera, passera oas ?

On dispose du circuit électrique suivant :

http://www.prise2tete.fr/upload/Alexein41-Interrupteurs.png

Le bouton poussoir de ce circuit est un peu spécial. Il arrive que quand on appuie dessus, les interrupteurs se ferment.

Les probabilités pour que les interrupteurs A ; B ; C ; D ; E ; F restent ouverts quand on appuie sur le bouton poussoir sont respectivement de 0,3 ; 0,5 ; 0,1 ; 0,8 ; 0,4 ; 0,1.

→ Quelle est la probabilité pour que la lampe s'allume ?

Alexein41. smile



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 #2 - 24-01-2011 22:22:31

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2010
Lieu: Paris

Passera, passeraa pas ?

Appelons L l'événement la lampe est allumée.
[TeX]L = A \vee (B \wedge C) \vee (D \wedge E \wedge F)[/TeX]
Pour calculer P(L), on va utiliser la formule générale pour X et Y événements :
[TeX]P(X \vee Y) = P(X) + P(Y) - P(X \wedge Y)[/TeX]
On accroche nos ceintures, et on y va ...
[TeX]P(L) = P(A \vee (B \wedge C)) + P(D \wedge E \wedge F) - P((A \vee (B \wedge C)) \wedge D \wedge E \wedge F)[/TeX]
On suppose que les événements sont indépendants (l'énoncé le stipule maintenant, donc c'est OK smile ), donc
[TeX]P(X \wedge Y) = P(X).P(Y)[/TeX]
On obtient donc la formule suivante :
[TeX]P(L) = P(A) + P(B)P(C) - P(A)P(B)P(C) + P(D)P(E)P(F)
- (P(A)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C))P(D)P(E)P(F)[/TeX]
(j'ai inversé dans mes notations les événements et leur complémentaire, donc pour moi P(A)=0,7 et pareil pour les autres)

P(L) = 0,85282

(que ce fut laborieux ...)

 #3 - 24-01-2011 22:46:27

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Passera, passera ppas ?

ça doit être quelque chose comme 0,35628 non ?

Edit :

lol j'ai pris ouvert pour fermé... bon, en parallèle c'est un "ou" et en série un "et", après y plus qu'à prendre les bonnes valeurs. Disons que [latex]P(A)[/latex] est la probabilité que A se ferme (idem pour B,C,...) et [latex]P(on)[/latex] celle que la lampe soit allumée.

Bien sûr on suppose les interrupteurs indépendants, sinon on ne peut rien dire.
En ce cas, on a :
[TeX]P(X\cap Y)=P(X)*P(Y)[/TeX]
et
[TeX]P(X\cup Y) = P(X)+P(Y)-P(X\cap Y) = P(X)+P(\overline{X})*P(Y)[/TeX]
Pour nous, ça donne :
[TeX]P(on)[/TeX][TeX]=P(A\cup (B\cap C) \cup (D\cap E\cap F))[/TeX][TeX]= P(A)+P(\overline{A})*(P(B\cap C)+P(\overline{B\cap C})*P(D\cap E\cap F))[/TeX]
[latex] = 0,85282[/latex] environ

Voici tous mes chiffres significatifs, néanmoins, je m'insurge : si l'expérimentateur n'est pas capable d'estimer la probabilité de fonctionnement des ses interrupteurs au-delà de la première décimale (je doute qu'elles soient exactement égales à des dixièmes) il n'y a aucun sens à calculer la proba globale avec ce degré de précision ! Na ! Bah je rigole, je le pense mais je rigole wink

 #4 - 24-01-2011 23:02:52

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,632E+3

Passera,, passera pas ?

La probabilité qu'elle ne s'allume pas est de

premier circuit 1-0,3 = 0,7
Second circuit 1-(0,5*0,1)= 0,95
Troisième circuit 1 - (0,8*0,4*0,1)= 0,968

Donc 0,7*0,95*0,968 = 0,64372


La probabilité qu'elle s'allume est donc le complément: 35,628 %

ZUT je ne sais pas lire: reste ouvert = pas de lumière !

