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 #1 - 06-06-2019 19:57:45

TOUFAU
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 51

suels entre gentlemen 1

Bonjour,

Un petit problème orienté tuerie. En plusieurs parties.
Je ne soumets que la première pour commencer (pas trop dur, pour ne pas se fatiguer d’entrée)

Nous sommes au milieu du 18ème siècle. Dans « Barry Lyndon » plus précisément. Barry affronte Quin en duel. Pour une sombre histoire de fesses, comme souvent.
Aux temps de la fastueuse société anglaise, l’élégance fait loi. On ne s’entretue pas dans le bazar, genre celui qui tire le plus vite a gagné. Non, là c’est clean, on commence par un tirage au sort, et le gagnant tirera en premier. Puis l’autre s’il est toujours gaillard, etc. Jusqu’à ce que mort s’en suive. On est quand même venu pour ça.

Considérons dans notre affaire que nos deux tireurs sont également doués. Et qu’ils touchent leur cible 1 fois sur 2.

Du coup question : Quelles est la probabilité pour le premier tireur d’en sortir vivant ?

Ceux qui ont envie de se fendre de la formule générale, quand la probabilité de toucher l’adversaire est p, ne vous gênez pas.



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 #2 - 06-06-2019 21:52:34

enigmatus
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 550

Duels entrre gentlemen 1

Bonsoir,

Quelles est la probabilité pour le premier tireur d’en sortir vivant ?
Cette probabilité x est telle que :
x = p + (1-p)*(1-p)*x
d'où
x = p / (1 - (1-p)**2)
Pour lever l'indétermination quand p->0, on pose q=1-p, et on simplifie :
x = 1/(q+1) = 1/(2-p)
x = 2/3 pour p = 1/2

Si les probabilités de faire mouche pour chacun des tireurs sont respectivement p1 et p2 :
x = p1 + (1-p1)*(1-p2)*x
d'où
x = p1 / (1 - (1-p1)*(1-p2))

 #3 - 06-06-2019 23:56:12

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 845

duels entre gentlemrn 1

Notons x la probabilité que le premier tireur gagne. Alors on a x = 1/2 + 1/2*(1-x). En effet :
* le premier 1/2 représente la probabilité que le premier tireur réussisse son premier coup.
* le second 1/2 représente la probabilité que le premier tireur rate son premier coup.
* les rôles sont alors inversés, et la probabilité qu'il gagne est devenue (1-x).
La résolution de cette équation donne x = 2/3.

Dans le cas général, cette équation est x = p + (1-p)*(1-x), et sa solution est x = 1/(2-p).

 #4 - 07-06-2019 18:45:32

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3606

uels entre gentlemen 1

La chance de survie du premier tireur est 1/2 + 1/8 + 1/32 + ..., soit, en comptant bien : 2/3.

 #5 - 07-06-2019 18:53:52

TOUFAU
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 51

duels entre gebtlemen 1

Enigmatus, Ebichu, Nodgim, c'est parfait. On s'en doutait :-)
Je pousse le second volet, pour égayer le week end.

 #6 - 08-06-2019 01:38:43

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 192

dyels entre gentlemen 1

Salut,

La probabilité recherchée est [latex]\sum^{\infty}_{n=0}p^{n+1}(1-p)^n=\frac{p}{1-p(1-p)}[/latex] donc [latex]\frac{2}{3}[/latex] si [latex]p=\frac{1}{2}[/latex]

 #7 - 08-06-2019 09:45:34

TOUFAU
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 51

Duuels entre gentlemen 1

Sydre, le résultat chiffré est bon...mais la formule ne l'est pas.
Par exemple, quand p tend vers 0, l'avantage de tirer premier s'efface. La probabilité du premier tireur devrait tendre vers 1/2.

 #8 - 08-06-2019 16:11:16

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 192

suels entre gentlemen 1

Effectivement, l'heure tardive sans doute roll
[TeX]\sum^{\infty}_{n=0}p(1-p)^{2n}=\frac{p}{1-(1-p)^2}[/TeX]

 #9 - 08-06-2019 17:21:28

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2672
Lieu: 94110

Duels entre gentlemeen 1

Il n'est pas trop difficile de se rendre compte que, avec une probabilité de toucher l'adversaire égale à 1/2,  la probabilité de rester en vie du premier tireur est de 2/3.

Avec une probabilité de toucher l'adversaire égale à p, celle de rester en vie du premier tireur est alors de 1 / (2 - p) .

 #10 - 08-06-2019 18:23:28

TOUFAU
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 51

Dels entre gentlemen 1

Parfait Sydre. Effectivement la fatigue n'aide pas à tirer juste.
L'alcool non plus d'ailleurs...

Jackv, bon résultat!

 

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