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 #1 - 08-04-2018 11:42:22

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

Gâteau 1550

Un petit gâteau léger pour nous reposer des précédents smile

Mon pâtissier a décoré un gâteau carré de 28 cm de côté de mileux en milieux de la façon suivante :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau150.png

Les dernières lignes ne sont qu'esquissées mais il aimerait bien poser une perle à l'endroit précis où se termine la ligne brisée .

Amusez-vous bien smile

Vasimolo

PS : Pour les gourmands quelle quantité de coulis doit-il prévoir ?



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#0 Pub

 #2 - 08-04-2018 12:11:12

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3533

Gâteu 150

Mon tableur me dit que pour un carré de coté 1, le point limite est de coordonnées (4/7, 3/7) dans le repère orthonormé en partant de (0,0).

Je lui fais confiance.

 #3 - 08-04-2018 16:57:52

enigmatus
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 513

Gâtau 150

Bonjour,
Je trouve que la perle doit être placée à 16 cm du bord gauche et à 12 cm du bas. Le coulis a une longueur de 210,6 cm.
Je ne l'ai pas fait à la main…

 #4 - 08-04-2018 17:02:48

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

Gâteau 105

@Nodgim : j'admets que la machine bat les champions aux Echecs , au Go ... et qu'elle peut aider à certaines démonstrations , mais là j'aimerais un peu d'humanité ( dans ce monde de brutes lollollol ) .

Vasimolo

 #5 - 08-04-2018 17:16:41

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

Gâteau 10

@Enigmatus : allez , à la main , au moins pour la première question smile

Vasimolo

 #6 - 08-04-2018 19:44:10

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 749

Gâteau 1500

Bonjour Vasimolo et merci pour ce problème.

Pour la première question, on constate que la suite des abscisses des points de la ligne brisée vérifie la relation de récurrence linéaire u(n+4)=(u(n)+u(n+1))/2, avec les conditions initiales u(0)=0, u(1)=14, u(2)=28 et u(3)=14.

On démontre facilement par récurrence que la quantité u(n)+2u(n+1)+2u(n+2)+2u(n+3) est constante, et donc égale à 112. La limite de la suite u(n) est donc 112/(1+2+2+2)=16.

De même, on obtient que la limite des ordonnées est 12, il doit donc placer sa perle en (16;12).

Je reviens pour le dessert, s'il me reste une petite faim.

 #7 - 08-04-2018 23:23:36

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 749

Gâtea u150

As-tu une solution humaine au problème de la longueur de coulis ?

 #8 - 09-04-2018 17:19:06

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâteau 1550

Non je n'ai pas de réponse à la main pour le bonus mais je n'ai pas vraiment cherché lollollol

Je jetterai un coup d’œil quand j'aurai mis de l'ordre dans l'énorme tas de paperasses qui recouvre mon bureau .

Vasimolo

 #9 - 09-04-2018 19:56:47

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 749

Gâetau 150

Ouf, tu me rassures. Car je doute que cela puisse s'exprimer simplement.

 #10 - 09-04-2018 21:38:55

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2883
Lieu: Luxembourg

Gâtau 150

Je trouve le point de coordonnées 16 cm et 12 cm.
Et une longueur de coulis d'env. 210,6453495 cm.
Quant à trouver sa valeur exacte (algébrique) .....

 #11 - 10-04-2018 07:32:46

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3533

Gâteaau 150

On traite séparément les x des y.
Si les 4 premiers points x0 à x3 ont pour abscisses : 0, 1, 1 , 0 les suivants ont pour abscisses:
2 * xn = x(n-3) + x(n-4)

La limite (il y en a une ! ) conduit à 4 équations :
x1+x2 = (2x0+x3) / 2 + x1 = (x2+x3) / 2 + (2x0+x3) / 2 = (x1+x2) / 2 +  (x2+x3) / 2

On aboutit à une matrice
0220
2201
2012
0121

dont la résolution donne x1 = x3 = x2 = 2x0, soit la répartition (x0,x1,x2,x3) = (1,2,2,2)
Or seuls x1 et x2 sont affectés du coeff 1, x0 et x3 ont un coeff 0.

la limite vaut donc (2+2) / (1+2+2+2) = 4 / 7

Avec les y, on trouvera 3 / 7.

 #12 - 10-04-2018 12:58:19

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 494
Lieu: Ardèche

gâteai 150

x=16 cm, y=12 cm

 #13 - 10-04-2018 17:35:28

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâteua 150

Que des bonnes réponses . La justification de la position de la perle est assez simple smile

Vasimolo

 #14 - 10-04-2018 20:40:19

fauconiv
Amateur de Prise2Tete
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Messages : 7

Gâteau 510

Spoiler : [Afficher le message] je trouve 2 suites Un=(U(n-3)+U(n-4))/2
il doit y avoir une histoire de parité avec somme (U(2n+1) -U(2n))
je n'ai pas trouvé de point fixe, sinon j'ai une récurrence linéaire d'ordre 4 (r-1)(2r^3+2r^2+2r+1) mais je trouve pas de racines
Peut etre Vn=U(4n)

 #15 - 11-04-2018 17:45:19

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 5,165E+3

gâteay 150

Il est amusant de voir que pour 4 points consécutifs la somme des abscisses [latex]x_n+2x_{n+1}+2x_{n+2}+2x_{n+3}[/latex] est constante et vaut 7 fois l'abscisse de la limite . De même pour les ordonnées et on obtient le point d'arrivée : (16;12) .

Le bonus a l'air coton smile

Merci aux participants .

 

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