La probabilité qu'elle ne  s'allume pas est donc de

premier circuit (1-0,3) = 0,7
Second circuit  (1-0,5)(1-0,1) = 0,45
Troisième circuit (1-0,8)(1-0,4)(1-0,1) = 0,108

Soit 0,7 x 0,45 x 0,108 = 0,03402

La probabilité qu'elle s'allume est de  96,598 %

 #5 - 24-01-2011 23:13:49

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 163
Lieu: devant mon écran

Passera, pssera pas ?

Bon alors... en utilisant la formule :

P(XUYUZ) = P(X) + P(Y) + P(Z) - P(XetY) - P(XetZ) - P(YetZ) + P(XetYetZ), cela donne

85,282%


On n’est jamais très fort pour ce calcul...

 #6 - 24-01-2011 23:49:24

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

passera, pasdera pas ?

Pour 2 relais A et B en parallèle :
Proba[Lampe éteinte] = Proba[A ouvert] x Proba[B ouvert]

Pour 2 relais A et B en série :
Proba[Lampe éteinte] = 1 - Proba[Lampe allumée]
                              = 1 - Proba[A fermé] x Proba[B fermé]

D'où ici :

Proba[Lampe éteinte] = 0,3 x [1-(1-0,5)x(1-0,1)] x [1-(1-0,8)x(1-0,4)x(1-0,1)]
                              = 0,3 x 0,55 x 0,892
                              = 0,14718

Proba[Lampe allumée] = 0,85282

Est-ce bon ?
Telle est la question !
roll


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #7 - 25-01-2011 01:00:30

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3003
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Passera, ppassera pas ?

Par ligne, les probabilités que le courant passe sont de .7, .45 et .108
Donc la probabilité que le courant ne passe pas est de .3, .55 et .892
Ce qui donne une probabilite globale de 0.85282 que la lampe s'allume.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #8 - 25-01-2011 03:51:45

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

passera, passera paq ?

Je dirai, (en utilisant simplement mes souvenirs de proba, donc ya des chances pour que ce soit très très faux ^^)
Donc, on multiplie chaque ligne indépendamment (B*C et D*E*F), et on additionne les probas de chaque ligne. Ce qui donne  0,382 chances sur 1 que l'ampoule s'allume. Ça me parait plutôt cohérent...

 #9 - 25-01-2011 06:54:00

Fireblade
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 34

pasdera, passera pas ?

Nous avons besoin de P(BnC) et P(DnEnF) puis P(Au(BnC)u(DnEnF)). En ayant seulement les probabilités citées, on ne peut conclure qu'en cas d'indépendance. Est-ce le cas?

 #10 - 25-01-2011 13:10:43

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

Passera, psasera pas ?

[TeX]\begin{array}{rl}
P(\{la\quad lampe\quad s'allume\})&=P(A)+P(\bar{A}\cap B\cap C)+P(\bar{A}\cap \bar{ B\cap C}\cap D\cap E\cap F)\\
&=P(A)+P(\bar{A})P(B)P(C)+P(\bar{A})(1-P(B)P(C))P(D)P(E)P(F)\\
&=0.7+0.3\times 0.5\times 0.9+0.3\times 0.55\times0.2\times 0.6\times 0.9\\
P(\{la\quad lampe\quad s'allume\})&=\fbox{0.85282}
\end{array}[/TeX]

 #11 - 25-01-2011 16:59:27

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2805
Lieu: Luxembourg

passera, passzra pas ?

Bonjour,
Appelons respectivement a, b, c, d, e et f les probabilités que les interrupteurs A, B, C, D, E et F se ferment (= 1 - celle qu'ils se ferment).
Nous avons a=0,7; b=0,5; c=0,9; d=0,2; e=0,6 et f=0,9.
Il nous faut p(A ou (B et C) ou (D et E et F)).
Comme p(X ou Y ou Z) = p(X) + p(Y) + p(Z) - p(X)*p(Y) - p(X)*p(Z) - p(Y)*p(Z) + p(X)*p(Y)*p(Z), nous avons:
p = a + bc + def - abc - adef - bcdef + abcdef
p = 0,7 + 0,45 + 0,108 - 0,315 - 0,0756 - 0,04860 + 0,034020 = 0,85282
soit p = 85,282 %
Bonne journée.
Frank

 #12 - 25-01-2011 17:16:33

Emigme
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 318

passera, passzra pas ?

