Mon tableur me dit que pour un carré de coté 1, le point limite est de coordonnées (4/7, 3/7) dans le repère orthonormé en partant de (0,0).

Je lui fais confiance.

@Nodgim : j'admets que la machine bat les champions aux Echecs , au Go ... et qu'elle peut aider à certaines démonstrations , mais là j'aimerais un peu d'humanité ( dans ce monde de brutes ) .

Vasimolo

Bonjour Vasimolo et merci pour ce problème.

Pour la première question, on constate que la suite des abscisses des points de la ligne brisée vérifie la relation de récurrence linéaire u(n+4)=(u(n)+u(n+1))/2, avec les conditions initiales u(0)=0, u(1)=14, u(2)=28 et u(3)=14.

On démontre facilement par récurrence que la quantité u(n)+2u(n+1)+2u(n+2)+2u(n+3) est constante, et donc égale à 112. La limite de la suite u(n) est donc 112/(1+2+2+2)=16.

De même, on obtient que la limite des ordonnées est 12, il doit donc placer sa perle en (16;12).

Je reviens pour le dessert, s'il me reste une petite faim.

Non je n'ai pas de réponse à la main pour le bonus mais je n'ai pas vraiment cherché

Je jetterai un coup d’œil quand j'aurai mis de l'ordre dans l'énorme tas de paperasses qui recouvre mon bureau .

Vasimolo

Je trouve le point de coordonnées 16 cm et 12 cm.
Et une longueur de coulis d'env. 210,6453495 cm.
Quant à trouver sa valeur exacte (algébrique) .....

x=16 cm, y=12 cm

Spoiler : [Afficher le message] je trouve 2 suites Un=(U(n-3)+U(n-4))/2
il doit y avoir une histoire de parité avec somme (U(2n+1) -U(2n))
je n'ai pas trouvé de point fixe, sinon j'ai une récurrence linéaire d'ordre 4 (r-1)(2r^3+2r^2+2r+1) mais je trouve pas de racines
Peut etre Vn=U(4n)