Plus ou moins... 0 lol ! Ton circuit est ouvert sur la gauche de l'image big_smile !

Sympa ton énigme, j'aime bien. Merci wink

EDIT : lollol Ah, OK, j'avais mal lu... De toute façon, je suis pas fort en proba... tongue


Il n'y a pas de problèmes : il n'y a que des solutions. Si il n'y a pas de solution, il n'y a pas de problème.

 #13 - 25-01-2011 17:54:14

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Passera, passer pas ?

edit: merci j'avais lu trop vite fermé au lieu de ouvert.
edit2: j'ai du caca dans les yeux ^^

0.7 + 0.3 * (0.45 + 0.55*0.0.108  ) = 0.85282

 #14 - 25-01-2011 19:40:42

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 119

Passera, ppassera pas ?

Oula, que de réponses déjà smile.

@L00ping007 : Le principe est bon (même si je n'ai jamais vu cette notation pour la probabilité de l'évènement L ^^) mais ta seconde probabilité est malheureusement vraie. lol

@gasole : Non hmm, je pense que tu as mal lu un petit quelque chose de l'énoncé.

@gwen27 : Ce n'est malheureusement pas la bonne réponse, relis l'énoncé smile.

@fred101274 : Réponse exacte ! Bravo ! smile

@fix33 : C'est exact ! wink

@dhrm77 : Exactement ! tongue

@mitsuidewi : Non, malheureusement hmm. Relis bien l'énoncé ! smile

@Fireblade : Oui, désolé, pour moi c'était sous-entendu qu'ils l'étaient, mais il est vrai que ce n'est pas clair. Merci de le préciser smile. Je vais le mettre en information supplémentaire.

@toni77 : Ce n'est pas ça. Relis les informations smile.

@Franky1103 : Que dire de plus ? ^^ C'est la bonne réponse smile.

@Enigme : lol Très très bien tenté ! Mais on appuie sur le bouton poussoir, ce qui fait que le circuit se ferme à cet endroit-là wink.

@Nicouj : Non hmm, relis l'énoncé wink.

Spoiler : Indication N'oubliez pas, la probabilité que le courant ne passe pas en A (par exemple) est de 0,3.

NB : Fireblade a eu raison de me demander si les interrupteurs étaient indépendants smile. Oui, ils le sont wink.

Bonne chance à tous ! Alexein41.

 #15 - 25-01-2011 19:50:00

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

oassera, passera pas ?

Tout est indépendant ? Cool ! J'essaye de viser au plus simple smile

Proba que le chemin du haut se ferme : [latex]0,7[/latex]

Proba que le chemin du milieu se ferme : [latex]0,5 \times 0,9 = 0,45[/latex] (car les évènements "B se ferme" et "C se ferme" sont indépendants, et qu'on veut les deux forcément pour que tout se ferme)

Proba que le chemin du bas se ferme : [latex]0,2 \times 0,6 \times 0,9 = 0,108[/latex] (idem)

Il y a donc les probabilités suivantes que chaque chemin reste ouvert : [latex]0,3 ; 0,55 ; 0,892[/latex]. Puisque le comportement de chaque chemin est indépendant des autres, la probabilité que les trois chemins restent ouverts est le produit de ces trois probas : [latex]0,3 \times 0,55 \times 0,892 = 0,14718[/latex]

La probabilité que le courant passe, et donc que la lampe s'allume, vaut donc 85,282 %


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #16 - 25-01-2011 22:10:33

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 119

Passera ,passera pas ?

@Mths-MlndN : Raisonnement et réponse nickels wink

 #17 - 25-01-2011 22:37:41

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2117
Lieu: 94110

Passera, passer apas ?

Oups ! sad une petite erreur de calcul.

Il ya (1-0.3) = 0.7 chance pour que le courant passe dans le fil A,
(1-0.5)*(1-0.1) = 0.45 chance pour qu'il passe dans le fil B-C,
(1-0.8)*(1-0.4)*(1-0.1) = 0.144 0.108 chance pour qu'il passe dans le fil D-E-F.

Globalement, il y a 0.7 + (1-0.7)*0.45 + (1-0.7-(1-0.7)*0.45)*0.144 0.108 = 0.85876  0.85282 chance pour qu'il passe dans l'un des 3 fils et que la lampe s'allume. wink

 #18 - 25-01-2011 23:23:27

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1927
Lieu: UK

Passera, passeera pas ?

Pour que la lampe s'allume il faut qu'une seule ligne soit fermée

notation:
[TeX]P(A)_{close}[/latex] = (1-0.3)=7 chances sur 10 que ligne A soit fermée

ce qui donne
[latex]P(A)_{close}P(BC)_{open}P(DEF)_{open}
+
P(A)_{open}P(BC)_{close}P(DEF)_{open}
+
P(A)_{open}P(BC)_{open}P(DEF)_{close}
=
\frac{7}{10}.\frac{11}{20}.\frac{892}{1000} + \frac{3}{10}.\frac{9}{20}.\frac{892}{1000} + \frac{3}{10}.\frac{11}{20}.\frac{108}{1000} =\frac{96332}{200000}\approx 48%[/TeX]


The proof of the pudding is in the eating.

 #19 - 26-01-2011 07:38:47

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 487
Lieu: Ardèche

Paassera, passera pas ?

Les probabilités d'ouverture étant indépendantes, on a :

A ouvert : 0.3
BC fermé: 0.5x0.9=0.45 BC ouvert : 0.55
DEF fermé : 0.2x0.6x0.9=0.108 DEF ouvert : 0.892

Les 3 branches ouvertes =0.3x0.55x0.892=0.14718

La probabilité pour que la lampe s'allume est 0.85282

 #20 - 26-01-2011 08:30:11

Fireblade
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 34

Passera, passeraa pas ?

1er trajet tongue(A)=0,3
2e trajet : P(BnC)=0,5x0,1=0,05
3e trajet ; P(DnEnF)=0,8x0,4x0,1=0,032

Au total on a donc : P(Au(BnC)u(DnEnF)=P(A)+P(BnC)+P(DnEnF)-P(An(BnC))-P(An(DnEnF))-P((BnC)n(DnEnF))+P(An(BnC)n(DnEnF)).

P(An(BnC))=0,3x0,05=0,015
P(An(DnEnF))=0,3x0,032=0,0096
P((BnC)n(DnEnF))=0,05x0,032=0,0016
et P(An(BnC)n(DnEnF))=0,3x0,05x0,032=0.00048

Soit P(Au(BnC)u(DnEnF)=0,3+0,05+0,032-0,015-0,0096-0,0016+0,00048
La probabilité que la lampe s'allume est donc de 0,35628

 #21 - 26-01-2011 12:48:36

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

PPassera, passera pas ?

Ok je viens de voir que j'ai tout fais à l'envers.
Donc se serait plutot

P = (1-0.8)*(1-0.4)*(1-0.1)+(1-0.5)*(1-0.1)+(1-0.3)
   = 0.858

Ca me parait quand meme un peu facile ? ais-je faux ?

 #22 - 26-01-2011 16:25:28

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Passera, apssera pas ?

Soient les événements :
- A : le courant passe par A
- B : le courant passe par B et C
- C : le courant passe par D, E et F
- L : la lampe s'allume

P(A)  =  0,7
P(B)  =  0,5 x 0,9  =  0.45
P(C)  =  0,2 x 0,6 x 0,9  =  0,108

Il suffit qu'un de ces événements (indépendants) arrive pour que la lampe s'allume.

Il nous faut donc calculer P(L)  =  P(A  U  B  U  C)


Et là... c'est le drame ! Mes cours de probas remontent à un peu trop loin, et surtout je n'ai pas pratiqué depuis...
Donc je sais ce qu'il faut calculer, mais la question est : comment le calculer ?


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #23 - 26-01-2011 17:31:13

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1473

Passera passera pas ?

Edit : Ah, flute, c'est la probabilité que ça reste ouvert et pas fermé
Evénements : A, B, C, D, E, F (l’interrupteur correspondant se ferme)
Pa = 0,7 ; Pb = 0,5 ; Pc = 0,9 ; Pd = 0,2 ; Pe = 0,6 ; Pf = 0,9

L’évènement "La lampe s'allume" correspond à A u B^C u D^E^F
Les évènements A B C D E et F sont indépendants.

P(B^C) = Pbc = 0.5*0.9 = 0.45
P(D^E^F) = Pdef = 0.2*0.6*0.9 = 0,108

P(A ou BC ou DEF) =
Pa + Pbc + Pdef -P(A et BC) -P(A et DEF) -P(BC et DEF) + P(A et BC et DEF)
(principe d'inclusion-exclusion)
Pa + Pbc + Pdef -Pa*Pbc -Pa*Pdef -Pbc*Pdef + Pa*Pbc*Pdef = 85.282 %

La lampe à donc 35,628% de chances de s'allumer

 #24 - 26-01-2011 18:26:01

Tromaril
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 45

Passera,, passera pas ?

Je note X l'événement "l'interrupteur X reste ouvert" et LA l'événement "La lampe s'allume"
[TeX]\overline {LA}=A \cap (B \cup C) \cap (D \cup E \cup F)[/TeX]
Par indépendance, [latex]Pr(\overline {LA})=Pr(A)Pr(B \cup C)Pr(D \cup E \cup F)[/latex]
=[latex]Pr(A)[1-Pr(\overline B)Pr(\overline C)][1-Pr(\overline D)Pr(\overline E)Pr(\overline F)][/latex]
=0,3 x (1-0,5x0,9) x (1-0,2x0,6x0,9)
=0,1472

d'où Pr(LA)=0,8528


Edit : 0,85282 avec tous les chiffres big_smile

 #25 - 26-01-2011 18:52:22

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 119

Passera, passra pas ?

@L00ping007 : Ta réponse est maintenant bonne ! smile
@gasole : Le résultat est exact smile. Si possible, peux-tu donner la réponse avec tous les chiffres significatifs ?
@Enigme : En tout cas, j'ai adoré ta réponse ^^.
@NIcouj : C'est presque ça hmm. Ton résultat est très proche du bon. J'ai compris ta formule et l'erreur se trouve dans le dernier nombre de ta ligne de calcul (celui avant le "=" donc)

-----

@Jackv : Il y a une erreur dans les facteurs de ton dernier produit. Ton résultat est cependant très proche du bon wink.
@franck9525 : Le courant passe quand même si tous les interrupteurs sont fermés, ou même si tous les interrupteurs de deux branches sont fermés. wink
@halloduda : Réponse exacte ! wink
@Fireblade : Wahou, ça c'est de la formule ! Tu as mis p(A) dans ta formule de la probabilité que la lampe soit allumée, et tu l'as remplacé par 0,3, mais 0,3 est la probabilité que l'interrupteur A soit ... ? wink
@mitsuidewi : Ce n'est malheureusement pas la bonne réponse hmm. Je crois que tu as voulu calculer la probabilité qu'un de ces évènements arrive en faisant p(A u B u C), mais ces probabilités ne s'additionnent pas comme ça hmm.
@LeSingeMalicieux : Tout d'abord, excellente démarche ! Je vais t'envoyer un MP wink.
@scarta : p(A) = 0,3 si l'interrepteur est en position ... ? wink
@Tromaril : Exactement wink. Je vais être embêtant mais peux-tu donner tous les chiffres significatifs si possible ? ^^

Beaucoup de bonnes réponses et de démarches intéressantes ! Les erreurs sont surtout des étourderies ^^.

Spoiler : Indication n°2 0,3 est la probabilité que l'interrupteur A soit ouvert et non fermé ! wink

Alexein41.

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